13 способов решения квадратных уравнений исследовательская работа

Исследовательская работа «Различные способы решения квадратных уравнений»

Исследовательская работа по теме «Различные способы решения квадратных уравнений». В данной работе одно уравнение решено 13 способами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

2.История развития теории и практики решения квадратных уравнений. 6

3.Способы решения квадратных уравнений……………………………. 8

4.Тренировочные задания для отработки различных способов решения квадратных уравнений…………………………………………………….. 21

Практически все, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).

На уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цель работы: выявитьспособы решения уравнения второй степени и рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

1)Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений.

2)Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений.

3)Показать применение данных способов при решении уравнений

4)Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов.

Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.

Объект исследования: квадратные уравнения .

Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени .

Уравнения — это наиболее объёмная тема всего курса математики.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.В него вошли как известные намиз школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.

1. Квадратные уравнения.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причём, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а — первый или старший коэффициент; b — второй или коэффициент при х; с — свободный член, свободен от переменной х.

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1. х²+рх+q=0 — стандартный вид приведенного квадратного уравнения

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Обратите внимание: об ах² речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 — это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство.0=0.

Решить квадратное уравнение — это значит найти все его корни или установить, что их нет.

2. История развития теории и практики решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям.

Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра?

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37.», — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес.

В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) — собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax 2 = c и ax 2 + bx = c и привел методы их решения.

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

3. Различные способы решения квадратных уравнений.

Способ 1. Решение квадратных уравнений по формуле.

Корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 можно найти по формуле

, где выражение b 2 — 4ac= D называется дискриминантом.

1. В случае положительного дискриминанта, т.е. при b 2 — 4ac>0, уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 — 4ac = 0 , то уравнение имеет один корень x= .

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 — 4ac , квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Даннаяформула корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.

Способ 2. Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

Если второй коэффициент уравнения b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде

Приведенное уравнение х 2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид

Формулу удобно использовать, когда р — четное число.

Способ 3. Метод выделения полного квадрата.

Научно — исследовательская работа по математике на тему «Различные способы решения квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя школа №12

городского округа город Выкса Нижегородской области

Различные способы решения квадратных уравнений

Естественно – научное отделение

Ученица 9 класса

Беспалова Галина Алексеевна

городской округ г. Выкса

Глава 1. Обзор литературы

1.1 История развития квадратных уравнений……………………………. 6

1.1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………………………. 6

1.1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………6

1.1.3 Квадратные уравнения в Индии……………………………………………7

1.1.4 Квадратные уравнения ал- Хорезми ……………………………………. 8

1.1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII в.в………………. 9

Глава 2. Материалы и методы исследования

Способы решения квадратных уравнений ………………………. 12

Разложение левой части уравнения на множители………………. 12

Метод выделения полного квадрата.……………………….……. 13

Решение квадратных уравнений по формулам …………………..…… 13

Решение уравнений с использованием теоремы Виета……………. 14

2.1.5 Решение уравнений способом «переброски»…………………………. 16

2.1.6 Свойства коэффициентов квадратного уравнения……………………. 17

2.1.7 Графическое решение квадратного уравнения……………………..…. 17

2.1.8 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки……. 19

2.1.9 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы…………….21

2.1.10 Геометрический способ решения квадратных уравнений……………..22

2.2. Исследование. Решение квадратных уравнений учащимися 9,11 классов……………………………………………………………………………23

Глава 3. Результаты и их обсуждения…………………………………………..24

Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Изучив решение квадратных уравнений, мне захотелось узнать, можно ли еще другими способами решить уравнение и в дальнейшем использовать различные способы при решении уравнений.

Цель работы : изучить способы решения квадратного уравнения, которые мы не изучаем на уроке. Научиться использовать эти способы.

Для достижения поставленной цели были намечены следующие задачи:

Изучить историю развития квадратных уравнений.

Найти информацию о способах решения квадратного уравнения.

Решить квадратное уравнение различными способами и выяснить, какой способ удобен для решения этого уравнения.

