Метод сил — расчет статически неопределимых рам
При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.
Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.
Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:
1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.
Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:
1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.
Канонические уравнения метода сил
Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.
В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.
Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:
где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. 
— это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; 
— перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.
В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:
где 
— единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией 
т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.
Подставляя (2) в (1), получим:
Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.
Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:
Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.
Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы 
и побочные (
). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. 
.
Алгоритм расчета методом сил
Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:
1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.
Выбор основной системы
Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.
1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).
2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).
3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).
Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.
Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.
Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через 
, а единичная эпюра – через 
.
Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.
Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.
Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру 
— эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:
Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :
Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр — это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:
Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:
Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.
Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:
Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:
Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов
Окончательные эпюры можно построить двумя способами.
Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:
или, учитывая, что
приходим к выражению:
Аналогично определяется продольные и поперечные силы:
Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.
Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.
В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.
Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов
Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.
При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.
Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.
Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.
При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов перемножается с окончательной эпюрой моментов М:
Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:
Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.
Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:
Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.
Определение перемещений в статически неопределимых системах
Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов 
от единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:
где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.
Отметим, что при вычислении перемещения 
можно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов построить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.
Пример расчета
Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).
Степень статической неопределимости рамы:
n = r — s = 4 — 3 = 1
Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).
Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).
Грузовая эпюра моментов 
(рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.
При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:
Вычислим коэффициенты канонического уравнения:
Реакция лишних связи:
Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.
Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.
В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра (если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.
Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:
Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.
Точка пересечения кривой на ригеле эпюры Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:
откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).
2 канонические уравнения метода сил
Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил». Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяются и другие методы, например метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы.
Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связей. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы.
а-д) модификации основной системы
Рис.1. пример стержневой рамы:
Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Например, для рамы, показанной на рис. 1, можно предложить основные системы, а), б). которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 2 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы, с одной стороны, и статической определимости во всех узлах, с другой.
Рис.2.Некорректные преобразования заданной системы в основные по причине кинематической изменяемости- а) б), или статической определимости во всех узлах в)
После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо, как уже говорилось, ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать Xi-, где i номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы Xi, являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.
а)-д) по отношению к заданной системе
Рис.3. Пять разновидностей основных систем
Основная система, к которой приложены все внешние заданные силы и неизвестные силовые факторы, носит название эквивалентной системы. На рис. 3 показано пять эквивалентных систем, которые соответствуют приведенным выше основным системам (рис. 1). Принцип приложения неизвестных силовых факторов становится ясным без дальнейших пояснений.
Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных.
Обратимся к некоторому конкретному примеру. Рассмотрим, например, первую эквивалентную систему из числа представленных на рис. 3,4. Тем, что рассматривается конкретно взятая семь раз статически неопределимая система, общность рассуждений не будет нарушена.
Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через 
обозначать взаимное смещение точек системы.
Рис.4. Пример расчета рамы а)по выбранной основной системе- б)
Первый индекс при 
соответствует направлению перемещения, а второй силе, вызвавшей это перемещение.
В рассматриваемой раме в точке А отброшена неподвижная опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать:
Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х1, а индекс [Х1, Х2. Р] показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.
Аналогично можно записать:
Так как под величиной 
понимается взаимное смещение точек, то 
обозначает вертикальное смещение точки В относительно С, 
горизонтальное взаимное смещение тех же точек, 
есть взаимное угловое смещение сечений В и С. Угловым смещением будет также в рассматриваемой системе величина 
.
В точках A и D смещения 
являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.
Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений 
Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых 
, входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы с первым индексом под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, величину 
можно записать в следующем виде:
Что касается перемещений 
, 
и т. д., то под индексом Р будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной Поэтому величины 
, 
. в уравнениях оставим неизменными.
Теперь уравнения примут вид:
Эти уравнения являются окончательными и носят название канонических уравнений метода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы. В некоторых случаях, как увидим далее, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается. Остается теперь выяснить, что представляют собой коэффициенты 
и как следует их определять. Для этого обратимся к выражению (6.1).
Если 
, то
Следовательно, коэффициент 
это есть перемещение по направлению i-го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k-й фактор. Например, коэффициент 
уравнения представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек B и С, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил была приложена только единичная сила в точке А (рис. 5 а). Если, например, вместо сил 
приложив единичные силы, а все прочие силы с эквивалентной системы снять (рис. 5 б), то угол поворота в сечении D под действием этих сил будет 
, горизонтальное перемещение в точке А будет 
и т. д.
а) 
, б) 
и 
Рис.5. Интерпретация коэффициентов уравнений метода сил:
Весьма существенно отметить, что в проделанном выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения 
. Хотя мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено, вообще, к любой системе, работающей на кручение, растяжение и изгиб или на то, другое и третье совместно.
