11 класс тема логарифмические уравнения

Урок по теме: «Логарифмические уравнения»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Материал содержит разработку урока и презентацию

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конкурсный урок алгебры и начала математического анализа

Тема: Логарифмические уравнения

Класс: 11 МОУ «Гимназия №1»

Учитель: Умарова Г.К. МОУ «Кабаньевская СОШ»

-организовать деятельность учащихся по изучению новой темы;

— обеспечить закрепление новых понятий логарифмическое уравнение, методы решения логарифмических уравнений;

— научить учащихся решать логарифмические уравнения методом, основанным на определению логарифма, методом потенцирования;

— развивать умение анализировать, сопоставлять, делать выводы,синтезировать полученные знания и умения;

— воспитывать умение работать в парах; навык самооценки и взаимооценки.

Оборудование: мультимедийный проектор

Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика – интересный и очень нужный предмет. Наш урок я назвала уроком Красоты и гармонии. В вашем понимании, что такое красота? Что такое гармония?

Душой математики является красота и гармония. Я хочу, чтобы вы чувствовали эту красоту, и это чувство помогало вам в изучении такого замечательного предмета, как математика. О гармонии в математики, о ее красоте говорили очень многие. Об этом говорил и известный академик-геометр 20 века Александр Данилович Александров. Его слова является эпиграфом нашего урока:

Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.

Эти слова я бы полностью отнесла к теме, которую мы с вами рассматриваем сегодня.

Что использовали для выполнения данного задания? (определение логарифма)

а) log 3 x = 4 (х=81)

б) ) log 3 (7х-9)=log 3 x (х= 1,5)

Как иначе сформулировать 3 задание? (решите уравнение)

А как вы думаете, какие это уравнения? (логарифмические)

Запишем тему урока: «Логарифмические уравнения»

Давайте сформулируем цели урока.

Можете сформулировать определение логарифмического уравнения?

Объяснение нового материала

Записать на доске, поясняя

log а f(x) = log a g(x), где а-положит. число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Посмотрим, как вы нашли корень 1 уравнения

Чем пользовались? (определением)

Итак, выделим первый метод решения логарифмических уравнений, основанный на определении логарифма.

Общий вид такого уравнения . Это уравнение может быть заменено равносильным ему уравнением .

Давайте оформим решение уравнения 2.

log 3 (7x – 9) = log 3 x

Применение формул потенцирования расширяет область определения уравнения. Поэтому необходима проверка корней. Проверим найденные корни по условиям 7х-9>0

Для решения данного уравнения мы использовали метод потенцирования . Этот метод применяется для уравнений вида и сводится к решению уравнения f(x)=g(x), х должен удовлетворять решению системы.

Мы рассмотрели с вами 2 метода решения логарифмических уравнений. Какие? (по определению, метод потенцирования)

Каким методом будем находить корень уравнения? (по определению)

А) 8 б) 1/7 в) 0,09 г) 4

№17 (а,б) с комментированием. Каким методом будем решать?

А) log 0,1 (x 2 +4x-20)=0 б) log 1/7 (x 2 +x-5)=- 1

x 2 +4x-20=0,1 0 x 2 +x-5=1/7 — 1

x 2 +4x-20=1 x 2 +x-5=7

x 2 +4x-21=0 x 2 +x-12=0

x 1 +x 2 = -4 x 1 +x 2 = -1

x 1 *x 2 =-21 x 1 *x 2 =-12

x 1 =-7, x 2 = 3 x 1 =-4, x 2 = 3

Каким методом будем решать? (потенцирования)

А) 3х-6=2х-3 б)14+4х=2х+2

х=3 2х= — 12, х= — 6. корней нет

Вам предложены уравнения. Ваша задача решить эти уравнения и соотнести ответы с соответствующей буквой. В результате должно получиться слово. Обращаю ваше внимание, что уравнения взяты из демоверсий ЕГЭ, задание В3.

(конспект урока + презентация) урока алгебры для 11 класс «Логарифмические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ мой.docx

Алгебра и начала анализа

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. — 10-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009.

Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Г. Мишустина, П. В. Семенов, Е. Е. Тульчинская ] ; под ред. А. Г. Мордковича. — 10-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009.

Логарифмические уравнения (2 урок по теме)

Формы организации урока

Фронтальная, групповая(в парах), индивидуальная, дифференцированная

Доска (компьютер, часы)

раздаточные материалы (для работы в парах, самостоятельной работы)

Автор конспекта урока

Формирование умения решать различные логарифмические уравнения с использованием свойств логарифмов и общих методов решения уравнений.

Образовательная. Создать условия для отработки общих подходов к решению логарифмических уравнений:

а) действия с членами и частями уравнения

б) замена обозначения

в) разложение на множители части уравнения

г) метод подстановки при решении

Повторение: а) понятие уравнения – следствия

б) определение логарифма и его свойства

в) теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями.

Развивающая . Способствовать развитию математического языка, наглядно – образного мышления, коммуникативных умений учащихся

Воспитательная . Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.

Оборудование: ПК, карточки

I этап – Мотивационно – ориентировочный . Организационный момент (приветствие, психологический настрой на работу, постановка целей и задач урока).

II этап -Актуализация знаний . Устная работа.

III этап – основной . Работа над углублением материала темы «Логарифмические уравния».

IV этап — Самостоятельная работа . Разноуровневые учебные элементы (компьютерный вариант).

V этап — Подведение итога урока . Домашнее задание.

1. Организационный момент.

Ребята, сегодняшний урок пройдет немного в необычной обстановке. На уроке присутствуют гости, мои коллеги, учителя других школ. Давайте поприветствуем и начнем урок.

На предыдущем уроке мы с вами приступили к решению логарифмических уравнений. Рассмотрели решение ряда простейших логарифмических уравнений. Преодолели 1 уровень , идем дальше.

Тема нашего урока очень актуальна, мы с ней будем идти параллельно до итоговой аттестации в 11-м классе. Поэтому сегодня наша цель …(научимся решать различные логарифмические уравнения). Откройте тетради, запишите число . . . . . . . . . и тему урока.

2. Воспроизведение и актуализация опорных знаний через устную работу

— Поработаем устно (презентация) слайд1

— Что использовали для выполнения данного задания? (определение и свойства логарифмов)

1. Напоминание основных теоретических фактов

Ключом к решению логарифмических уравнений являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида ( ).

Вспомним основные свойства логарифмической функции. слайд15

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно возрастает, при монотонно убывает. Именно монотонность функции позволяет решать простейшие логарифмические уравнения, все остальные логарифмические уравнения сводятся к простейшим: слайд16

ОДЗ заданного уравнения определяется системой. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:

Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.

Имеем смешанную систему. Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.

Напомним методику решения простейших логарифмических уравнений:

Уравнять основания логарифмов;

Приравнять подлогарифмические функции;

Чтобы уравнять основания, следует воспользоваться свойствами логарифмов.

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь : слайд 17

1. Логарифм произведения:

(произведение может быть положительным если оба отрицательные числа, но исходя из правой части строго положительны)

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

4. Переход к новому основанию:

Пример 1 – решить уравнение:

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием:

Таким образом, мы уравняли основания логарифмов. Имеем:

Теперь имеем право приравнять подлогарифмические выражения:

Ответ:

Данное уравнение можно также решить на основании определения логарифма:

Пример 2 – решить уравнение:

Решим на основании определения логарифма:

Поскольку (как основание логаримфа), больше нуля, и выражение под логарифмом всегда больше нуля.

Решаем уравнение. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Разложим многочлен в левой части на множители способом группировки, первый член объединим со вторым, третий с четвертым:

Применим ко второй скобке формулу сокращенного умножения, а именно разности квадратов:

Учитывая ОДЗ, получаем ответ:

Рассмотрим уравнение, на примере которого в дальнейшем сможем избежать многочисленных типовых ошибок.