При решении сформулированных задач была изучена специальная литература, собрана информация статистических данных для последующего использования в работе, проведено исследование по решению квадратного уравнения учащимися 9 и 11 классов с целью выявления различных способов решения квадратного уравнения.

Результаты исследований показали, что учащиеся используют при решении квадратных уравнений методы, изученные по школьной программе.

Я считаю эту тему актуальной, т. к. она может пригодиться нам не только во время обучения в школе, а впоследствии и в ВУЗе, и на протяжении всей жизни.

Описание новизны и практической значимости : решение одного квадратного уравнения несколькими способами и выбор более рационального способа.

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомились с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывали их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие способы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные способы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому я выбрала тему исследования, связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «Различные способы решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 10-11 классах, и при сдаче ОГЭ и ЕГЭ.

Цель работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться применять их при решении и выбрать наиболее рациональныйспособ решения.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

— изучить историю развития квадратных уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

— выявить наиболее рациональные способы решения квадратных уравнений;

— научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Предмет исследования : способы решения квадратных уравнений.

Теоретические: изучение литературы по теме исследования;

Анализ: информации, полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение: способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Гипотеза: существуют различные рациональные способы решения квадратных уравнений

Глава 1. Обзор литературы.

1.1 История развития квадратных уравнений .

1.1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне .

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.1.2 Квадратные уравнения в Греции или как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 — х . Разность между ними 2х .

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхатой. Другой индийский ученый, Брахмагупта ( VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + b х = с, а> 0.(1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

« Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис.).

Соответствующее задаче уравнение:

Бхаскара пишет под видом: х 2 — 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого

уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем: х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

1.1.4 Квадратные уравнения ал — Хорезми.

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача . «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

(подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII в.в.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из

« Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII .

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.1.6. О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A — A 2 , равно BD , то A равно В и равно D ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

13 способов решения квадратных уравнений исследовательская работа

Главная
• Список секций
• Математика
• СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Актуальность данного исследования определяется тем, что решение многих практических задач в области физики, техники и информационных технологий сводится к решению квадратных уравнений. В школьном курсе математики изучаются виды квадратных уравнений, способы их решения. Как правило, корни квадратного уравнения учащиеся находят с помощью формул корней квадратного уравнения или применяют теорему Виета и обратную ей теорему.

Проблема: отсутствие навыков решения квадратных уравнений различными способами у некоторых учащихся мешает им успешно подготовиться к итоговой аттестации по математике и математическим олимпиадам, дальнейшему обучению в профильном математическом классе.

Цель работы: изучение известных способов решения квадратных уравнений и выявление наиболее рациональных из них для практического применения.

Исходя из поставленной цели, в работе определены следующие задачи:

— изучить литературу и Интернет-ресурсы по данной теме;

— познакомиться с историческими фактами решения квадратных корней;

— описать различные способы решения квадратных уравнений и алгоритмы вычислений, сравнить степень сложности каждого из них;

— познакомить одноклассников со способами решения квадратных уравнений, которые не изучаются в школьной программе по математике.

Объект исследования – квадратные уравнения.

Предмет исследования – способы решения квадратных уравнений.

Гипотеза: кроме общеизвестных способов решения квадратных уравнений существуют другие способы решения, которые могут иметь практическое применение.

Методы исследования:

— библиографический метод (анализ литературы по теме исследования);

— метод классификации и метод качественного анализа.

Теоретическая значимость исследования состоит в систематизации способов решения квадратных уравнений и описании их алгоритмов.

Практическая значимость – предъявленный материал по данной теме и разработанная памятка «Способы решения квадратных уравнений» могут быть использованы для практического применения в учебном процессе.

1.1 Понятие квадратного уравнения

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида

ах 2 + bх + с = 0, где коэффициенты а, b и с – любые действительные числа, причём, а ≠ 0[8,143].

Многочлен ах 2 + bх + с называют квадратным трёхчленом, где а – первый или старший коэффициент; b– второй или коэффициент при х, с– свободный член. Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Определение 2. Квадратное уравнение называют приведённым, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведённым, если старший коэффициент отличен от 1. х²+рх+q=0 – стандартный вид приведённого квадратного уравнения [8,143].

