13 способов решения квадратных уравнений презентация

Презентация «Способы решения квадратных уравнений»

В презентации рассматриваются всевозможные способы решения квадратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Макуловская средняя общеобразовательная школа» Верхнеуслонского муниципального района Республики Татарстан Исследовательская работа Выполнила ученица 9 класса Хабибулина Алия Руководитель : учитель математики Маханова Т.А. Россия, с.Макулово, 2013 год Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок, Значение буквы проверить не сложно, Поставь в уравненье его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значенье зовите тот час. О.Севастьянова. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение при решении огромного количества задач. Каждый уважающий себя человек должен научиться их решать.

В школьном курсе математики изучаются некоторые способы решения квадратных уравнений. Однако, существуют и другие, которые позволяют очень быстро и рационально найти корни уравнения и получить ответ. Напомним уже известные способы и разберём несколько новых.

1. Разложение на множители левой части уравнения Решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0 . Разложим на множители левую часть: х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = (х + 12)(х – 2). Уравнение примет вид : (х + 12)(х – 2) = 0 ; х + 12 = 0 или х – 2 = 0 х = -12. х = 2. Ответ: -12 ; 2. Решите уравнения: х 2 — х = 0 ; х 2 + 2х = 0 ; х 2 — 81 = 0 ; х 2 + 4х + 3 = 0 ; х 2 + 2х – 3 = 0 .

2. Метод выделения полного квадрата (1 случай) Решим уравнение х 2 – 1 0х + 25 = 0 . Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат двучлена. Запишем уравнение в виде : (х – 5) 2 = 0 ; х – 5 = 0 ; х = 5. Ответ: 5. Решите уравнения: x 2 + 4 x + 4 = 0; x 2 – 2 x + 1 = 0; 36 x 2 + 12 x + 1 = 0; x 2 – 6 x + 9 = 0 .

3. Метод выделения полного квадрата (2 случай) Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0. Выделим квадрат двучлена в левой части уравнения. х 2 + 6х – 7 = х 2 + 6х + 3 2 – 3 2 – 7 = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16. Уравнение примет вид : (х + 3) 2 – 16 = 0 ; (х + 3) 2 = 16 ; х + 3 = 4 или х + 3 = — 4 х = 1. х = -7. Ответ: 1 ; — 7. Решите уравнения: х 2 – 8х +15 = 0 ; х 2 +12х +20 = 0 ; х 2 + 4х + 3 = 0 ; х 2 + 2х – 2 = 0 ;

4. Решение квадратных уравнений по формуле I D 0 Решите уравнения: 2х 2 — 5х + 2 = 0 ; 6х 2 + 5х + 1 = 0 ; 4х 2 — 5х + 2 = 0 ; 2х 2 + 3х + 1 =0.

5 . Решение квадратных уравнений по формуле II b = 2k ( четное число) Решите уравнения: 2х 2 — 6х + 4=0 ; х 2 — 18х +17=0 ; 3х 2 – 14х + 16 = 0 ; х 2 + 2х – 80 = 0.

6. Решение уравнений с помощью теоремы, обратной теореме Виета Решим уравнение х 2 +10х – 24 = 0. а = 1, это приведённое квадратное уравнение. Заметим, что D>0 и х 1 х 2 = — 24, х 1 + х 2 = -10, значит х 1 = — 12, х 2 = 2. Ответ: — 12 ; 2 . Решите уравнения: х 2 — 7х — 30 = 0 ; х 2 +2х — 15 = 0 ; х 2 — 7х + 6 = 0 .

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения (1 случай) Если a + b + c = 0, то х 1 = 1, х 2 = с /a . Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0, где а = 1, b = 6, с = — 7. Заметим, что D>0 и 1 + 6 – 7 = 0, значит х 1 = 1, х 2 = — 7 /1 = — 7 . Ответ: — 7 ; 1. Решите уравнения: х 2 – 2013х + 2012 = 0 ; 345 х 2 -137х -208 = 0 ; 3 х 2 +5х – 8 = 0 ; 5 х 2 + 4х – 9 = 0 ; 5 х 2 — 7х +2 = 0 .

8 . Свойства коэффициентов квадратного уравнения ( 2 случай) Если a – b + c = 0, то х 1 = — 1 , х 2 = -с / а . Решим уравнение 3 х 2 +5х +2 = 0, где а = 3, b = 5, с = 2. Заметим, что D>0 и 3 — 5 + 2 = 0, значит х 1 = — 1, х 2 = — 2 / 3. Ответ: — 1 ; — 2/ 3. Решите уравнения: х 2 + 2013х + 2012 = 0 ; 11 х 2 +25х +14=0 ; 5 х 2 + 4х — 1=0 ; х 2 + 4х +3=0 ; 5 х 2 — 7х -12 =0 .

