11 класс решение иррациональных уравнений задачи

Решение иррациональных уравнений. Математика. 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цели урока:

• ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения;
• создать условия контроля усвоения знаний и умений.

• совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации;
• развивать умение самостоятельно работать, контролировать и оценивать результаты своих действий;
• развивать творческий потенциал, мышление, познавательный интерес.

• содействовать повышению уровня математической культуры;
• воспитывать ответственное отношение к учебному труду;
• способствовать воспитанию коммуникабельности;
• тренировка памяти.

Тип урока: урок изучения и закрепления нового материала.

• тесты по теме;
• карточки для разноуровневой самостоятельной работы.
• презентация

Методы обучения: дифференцированный, репродуктивный, частично – поисковый. Тестовая проверка уровня знаний, самопроверка.

Формы организации труда: индивидуальная, фронтальная, групповая.

План урока:

1. Оргмомент.
2. Устные упражнения по повторению пройденного материала.
3. Изучение новой темы.
4. Закрепление.
5. Работа учащихся с тестами.
6. Самооценка.
7. Проверочная работа.
8. Домашнее задание.
9. Итог урока.

ХОД УРОКА.

I. Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока, краткий план урока. Слайд 1.

II. Актуализация опорных знаний.

Цель: приведение в систему знаний видов уравнений.

Задача: определить тип каждого из перечисленных уравнений, вспомнить алгоритм решения.

1. 5х –=+ 2х;
2. cos+ 1 = 0,5;
3. 0;
4. 2х +sin=3;
5. ;
6. ;
7. ;
8. .

III. Изучение нового материала.

Цель: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решений.

Последнее уравнение называется иррациональным, и на этом уроке вы познакомитесь различными методами решения таких уравнений. Тема эта актуальна, так как иррациональные уравнения традиционно встречаются в заданиях ЕГЭ, с их помощью легко диагностируются знания выпускников по таким понятиям, как равносильность уравнений и ОДЗ.

Итак, уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или дробной степени, называются иррациональными.

Задание: какие из следующих уравнений являются иррациональными:

1. ;
2. ;
3. ;
4. = 1,56 + x;
5. .

1. Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то и корень равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение корня положительно.
2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Напомним, что уравнение f 2n (x)=g 2n (x) является следствием уравнения f(x)=g(x). То есть возведение в четную степень обеих частей уравнения может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать этого, необходимо либо проверить подстановкой, удовлетворяют ли полученные корни исходному уравнению, либо ограничить ОДЗ значениями переменной, при которых обе части уравнения одного знака (неположительны или неотрицательны одновременно).

Основные способы решения иррациональных уравнений:

1. Решение без равносильных преобразований с проверкой.

2. Использование равносильных преобразований. Слайд 4.

1. или
2. .
3. 
4. 
5. 
6. .

Рассмотрим способы решения иррациональных уравнений.

1. Решение уравнения = 1 – х методом возведения в квадрат обеих частей уравнения.
() = (1 – х);

x 2 – 5x = 0.
Решив это уравнение, находим корни .

Проверка: если x = 0, то , 1 = 1 – верно;
если х = 5, то , 4 = 4 – неверно.
Ответ: 0.

2. Решение уравнения = 1 – х методом равносильных переходов:

Ответ: 0.

3. Решение уравнения = 1 – х графическим способом. Слайд 5.
В одной системе координат построим графики функций f(x) = и g(x) = 1 – х

Ответ: 0.

4. Решение уравнения = 1 – х с использованием теоремы о корне.

Так как функция f(x) = возрастает при , а функция g(x) = 1 – х убывает на множестве R, то по теореме о корне уравнение f(x) =g(x) имеет не более одного корня. Подбором находим, что x = 0.

IV. Закрепление.

Решить уравнение: 3– =7.

Найдем ОДЗ: .