Обратимся к интегралам Мора. Для того чтобы определить величину 
, следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k-й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы 
, 
, 
, 
, 
и 
в интегралах Мора заменим на 
, 
, 
, 
, 
и 
, понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного k-го фактора. В итоге получим:
где 
, 
внутренние моменты и силы, возникающие под действием i-го единичного фактора. Таким образом, коэффициенты 
получаются как результат перемножения i-го и k-го внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и k непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то 
представляет собой результат перемножения i-х единичных эпюр на k-е единичные эпюры.
Это следует, с одной стороны, непосредственно из выражений для 
, а с другой стороны, из теоремы о взаимности перемещений, поскольку перемещения 
и 
возникают под действием одной и той же силы, равной единице.
Величины 
, входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1, 2. возникающие под действием заданных внешних сил в эквивалентной системе. Они определяются перемножением эпюры моментов заданных сил на соответствующие единичные эпюры.
Пример Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.
Рис.6. Заданная расчетная схема
Рама три раза статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая левую заделку. Действие заделки заменяем двумя силами 
, 
и моментом 
и определяем эквивалентную систему (рис. 7).
Рис.7. Динамика решения: от эквивалентной системы и силовой эпюры Р, включая эпюры моментов от единичных сил: 1, 2, 3 в точках приложения неизвестных 
, 
, 
Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид:
Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом. Поэтому, пренебрегая сдвигом и сжатием стержней, строим эпюры изгибающих моментов от заданной силы P и от трех единичных силовых факторов (рис. 7).
Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EJ. Величина 
определяется перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждого участка берется, следовательно, площадь эпюры и умножается на ординату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести:
Заметим, что величины 
при 
всегда положительны, поскольку площади эпюр и ординаты имеют общий знак.
Определяем, далее, и остальные коэффициенты уравнений, перемножая эпюры с соответствующими номерами:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокращений получаем:
, 
, 
Решая эти уравнения, находим:
, 
, 
Раскрытие статической неопределимости на этом заканчивается.
Рис.8. Суммарная эпюра изгибающих моментов.
Эпюра изгибающих моментов может быть получена наложением на эпюру моментов заданных сил трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в 
, 
и 
раза Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 8. Там же пунктиром показана форма изогнутой оси рамы.
Канонические уравнения метода сил
Канонические уравнения метода сил
- Канонические уравнения силового метода Дополнительное уравнение смещения, представляющее собой равное нулю смещение в направлении дополнительного неизвестного, имеет так называемую каноническую форму, то есть,、 Рис четыреста два Разделенная регулярность. Сначала рассмотрим некогда статически неопределенную систему(рис. 402, а). Тогда нагрузка нагрузка дается в основной системы и лишних неизвестных х(рис. 402, б), мы должны приравнять ноль к общему движению точек в основной системе в направлении X f D1=(P, X J=0. (14.4) Вычислите применимый принцип независимости силы: D|=Air+AI, где D1 / > — движется
от заданной нагрузки(рис. 402, в) \ DC-смещение от силы Х4. Если 6I-движется в направлении Xi Сила 1=1(фиг. 402, б）、 AI=^11^1 Рис четыреста три И уравнение перемещения (14.4) принимает вид 6cx (+A1/>=0). (I. 5) это каноническая форма уравнения перемещения для некогда статически неопределенной системы. Из Формулы(14.5) х(14.6) °11 Для систем с двумя дополнительными соединениями, например, h a, фиг. 403, а, дополнительные уравнения перемещения секции ОС а- Фоновая система(рис. 403, Б) принимает вид В=0; Л2-0″ — D1 (P, XH X2)-неизвестная мощность, необходимая при заданной нагрузке x ltx2, да-направление X I точки полного
движения от DG (P, Xt, x2) — направление X2 точки от заданной нагрузки Исходя Людмила Фирмаль
