10 способов решения квадратных уравнений презентация математика

Презентация по теме:»10 способов решения квадратных уравнений»
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

В презентации рассказывается о 10 способах решения квадратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

10 способов решения квадратных уравнений Работу выполнила учитель математики МБОУ «СОШ №31» г.Энгельса Волосожар М.И.

Способ 1: разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х 2 + 10х — 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х ( х + 12) — 2( х + 12) = ( х + 12)( х — 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: ( х + 12)( х — 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х — 24 = 0.

Способ 2: метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х , а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как х 2 + 2• х • 3 + 3 2 = ( х + 3) 2 . Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х — 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем: х 2 + 6х — 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 — 3 2 — 7 = ( х + 3) 2 — 9 — 7 = ( х + 3) 2 — 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: ( х + 3) 2 — 16 =0, ( х + 3) 2 = 16. Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

Способ 3: Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем: 4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0, ((2ах) 2 + 2ах • b + b 2 ) — b 2 + 4 ac = 0, (2ax + b) 2 = b 2 — 4ac, 2ax + b = ± √ b 2 — 4ac, 2ax = — b ± √ b 2 — 4ac,

Способ 4 : Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х 2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x 1 x 2 = q , x 1 + x 2 = — p Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен ( q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р 0 и p = — 3 0 и p = 8 > 0. б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q 0 . Например, x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = — 5 и x 2 = 1, так как q = — 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = — 1, так как q = — 9 Мне нравится

Презентация по математике Десять способов решения квадратного уравнения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Выполнил: Ученик 9 А класса МОБУ СОШ№1 Ковалёв Марк Учитель Авдеева Л.Н.

Гипотеза Существует оптимальный способ решения квадратных уравнений – это решение уравнений по формулам, изучаемых в школьной программе

Цель работы Расширить представление о квадратных уравнениях Задачи: Познакомиться с информацией о решении уравнений в процессе формирования науки алгебры. Изучить различные способы решения квадратных уравнений

Предмет исследования: квадратные уравнения. Объект исследования: способы решения квадратных уравнений. Метод исследования: аналитический

План работы История развития квадратных уравнений 1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне 2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения 3. Квадратные уравнения у ал- Хорезми 4 Квадратные уравнения и Омар Хайям 5. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв 6. О теореме Виета Способы решения квадратных уравнений 1. Разложение левой части уравнения на множители 2. Метод выделения полного квадрата 3. Решение квадратных уравнений по формуле 4. По теореме Виета 5. Способ «переброски» 6. По свойствам коэффициентов 7. Графическое решение 8. С помощью циркуля и линейки 9. С помощью номограммы 10. Геометрический способ Заключение Исследования и выводы.

История развития квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне: Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне ( около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями в виде уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96» (10+х)(10-х) =96 или же: 100 — х2 =96 х2 — 4=0 Решение х= -2 для Диофанта не существует так как греческая математика Знала только положительные числа.

Как решал квадратные уравнения Ал-Хорезми? Учебник математики Ал-Хорезми, выпущенный им около 830 года под заглавием „Китаб аль-джебр валь мукабала», посвящен в основном решению уравнений первой и второй степени. Этот математик уравнения решает также геометрически. Вот пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал — Хорезми: х2 +10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Узбекский математик, поэт и врач Омар Хайям уже в IX веке Систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. Омар Хайям

Квадратные уравнения в Европе XIII—XVII веков Способы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовал распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI—XVII вв. и частично XVIII.

Михаэль Штифель Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х2 + вх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. немецким математиком Михаэлем Штифелем.

Франсуа Виет Благодаря трудам Виета открылась возможность выражения свойств уравнений и их корней общими формулами. (формулы Виета). Впервые свои исследования по математике Виет опубликовал в книге «Математический канон» в 1574 году. Эта книга печаталась за счет Виета и поэтому вышла очень небольшим тиражом. Его работы были написаны столь трудным для понимания математическим языком, что не нашли такого распространения, которого заслуживали. Все свои математические труды Виет опубликовал в 1591 году в книге „Isagoge in artem analiti-cam». Они свидетельствовали о всесторонности его знаний. Спустя 40 лет после смерти Виета его произведения были изданы под общим заглавием “Opera mathematica”.

Рене Декарт «Алгебраические обозначения получают усовершенствование у Виета и Декарта; начиная с Декарта алгебраическая запись мало чем отличается от современной». Андронов А.А., советский математик

Эти ученые внесли достойный вклад в развитие теории решения квадратных уравнений Франсуа Виет (1540 – 1603, Франция) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа. Штифель (1486 – 1567, Германия) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду х2 + b x = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c. Итальянские учёные Тарталья (1500-1557), Кардано (1501-1576), Бомбелли (1526-1572) среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. В XVII веке благодаря трудам Жирара (1595-1632, Голландия), Декарта (1596-1650, Франция), Ньютона (1643-1727, Англия) и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Способы решения квадратных уравнений.

