1 показательное уравнение логарифмические корни

Задание №1. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №1 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Условие при этом выполняется.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

8. Решите уравнение

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Решение логарифмических и показательных уравнений в 10-м классе

Разделы: Математика

  • обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы.
  • способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,
  • развитию устной математической речи, внимания, памяти.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, доска.

  1. Организационный момент – 2–3 мин.
  2. Проверка домашнего задания, устный счет – 10 мин.
  3. Диктант на знание вопросов теории – 4–5 мин.
  4. Дифференцированная работа. Тест ( для 2 варианта), работа по слайду 11 (для 1 варианта) – 10 мин.
  5. Проверка тестов слайд 1 – 1 мин.
  6. Разбор заданий со слайда 11, на доске – 10 мин.
  7. Домашнее задание.
  8. Итог урока, выставление оценок – 5 мин.
  9. Задача на будущее – 2 мин.

1. Ознакомление с планом урока, темой.

У каждого ученика на столе лист учета знаний, где за каждый этап работы они набирают баллы.

Домашнее заданиеДиктант.Тест или карточка.
До 6 балловДо 9 балловДо 9 баллов

2. Проверка домашнего задания, устный счет.

К доске вызываются 3 ученика.

в) Ответ: (; 0); [1; ]

2log5 х – log2 х > log2 0,8 Ответ: (0; 5)

lgx + 3/lgx + lg0,01 –2 Ответ: [0,1; 10]; (100; )

Для остальных устный счет – слайды 1–9. Приложение 1

Решить показательное уравнение:

8 х = 64
0,5 х = 0,125
10 х = 0,0001		4 х = 0,25
3 х = 5
6 х = 12

Решить логарифмическое уравнение:

log2 x = 3
log2 x = –0,5
log2 x = log4 5x		log1 x = 5
log7 x = –1
log5 x = log5(2x + 1)

Решить показательное неравенство:

5 х 25
7 х > 49
(0,7) х > 0,49
(0,3) х > 0,027		7 2х – 9 > 7 3х – 6
1,1 5х – 3 х –1
10 х > –10

Решить логарифмическое неравенство:

log2 x –3
х 4
х –3		ln x > 0
х х = – 1 имеет корни.
  • Существует log5 (–5).
  • Графики функций y = log3 x и y = (3) х не имеют общих точек.
  • Логарифмическая функция нечетная.
  • Областью значений показательной функции являются положительные числа.

    • Слайд10. Проверка диктанта. Считают на сколько вопросов, ответили правильно и фиксируют на листе учета знаний.

    4. Дифференцированная работа

    1-й вариант. Каждому раздается тест.

    1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) –4

    2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    25 3–x =

    1) (0; 1); 2) (1; 2); 3) (2; 3); 4) (3; 4)

    3. Найдите произведение корней уравнения 3 х2–1 = 243

    1) – 6; 2) – 4; 3) 4; 4) 6

    4. Найдите сумму корней уравнения lg(4x – 3) = 2lgx

    1) –2; 2) 4; 3) –4; 4) 2

    5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    1) (– 4; – 2); 2) (6; 8); 3) (3; 6); 4) (– 8; – 6)

    6. Решите неравенство 4 x ≥

    1) (; – 0,5); 2) (0,5; ) 3) (– 0,5; ); 4) (; 0,5)

    7. Найдите число целых отрицательных решений неравенства

    1) 6; 2) 2; 3) 5; 4) 4

    8. Найдите число целых решений неравенства (х – 2) –2

    1) 4; 2) ; 3) 5; 4) 0

    9. Решить неравенство ln(x – 1) x + x + 4) = x – x lg5

    3 2 x – 6 x + 3 x > 3

    5. Проверка тестов. Слайд 12

    123456789
    244223411

    6. Разбор заданий слайда 11 на доске.

    3 2 x – 6 x + 3 x > 3

    Ответы: 1) ; 4; 2) – 4; 3) (0; 1); 4) (1; 100)

    Подсчитывают набранные баллы.

    7. Домашнее задание 139г; 138а;155а;164а; доп.169а

    Объяснить, как решаются эти уравнения и неравенства:

    log4 (2x – 5) = log4 (x +7)

    lg 2 x – 5lg x + 6 = 0

    4 x – 2 2 x + 5 = 0

    		5x + 5x + 1 = 25

    x x > 5

    9. Если останется время , разобрать задание:

    Решить неравенство

    1. Учебник «Алгебра и начала анализа», С.М.Никольский.

    Алгебра

    План урока:

    Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

    Задание. Решите урав-ние

    В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

    Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

    Задание. Решите урав-ние

    Задание. Решите урав-ние

    Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

    Уравнения вида logaf(x) = logag(x)

    Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

    Задание. Решите урав-ние

    Задание. Найдите корень урав-ния

    Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

    С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

    Задание. Решите урав-ние

    Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

    Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

    Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

    Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log3 (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

    Уравнения, требующие предварительных преобразований

    Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду logaf(x) = logag(x).

    Задание. Решите урав-ние

    с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

    Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

    Задание. Решите урав-ние

    Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

    Задание. Решите урав-ние

    Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log5 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

    Задание. Решите урав-ние

    Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

    Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

    Задание. Решите урав-ние

    Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log25x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

    Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

    Логарифмические уравнения с заменой переменных

    Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

    Задание. Решите уравнение методом замены переменной

    Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

    Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

    Логарифмирование уравнений

    Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

    Задание. Укажите корни урав-ния

    Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

    Возвращаемся от переменной t к переменной х:

    Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

    Рассмотрим график логарифмической функции у = logax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

    Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

    Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

    Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 logas:

    Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 loga s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

    Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

    Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).


    источники:

    http://urok.1sept.ru/articles/581008

    http://100urokov.ru/predmety/urok-9-uravneniya-logarifmicheskie

    © 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут