1 линейные уравнения и неравенства

Линейные уравнения и неравенства

Линейные уравнения

Линейные неравенства

Системы линейных неравенств

Линейные уравнения

Линейным уравнением относительно переменной x называется уравнение первой степени

где k и b – произвольные вещественные числа.

В случае уравнение (1) имеет единственное решение при любом значении b :

В случае, когда уравнение (1) решений не имеет.

В случае, когда k = 0, b = 0, решением уравнения (1) является любое число

Линейные неравенства

Линейным неравенством относительно переменной x называется неравенство, принадлежащее к одному из следующих типов:

где k и b – произвольные вещественные числа.

Решая линейные, да и не только линейные, неравенства, следует помнить, что

В соответствии с этим решение линейных неравенств, в зависимости от значений коэффициентов k и b, представлено в следующей Таблице 1.

Таблица 1. – Решение неравенств первой степени (линейных неравенств)

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 1. Повторение 7-9. Числовые и алгебраические выражения. Линейные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

1. обобщение и систематизация знаний по алгебре 7-9;
2. повтор арифметики алгебраических выражений;
3. решение линейных уравнений и неравенств;
4. решение систем линейных уравнений и неравенств.

1. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни.

2. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни

1. Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.

2. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2000.

Открытые электронные ресурсы:

1. Федеральный институт педагогических измерений. http://www.fipi.ru

Все выражения можно разбить на два класса на основании наличия переменных: числовые выражения и выражения с переменными.

Логическая задача на классификацию

Основание для классификации: наличие переменных

Выражения с переменными

Для числовых выражений можно находить значение – результат всех выполненных действий. Для выражений с переменными можно также находить значение при некоторых значениях переменных, предварительно упростив его, например, с помощью свойств, правил, формул сокращенного умножения.

Найдите значение выражения при a=0,01 и b=12:

2)

3)

2);

3)

3b-2a-3b=-2a-2a=-0,02

2.Линейное уравнение с одним неизвестным

Линейное уравнение с одним неизвестным – это уравнение вида ax=b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное

Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет

Основные свойства уравнений

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная

Если a≠0, b – любое число, то .

Если a=0, b≠0, то нет корней.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

1) ,

1),

Решим уравнение 2).

По определению модуля числа имеем 5x+7=±2.

Таким образом, либо 5x+7=2, откуда x=-1, либо 5x+7=-2, откуда x=-1,8. Получаем ответ: -1; -1,8.

Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная

Если a≠0, b – любое число, то .

Если a=0, b≠0, то нет корней.

Если a=0, b=0, то x – любое число.

Линейное уравнение с параметрами

Решите уравнение (5x+7)n=x-m, где m и n – некоторые числа, x – неизвестное

1)Если 5n-1≠0, то есть n≠0,2, то . Используя основное свойство дроби, получаем, что .

2)Если 5n-1=0, то есть n=0,2, то уравнение примет вид 0∙x=-m-1,4;

Тогда при m=-1,4 корнем уравнения будет любое число,

при m≠-1,4 уравнение не имеет корней.

Рассмотрим задачу 1.

От пристани А до пристани В катер плывет по реке 15 минут, а обратно 20 минут. Найти скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.

Для ее решения необходимо:

1.Провести ориентировку в тексте задачи.

1.1.Проанализировать условие и выявить данные (известные, дополнительные, скрытые).

1.2.Проанализировать вопрос задачи и выявить искомое.

1.3.Определить связи одноуровневые и межуровневые между данными и искомым.

1.4.Построить графическую схему, например, таблицу.

1.5.Установить в ней место искомого.

2.Спланировать способ решения задачи.

2.1.Подобрать метод, например, алгебраический.

2.3.Подобрать действия для решения составленной математической модели.

3.Исполнить намеченный план решения и найти искомое.

4.Провести самоконтроль решения задачи, проверив, что найденное искомое не противоречит условию задачи.

5.Провести самооценку решения задачи.

6.Провести самокоррекцию выполненного решения задачи, если есть в том необходимость.

1 способ: Провести повторное решение задачи от начала до конца.

2 способ: Провести дополнительную деятельность для того, чтобы ответить на вопрос задачи.

3 способ: Решить задачу другим способом.

удовлетворяет условию

3.Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причем и .

Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными – это пара чисел x и y, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений: способ подстановки и способ сложения.

Решите систему способом подстановки

Для этого необходимо:

1.Выразить одну переменную через другую из какого-либо уравнения.

2.Подставить полученное выражение вместо выраженной переменной в другое уравнение.

3.Решить полученное уравнение относительно одной переменной.

4.Найти значение другой переменной, подставив найденный корень в формулу пункта 1.

5.Записать решение системы.

(1;2) – решение системы

Решите систему способом сложения

Для этого необходимо:

1.Домножить какое-либо уравнение системы или оба уравнения на такие числа, чтобы при почленном сложении уравнений получить уравнение относительно одной переменной.

2.Решить уравнение, полученное после почленного сложения.

3.Подставить найденный корень в какое-либо уравнение исходной системы.

4.Решить составленное уравнение.

5.Записать решение системы.

(3;-1) – решение системы

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если , то система имеет единственное решение.

Если то система не имеет решений.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Система линейных уравнений с параметром

Решите систему уравнений с параметром a:

Решим систему способом подстановки. Выразим y из первого уравнения системы: . Подставим выражение вместо y во второе уравнение системы:
(a-3)x+a((a+1)x-a)=-9 .

Решим полученное уравнение относительно x:
.

1. Если , то есть , то система имеет единственное решение. Найдем это решение: После сокращения получаем: . Найдем соответствующее значение y, подставив вместо x в формулу
. Получим . Итак, если , то – решение системы.

2. Если и , то есть a=-3, то система имеет бесконечно много решений. Найдем в этом случае решения системы. Для этого подставим a=-3 в первое уравнение системы. Получим уравнение -2x-y=-3, из которого выразим y: y=3-2x. Значит, (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы.

3. Если и , то есть a=1, то система не имеет решений.

Ответ: Если , то – решение системы;

если a=-3, то (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы;

если a=1, то система не имеет решений.

4.Решение линейных неравенств с одним неизвестным

Неравенство первой степени с одним неизвестными – это неравенство вида ax b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Решение неравенства с одним неизвестным – это то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Правило решения неравенства первой степени с одним неизвестным

1.Перенести с противоположными знаками члены, содержащие неизвестное, из правой части в левую, а не содержащие неизвестное – из левой части в правую.

2.Привести подобные члены в левой и правой частях неравенства.

3.Если коэффициент при неизвестном отличен от нуля, то разделить на него обе части неравенства.

5.Системы линейных неравенств с одним неизвестным

Решение системы неравенств с одним неизвестным – это значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Решить неравенство 2x-8 3.

Решение неравенства ax 0, то

Если a 0, то x – любое число

Если a=0, b≤0, то решений нет

Линейное неравенство с параметром

Решите неравенство с параметром a:

ax 0, то

Если a 0, то ; если a 0, 2x>6, x>3.

Решим второе неравенство системы:

4x-20 b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причем и .

Решение линейных неравенств

О чем эта статья:

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Типы неравенств

1. Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
2. a > b и b > и

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

1. Если а > b , то b а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

• 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

• Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.

• Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x
  

  Решение линейных неравенств

  Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

  Равносильные преобразования

  Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

  Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

  Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

  Метод интервалов

  Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

  Метод интервалов заключается в следующем:

  • вводим функцию y = ax + b;
  • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
  • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
  • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

  Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

  Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

  если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

  Как решаем:

  В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

  Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  

  Определим знаки на промежутках.

  Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

  Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

  Графический способ

  Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

  Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

  Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

  Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

  Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

  
  

  источники:

  http://resh.edu.ru/subject/lesson/5100/conspect/

  http://skysmart.ru/articles/mathematic/linejnye-neravenstva