11 класс уравнения и их системы

Системы уравнений. Способы их решения. 11 класс
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

В презентации рассматриваются способы решения систем уравнений:

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Способы решения Системы уравнений

Системы уравнений с двумя переменными. Определение: Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Способы решения: Способ подстановки Способ сложения Графический способ Способ замены

Способ подстановки Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение. Решить получившееся уравнение с одной переменной. Найти соответствующее значение второй переменной.

Пример: Решим систему уравнений: 1. Выразим из первого уравнения y через x : y=7-3x . 2. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-3х , получим систему: 3. В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение: 14-6х-5х=3, -11х= -11, х=1. 4. Подставим в равенство у=7-3х вместо х число 1 , найдём соответствующее значение у : у=7-3 1, у=4. Пара (1;4) – решение системы (1).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Способ сложения Умножьте почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Сложите почленно левые и правые части уравнений системы. Решите получившееся уравнение с одной переменной. Найдите соответствующее значение второй переменной.

Пример: Решим систему: 1. Умножим все члены первого уравнения на — 2 : уравнение оставим без изменений, то коэффициенты при в полученных уравнениях будут противоположными числами: 2. Т П очленно сложим и получим уравнение с одной переменной : -29у=58 . 3. Из этого уравнения находим, что у=58/(-29)= -2 . 4. Подставив во второе уравнение вместо у число -2 , Найдём значение х : 10х-7*(-2)=74 , 10х=60 , х=6 . Ответ : х=6 , у= -2

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Графический способ Построить график функции, заданной первым уравнением системы. Построить график функции, заданной вторым уравнением системы. Определить координаты точек пересечения графиков функций.

Пример : Решим систему уравнений: 1. Построим график линейной функции 2х+3у=5 . Её графиком является прямая АВ . 2. Построим график линейной функции 3х-у=-9 . Её графиком является прямая С D . 3. Графики пересекаются в точке К(-2;3). Значит, система имеет Единственное решение: х= -2, у=3 3 -2 К y x D C A B 0

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Способ замены Пример : Решим систему Сделаем замену: Получим систему: Разложим левую часть второго уравнения на множители: — и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй: Подставляя во второе уравнение значение b , найденное из первого приходим к уравнению , т.е. Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и . Соответствующие значения b таковы: и . Переходим к переменным х и у. Получаем: , т.е. , , , . Ответ:(1;27), (27;1).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Системы показательных уравнений Пример : Решим систему уравнений Из второго уравнения системы находим 2х-у=1 , откуда у=2х-1 . Подставляя вместо у в первое уравнение выражение 2х-1 получим , откуда . Обозначим , получим квадратное уравнение . Находим корни этого уравнения: . Уравнение замены решений не имеет. Корнем уравнения является число х=2 . Соответствующее значение у=3 . Ответ :(2;3).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Системы логарифмических уравнений Пример : Решим систему уравнений Первое уравнение системы равносильно уравнению у-х=2 , а второе – уравнению , причём х > 0 и у > 0 . Подставляя у =х+2 в уравнение , получим х(х+2)=48 , откуда ,т.е. х= -8 или х=6 .Но так как х >0 , то х=6 и тогда у=8 . Итак, данная система уравнений имеет одно решение: х=6, у=8 . Ответ: (6;8).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения»

Методическая разработка обобщающего урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения. Углубленное изучение свойств «квадратных уравнений». Урок -презентация.

урок в 9 классе по алгебре «Основные понятия. Графический способ решения системы уравнений с двумя переменными»

урок с применением технологии деятельностного подхода.

Урок алгебры 8 класс. Тема «Квадратные уравнения. Способы их решения.»

Презентация к уроку обобщения и закрепления ранее изученного материала по теме «Квадратные уравнения&quot.

Методическая разработка урока алгебры в 7 классе «Различные способы решения систем линейных уравнений» способы решения систем уравнений

Урок алгебры в 7 классе направлен на обобщение и систематизацию различных способов решения систем уравнений: метода сравнения, сложения, подстановки, графического метода, метода Крамера, выбора рацион.

Решение систем линейных уравнений способом сложения. 7 класс.

Графический способ решения системы уравнений. 9 класс

Цель урока: овладеть умением решать системы уравнений с двумя переменными, используя графические представления.

План-конспект урока «Системы уравнений. Основные способы их решения», 9 класс

План-конспект урока с технологической картой.

Конспект урока 11 класс «Решение показательных уравнений и систем уравнений».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: «Решение показательных уравнений и систем уравнений».

Цель: 1. Систематизировать виды показательных выражений,

рассмотреть способы решений уравнений и систем уравнений.

Научить систематизировать показательные уравнения и их системы.

Развить умение применять алгоритмы решений показательных уравнений к различным видам уравнений и их систем.

Воспитывать ответственное отношение к изучаемой теме.

Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

Повторение и закрепление пройденного материала.

ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых заданий).

Устный фронтальный опрос по теме «Показательная функция».

В.1. Какая функция называется показательной?

(ответ: Функция вида у = а х , где а о, а ≠ 1, х — переменная, называется показательной функцией).

В.2. Почему основание а не должно быть равным 1 (а ≠ 1)?

(ответ: т.к при а=1 степень а х при любом значении х равнялась бы 1 и тогда она не зависела бы от х).

В.3. Почему основание а должно быть обязательно положительным (а о)? (ответ: т.к. при а о степень а х для многих значений х не была бы действительным числом. Например а = — 5, , то а х будет , что не является действительным числом).