9. Графическое решение квадратного уравнения Решим уравнение х 2 + 2х – 3 = 0. Запишем уравнение в виде х 2 = 3-2х. В одной и той же системе координат построим графики функций у = х 2 и у = 3-2х. Найдём абсциссы точек пересечения графиков : х 1 = 1, х 2 = -3. Ответ: — 3; 1. Решите уравнение: х 2 -х — 6=0 ; х 2 — 4х + 4=0 ; х 2 +4х +6=0 ; х 2 -2х — 3=0 ; х 2 +2х — 3=0 .

10. Решение уравнений способом переброски Дано уравнение а х 2 + b х + с = 0. Умножим обе части уравнения на а, получим а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а. Тогда у 2 + b у + ас = 0. Его корни у 1 и у 2 . Окончательно х 1 = у 1 /а, х 1 = у 2 /а. Решим уравнение 2 х 2 — 11х + 15 = 0. Перебросим коэффициент 2 к свободному члену: у 2 — 11у + 30 = 0. Согласно теореме, обратной теореме Виета у 1 = 5 и у 2 = 6. Значит х 1 = 5/2 и х 2 = 6/2 или х 1 = 2,5 и х 2 = 3. Ответ: 2,5 ; 3. Решите уравнение: 2 х 2 — 9х + 9 = 0 ; 10 х 2 — 11х + 3 = 0 ; 3 х 2 + 11х + 6 = 0 ; 6 х 2 + 5х – 6 = 0 .

11. Решение уравнений с помощью циркуля и линейки Решим уравнение a х 2 + b х + c = 0 : Отметим на координатной плоскости точку S (- b :2 a; ( a + c ):2 a ) — центр окружности и точку А(0 ; 1). Построим окружность радиуса SA . Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох и есть корни исходного уравнения.

Рассмотрим примеры : 1. Решим уравнение х 2 — 2х + 1= 0. S(1; 1), А(0 ; 1). Ответ: 1. 2. Решим уравнение х 2 + 4х — 5 = 0. S(- 2; — 2), A(0;1). Ответ: -5; 1. 3. Решите уравнение х 2 — 4х + 5 = 0. S(2; 3), A(0;1). Ответ: нет корней.

12. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Номограмма для решения уравнения z 2 + px + q = 0 даёт значения положительных корней. Если уравнение имеет корни разных знаков или оба корня отрицательны, то необходимо воспользоваться специальной методикой их вычисления, также, как и в случае, когда коэффициенты p и q выходят за пределы шкал.

13. Геометрический способ решения уравнения Решим уравнение у 2 — 6у – 16 = 0. Представим уравнение в виде у 2 — 6у = 16. На рисунке «изображено» выражение у 2 — 6у , т.е. из площади квадрата со стороной у дважды вычитается площадь квадрата со стороной 3. Значит у 2 – 6у + 9 есть площадь квадрата со стороной у-3. Выполнив замену у 2 — 6у = 16, получим (у-3) 2 = 16 + 9 ; у-3 = 5 или у-3 = — 5 у = 8 у = -2 Ответ: — 2; 8. Решить уравнение у 2 + 6у – 16 = 0.

Заключение В ходе данной исследовательской работы мною были изучены способы решения полных квадратных уравнений ; Считаю, что работа помогла мне лучше подготовиться к ГИА по математике ; Данная презентация была предложена на школьной предметной конференции старшеклассников ; Я работала под девизом : «Научился сам – научи другого!».

УЧИТЬСЯ НЕЛЕГКО, НО ИНТЕРЕСНО! Ян Амос Коменский (1592-1670), чешский педагог, писатель.

Литература и источники Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К. И., Суворова С.Б. Алгебра 8. – М. : Просвещение, 2005. Приложение «Математика» к газете «Первое сентября», №40 – 2000г. Брадис В.М. Четырёхзначные математические таблицы. — Дрофа, 1996г. Интернет-ресурсы : http :// rus — sky . com / history / library / w /.

Презентация по математике «Разные способы решения квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Петрозаводского городского округа «Средняя общеобразовательная школа №9 имени И.С. Фрадкова» Разные способы решения квадратных уравнений Выполнила: Калмычкова Лия Ученица 8«а» класса Руководитель: Гапонова М.А. Петрозаводск-2019год

Актуальность темы: в основном государственном экзамене по математике есть задания, связанные с данной темой. Объект исследования: квадратное уравнение. Предмет исследования: различные способы решения квадратных уравнений. Проблема: не всегда сразу виден наиболее удобный способ решения уравнений.