Кроме приведенных и неприведённых квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах²+bх+с = 0 называют значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль. Такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно много различных способов решения квадратного уравнения, начиная с методов математиков далекой древности (метода Евклида – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях) и заканчивая способами решения уравнений сложных степеней из разделов высшей математики.

Исторические сведения о квадратных уравнениях. (Приложение 1)

В работе описаны различные способы решения квадратных уравнений. Среди них способы, выходящие за рамки школьной программы – способ, основанный на свойствах коэффициентов квадратного уравнения, решение уравнений способом «переброски», с помощью циркуля и линейки, а также с использованием номограммы и геометрический метод.

2. CПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

2.1 Разложение квадратного трехчлена уравнения на множители

С этим способом мы познакомились в школьном курсе алгебры 8 класса. Он основан на «способе группировки» при разложении многочленов на множители и позволяет достаточно быстро решать квадратное уравнение.

Вывод: способ не сложный и понятный, им может пользоваться любой учащийся.

2.2 Выделение полного квадрата

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена опирается на применение формулы сокращенного умножения:(a+b) 2 = a 2 +2ab +b 2 и(a–b) 2 = a 2 –2ab +b 2 .

Вывод: способ выделения полного квадрата требует знания формул сокращенного умножения и хороших вычислительных навыков (в случае, если коэффициенты рациональные числа).

2.3 Применение формул корней квадратного уравнения

Используя выделение полного квадрата для квадратного трехчлена уравнения ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 мы получим формулы, с помощью которых найдем корни уравнения x_1,2. Формула позволяет найти корни любого квадратного уравнения, в том числе приведенного и неполного. При этом необходимо учитывать число корней в зависимости от дискриминанта D = b 2 – 4ac, D > 0, два разных корня; D = 0, один корень; D 2 + px + q = 0. Эти соотношения имеют вид. По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней: а) если сводный член q приведенного уравнения положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р 2 + bx + c = 0, из левой части перенести второй и третий члены многочлена в правую часть, то получим: ax 2 = – (bx + c). Рассмотрим две функции: y= ax 2 и y = – (bx+c). График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи взаимного расположения графиков функций: пересечение двух графиков, два графика касаются, два графика не имеют общих точек. (Приложение 2)

Вывод: если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

2.6 Способ, основанный на свойствах коэффициентов квадратного уравнения

1 0 . Если a + b + c = 0, то x = 1, x = .

2 0 . Если a – b + c = 0, то x = – 1, x = –;

3 0 . Рассмотрим уравнение вида ах + ( + 1)х + a = 0; a0 и найдем его корни D =a + 2a+ 1 – 4a= a– 2a+ 1 = (a– 1),

Не нарушая общности можно считать, что перед нами квадратное уравнение с целыми коэффициентами (даже если бы коэффициенты были дробными, уравнение можно было бы свести к уравнению с целыми коэффициентами), т.е. если aZ и тогда a– 1> 0, а значит

Исследуя взаимосвязь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, мы заметили, что существуют квадратные уравнения, корни которых можно найти благодаря пониманию описанных гипотез.

2.7 Способ «переброски» первого коэффициента

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0,где а≠ 0.Домножим обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х=у/а. Уравнение у 2 +by+ас=0равносильно данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₂= у₁/а и х₁= у₂/а. При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».

Вывод: способ «переброски» привлекает своеобразным подходом в описании алгоритма решения уравнения. Вместе с тем данный способ вызывает затруднения в его понимании.

2.8 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, о котором рассказывается в Таблице XXII Четырехзначных математических таблиц, автор В.М. Брадис. Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения z 2 + рz + q = 0, по его коэффициентам определить корни уравнения[2,83].

Алгоритм решения и практическая часть решения уравнений описаны ниже. (Приложение3)

2.9 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Решим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0

с помощью циркуля и линейки (рисунок 1). Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х₁; 0 ) и D(х₂; 0), где х₁ и х₂–корни уравнения ах 2 +bх+с = 0, и проходит через точки А(0; 1)и С(0;c/a) на оси ординат. По теореме о секущих имеем OB∙OD = OA∙OC, отсюда OC=OB∙OD/OA=х_1,∙х₂/1=c/a. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, [10,34].