В.4. Какое число берётся из всех значений, если х равен дроби, а х означает корень некоторой степени?

(ответ: берётся только одно арифметическое значение, т.е. неотрицательное число).

В.5. Повторить свойства:

m =

Изучение нового материала

Определение: Показательным уравнением называется уравнение котором неизвестное Х входит только в показатель степени при некоторых постоянных основаниях.

а) 2 х = ; б) х = ; в) 3 х+1 + 3 х = 108

Способы решения показательных уравнений

Способ приведения к общему основанию

1) обе части уравнения приводим к одинаковому основанию;

2) приравниваем показатели степеней левой и правой частей уравнения, в результате чего получаем уравнение, способ решения которого известен;

3) Решаем полученное уравнение;

4) с помощью проверки определяем, какие из полученных значений переменной являются корнями данного показательного уравнения.

ПРИМЕР: 27 х = ;

1. Обе части уравнения приводим к основанию 3 (3 3 ) х =3 — 4

2. Приравниваем показатели 3х = — 4

3. Решив полученное уравнение имеем Х= —

4. Проверим:

=

=

Ответ: —

Способ введения новой переменной

Делаем замену переменной, приводящую к алгебраическому уравнению;

Решаем полученное алгебраическое уравнение;

Найденные значения корней алгебраического уравнения подставив в равенство, определяющее замену;

Найдём корни полученного уравнения;

С помощью проверки определяем, какие из этих корней являются корнями данного показательного уравнения.

ПРИМЕР: 3 2х+5 = 3 х+2 + 2

3 2х * 3 5 = 3 х * 3 2 +2

(3 х ) 2 * 243 = 3 х *9+2

243у 2 – 9*у-2 = 0 решив это уравнение, имеем

у ₁ = ; у ₂ = —

не может быть 3 х 0.

берём только у = 3 х = 3 х = 3 -2 х = -2

Используется в тех случаях, когда в показательном уравнении а х = в, число В нельзя представить в виде степени числа а. Для решения уравнения на одной координатной плоскости строят графики функций у=а х и у=в. Абсциссы точек пересечения графиков указанных функций будут решениями данного показательного уравнения.

Решение системы показательных уравнений.

умножим обе части второго уравнения на 2

+ почленно сложим уравнения

5 * =

2 х =

2 х = х=2 –подставим во второе уравнение системы

;

— ;

— ;

;

Первое уравнение почленно умножим на второе

(2 * 3) х+у =

=

у = 3 – х подставим в первое уравнение:

* = 12

= 12

= 12

х = 12

( ) х =

( ) х = ( ) 2

х = 2, у = 3 – 2 = 1. Ответ: (2;1)

Решение показательных уравнений, требующие применения различных алгебраических приёмов преобразования уравнений.

— 3 * — 10 * = 4

— можно вынести за скобки

* — * * 3 – 10 * = 4

( ) = 4

* 100 = 4

= —

Сгруппируем члены уравнение, содержащие степени числа 3, в левой части, а члены, содержащие степени числа 2, — в правой.

+ = +

+ = +

* (3+1) = * (1+ )

* 9

* = * разделим обе части этого уравнения на правую часть

= 1 по свойствам степени

= 1

= 1

= 1

( = ( ) 0

х — = 0

х =

Уравнение, решаемые разложением на множители

* * = 5400

* * = * *

Разделим обе части уравнения на его правую часть, получим

= 1 по свойствам степеней

* * = 1

* * = 1

= 90 0

Уравнения, содержащие помимо показательных другие функции.

2 *

Перенесём все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и вынесем общие множители за скобки и имеем:

2 * = 0

(2 * + (1- ) = 0

2 * ( ) = 0

( ) * (2 ) = 0

т.к. произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.

= 0 или 2 = 0

2

=

х = 0 х = (-1) n arcsin + π n ,

х = (-1) n π n , n € z

Есть показательные уравнения, в которых для решения приходится вводить две новые переменные.

+ ² — 2 *

( ) 2 + ( ) 2 – 2 * * = 0

= а

получаем

а 2 + b 2 – 2 а b = 0

по формуле сокращенного умножения

(а — b ) 2 = 0 следовательно а = b

т.е. =

Уравнения, решаемые с помощью их специфики.

7 х + 24 х = 25 х

Можно угадать, что корень уравнения равен 2.

х = 2, действительно 7 2 + 24 2 = 25 2

Разделим все члены уравнения на его правую часть, получим

( ) х + ( ) х = 2

Функции ( ) х и ( ) х убывающие, т.к. основания меньше 1.

Сумма этих функций является функцией убывающей. Поэтому по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение. у

Уравнения, решаемые графически.

3 у ₂

построим график функции у ₁ = и у ₂ = у ₁ х

Видно, что графики этих функций пересекаются 2

в единственной точке А, абсцисса х = 2 которой

является решением данного уравнения.

Закрепление новой темы. Решить в классе упр.596,598,600,602(нечетные)

11 класс уравнения и их системы

Пример 5. Решите уравнение 3у + у 2 = у.
Решение:
3у + у 2 = у – неполное квадратное уравнение; у 2 + 3у – у = 0;
у 2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

x 2 – 5х = – 6 или х 2 – 5х = 36;
х 2 – 5х + 6 = 0 или х 2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = – 4, х₄ =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.