1 СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители. х2 + 10х — 24 = 0. Разложим левую часть на множители способом группировки: (х + 12)(х — 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Это означает 2 и -12 корни уравнения х2 + 10х — 24 = 0.

2 СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х2 + 6х — 7 = 0 выделив в левой части полный квадрат. х2 + 6х — 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 — 32 — 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х + 3)2 — 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 — 16 =0 (х + 3)2 = 16. х + 3 — 4 = 0 или х+ 3 = -4, х1 = 1 х2 = -7.

3 СПОСОБ Решение квадратных уравнений по формуле. ах2 + bх + с = 0,

4 СПОСОБ Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Для приведённого уравнения х2 + px + g = 0. x1 x2 = q, x1 + x2 = — p Для полного уравнения ах2 + вx + с = 0. x1 x2 = с/а, x1 + x2 = — в/а

5 СПОСОБ Решение уравнений способом «переброски». ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0. Замена ах = у, откуда х = у/а; Уравнение у2 + by + ас = 0 равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

6 СПОСОБ Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Если, а + b + с = 0 , то х1 = 1, х2 = с/а. Если, а + с = в , то х1 = -1, х2 = — с/а.

7 СПОСОБ Графическое решение квадратного уравнения. х2 + px + q = 0 Перенесём второй и третий члены в правую часть уравнения х2 = — px — q. Построим графики функций у = х2 и у = — px — q. Точки пересечения графиков являются корнями уравнения

8 СПОСОБ Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Построим точки S- центр окружности и точку А(0;1), абсциссы точек пересечения окружности с осью х являются корнями уравнения. Так как по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках ( рис.1) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 2) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.3), в этом случае уравнение не имеет решения. рис.1 рис.2 рис.3

9 СПОСОБ примеры С помощью номограммы.

10 СПОСОБ Геометрический способ решения квадратных уравнений. Решим уравнение х2 + 10x = 39 В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39»

Исследовательская работа по нахождению оптимальных способов решения тематического теста «Решение уравнений второй степени с одной переменной»

Неполные квадратные уравненияПо теореме ВиетаПо свойству коэффициентовПо формулам 1. а+в+с=02. а+с=в Количество заданий32438 № заданий1,2,34,56,8,10,157,9,1112,13,14,16,17,18,19,20 №УравнениеСпособ решенияВспомогательная работаОтвет 14х2-100=0Разложение на множители4(х-5)(х+5)=0Х1=5; х2=-5 28х2+13х=0Разложение на множителиХ(8х+13)=0Х1=0; х2= — 33х2-48=0Разложение на множители3(х-4)(х+4)=0х1=4; х2= — 4. 4х2-7х+12=0Теорема Виетах1+х2 =7; х1.х2 = 12х1=4; х2= 3 5х2-5х+6=0Теорема Виетах1+х2 =5; х1.х2 = 6х1=2; х2=3 6157х2-153х-4=0Свойство 1х1=1; х2=с/ах1=1; х2= -4/157 7232х2+229х-3=0Свойство 2х1= -1; х2= — с/ах1= -1; х2=3/232 8176х2-171х-5=0Свойство 1х1=1; х2=с/ах1=1; х2= -5/176 9254х2+259х+5=0Свойство 2х1= -1; х2= — с/ах1= -1; х2= -5/254 10134х2-131х-3=0Свойство 1х1=1; х2=с/ах1=1; х2= -3/134 112х2+3х+1=0Свойство 2х1= -1; х2= — с/ах1= -1; х2= -1/2 153х2-х-2=0Свойство 1х1=1; х2=с/ах1=1; х2= -2/3

С применением метода «Переброски», решены оставшиеся задания № 12,13,14,16,17,18,19,20 123х2-13х+4=0Переброска: 3х=уу2-13у+12=0, свойство 1 у1=1, у2=12х1=1/3; х2= 4 133х2-11х+6=0Переброска: 3х=уу2-11у+18=0, теорема Виета у1=9, у2=2х1=3; х2= 2/3 142х2-3х-2=0Переброска: 2х=уу2-3у-4=0, свойство 2 у1= -1, у2=4х1= -1/2; х2=2 164х2-9х+2=0Переброска: 4х=уу2-9у+8=0 свойство 1 у1= 1, у2=8х1= 1/4; х2=2 172х2-9х-5=0Переброска: 2х=уу2-9у-10=0, свойство 2 у1= -1, у2=10х1= -1/2; х2=5 182х2-7х+3=0Переброска: 2х=уу2-7у+6=0 свойство 1 у1= 1, у2=6х1=1/2; х2=3 193х2-7х+2=0Переброска: 3х=уу2-7у+6=0 свойство 1 у1= 1, у2=6х1=1/3; х2= 2 202х2-11х+5=0Переброска: 2х=уу2-11у+10=0 свойство 1 у1= 1, у2=10х1=1/2; х2= 5