Итак:1) построим точки S (центр окружности) и A(0; 1); 2) проведем окружность радиусом SA; 3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения. При этом возможны три случая: а) два решения (рисунок 2,а); б) одно решение (рисунок 2,б); в) нет решений (рисунок 2,в). Практическая часть. (Приложение 5)

Вывод: очевидно, что этот красивый способ практически не применяется из-за геометрических построений и последующей проверки результатов решения.

2.10 Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Вот пример из «Алгебры» ал – Хорезми: х 2 +10х = 39. На сторонах квадрата со стороной х строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5. Площадь каждого прямоугольника равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют до нового квадрата, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них равна 2,5, а площадь 6,25. Площадь квадрата можно представить как сумму площадей: первоначального х 2 , четырёх прямоугольников , т.е. S = x 2 + 10x +25.

Из геометрического метода нахождения квадратных корней вытекает любопытнейший способ решения уравнений, основанный на выполнении различных действий с отрезками и позаимствованный из книги «Геометрия» великого французского ученого Рене Декарта (1596-1650). (Приложение 4)

В ходе исследовательской работы был проведен опрос на предмет применения различных способов решения квадратного уравнения, которыми владеют одноклассники и учащиеся девятых классов МБОУ «СОШ №9». С этой целью учащимся было предложено решить квадратные уравнения. Результаты проверки показали, что большая часть опрошенных находили корни уравнения с помощью: общей формулы корней. Таких учащихся –82%. С помощью теоремы Виета корни уравнения нашли – 6% учащихся, а другими способами –12% .

Демонстрация результатов исследовательской работы, т.е. способов решения уравнений, не изучаемых в школьной программе по математике, заинтересовала учащихся, а их практическое применение выявило недостатки и преимущества каждого из способов.

Была дана характеристика алгоритмов решения по таким критериям, как трудоёмкость и точность вычислений, а также насколько удобен тот или другой метод, математически красив и практичен. По результатам практической работы каждый из участников эксперимента выставил условную отметку, и было установлено, что наиболее сложными для школьников оказались следующие способы: разложение левой части уравнения на множители, метод выделения полного квадрата. Наиболее доступными для учащихся в понимании алгоритмов решения были способы: решение квадратных уравнений по формуле корней и решение уравнений с использованием теорем Виета (для уравнений приведенного вида), применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, геометрический способ решения квадратных уравнений вызвали интерес со стороны одноклассников, но необходимо отметить, что широкого практического применения они не имеют.

Очень необычными способами оказались: решение уравнений с помощью номограммы и решение уравнений способом «переброски».

Изучив учебную и научную литературу, Интернет-ресурсы в молодежных образовательных форумах по теме: «Способы решения квадратных уравнений» мы выяснили, что современной науке известно много способов решения квадратных уравнений. Следует отметить, что некоторая часть изученных способов не входит в школьный курс, так как относится к разделу прикладной математики. В ходе работы было отмечено, что не все способы удобны для решения, но каждый из них уникален.

Мы считаем, что смогли выполнить поставленную перед собой цель работы, так как:

1) изучили, описали алгоритмы вычислений и проверили на практике 10 способов решения квадратных уравнений, (всего было найдено 11);

2) представили результаты исследования одноклассникам с целью знакомства со способами решения квадратных уравнений и выявления на их взгляд наиболее эффективного способа.

Итогом нашей работы является образовательный продукт – создана памятка по теме: «Способы решения квадратного уравнения».

Практическая значимость данной работы заключается, в возможности использования результатов исследования в практике организации самостоятельной работы учащихся при решении уравнений на уроках, факультативных занятиях и экзаменах в формате ОГЭ по математике.

Баранова Е.А. Как увлечь школьников исследовательской деятельностью. Математика в школе / Е.А. Баранова, М.И.Зайкин// 2004. №2 – 80с.

Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: Для сред.шк. –15-е издание, стереотип. – М.:Дрофа, 2012. – 93с.

