19 основное уравнение равномерного течения жидкости в трубах

Основное уравнение равномерного движения жидкости

Основное уравнение равномерного движения жидкости

Основное уравнение равномерного движения жидкости. Рассмотрим устойчивое, равномерное (продольно равномерное) движение жидкости в произвольной поперечной цилиндрической трубе Длина секции b (рис. 5.11).Используйте уравнения, представляющие законы изменения импульса. Это векторная форма любого объема V, заключенного в поверхность A、 Проекция членов этого уравнения на ось совпадает с направлением скорости жидкости. Где; проекция вектора скорости на ось C, очевидно, и= И = |и|; проекция вектора плотности распределения внешних объемных сил на ось B I. определить напряжения pn/, принимая во внимание N ca1 в противоположном направлении от 1U a и u в том же направлении (и принимая во внимание раздел 5.1 леммы 1).

Если сторона потока представляет собой неподвижную твердую поверхность, то знак минус вводится таким образом, чтобы касательное напряжение m было положительным. Людмила Фирмаль

• В этом случае pn /-тангенциальное напряжение, действующее со стороны Abok (перпендикулярно этой поверхности n) и ориентированное вдоль оси (pn и pn-нормальные напряжения поверхности сечение O и ω соответственно).в результате это выглядит так: Внутрь!»: РП= РПП = ПП на СО2 ’■Пн; = + Р»= » П2; А6 (Вт: РШ-напряжение сдвига. Поскольку движение является устойчивым, локальная составляющая реальной производной равна нулю, а при равномерном (продольно равномерном) движении плотность распределения импульса ri вдоль потока не изменяется, и, следовательно, конвективная составляющая реальной производной также равна нулю. (5.61) результат перепишите в следующий формат.

• Гравитационный потенциал I)= & 2, следовательно, Г,=&гас1 <и = = −2-、 Объемный элемент (IV, предполагая, что стороны цилиндрические) называется (IV-oh?。 Где 2 [и 2-вертикальные координаты 2 произвольных соответствующих (на одной линии потока) точек сечения co и co2. Согласно Лемме 2 (см. раздел 5.1) и зависимости гидростатического давления от плоскости (2.33), последние 2 интеграла из (5.62) представляются в следующем виде: Где P3 и p? Это центр тяжести и давление w2. Перейдем к интеграционным соображениям на стороне аббока. Для простоты укажите напряжение сдвига pn ^ = M. Поскольку движения равномерны, можно взять полосу 1lZX в качестве элемента B. где b-длина выделенного управляющего объема, а 6X-основная длина смачиваемого участка (см. рис. 5.11).

Форма интеграла в этом случае имеет вид (5.63) если вы подставляете (5.65) в исходное уравнение (5.62)、 поскольку bx и r2 соответствуют любым соответствующим точкам в разделах 1-1 и 2-2, мы предполагаем, что это вертикальные координаты центроида разделов 1-1 и 2-2.Если разделить все члены уравнения (5.66) на p&W. Если движение в разрезе равномерное, как описано выше、 Где H-потенциальное давление. Имея это в виду, он представляет(5.67) в виде: Где I-пьезоэлектрическое смещение. Это общий вид основных уравнений равномерного движения.

Более широко эта формула используется в некоторых случаях, когда m является постоянным во всех точках вокруг увлажненной области. Людмила Фирмаль

• Это условие выполняется точно в цилиндрической форме и почти точно в прямоугольных каналах, которые очень широки. Уравнение(5.69) преобразуется в следующий вид Уравнения (5.71) и (5.72) используются не только для описанных выше случаев, но и для каналов с различными формами поперечного сечения, вводя в эти уравнения среднее касательное касательное напряжение вместо X. В заключение отметим, что при равномерном движении она равна 3 = 1e. при использовании формул (571) и (572) это учитывается далее.

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Вопрос №20. Основное уравнение равномерного движения жидкости. Формула Шези.

Рассмотрим прямолинейное равномерное движение жидкости. Живые сечения в этом случае могут быть произвольной формы, но не должны изменяться по всей длине рассматриваемого участка. В таком потоке потери напора определяются лишь потерями по длине.

Выделим из потока участок жидкости длиной l и запишем уравнение Бернулли для сечений 1 и 2( рис. 32 )

z1 , z2 — ординаты центра тяжести сечений 1,2,

p1 , p2 — давление в центрах тяжести этих сечений,

v1 , v2 — средние скорости в этих сечениях,

h1-2 — потери напора по длине.

Так как движение равномерное, то v1 =v2 и уравнение можно переписать так:

. (1)

В случае равномерного движения разность удельных потенциальных энергий равна потере напора по длине.

Для вычисления этой разности напишем сумму проекций на ось А-А всех сил, действующих на участке 1-2. Эти силы следующие:

1) сила тяжести жидкости

,

2) силы давления на плоские сечения

, , ,

,

где t — сила трения на единицу площади смачиваемой поверхности

русла, c — смоченный периметр,

4) силы давления стенок на жидкость ( эти силы не подсчитываем, так как они параллельны оси А-Аи, следовательно, их проекции на ось А-А равны нулю ).