Пример 3 – решить уравнение:

Основания всех логарифмов одинаковы, в левой части стоит сумма логарифмов, согласно свойству имеем право преобразовать ее в логарифм произведения:

Необходимо учесть ОДЗ. Чтобы существовал каждый из заданных логарифмов, скобки , и должны быть строго положительны, тогда как после применения свойства произведение будет положительным, если обе скобки будут отрицательны, и новый логарифм будет существовать, но при этом исходный потеряет смысл.

Таким образом, имеем систему:

Учитывая ОДЗ, получаем ответ: .

Следующее логарифмическое уравнение сводится к совокупности двух простейших с помощью замены переменных.

Пример 4 – решить уравнение:

Преобразуем так, чтобы уравнять основания логарифмов:

Комментарий: преобразовано согласно формуле

В результате преобразований получили:

Получаем квадратное уравнение:

Согласно теореме Виета имеем корни:

Вернемся к исходным переменным:

Решаем каждое уравнение согласно определению логарифма:

Ответ: или

Итак, мы рассмотрели решение некоторых типовых логарифмических уравнений. Продолжим исследовать природу логарифмических уравнений.

Проблема. Как решать любые логарифмические уравнения?

4. Формирование умений и навыков

-Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом.

п о определению логарифма

=

уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

= log ₂(6-х)

метод введения новой переменной

l g 2 х — 6lgх+5 = 0.

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

1 Решаем вместе (у доски и в тетрадях)

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

Решите уравнение = log ₂(6-х)

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

= log ₂(6-х)

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Решите уравнение log ₁₆х+ log ₄х+ log ₂х=7

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

Решите уравнение log ₄(2х-1)∙ log ₄х=2 log ₄(2х-1)

1;16 – принадлежат ОДЗ

5. Проверка уровня восприятия изучаемого материала

— Перейдем к работе над следующем уровнем. 2 уровень включает все, что достигнуто на первом уровне, но в более сложном виде, то есть решать уравнения самостоятельно, выбирая метод решения.

(презентация и листы самоконтроля)

6. Подведение итога урока

заполните лист оценки ваших результатов, не забудьте указать метод или методы которые вызвали затруднения слайд29

Домашнее задание в приложении слайд 44

Ответим на проблемный вопрос

Как решать любые логарифмические уравнения?

Свести их к простейшим, применяя свойства логарифмов, схему и медоты решения логарифмических уравнений

«Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет

Пусть добрым будет ум у вас,

А сердце умным будет.»

Спасибо всем за урок.!

1. 2log 2 ₃ x – 3 log ₃ x -2 = 0 ОДЗ:

Ответ:

ОДЗ: :

3. ОДЗ:

Выбранный для просмотра документ презентация к уроку.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Приготовься к ответу на вопросы в автоматическом режиме показа слайдов До начала осталось секунд

Приготовься к ответу на вопросы в автоматическом режиме показа слайдов 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Проверка 12345678910 4-6-23/22/3242/33625

основные свойства логарифмической функции. Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

Простейшее логарифмическое уравнение

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь : 1. Логарифм произведения: (произведение может быть положительным если оба отрицательные числа, но исходя из правой части строго положительны) 2. Логарифм частного: 3. Логарифм степени: 4. Переход к новому основанию:

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. log16х = ¾ = =log2(6-х) lg2х — 6lgх+5 = 0. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ = =log2(6-х) lg2х — 6lgх+5 = 0. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ метод потенцирования = =log2(6-х) lg2х — 6lgх+5 = 0. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ метод потенцирования = уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. =log2(6-х) lg2х — 6lgх+5 = 0. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ метод потенцирования = уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. =log2(6-х) метод введения новой переменнойlg2х — 6lgх+5 = 0. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ метод потенцирования = уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. =log2(6-х) метод введения новой переменнойlg2х — 6lgх+5 = 0. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ метод потенцирования = уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. =log2(6-х) метод введения новой переменнойlg2х — 6lgх+5 = 0. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. log16х+ log4х+ log2х=7 Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Цели учебных уровней I уровень I I уровень I I I уровень Решать простейшие Решать уравнения Применять полученные логарифмические самостоятельно выбирая знания в нестандартных уравнения; метод решения; ситуациях Решать уравнения по заданному алгоритму.