из принципа независимости действия сил, можно сделать вывод, что движение D (а D2-сумма перемещений, вызванных отдельно каждой неизвестной силой x x2 и заданной нагрузкой R). D: = DC+D12+Aip=0;(14D2-D21F D22+DGR=0. Полное перемещение D m OJ можно записать как произведение некоторого перемещения b, K, которое вызвано действием единичной силы, и величины соответствующей обобщенной силы: DC-btshr D|2=** * >Alft=^X K. Таким образом, уравнение (14.7) принимает вид BCC|4-b/2X2″B L1R»0*62tXt-|-822X2X2DP-0. (14.8) Это каноническая форма уравнения смещения для системы, дважды статически неопределенной. По аналогии можно записать уравнение перемещения произвольной n-кратной статической неопределенной системы в каноническом виде: W+ ^12^2 + • • • + B1ph p f L / R— 0; + ^22^2 + • • • + ^GPH » f D2p=0; (14.9) f6p2×2f• * * 6″ » хй ф д|р-0. Перемещения, входящие в ДГР и канонические
уравнения, чаще всего определяются методами Мора или Верещагина. При этом в случае балок и шпангоутов влияние поперечных и продольных сил обычно игнорируется, учитываются только изгибающие моменты. Однако для того, чтобы определить перемещение балки прямоугольного сечения, необходимо учитывать отношение высоты поперечного сечения к поперечной длине пролета y->p. при расчете статически неопределимой рамы с большим значением указанного отношения!- t — >продольные и поперечные силы также становятся значительными, ошибка, вызванная пренебрежением интегралом 401specially для высокой рамки. Заметим, что в конструкции реальных балок, рам и арок соотношение — ■обычно меньше, чем-jy. Поэтому при определении смещения по общей формуле Мора вполне допустимо сохранение
- интеграла с учетом только изгибающего момента. Чтобы определить смещение, постройте график изгибающего момента(например, фиг. 402)в основной системе задается нагрузка(состояние Р) и каждая единица силы отдельно: Xi=1(Состояние 1); x2—1(состояние 2);…; X p-1 (p-состояние). Вертикальная ось соответствующего графика показана, как обычно, Mr, Mi, Mg… М, п. Затем, исходя из Формулы (13.46)、 С «•••»&ПИАР — с Некоторое смещение, имеющее тот же индекс и называемое главным коэффициентом канонического уравнения, определяется как: С Очевидно, что эти шаги позитивны. Определенное смещение с неравным показателем и называемым боковым коэффициентом определяется по формуле С С Они могут быть положительными или отрицательными, а могут быть и нулевыми. Основанный на теореме взаимности смещения В
системе, состоящей из прямых элементов, удобно рассчитать смещение по методу Верещагина. Например, Статический неопределенный луч показан на рисунке. Четыреста два, Но рмср^Р=—^ — ;СЗК=
Л Противоречие 402, л » ПП. К Р а’р——— 48 £J ’ ° »
i f T * Из Формулы (14.6) x, — 4-р. В таких случаях, когда, помимо внешних нагрузок, необходимо учитывать влияние температуры, процедура расчета остается прежней. Свободный член канонического уравнения представляет собой перемещение в основной системе не только от заданной нагрузки, но и от изменения температуры: + ^12^2 + • • * + M p+AiP+D1G=……………………………………………………………………………… (14.10)) 6«] X1 4 «6/yx2+ * ’* 4 » ^X * 4 — & PR+ & PT= = 0, Где D / g-смещение основной системы в направлении силы x t, вызванное изменением температуры.
С определенными коэффициентами 6^и свободными членами DGR и D^g, из системы линейных уравнений Людмила Фирмаль
(14.10) находим дополнительное неизвестное значение усилия X, если x2,…XL. затем обычным способом строим график элементов системы с внутренними силами/V, Q, M. иногда удобно построить график путем сложения графика M R plot M i9L42, M P9 с предварительно умноженным значением X it y y. ^2″* * p* Л1=MjXi+м2^2 + ••• + м-р; м=QiXj+QzX2+ * • * +qpj успешно Н=Н jXj-Джей/V2X2 4″••* — [Н П. Важно отметить, что в возможных вариантах базовой системы буквенная форма нормального уравнения не изменяется. Меняется только геометрический смысл ненужных неизвестных и перемещений. Например, если выбрать в качестве ненужных неизвестные внутренние силы в любом сечении, то коэффициенты канонического уравнения будут равны соответствующей силе сечения в направлении ненужной неизвестной силы. Для риса. 404 показаны три градуса постоянной плоской рамы (а) и два варианта основной системы
(6 и Б). Для любой трехградусной статической неопределенной системы нормальное уравнение принимает вид 8cx1+6(2×2)-$13×3 4D / R=0; B2 (Xf4-622X2 4-623X3 4-D2P=0;631^14″632×2 4″633×3 4-DZR=0. (14.11) 403 путем выбора основной системы согласно первому варианту(фиг. 404, б) уравнение (14.11) выражает требование о том, что оно равно нулевому смещению сечения а в направлении х х 2 и Х 3. Второй вариант основной системы(рис. 404, в) образовано поперечным сечением поперечины. Вообще говоря, поскольку в плоской системе в разрезе имеются три силовых коэффициента (осевая сила, боковая сила и изгибающий момент), то на кромках разреза обозначается ненужная неизвестная сила, при выборе такой базовой системы уравнение(14.11) обнуляет общее взаимное