Цель работы: найти различные способы решения квадратных уравнений, провести сравнительный анализ решения. собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений; освоить найденные способы решения; решить уравнения с сайта fipi. Задачи:

Гипотеза: Квадратные уравнение можно решать разными способами.

III до н.э. древнегреческий ученый Евклид – решение квадратных уравнений графически; В III в. н. э. квадратное уравнение без обращения к геометрии решил великий Древнегреческий математик Диофант; XIII век Европа, Леонардо Пизанский – формулы нахождения корней квадратного уравнения; XVI век французский математик Франсуа Виет – вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде. Исторические сведения:

Задача про обезьян (одна из задач, составленных Бхаскарой) «На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны, Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась. Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь, Обезьян там было в роще» x = (x/8) 2 + 12. (1/64) x 2-х+12=0. x1=48,х2=16.

Квадратным уравнением называется уравнение вида где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠0. Если а=1 , — приведённое уравнение. Если b=0 или с=0: =0 неполные квадратные 0 уравнения

Квадратные уравнения Неполные квадратные Приведённые Квадратные уравнения: Методы решения По формуле корней полного квадратного уравнения По теореме, обратной теореме Виета. x(ax+b)=0 х1 =0 х2 =-b/a ax²=-c x²=-c /a х1 =√‾-c /a х2 =-√‾-c /a Разложение на множители Выразить x² Если с=0 ,то ах²+ bх = 0 Если b=0, то ах²+ с = 0

Решите уравнения: а) 4х2 – 9 = 0 ; б) 4х2 + 9 = 0; в) 3х2 – 4х = 0; г) 6х2 = 0. Образец решения: а) 4х2 – 9 = 0 1. Перенесём свободный член в правую часть уравнения: 4х2 = 9. 2. Разделим обе части получившегося уравнения на 4: х2 = 9/4. 3. Найдём корни х = 1,5 или х = — 1,5 Ответ: х1 = 1,5, х2 = — 1,5. в) 3х2 – 4х = 0 1.Разложим левую часть уравнения на множители: х(3х — 4) = 0. 2.Произведение х(3х — 4) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: х = 0 или 3х – 4 = 0. 3.Решаем уравнение 3х – 4 = 0 3х = 4 х = 4/3. Ответ: х1 = 0, х2 = 11/3.

Сколько корней имеет квадратное уравнение? Зависит от D Если D>0 : 2 корня Если D

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 568 747 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

§ 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

Другие материалы

• 16.04.2019
• 2061
• 9

• 16.04.2019
• 3528
• 58

• 16.04.2019
• 5330
• 36

• 16.04.2019
• 442
• 6

• 13.04.2019
• 1762
• 10

• 11.04.2019
• 26430
• 335

• 11.04.2019
• 670
• 26

• 11.04.2019
• 645
• 8

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 18.04.2019 1766
• PPTX 1.5 мбайт
• 98 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Гапонова Марина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 5573
• Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Различные способы решения квадратных уравнений

Цель данной презентации состоит в расширении знаний о решении квадратных уравнений.В работе рассматриваются 13 способов решения одного квадратного уравнения.

Просмотр содержимого документа
«Различные способы решения квадратных уравнений»

Различные способы решения

У.У.Сойер:»Человеку изучающему алгебру, часто полезно решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче, эффективнее. Так вырабатывается опыт».

• 1СПОСОБ. Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 4x – 5 = 0.

Разложим левую часть на множители:

( х 2 – х ) + ( 5 х – 5) = 0;

х ( х – 1 ) + 5( х – 1 ) = 0;

Тогда х 1 = 1 и х 2 = — 5

• 2СПОСОБ. Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 4х – 5= 0.

х 2 + 2  2 х +4=5+4;

х + 2= 3 или х +2= — 3

• 3СПОСОБ.Решение квадратных уравнений по формуле.

1)Уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0, имеет корни

Решим уравнение х 2 + 4х – 5= 0, а ≠ 0.

x 1 =-4+ 16-4  1(-5)= -4+ 36 = -4+6 =1

x 1 = -4- 16-4•1(-5)= -4- 36 = -4-6 = -5

0;k=2. Ответ: 1; -5″ width=»640″

2)Уравнение ax 2 +2kx+c=0, a=0 имеет корни

Решим уравнение x 2 +4x-5=0,a0;k=2.