Виленкин Н.Я. За страницами учебника математика: геометрия, старинные и занимательные задачи; пособие для учащихся 10-11кл./Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова.– М.: Просвещение, 2008. –175с.

Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М.: Просвещение, 1982.

Дробышев Ю.А. Изучение квадратных уравнений на основе историко – генетического метода /Ю.А. Дробышев // /. Математика в школе № 6 –2011.

С.А. Литвинова, и др. За страницами учебника математики 8-11 классы. – 2-е изд., дополненное – М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.– c.76-82.

Макарычев Ю. Н. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией С. А. Теляковского. – 11-е издание – М.: Просвещение, 2003. – 238 с.

Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина,2009. – 224с.: ил.

Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы [Текст] / Л.Ф. Пичурин – Москва: Просвещение, 1990.

Пресман А.А. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки /А.А.Пресман// Квант № 4 –1972.–http://www.wikipedia.org/

Из истории квадратных уравнений

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических построений. Методы, которые не связывались с геометрией, впервые приводит Диофант Александрийский в III в. н.э. В своих книгах «Арифметика» он приводит примеры решения неполных квадратных уравнений. Его книги с описанием способов решения до нашего времени не сохранились[4,21].

Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 +bх = с, а> 0. В уравнении коэффициенты, кроме коэффициента а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с современным правилом[4,23]. Общее правило решения квадратных уравнений было сформировано немецким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Выводом формулы общего решения квадратных уравнений занимался Виет[4,25]. Он же и вывел формулы зависимости корней уравнения от коэффициентов в 1591 году. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 — 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений приобрел современный вид.

Графическое решение квадратного уравнения

Рассмотрим три случая решений квадратных уравнений: а) решим графически уравнение х 2 – 3х – 4 = 0,(рисунок 1). Ответ:х₁ = — 1; х₂ = 4.

б) уравнение х 2 – 2х + 1 = 0, (рисунок 2).Ответ:х = 1. в) уравнение х 2 – 2х + 5 =0, (рисунок 3).Ответ: корней нет.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Номограмма (от греческого «nomos» – закон и …грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Криволинейная шкала номограммы построена по формуле , Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а, из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию . После подстановок и упрощений вытекает уравнение,причем буква означает метку любой точки криволинейной шкалы (рисунок 1).

Примеры: 1) Для уравнения z 2 – 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z₁ = 8 и z₂ = 1. 2) Решим с уравнение 2z 2 – 9z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z₁ = 4 и z₂ = 0,5 (рисунок 2). 3) Для уравнения х 2 + 5х – 6 = 0 номограмма даёт только положительный корень х₁ = 1, а отрицательный находим так: х₂ = — b – х₁= —5—1= — 6. 4) Для уравнения х 2 – 2х – 8 = 0, х₁ = 4, а х₂ = –b –х₁ = 2 – 4 = –2.

Геометрический способ решения квадратного уравнения

Пусть надо решить, уравнение х 2 +10х + 9 =0. Выполним следующее построение.

Сначала по катету и гипотенузе ВС=построим прямоугольный треугольник. Заметим, что. Радиусом, равным проведем окружность с центром в точке A. Она пересечет продолжение катета AC в двух точках, которые обозначим D и E. Отрезок DC составлен из и, т.е. Отрезок ж CE есть разность отрезков ит.е. отрезок Отрезок BC есть корень квадратный из q, произведения отрезков и

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Построим точки S (центр окружности) и

A(0; 1); 2) проведем окружность с радиусом SA; 3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения (рисунок 1). При этом возможны три случая.

Пример 1.Решим уравнение х 2 2х 3 = 0 (рисунок 2а).

Определим координаты точки центра окружности по формулам:и =

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х₁ = 1; х₂ = 3, уравнение имеет два решения.

Пример 2. Решим уравнение х 2 +4х + 4 = 0 (рисунок 2г).

Определим координаты точки центра окружности

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: х₁ = равнение имеет одно решение.

Пример 3.Решим уравнение х 2 2х3 = 0 (рисунок 2д).

Определим координаты точки центра окружности

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).