Спроектируем все эти силы на ось А-А:

.

.

Подставим выражение для сил в уравнение

.

Разделим обе части этого равенства на , имеем

. (2)

Сравнивая выражения (1) и (2), находим

,

.

Отношение площади живого сечения S к смоченному периметру c называется гидравлическим радиусом

.

Величина обозначается через i и называется гидравлическим уклоном.

.

Это уравнение называется основным уравнением равномерного движения.

Величина имеет размерность квадрата скорости

.

Выражение — называется динамической скоростью, обозначается v*

.

Формула Шези — формула для определения средней скорости потока при установившемся равномерном турбулентном движении жидкости в области квадратичного сопротивления для случая безнапорного потока. Опубликована французским инженером-гидравликом А. Шези (AntoinedeChézy, 1718–1798) в 1769 году. Применяется для расчётов потоков в речных руслах и канализационых системах.

,

где V — средняя скорость потока, м/с;

C — коэффициент сопротивления трения по длине (коэффициент Шези), являющийся интегральной характеристикой сил сопротивления;

R — гидравлический радиус, м;

I — гидравлический уклон м/м.

Формула Шези имеет то же предназначение, что и формула Дарси-Вейсбаха. Коэффициент потерь на трение связан с коэффициентом сопротивления С следующей зависимостью:

.

Коэффициент сопротивления C может быть определён по формуле Н. Н. Павловского:

где n — коэффициент шероховатости, характеризующий состояние поверхности русла, для случая канализационных труб принимается в диапазоне (0,012. 0,015); для других случаев nbsp;— информация приведена в литературе [1]

у — показатель степени, зависящий от величины коэффициента шероховатости и гидравлического радиуса:

Эта формула рекомендуется для значений R [2]

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 161 ; Нарушение авторских прав

Режимы движения жидкости

Наука о движении жидкостей под действием внешних сил и о механическом взаимодействии жидкости и соприкасающихся с нею тел при их относительном движении называется гидродинамикой. Рассмотрим некоторые понятия и определения гидродинамики. Поток жидкости — ряд элементарных струек, движущихся в одном направлении в трубе. Живое сечение потока — перпендикулярное к основному направлению движения потока его поперечное сечение. Смоченный периметр — периметр поперечного сечения трубы, с которым соприкасается поток жидкости. Расход жидкости — количество жидкости, протекающей через живое сечение потока в единицу времени. Определяется по формуле Q = Fv, где F — площадь живого сечения, м 2 ; v — скорость движения жидкости, м/с.

Установившееся течение — основные параметры (скорость и давление) потока жидкости в любой точке потока не изменяются во времени. Неустановившееся течение — скорость и давление в определенных точках потока жидкости непостоянные, т. е. меняются во времени. Равномерное течение осуществляется в потоке, имеющем по длине одинаковые живые сечения, при этом в соответствующих точках сечений скорости и давления одинаковы. Неравномерное течение — живое сечение по длине потока жидкости меняется или скорости и давления в живых сечениях распределяются неодинаково.

Существуют два режима течения реальной капельной жидкости: ламинарный (струйный) и турбулентный (вихревой). Когда отдельные слои жидкости при малых скоростях движения перемещаются независимо (обособленно) друг от друга, т. е. наблюдается стройное, а именно послойное движение жидкости, — режим называется ламинарный. После достижения определенной скорости движения жидкости слоистое течение ее нарушается и движение становится беспорядочным, бесформенным — турбулентным.

Английским ученым О. Рейнольдсом было доказано, что характер течения зависит от соотношения между скоростью потока, диаметром трубы и вязкостью жидкости. Безразмерный параметр, называемый числом или критерием Рейнольдса, определяется по выражению Re = vd/v, где v — средняя скорость потока, м/с; d — внутренний диаметр трубы, м; v — коэффициент кинематической вязкости, м 2 /с.

Переход из ламинарного режима в турбулентный (и наоборот) происходит при определенном критическом числе Рейнольдса. При значении Re меньше критического движение потока жидкости ламинарное, при значении больше критического — турбулентное. Ламинарному режиму течения жидкости по гладким металлическим цилиндрическим трубам соответствуют значения Re 2200÷2300. В судовых системах встречаются все виды движения жидкости.

При течении сплошного потока несжимаемой жидкости и установившемся движении в трубе, ограниченной твердыми стенками, расход жидкости в любом живом сечении трубы есть величина постоянная:
Q = F1v1 = F2v2 — · · · = Fnvn = const, (1.2)
где F1 и F2 — площади разных сечений трубы; v1 и v2 — средние скорости течения жидкости в данном сечении трубы.

Уравнение (1.2) называется уравнением сплошности или неразрывности.

