18 тригонометрические уравнения вариант 1

ГДЗ Алгебра Самостоятельные работы за 10 класс Александрова Базовый уровень Мнемозина (к учебнику Мордкович)

Алгебра в 10 классе имеет свои трудности, которые он должен преодолеть как можно скорее. Эти проблемы касаются не только правил, формул, но и умения мыслить и понимать задачи. А это умение, как известно, является одной из самых сложных способностей человека. Выполнение самостоятельной работы по алгебре ставит перед десятиклассником ряд личностно – значимых проблем, которые позволяют понять самому, как решать задачи. Это не просто подготовка к работе на уроке по шаблону, но и самостоятельное создание ситуации успеха, которая должна стать нормой для каждого ученика. Только в этом случае, любой десятиклассник сможет найти возможность проявить свои способности, почувствовать, что он чего – то может достичь самостоятельно. Проверить правильность выполненных решений можно с помощью ГДЗ по алгебре и начала математического анализа Александрова Л.А., которое полностью соответствует всем требованиям школьной программы основного среднего образования и федеральному государственному общеобразовательному стандарту.

Сформировать умения применять свои знания на практике в различных ситуациях и разных предметных областях является одной из главных задач обучения. Освоение знаний – это только половина дела. Главное это иметь большое желание учиться, быть любознательным, а так же уметь добывать эти знания, пользоваться ими в определенной ситуации, такого требования общеобразовательного стандарта.

Одной из основных причин неспособность школьника применять математические знания в практической работе является отсутствие или недостаток знаний об общих закономерностях, умение осуществлять выбор способа решения в конкретной ситуации, а так же и опыта применения математики для решения задач в смежных предметах. Овладеть школьником методов решения задач повышает его уровень математического развития. Математический язык относится к числу наиболее распространенных языков. Он широко используется в литературе, в печати, в научно – технических и практических публикациях. Благодаря этому и язык математики получил широкое применение в других научных дисциплинах. Язык математики имеет свои законы развития, что объясняется её природой. В языке математики можно выделить две основные составляющие: – это естественный язык (его ещё называют языком логики), на котором принято выражать мысли, и символы, которыми изображаются эти мысли. Именно при обучении алгебры в школе ставится задача овладеть символьным языком алгебры, это и позволит ученику глубже разобраться в математических моделях, что в свою очередь позволит в дальнейшем более полно использовать математический аппарат в экономических расчетах. Для этого в качестве объектов исследования были выбраны некоторые элементы математического аппарата алгебры, такие как определители, матрица, вектор, операции, сложение и так далее. Необходимость изучения комплекс чисел в курсе алгебры и начала математического анализа обуславливается потребностью в математических моделях многих физических явлений. В настоящее время одним из основных направлений развития теории дифференциальных уравнений является её приложение к задачам механики сплошных сред. Это направление связано с созданием теории одномерных и двумерных уравнений математической физики, где на первый план выходят задачи о фазовых переходах. Для решения таких задач необходимо знание свойств интегральных представлений функции, имеющие множество точек разрыва.

ГДЗ по алгебре Самостоятельные работы за 10 класс Александрова Базовый уровень к учебнику Мордкович

Курс алгебры и начала математического анализа является основой для получения фундаментальных знаний в областях, непосредственно примыкающих к школьной программе и для продолжения образования в технических, экономических и гуманитарных в высших учебных заведениях. К тому же курс алгебры и начала математического анализа является завершающим этапом в школьном обучении математики. Этот курс имеет большую практическую значимость, что связано с формированием и развитием ряда умений и навыков. При изучении этой дисциплины у десятиклассника вырабатываются навыки работы с тестовыми заданиями. Ученик учится самостоятельно работать, наблюдать, обобщать, делать выводы, применять теоретические знания на практике. Умения и навыки формируются в процессе решения примеров и задач. Для этого отлично подойдет использование ГДЗ по алгебре и начала математического анализа 10 класс Александрова Л.А., который поможет глубже вникнуть в систему понятий, необходимых для решения задач, входящих в школьный курс элементарной математики. В нем отражены все темы учебника такие как:

• числовые функции,
• тригонометрические функции и уравнения,
• преобразование тригонометрических выражений,
• производная.