Учебный элемент №3 Цель: закрепить навык решения логарифмических уравнений методом введения новой переменной: Задания самостоятельной работы (5 минут) I вариант I I вариант Указания учителя: проверьте и оцените свою работу. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали 2 балла, то переходите к следующему этапу. Если меньше, то прорешайте соответствующее задание другого варианта

Учебный элемент №4 Цель: закрепить навык решения логарифмических уравнений методом логарифмирования Задания самостоятельной работы (5 минут) I вариант I I вариант Указания учителя: если набрано 2 балла, то модно переходить к следующему учебному элементу. Если набрано меньше 2 баллов, то нужно прорешать уравнения другого варианта

Учебный элемент №5 Указания учителя: Теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Задания самостоятельной работы (10 минут) Решите уравнения I вариант I I вариант Указания учителя: проверьте и оцените свою работу. Исправьте ошибки, если они есть. Проставьте баллы в оценочные листы. Если набрали 5 баллов или больше, то переходите к следующему элементу. Если меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка

Подведем итоги урока. Подсчитали баллы в оценочном листе и выставили себе отметки в дневник по следующему критерию Если вы набрали 4 балла, то получаете отметку «3»; если от 9 баллов, то получаете отметку «4». Если набираете 12 баллов, то получаете отметку «5». Вы получили отметки, соответствующие уровню ваших знаний. Каждый из вас не должен останавливаться на достигнутом, а стремиться повысить математическую подготовку, чтобы успешно сдать ЕГЭ.

Оценочный лист учащегося Фамилия Имя учебные элементыколичество баллов за основные заданиякорректирующие заданияобщее количество баллов №3 №4 №5 Итоговое количество баллов отметка

РЕШЕНИЕ УЧЕБНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Учебный элемент №1 Вариант -I

Учебный элемент №1 Вариант -II

Учебный элемент №2 Вариант -I

Учебный элемент №2 Вариант -II

Учебный элемент №3 Вариант -I

Учебный элемент №3 Вариант -II

Учебный элемент №4 Вариант -I

Учебный элемент №4 Вариант -II

Учебный элемент №5 Вариант -I

Учебный элемент №5 Вариант -II

Домашнее задание Предмет: Алгебра и начала анализа Класс : 11 Тема: «Решение логарифмических уравнений» Дата_27.11.2015г. Ученика________________________________________________________ №Критерии задания 1Умение вычислять логарифмы; 2Умение преобразовывать выражения, содержащие логарифмы 3Умение применять основное логарифмическое тождество 4Умение решать логарифмические уравнения по определению 5Умение решать логарифмические уравнения методом потенцирования log 2(3x – 6) = log 2(2x – 3) 7Умение решать логарифмические уравнения методом введения новой переменной lg 2 х2 + lgx2 – 6 = 0 8Умение решать задачи с прикладным содержанием с помощью логарифмических уравнений ЕГЭ №7, №11

Выбранный для просмотра документ приложение.doc

Предмет: Алгебра и начала анализа

Тема: «Решение логарифмических уравнений»

Умение вычислять логарифмы;

Умение преобразовывать выражения, содержащие логарифмы

Умение применять основное логарифмическое тождество

Умение решать логарифмические уравнения по определению

Умение решать логарифмические уравнения методом потенцирования

Умение решать логарифмические уравнения методом введения новой переменной

lg 2 х 2 + lgx 2 – 6 = 0

Умение решать задачи с прикладным содержанием с помощью логарифмических уравнений

Выбранный для просмотра документ самоанализ.docx

Уважаемые коллеги Вашему вниманию был представлен урок на тему решение «Логарифмические уравнения» (второй урок по теме) из раздела «Логарифмы».

Считаю, что урок способствовал достижению основной поставленной цели: — Формирование умения решать различные логарифмические уравнения с использованием свойств логарифмов и общих методов решения уравнений.