К установившемуся сплошному потоку несжимаемой идеальной жидкости, протекающей в жесткой трубе, применим закон сохранения энергии, т. е. энергия любой частицы струйки потока в любом его живом сечении есть величина постоянная и равна Еу = const, где Еу — энергия единицы массы (1 кг) текущей жидкости, или удельная энергия. В общем виде удельная энергия состоит из двух составляющих:
Еу = Еп + Ек, (1.3)
где Еп — потенциальная энергия; Ек — кинетическая энергия. В свою очередь, Еп — z + p/ρ, где z — удельная энергия положения выделенной единицы массы относительно какой-либо плоскости сравнения, называемая геометрическим напором.

В различных живых сечениях потока геометрический напор может иметь разные значения. Энергия положения характеризует работу, которую может произвести масса 1 кг выделенной жидкости при свободном падении с данной высоты. Единица геометрического напора выражается высотой столба жидкости в метрах. Вторая составляющая уравнения (1.3) является удельной энергией давления, т. е. потенциальной энергией 1 кг жидкости, создаваемой гидростатическим давлением, и называется пьезометрическим напором.

Избыточный гидростатический напор
p = ρh, (1.4)
где ρ — плотность жидкости; h — высота свободной поверхности жидкости от центра данного сечения. Из (1.4) следует, что h — = р/ρ. В рассматриваемых живых сечениях величина пьезометрических напоров равна
h1= p/ρ, h2 = p2/ρ, · · · , hн = pн/ρ (1.5)
Кинетическая энергия жидкости Ек = 0,5mv2. Отнесенная к 1 кг массы жидкости, т. е. когда m = 1 /g, кинетическая энергия (скоростной напор) равна Ек = v2/(2g). Величина Ек может измеряться высотой столба жидкости. Это следует из определения скорости свободно падающего тела v — √ 2ghc, откуда hс = v2/(2g)- Поэтому hc — это высота, падая с которой в среде, не имеющей сопротивления, 1 кг жидкости приобретает скорость v. В рассматриваемых живых сечениях потока скоростные напоры будут соответственно равны
Уравнение (1.7) называется уравнением Бернулли. Согласно этому уравнению полная удельная энергия идеальной жидкости в любом живом сечении элементарной струйки постоянна.

Рис. 1.1. К выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости

Рис. 1.2. Схема истечения жидкости из резервуара

На рис. 1.1 показаны картина истечения идеальной жидкости из резервуара по наклонной трубе переменного сечения (диаметры d1, d2, d3) и положение линий а—b—с—d—е—g, характеризующих энергетическое соотношение в различных сечениях потока. Так, в любом сечении трубы диаметром d1 кинетическая энергия (скоростной напор) жидкости hc1 больше кинетической энергии (скоростного напора) hс2 в любых сечениях трубы диаметром d2, тогда как потенциальная энергия (пьезометрический напор) h2 > h1.

Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. В самом деле, каждый член этого уравнения имеет линейную размерность. На рис. 1.1 можно заметить, что z1 и z2 — геометрические высоты сечений 1—1 и 2—2 над плоскостью сравнения, обозначенной условно 0—0; h1 и h2, а также hc1 и hc2 — соответственно пьезометрические и скоростные высоты в указанных сечениях.

При движении реальной (вязкой) жидкости скорости в сечении потока будут различны, что изменит значение энергии жидкости, проходящей в единицу времени через сечение потока. Неравномерность скоростей по сечению потока учитывается коэффициентом Кориолиса а, который равен 1,05—1,1 и в расчетах часто опускается.

Помимо учета неравномерности распределения скоростей по сечению потока для реальной жидкости необходимо учитывать потери напора на преодоление сопротивлений, которые обозначим hw. Тогда уравнение (1.7) примет вид
z1 + p1/ρ + a1v21/(2g) = z2 + p2/ρ + a2v22/(2g) + hw. (1.8)
Потеря напора hw при движении жидкости по трубопроводам, в свою очередь, состоит из потери напора по длине трубопровода hT и потери местных сопротивлений hм, т. е. hw = hт + hм.

Пользуясь уравнением Бернулли, рассмотрим случай установившегося течения жидкости по трубопроводу постоянного диаметра, присоединенному к резервуару, в котором поддерживается постоянное давление р2 и площадь сечения которого во много раз больше сечения трубопровода (v1v2 ≈ 0). Пусть в выходном сечении трубопровода действует постоянное давление р2 (рис. 1.2). Тогда на основании уравнения Бернулли можем написать z1 + (p1 — p2)/ρ = H = v2/(2g) или v = √2gR.

Контрольные вопросы
1. Какие вы можете дать определения понятиям «судовое устройство», «судовая система», «вспомогательный механизм»?

2. Какие свойства реальных жидкостей вы знаете?

3. Что такое вязкость и в каких единицах она измеряется?

4. Какие режимы течения реальной капельной жидкости вы знаете? Что такое критерий Рейнольдса и его значение при переходе от ламинарного режима к турбулентному?

5. Какой физический смысл имеет уравнение Бернулли?

6. Что такое расход жидкости и по какой формуле он определяется?

7. В чем отличие геометрического напора от гидростатического?