Преобразуем уравнение: 3=+7.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то можно возвести в квадрат:

9(x+3) = x – 2 + 49 + 14, преобразуем уравнение, уединим радикал в правой части: 4x– 10 = 7. Чтобы обе части уравнения были неотрицательны, наложим ограничение: 4x – 100, т.е. x2,5, с учетом ОДЗ: x2,5. Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные: 16x2 – 129x + 198=0. Из его корней x1= 6 и x2 = условию x2,5 удовлетворяет х = 6.

V. Тренировочная работа по заданиям обязательного уровня.

Цель: формирование умений решать иррациональные уравнения способом возведения в степень по алгоритму. Развитие коммуникативной компетентности школьников.

Работа в группах по алгоритму с консультацией учителя. Слайд 6.

Алгоритм решения уравнений вида
n – четное	n – нечетное
1)уединить корень; 2) возвести обе части уравнения в степень n; 3)решить полученное уравнение; 4) выполнить проверку корней путем подстановки в исходное уравнение; 5)записать ответ.	1)уединить корень; 2)возвести обе части уравнения в степень n; 3)решить полученное уравнение; 4)записать ответ.

Вариант 1

А1. Решите уравнение

1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 4,5

А2. Найдите сумму корней уравнения .

А3. Какому из промежутков принадлежит корень уравнения

Вариант 2

А1. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения .

1) (– 2; 0); 2) ( 0; 2); 3) (2; 4); 4) (3; 6)

А2. Укажите промежуток, которому принадлежат нули функции у = .

А3. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения .

Вариант 3.

А1. Найдите сумму корней уравнения .

А2. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения .

А3. Найдите среднее арифметическое корней уравнения .

Вариант 4

А1. Укажите промежуток, которому не принадлежат нули функции .

1) (– 2; 10]; 2) [1; 10); 3) [0; 1]; 4) (1; 3)

А2. Найдите произведение корней уравнения .

А3. Укажите промежуток, которому принадлежат все нули функции .

1) [4; 9]; 2) (4; 9]; 3) [4; 9); 4) (9; 12)

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Урок по алгебре 11 класс » Решение иррациональных уравнений»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

рассмотрены различные виды иррациональных уравнений и способы их решения

Скачать:

Предварительный просмотр:

по алгебре и началам анализа

Тема: Решение иррациональных уравнений.

Цель: Обобщение и систематизация ЗУН учащихся по теме «Решение иррациональных уравнений». Подготовка учащихся к ЕГЭ.

— Развивать внимание, логическое мышление, математическую речь.

— Воспитание чувство товарищества, взаимовыручки.

Оборудование: проектор, сигнальные кружки 4 цветов для каждого ученика, карточки — задания для проверочной работы, лист оценки деятельности учащегося.

Структура урока: всего 45 мин.

1. Орг.момент. Постановка цели урока. 2 мин
2. Активизация знаний. Устная работа с тестами. 5 мин
3. Фронтальная работа. Решение задач. 15 мин
4. Физкультминутка . 2 мин
5. Проверочная работа. 15 мин
6. Подведение итогов. 2 мин
7. Рефлексия. 3 мин

1. Орг.момент. Постановка цели урока.

Здравствуйте, ребята. Добрый день, уважаемые учителя, приглашаю Вас на урок алгебры по теме “ Иррациональные уравнения”.

Эйнштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Вот и мы займемся уравнениями, а точнее повторим тему «Решение иррациональных уравнений». А так как у нас урок повторения знаний, а цель каждого такого урока – это подготовка к ЕГЭ. Данная тема отражена в КИМах ЕГЭ. Поэтому девиз нашего урока «Готовимся к ЕГЭ». Обобщим знания по теме: “Иррациональные уравнения”. Повторим методы решения уравнений, алгоритмы решения этими методами.

Для того ,чтобы приступить к уроку повторим теорию:

1) Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)

2) Назовите основной способ решения иррациональных уравнений.

3) Для чего необходимо проводить проверку при решении уравнений.

3.Устная работа. Тест. ( слайд)

У каждого из вас на столах имеются сигнальные кружки 4 цветов. Они нам помогут в проведении теста на внимание.