• 4СПОСОБ.Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при

Применим этот способ к нашему уравнению

x 1 +x 2 =-4, x 1 =1,

x 1 •x 2 =-5; x 2 =-5.

• 5СПОСОБ.Решение уравнений способом «переброски».

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Применим этот способ к нашему уравнению:

Рассмотрим другое уравнение

• 6СПОСОБ.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

ах 2 + bх + с = 0, a=0.

1)Если a+b+c=0, то x 1 =1,x 2 =c/a.

2) Если a-b+c=0, то x 1 =-1,x 2 =-c/a.

Применим этот способ к нашему уравнению:

а + b + с = 0, 1 + 4 – 5= 0

• 7СПОСОБ:Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении х 2 + рх + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

у = х 2 и у = – рх – q.

1)Если прямая и парабола пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два решения.

2) Если прямая и парабола пересекаются в одной точке, то уравнение имеет одно решение.

3)Если прямая и парабола не пересекаются, то уравнение не имеет решений.

Решим графически уравнение х 2 + 4х – 5= 0.

Построим y=x 2 и y=-4x+5

Прямая и парабола пересекаются в двух точках абсциссами х 1 = 1, х 2 = -5

• 8СПОСОБ.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

1)Построим точки S ( -b/2a ; (а+с) /2a )(центр окружности) и А (0 ; 1).

2)Проведем окружность с радиусом SA;

3)Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ОХ является корнями исходного квадратного уравнения.

Решим уравнение х 2 + 4х – 5= 0.

1. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

у = (а+с) /2a =(1+(-5)):2 = — 2

S ( — 2 ; — 2) и А ( 0 ; 1 ).

2. Проведем окружность с R = SA , где А ( 0 ; 1 ).

3. Абсцисса точек пересечения этой окружности с осью ОХ х 1 = 1, х 2 = — 5

• 9СПОСОБ:Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Номограмма даёт значения положительных корней уравнения z 2 +pz+q=0

Если это уравнение имеет корни разных знаков , то , найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят ,вычитая положительный из -p .В случае ,когда оба корня отрицательны, берут

z=-t и находят по номограмме два положительных корня t 1 и t 2 уравнения t 2 -pt+q=0,а затем z 1 =-t 1 , z 2 =-t 2 .Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z=kt и решают посредством номограммы уравнение

Уравнение, где k берется с таким расчётом, чтобы имели место неравенства:

Для решения нашего уравнения

номограмма дает корень

• 10СПОСОБ.Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Решим уравнение х 2 + 4х= 5.

S ABCD = х 2 + 4  Sпрям + 4  Sкв

S ABCD = х 2 + 4  1х + 4  1= х 2 + 4х + 4

заменяя х 2 + 4х числом 5, получим, что S = 5+ 4 =9.

11 СПОСОБ. Д ля нахождения корней приведённого квадратного уравнения х 2 + px + q = 0 полезно воспользоваться формулой

Применим этот способ к нашему уравнению

Применим этот способ к нашему уравнению x 2 +4x-5=0. x 2 +4x=5 x 1 =1,x 2 =-5 Ответ: 1;-5

13СПОСОБ. Альтернативный метод решения квадратных уравнений.

Рассмотрим новый метод решения квадрат-

ных уравнений, который применим к приведенным квадратным

a tr, b tr – длины катетов прямоугольного тре-

угольника (далее просто катеты);

c tr – длина гипотенузы прямоугольного тре-

угольника (далее просто гипотенуза);

αtr, βtr – острые углы против катетов a tr и b tr

φtr – один из острых углов прямоугольного

треугольника (atr или btr );

m tr – длина медианы, опущенной на гипоте-

нузу (далее просто медиана);

h tr – длина высоты, опущенной на гипотенузу

(далее просто высота);

θtr – угол между медианой и высотой;

𝝌 tr – угол между медианой и гипотенузой.

Для этого необходимо:

1. определить величину угла θ (соответст-

вует углу φ tr ), как

2. определить величину угла φ (соответст-

вует углу φ tr ), как

3. определить первый корень:

4. определить второй корень:

Применим этот способ к нашему уравнению

Промежуточные величины определяются по формулам

Но как мы видим этот способ нельзя назвать самым удачным.

• Великий Д.Пойа говорил: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Мне хочется продолжить, если хотите научиться решать уравнения, то решайте их и не просто решайте, а решайте с вдохновением самым удачным и подходящим способом. Ведь Г.Лейбниц заметил: «Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым». Ваше решение должно приносить Вам удовлетворение!