Для сравнения: на одно задание теста с № 6 по 10 с большими коэффициентами, при решении с помощью формул уходит примерно 8 минут,(без применения калькулятора и таблицы квадратов) тогда как на решение всех 20 заданий с применением других методов ушло 20 минут, т.е. по1 минуте на уравнение. Неполные квадратные уравненияПо теореме ВиетаПо свойству коэффициентовПо формулам 1. а+в+с=02. а+с=в Количество заданий сразу выполненных без формул32438 № заданий1,2,34,56,8,10,157,9,1112,13,14,16,17,18,19,20 С применением переброски-1312,18,19,2016 Итого33860

Выводы: Развитие науки о решении квадратных уравнений прошло длинный и тернистый путь. Только после трудов Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара, Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид. Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры, они играют огромную роль в развитии математики. Знание способов решения квадратных уравнений позволит мне выбирать рациональный в каждом конкретном случае, сэкономит время решения при применении свойств коэффициентов или теоремы Виета.

Список литературы 1. Макарычев Ю.Н.,Миндюк Н.Г., Нешков К.И.,Алгебра, 8 кл.,М., «Мнемозина». 2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы,с.83-84. Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83. 3. С.В.Шиловская, За страницами учебника (открытые уроки, математические кружки, подготовка к олимпиадам),-М: Глобус,2008,с.76-82. 4. Литвинова С.А., Куликова и др. За страницами учебника (открытые уроки, математические кружки, подготовка к олимпиадам), Решение алгебраических задач геометрическим методом, -М: Глобус,2008,с.35-38. 5. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста, М., «Педагогика»,1985. 6. Попова И.Н. Учебно- тренировачные и тематические тесты по математике, Базовый уровень. 9 класс. Государственная итоговая аттестация в новой форме.

Презентация на тему: 10 способов решения квадратных уравнений

10 способов решения квадратных уравнений

История развития квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне:Х2+Х=3/4 Х2-Х=14,5

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.Отсюда уравнение: (10+х)(10-х) =96или же:100 — х2 =96 х2 — 4=0 (1) Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Индии.ах2 + bх = с, а>0. (1)

Квадратные уравнения у ал – Хорезми.1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх. 2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с. 3) «Корни равны числу», т.е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх. 5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с. 6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

Квадратные уравнения в Европе ХIII — ХVII вв.х2 +bх = с,при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

О теореме Виета.«Если В + D, умноженное на А — А2, равно ВD, то А равно В и равно D».На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место(а + b)х — х2 = ab,т.е.х2 — (а + b)х + аb = 0,тох1 = а, х2 = b.

Способы решения квадратных уравнений. 1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.Решим уравнение х2 + 10х — 24 = 0. Разложим левую часть на множители:х2 + 10х — 24 = х2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2). Следовательно, уравнение можно переписать так:(х + 12)(х — 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х2 + 10х — 24 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.Решим уравнение х2 + 6х — 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так какх2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.Преобразуем теперь левую часть уравнениях2 + 6х — 7 = 0,прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:х2 + 6х — 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 — 32 — 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х + 3)2 — 16.Таким образом, данное уравнение можно записать так:(х + 3)2 — 16 =0, (х + 3)2 = 16.Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.Умножим обе части уравненияах2 + bх + с = 0, а ≠ 0на 4а и последовательно имеем:4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) — b2 + 4ac = 0,(2ax + b)2 = b2 — 4ac,2ax + b = ± √ b2 — 4ac,2ax = — b ± √ b2 — 4ac,

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет видх2 + px + c = 0. (1)Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x1 x2 = q, x1 + x2 = — pа) x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = — 3 0 и p= 8 > 0.б) x2 + 4x – 5 = 0; x1 = — 5 и x2 = 1, так как q= — 5 0; x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = — 1, так как q = — 9 № слайда 12

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.Умножая обе его части на а, получаем уравнениеа2х2 + аbх + ас = 0.Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

• Пример.Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнениеу2 – 11у + 30 = 0.Согласно теореме Виетау1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнениеx2 + b/a • x + c/a = 0. Согласно теореме Виетаx1 + x2 = — b/a, x1x2 = 1• c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,x1 + x2 = — а + b/a= -1 – c/a, x1x2 = — 1• ( — c/a),т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней В. Приведенное уравнениех2 + рх + q= 0совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х2 + px + q = 0перенести второй и третий члены в правую часть, то получимх2 = — px — q. Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

• Пример Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Ответ: х1 = — 1; х2 = 4

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.z2 + pz + q = 0. Криволинейная шкала номограммы построенапо формулам (рис.11):Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), Из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

• Примеры.1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12). 2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z2 — 9z + 2 = 0.Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнениеz2 — 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.3) Для уравнения z2 — 25z + 66 = 0коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнениеt2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.• Примеры.1) Решим уравнение х2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15). Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

у2 + 6у — 16 = 0.Решение представлено на рис. 16, где у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9. Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = — 8 (рис.16).