12 системы уравнений и неравенств решение системы

Системы уравнений и неравенств

Если какие-либо уравнения или неравенства объединены фигурной скобкой в систему, то предполагается, что они должны быть выполнены одновременно, т.е. решениями системы могут быть только такие значения неизвестных, которые удовлетворяют всем уравнениям и неравенствам, входящим в систему.

Если система уравнений или неравенств имеет решения, то говорят, что она совместна, если она решений не имеет, то — несовместна.

Системы называются равносильными, если множества их решений совпадают. Основу решения системы составляют равносильные преобразования входящих в нее уравнений и неравенств. Поскольку система включает, как правило, не одну неизвестную величину, а две, три и, возможно, больше, то для исключения неизвестных и приведения системы к уравнениям и неравенствам с одной неизвестной используют такой прием как подстановка. Если из одного уравнения можно выразить одну неизвестную через другую, а затем подставить ее в другое уравнение, то это хороший способ решения, нужно только помнить об ограничениях. Однако это нелегко сделать сразу, требуются дополнительные преобразования.

Можно складывать и вычитать уравнения системы с целью исключения одной из неизвестных. Решение системы записывается следующим образом: если в системе две неизвестных х и у, то (х; у), если три неизвестных х, у, z, то (х; у; z) и т. п. В системах, так же как и в уравнениях, используются разложение на множители, замена переменных.

Умение решать системы важно при решении текстовых задач и часто является наиболее трудоемкой частью решения.

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Система неравенств. Решения системы

Системой неравенств называется совокупность неравенств, для которых нужно найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем неравенствам системы.

Значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем уравнением системы называются решениями системы.

Примеры систем неравенств:

Системы неравенств могут состоять из двух и более неравенств и содержать одну и более переменных. Система неравенств может не иметь решений, иметь несколько решений, иметь бесконечное множество решений.

В школьной программе изучаются системы, содержащие одну переменную.

Для решения различных видов систем разработано много различных методов решения, но в рамках школьного курса рассматривается один самый простой метод. Он заключается в том, что мы решаем каждое неравенство в отдельности, а затем все полученные решения пересекаем на координатной оси.

Примеры решения систем неравенств.

1. Решить систему неравенств

Решим первое неравенство:

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Системы неравенств: определение, виды, примеры решения

Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.

Определение системы неравенств

Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2 · x − 3 > 0 и 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:

2 · x — 3 > 0 , 5 — x ≥ 4 · x — 11

Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.

Основные виды системы неравенств

Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:

• количество неравенств системы;
• количество переменных записи;
• вид неравенств.

Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.

2 · x — 3 > 0 , 5 — x ≥ 4 · x — 11

Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.

x ≥ — 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 — x 2 — 4 · y 2

Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.

Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: x , y , z . Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 и 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.

При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:

544 — 4 — x 32 — 2 — x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.

Решение системы неравенств

Решение системы неравенств с одной переменной – это значение переменной, которое обращает каждое неравенство заданной системы в верное числовое неравенство, то есть будет являться решением каждого имеющегося неравенства.

Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.

x > 7 , 2 — 3 · x ≤ 0

Если значение х = 8 , то решение системы очевидно, так как выполняется 8 > 7 и 2 − 3 · 8 ≤ 0 . При х = 1 система не решится, так как первое числовое неравенство во время подстановки имеет 1 > 7 . Таким же образом решается система с двумя и более переменными.

Решение системы неравенств с двумя и более переменными называют значения, которые являются решением всех неравенств при обращении каждого в верное числовое неравенство.

Если х = 1 и у = 2 будет решением неравенства x + y 7 x — y 0 , потому как выражения 1 + 2 7 и 1 − 2 0 верны. Если подставить числовую пару ( 3 , 5 , 3 ) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 0 .

При решении системы неравенств могут давать определенное количество ответов, а могут и бесконечное. Имеется ввиду множество решений такой системы. При отсутствии решений говорят о том, что она имеет пустое множество решений. Если решение имеет определенное число, тогда множества решений имеет конечное число элементов. Если решений много, тогда множество решений содержит бесконечное множество чисел.

Некоторые учебники дают определение частного решения системы неравенств, которое понимается как отдельно взятое решение. А общим решением системы неравенств считают все его частные решения. Такое определение используется редко, поэтому говорят «решение системы неравенств».

Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.