Решение уравнений с дробями
О чем эта статья:
5 класс, 6 класс, 7 класс
Понятие дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — ½ или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
- Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
- Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:
- Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
- Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.
Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
---|---|
Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:
- подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
- умножить на это число каждый член уравнения.
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.
Что еще важно учитывать при решении
- если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
- делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
Универсальный алгоритм решения
Определить область допустимых значений.
Найти общий знаменатель.
Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
Решить полученное уравнение.
Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
Записать ответ, который прошел проверку.
Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.
- Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Решим обычное уравнение.
Пример 2. Найти корень уравнения
- Область допустимых значений: х ≠ −2.
- Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Переведем новый множитель в числитель..
Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
- Найти общий знаменатель:
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:
Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:
Решим полученное квадратное уравнение:
Получили два возможных корня:
Если x = −3, то знаменатель равен нулю:
Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.
Помогите составить 15 уравнений с дробями, с решением?
Математика | 5 — 9 классы
Помогите составить 15 уравнений с дробями, с решением.
1 : 3 = 1 * 1 = 3 * 5 = 1
Помогите пожалуйста?
Нужно составить 2 распадающихся уравнения и их решения!
Помогите составить 2 задачи на дроби(с решением) и 3 примера с несколькими действиями на дроби(тоже с решением) Заранее спасибо?
Помогите составить 2 задачи на дроби(с решением) и 3 примера с несколькими действиями на дроби(тоже с решением) Заранее спасибо!
Поиздеваться, помогите?
Нужно составить уравнение с дробями корень которого равен 3.
Составить задачу с решением?
Составить задачу с решением.
Решение обязательно написать!
Придумать задачу с дробями и среди них числительное полтора.
Помогите, составить задачу на тему , , Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, , ( с решением)?
Помогите, составить задачу на тему , , Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, , ( с решением).
Пожалуйста , помогите срочно).
Плиз помогите?
Мне задали составить задачу уравнением (с десятичными дробями) для 5 класса.
Напишите плиз задачу и решение (уравнением).
Составить шесть примеров уравнении на десятичных дробей?
Составить шесть примеров уравнении на десятичных дробей.
Составить задачу на дроби 6 класс с решением?
Составить задачу на дроби 6 класс с решением.
Помогите составить задачу решение которого должно быть уравнение?
Помогите составить задачу решение которого должно быть уравнение.
Помогите пожалуйста составить ДВА уравнения на подобие такого 😡 + 3 = 3x — 7(с решением, и без десятичных дробей)Заранее спасибо)?
Помогите пожалуйста составить ДВА уравнения на подобие такого :
(с решением, и без десятичных дробей)
На этой странице сайта размещен вопрос Помогите составить 15 уравнений с дробями, с решением? из категории Математика с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
Решение : 1)2 * 57 = 114(руб. ) — стоимость 2 книг 2)3 * 68 = 204(руб. ) — стоимость 3 альбомов 3)114 + 204 = 318(руб. ) — стоимость всей покупки Ответ : 318 рублей.
2 * 57 + 3 * 68 = 114 + 204 = 318 рублей.
21 — 7 = 14 14 — 7 = 7 7 — 7 = 0 в числе 21 содержится три раза по 7. 21 : 7 = 3 24 — 8 = 16 16 — 8 = 8 8 — 8 = 0 в числе 24 содержится три раза по 8. 24 : 8 = 3.
У = 3х — 5график — прямая, для построения достаточно двух точек. Занесём их координаты в таблицу : х = 0 2у = — 5 1 строим систему координат, отмечаем начало координат — точку О (0 ; 0) ; отмечаем стрелками положительное направление : вправо и вверх..
32÷2 = 16 — 1 раз 16÷2 = 8 — 2 раз 8÷2 = 4 — 3 раз 4÷2 = 2 — 4 раз Ответ : 4 раза.
А + б = (744 + 157) + 744 = 1645.
B = 587 a + b = 1337 Лучший ответ плиз.
В 4 канистры — 80 л бензина В 3 канистры — ? Л бензина 100 л — ? Канистр 1)80 : 4 = 20(л)В одной канистре 2)20×3 = 60(л)В трёх канистрах 3)100 : 20 = 5(канистр) Ответ : В трёх канистрах помнщается 60 л, а в пяти 100 л.
Дробно рациональные уравнения
Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .
Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .
Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.
ОДЗ – область допустимых значений переменной.
В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0
ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).
Алгоритм решения дробно рационального уравнения:
- Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
- Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
- Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Пример решения дробного рационального уравнения:
Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.
Решение:
Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
- Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:
x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0
x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0
x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0
x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0
x 2 + x − 6 2 − x = 0
Первый шаг алгоритма выполнен успешно.
Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2
- Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:
x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.
a = 1, b = 1, c = − 6
D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25
D > 0 – будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Корни, полученные на предыдущем шаге:
Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.
Задания для самостоятельного решения
№1. Решите уравнение: 3 x − 19 = 19 x − 3 .
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
3 x − 19 = 19 x − 3
[ x − 19 ≠ 0 x − 3 ≠ 0 ⇒ [ x ≠ 19 x ≠ 3
Приводим обе дроби к общему знаменателю, записываем дополнительные множители к числителям:
3 \ ( x − 3 ) x − 19 − 19 \ ( x − 19 ) x − 3 = 0
3 ( x − 3 ) − 19 ( x − 19 ) ( x − 19 ) ( x − 3 ) = 0
В соответствии с алгоритмом, приравниваем числитель к нулю:
3 x − 9 − 19 x + 361 = 0
x = − 352 − 16 = − 352 16 = 22
Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.
№2. Решите уравнение x − 4 x − 6 = 2.
Решение:
Можно решать эту задачу способом, который использовался при решении задачи №8. Но сейчас мы используем еще один способ решения таких уравнений.
Представим число 2 в виде дроби со знаменателем 1 .
Воспользуемся основным свойством пропорции :
произведение крайних членов равно произведению средних (правило «креста»):
a b = c d ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c
x − 4 x − 6 = 2 1 ⇒ ( x − 4 ) ⋅ 1 = ( x − 6 ) ⋅ 2
Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.
http://matematika.my-dict.ru/q/2334436_pomogite-sostavit-15-uravnenij-s-drobami/
http://epmat.ru/drobno-racionalnye-uravnenija/