А также урок способствовал реализации поставленных мной задач, которые сформулированы с учетом задач предыдущих и последующих уроков:

Образовательная. Создать условия для отработки общих подходов к решению логарифмических уравнений:

а) действия членами и частями уравнения

б) замена обозначения

в) разложение на множители части уравнения

г) метод подстановки при решении

Повторение: а) понятие уравнения – следствия

б) определение логарифма и его свойства

в) теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями.

Развивающая . Способствовать развитию математического языка, наглядно – образного мышления, коммуникативных умений учащихся

формирование коммуникативных навыков в учебном диалоге

развитие логического мышления учащихся;

развитие познавательного интереса, речи и внимание школьников;

Воспитательная . Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.

Помочь учащимся осознать ценность коллективной деятельности.

— активизация познавательных способностей учащихся

Цель и задачи урока определили тип урока комбинированный . и его структуру:

I этап – Мотивационно – ориентировочный . Организационный момент (приветствие, психологический настрой на работу, постановка целей и задач урока).

II этап -Актуализация знаний . Устная работа.

III этап – основной . Работа над углублением материала темы «Логарифмические уравния».

IV этап — Самостоятельная работа . Разноуровневые учебные элементы (компьютерный вариант).

На уроке был применены наглядные средства: презентация, содержащая основные понятия, задания и др. моменты урока, дополнительные материалы и задания.

Применялись следующие методы:

а) методы организации и осуществления учебной деятельности

словесные — беседа (ответы на вопросы), рассказ (объяснение учителя);

наглядные (презентация с необходимыми схемами, опорными определениями)

б) методы стимулирования и мотивации учения –

метод стимулирования и мотивации интереса к учению: занимательное задание устного счета, идея освоения уровня Для чего было выбрано это задание? Оно оживило учебный процесс на уроке, позволило повысить интерес ребят к изучаемой теме,

в) метод контроля и самоконтроля (выполнение заданий учебных элементов, здесь же самоконтроль – учащиеся видят результат, анализ ошибок)

Использование учебных уровней является рациональным дополнением к методам проверки знаний, умений и навыков учащихся.

Самостоятельное преодоление учебных уровней — одно из средств индивидуализации в учебном процессе, т.к. учитывает психологические особенности учащихся, мешающие их успешной деятельности. Разноуровневый контроль знаний позволяет проверить значительный объем изученного материала.

Систематическое использование такого рода заданий формирует у учащихся дисциплинированность и стремление к самостоятельности в усвоении программного материала.

В своей работе я руководствуюсь трехмерной моделью систематики форм организации обучения:

внутренние формы организации обучения (занятие по углублению и совершенствованию ЗУНов, (комбинированная форма организации обучения.)

общие формы организации обучения (взаимодействия в системе «учитель-ученик», «ученик-ученик») – фронтальная, парная.

В процессе обучения реализованы следующие дидактические принципы: доступности, систематичности и последовательности, связи с жизнью, активности, наглядности.

Я считаю, что на уроке были реализованы цели и задачи, поставленные мною. А именно: совершенствованы знания учащихся об общих подходах к решению уравнений , выработаны умения решать различные логарифмические уравнения.

Домашнее задание я дала учитывая объем пройденного материала на уроке и для подготовке к ЕГЭ учащихся: задания7,11. Данное задание позволяет не только повысить интерес к предмету, но и пополнить методическую копилку учителю.

Наиболее удачные моменты:

— реализован принцип учета индивидуальных особенностей уч-ся;

дети справились заданиями.

Наряду с отмеченными с удачными моментами, необходимо указать и на недостатки:

недостаточное внимание уделялось мной исправлению речевых ошибок во время ответов учащихся и требованию полных ответов, что обусловлено дефицитом времени;

В целом я довольна уроком. Думаю, что и учеников заинтересовал сегодняшний урок, и они ушли с урока не только с полученными ЗУНами, но и с хорошим настроением, желанием использовать полученные ЗУНы на практике. А это самое главное для любого учителя!

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).