Решебник является можно сказать, что по сути своей он выполняет функции репетитора по алгебре. Он содержит в себе не только решения простых примеров и задач, но и более сложных. Пользоваться онлайн – решебником можно в любое, удобное для школьника, время и в любом месте, где имеется выход в Интернет, хоть с компьютера, хоть с любого электронного устройства. С его помощью каждый ученик сможет:

• получить полное качественное выполнение домашнего задания,
• провести подготовку, как к самостоятельной работе, так и подготовку к следующему уроку,
• устранить имеющиеся пробелы в знании той или иной темы,
• закрепить знания.

Решебник поможет и родителям проверить, насколько их ребенок знает алгебру.

Его может использовать и учитель математики для проверки домашнего задания, подготовке к самостоятельной работе, а так же как справочное пособие.

Дидактические материалы для подготовки к ЕГЭ: тригонометрические уравнения (10-11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ алг10 ср05 Тригонометрические уравнения.doc

Решите тригонометрические уравнения:

1. 2 sin 2 x – 5sin x – 7 = 0

2. 12sin 2 x + 20cos x – 19 = 0

3. 3sin 2 x + 14sin x cos x + 8cos 2 x = 0

4. 7 tg x – 10ctg x + 9 = 0

5. 5sin 2 x – 14cos 2 x + 2 = 0

6. 9cos 2 x – 4cos 2 x = 11sin 2 x + 9

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10 cos 2 x – 17cos x + 6 = 0

2. 2cos 2 x + 5sin x + 5 = 0

3 . 6 sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 4 ctg x + 8 = 0

5. 6cos 2 x + 13sin 2 x = –10

6. 2 sin 2 x + 6sin 2 x = 7(1 + cos 2 x )

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3sin 2 x – 7sin x + 4 = 0

2 . 6sin 2 x – 11 cos x – 1 0 = 0

3 . sin 2 x + 5 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0

4 . 4 tg x – 1 2 ctg x + 13 = 0

5. 5 – 8cos 2 x = sin 2 x

6. 7 sin 2 x + 9cos 2 x = –7

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10 cos 2 x + 17cos x + 6 = 0

2 . 3 cos 2 x + 10 sin x – 10 = 0

3 . 2 sin 2 x + 9 sin x cos x + 10 cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 1 2 ctg x + 5 = 0

5. 10sin 2 x – 3sin 2 x = 8

6. 11sin 2 x – 6cos 2 x + 8cos 2 x = 8

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10sin 2 x + 11sin x – 8 = 0

2 . 4 sin 2 x – 11 cos x – 1 1 = 0

3 . 4 sin 2 x + 9 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 8 ctg x + 10 = 0

5. 3sin 2 x + 8sin 2 x = 7

6. 10sin 2 x + 11sin 2 x + 6cos 2 x = –6

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3cos 2 x – 10cos x + 7 = 0

2 . 6 cos 2 x + 7 sin x – 1 = 0

3 . 3sin 2 x + 1 0 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

4 . 6 tg x – 1 4 ctg x + 5 = 0

5. 6 sin 2 x + 7sin 2 x + 4 = 0

6. 7 = 7sin 2 x – 9cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 6sin 2 x – 7sin x – 5 = 0

2 . 3 sin 2 x + 1 0cos x – 1 0 = 0

3 . 2 sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 14 cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 5 ctg x + 14 = 0

5. 10sin 2 x – sin 2 x = 8cos 2 x

6. 1 – 6 cos 2 x = 2sin 2 x + cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3cos 2 x – 5cos x – 8 = 0

2 . 8 cos 2 x – 14 sin x + 1 = 0

3 . 5 sin 2 x + 14sin x cos x + 8 cos 2 x = 0

4 . 2 tg x – 9 ctg x + 3 = 0

5. sin 2 x – 5cos 2 x = 2sin 2 x

6. 5 cos 2 x + 5 = 8sin 2 x – 6sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 6sin 2 x + 11sin x + 4 = 0

2 . 4 sin 2 x – cos x + 1 = 0

3 . 3sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 8 ctg x + 6 = 0

5. sin 2 x + 1 = 4cos 2 x

6. 14cos 2 x + 3 = 3cos 2 x – 10sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 4cos 2 x + cos x – 5 = 0

2 . 10 cos 2 x – 17 sin x – 16 = 0

3 . sin 2 x + 6 sin x cos x + 8 cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 6 ctg x + 7 = 0

5. 2 cos 2 x – 11sin 2 x = 12

6. 2 sin 2 x – 3sin 2 x – 4cos 2 x = 4

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10sin 2 x – 17sin x + 6 = 0

2 . 5 sin 2 x – 1 2cos x – 1 2 = 0

3 . 2 sin 2 x + 5 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

4 . 7 tg x – 1 2 ctg x + 8 = 0

5. 3 + sin 2 x = 8cos 2 x

6. 2 sin 2 x + 3cos 2 x = –2

Решите тригонометрические уравнения:

1. 2cos 2 x – 5cos x – 7 = 0

2 . 12 cos 2 x + 20 sin x – 19 = 0

3 . 5 sin 2 x + 1 2 sin x cos x + 4 cos 2 x = 0

4 . 2 tg x – 6 ctg x + 11 = 0

5. 22 sin 2 x – 9sin 2 x = 20

6. 1 4cos 2 x – 2cos 2 x = 9sin 2 x – 2

Решите тригонометрические уравнения:

1. 4sin 2 x + sin x – 5 = 0

2 . 6 sin 2 x + 7 cos x – 1 = 0

3 . 4 sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 6 ctg x + 13 = 0

5. 3 – 4sin 2 x = sin 2 x

6. 10sin 2 x + 3cos 2 x = –3 – 14sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 8cos 2 x – 10cos x – 7 = 0

2 . 4 cos 2 x – sin x + 1 = 0

3 . 3sin 2 x + 1 0 sin x cos x + 8cos 2 x = 0

4 . 2 tg x – 1 2 ctg x + 5 = 0

5. 14sin 2 x – 11sin 2 x = 18

6. 2 sin 2 x – 3cos 2 x = 2

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3sin 2 x – 5sin x – 8 = 0

2 . 1 0 sin 2 x + 17 cos x – 1 6 = 0

3 . sin 2 x + 8 sin x cos x + 12 cos 2 x = 0

4 . 4 tg x – 9 ctg x + 9 = 0

5. 14sin 2 x – 4cos 2 x = 5sin 2 x

6. 1 – 5 sin 2 x – cos 2 x = 12cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 8cos 2 x + 14cos x – 9 = 0

2 . 3 cos 2 x + 5sin x + 5 = 0

3 . 2 sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 5 cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 3 ctg x + 14 = 0

5. 2 sin 2 x – 7sin 2 x = 16cos 2 x

6. 14sin 2 x + 4cos 2 x = 11sin 2 x – 4

Решите тригонометрические уравнения:

1. 1 2cos 2 x – 20cos x + 7 = 0

2 . 5 cos 2 x – 12 sin x – 12 = 0

3 . 3sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 12 cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 6 ctg x + 7 = 0

5. sin 2 x + 2sin 2 x = 5cos 2 x

6. 13sin 2 x – 3cos 2 x = –13

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3sin 2 x – 10sin x + 7 = 0

2 . 8 sin 2 x + 1 0cos x – 1 = 0

3 . 4 sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 10 cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 3 ctg x + 8 = 0

5. sin 2 x + 4cos 2 x = 1

6. 10cos 2 x – 9sin 2 x = 4cos 2 x – 4

Решите тригонометрические уравнения:

1. 6cos 2 x – 7cos x – 5 = 0

2 . 3 cos 2 x + 7 sin x – 7 = 0

3 . 3sin 2 x + 7 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

4 . 2 tg x – 4 ctg x + 7 = 0

5. sin 2 x – 22cos 2 x + 10 = 0

6. 2 sin 2 x – 3sin 2 x – 4cos 2 x = 4

Решите тригонометрические уравнения:

1. 5sin 2 x + 12sin x + 7 = 0

2 . 1 0 sin 2 x – 11 cos x – 2 = 0

3 . 4 sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

4 . 6 tg x – 10 ctg x + 7 = 0

5. 14 cos 2 x + 5sin 2 x = 2

6. 4 sin 2 x = 4 – cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 6cos 2 x + 11cos x + 4 = 0

2 . 2cos 2 x – 3 sin x + 3 = 0

3 . 2 sin 2 x + 7 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0

4 . 4 tg x – 3 ctg x + 11 = 0

5. 9 sin 2 x + 22sin 2 x = 20

6. 8 sin 2 x + 7sin 2 x + 3cos 2 x + 3 = 0

Решите тригонометрические уравнения:

1. 2 sin 2 x + 3sin x – 5 = 0

2 . 1 0 sin 2 x – 17 cos x – 1 6 = 0

3 . 5 sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 1 4 ctg x + 1 = 0

5. 10 sin 2 x + 13sin 2 x + 8 = 0

6. 6 cos 2 x + cos 2 x = 1 + 2sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10 cos 2 x + 11cos x – 8 = 0

2 . 4 cos 2 x – 11 sin x – 11 = 0

3 . 3sin 2 x + 8 sin x cos x + 4 cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 1 2 ctg x + 11 = 0

5. 5 sin 2 x + 22sin 2 x = 16

6. 2 sin 2 x – 10cos 2 x = 9sin 2 x + 10

Решите тригонометрические уравнения:

1. 4sin 2 x + 11sin x + 7 = 0

2 . 8 sin 2 x – 14 cos x + 1 = 0

3 . 2 sin 2 x + 9 sin x cos x + 9 cos 2 x = 0

4 . 6 tg x – 2 ctg x + 11 = 0

5. 8 sin 2 x – 7 = 3sin 2 x

6. 11sin 2 x = 11 – cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 2cos 2 x + 3cos x – 5 = 0

2 . 6 cos 2 x – 11 sin x – 10 = 0

3 . sin 2 x + 7 sin x cos x + 12 cos 2 x = 0

4 . 7 tg x – 8 ctg x + 10 = 0

5. 9cos 2 x – sin 2 x = 4sin 2 x

6. 7 sin 2 x + 3cos 2 x + 7 = 0

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10sin 2 x + 17sin x + 6 = 0

2 . 3 sin 2 x + 7 cos x – 7 = 0

3 . 3sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 10 cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 9 ctg x + 12 = 0

5. 3 sin 2 x + 5sin 2 x + 7cos 2 x = 0

6. 12cos 2 x + cos 2 x = 5sin 2 x + 1

Решите тригонометрические уравнения:

1. 5cos 2 x + 12cos x + 7 = 0

2 . 10 cos 2 x + 17 sin x – 16 = 0

3 . 2 sin 2 x + 9 sin x cos x + 4 cos 2 x = 0

4 . 4 tg x – 6 ctg x + 5 = 0

5. 8 sin 2 x + 3sin 2 x = 14cos 2 x

6. 2sin 2 x – 7cos 2 x = 6sin 2 x + 7

Решите тригонометрические уравнения:

1. 12sin 2 x – 20sin x + 7 = 0

2 . 3 sin 2 x + 5 cos x + 5 = 0

3 . 3sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 14 cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 4ctg x + 11 = 0

5. 8 cos 2 x + 7sin 2 x + 6sin 2 x = 0

6. 1 – cos 2 x = 18cos 2 x – 8sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 4cos 2 x + 11cos x + 7 = 0

2 . 10 cos 2 x – 11 sin x – 2 = 0

3 . 2 sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 6 cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 2 ctg x + 5 = 0

5. 7 sin 2 x + 2 = 18cos 2 x

6. 13sin 2 x + 13 = –5cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 8sin 2 x + 14sin x – 9 = 0

2 . 2sin 2 x + 5 cos x + 5 = 0

3 . sin 2 x + 9 sin x cos x + 14 cos 2 x = 0

4 . 2 tg x – 5 ctg x + 9 = 0

5. 7 sin 2 x + 5sin 2 x + 3cos 2 x = 0

6. 2sin 2 x + 9sin 2 x = 10cos 2 x + 10

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3cos 2 x – 7cos x + 4 = 0

2 . 8 cos 2 x + 10 sin x – 1 = 0

3 . 3sin 2 x + 1 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 1 4 ctg x + 3 = 0

5. 7 sin 2 x = 22sin 2 x – 4

6. cos 2 x + 8sin 2 x = 1 – 18cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 8sin 2 x – 10sin x – 7 = 0

2 . 2sin 2 x – 3 cos x + 3 = 0

3 . 2 sin 2 x + 1 1 sin x cos x + 12 cos 2 x = 0

4 . 4 tg x – 1 4 ctg x + 1 = 0

5. 4 sin 2 x + 10cos 2 x = 1

6. 11sin 2 x – 7cos 2 x = 11

Выбранный для просмотра документ алг10 ср05 ответы.doc

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 086 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 30.08.2015
• 453
• 0

• 30.08.2015
• 8838
• 51

• 30.08.2015
• 20169
• 99

• 30.08.2015
• 9984
• 56

• 30.08.2015
• 879
• 0

• 30.08.2015
• 6183
• 40

• 30.08.2015
• 760
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 30.08.2015 31035
• ZIP 41.5 кбайт
• 121 скачивание
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Склярова Галина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 226125
• Всего материалов: 24

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac <2>\) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac <2>— 4 \text\frac <2>+1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac <2>= y \) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0