равенство сторон разреза в направлении дополнительного неизвестного числа перемещений. Например, третье уравнение системы (14.11) представляет собой взаимное вращение сторон разреза под действием нулевого движения в направлении X3, то есть заданной нагрузки и ненужной неизвестной силы. Принимая ненужные неизвестные внутренние усилия часто может значительно упростить расчеты. Например, Рис четыреста пять Когда начальная система симметрична(конфигурация и положение жесткости), основная система строит симметричную систему, потому что некоторые боковые коэффициенты канонического уравнения становятся равными нулю, что показано на рисунке при расчете
рамки симметрии. 404, а основную систему целесообразнее получить разрезом горизонтального стержня (перекладины) в центре(рис. 405, а). В этом случае основная система также будет симметричной. Затем, в дополнительных неизвестных, мы получаем симметричные силы xy X3 и кососимметричные x2. На рисунке показана фигура изгибающего момента от силы X4-1, x2=Ijh X3=1. 405, b-G. заметим, что графики Mi и M3 симметричны, и участок l4a является кососимметричным. Умножение симметричного графика на перекошенный симметричный график приводит к нулю. Определим смещение B12=B21. Используя метод Верещагина, вы можете использовать 8″ — e g(-4—t+ 4 — — 4 — ) = 0 —
также косо симметричен(рис. 405, а) и переместить D1R = DZR= = 0. Тогда из первого и третьего уравнений (14.13) следует, что симметричная сила в точке разреза равна нулю: ХВ=0;Х3=0. Обратите внимание, что если нагрузка симметрична, то график Mr также симметричен и D2P=0. Тогда из второго уравнения (14.13) следует, что кососимметричная сила x2=0. Например 65. График коэффициента силы на элементах каркаса показан на рисунке. 406, а. рама нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, приложенной к горизонтальной перекладине (перекладине). Легко видеть, что система не определена статически дважды. Для риса. 406,6—g указывает на несколько возможных вариантов эквивалентной системы. Для гонки- Рис четыреста шесть Давайте рассмотрим варианты, показанные на рисунке. 406,6. Чтобы определить две дополнительные неизвестные силы и XA, мы используем
каноническое уравнение (14.8″:+612ha » B D / p=0;^2iXj+622X2+ — d / p) для определения смещения данной нагрузки отдельно., 405X2=1 (Рис. 407, в). Так как стержень прямой, то его удобно менять, чтобы определить движение по закону Верещагина. Фигура изгибающего момента АФА показана на рисунке. 407, б. Чтобы определить площадь D и D2p участка, умножьте центроид участка на соответствующий участок и вертикальную ось L / 2. Один. И H
I и E1J1=E2J2 = E j принимаются здесь и используются, чтобы сделать его еще проще. Смещения 6^и B22 получены умножением эпюры Afj на L42 M/n MA:
2 2E-величина смещения канонического И так оно и есть. Знак формулы 406X2 «минус» является первым выбранным направлением этой силы (рис. 406, Б) должно быть изменено на противоположное. Принимая во внимание эквивалентную систему под действием сил X^и X2, наблюдаемых при данной нагрузке, то есть базовую систему, статически определимую, рассматривается конечный процесс коэффициента внутренней силы. На рисунке показана конечная фигура изгибающего момента, боковых и осевых сил. 403. Выберите прямоугольное поперечное сечение стержня каркаса q= * I TC/m, I — = 2m, затем материал стержня ST2, (a]=1400kgf/cm2,[t]=900kgf / cm*. Отношение высоты поперечного сечения a к ширине B равно 2: 1. Как видно из диаграммы внутренних
усилий(рис. 408), в опасном поперечном сечении Чшкс= = 43-103К г с. с М.; QMaKc=X=1143кгс; Поскольку осевое усилие пренебрежимо мало, размеры сечения выбираются только из условий прочности на изгиб:= = MC.— 43 * 103 3 q3[a] −1400′ Как 6 ’12′ Затем, округляя, получаем 12 * 30. 6cm7. 2 см; b=
= = 3,6 см; W=31. 1cm3. Максимальное нормальное напряжение на площади поперечного сечения определяется как сумма напряжений от действия изгибающего момента и осевой силы: ^max,/V / 43 000 71,5,9, » max — — — — — — th/ — +T= \ — 3M-+7,2•3,6 кгс / см= я Р Е в л Т2 8
И6£и J’ Один Я РН2, РН2 3Р-ЭГ С8 8EJ’ l1L2 2,, 1L2 2t2L3n «E1L2 3» * ’ £SJ3 2 3 3EJ ’L6, 3l1L2, L2 631-Et J t2′ £8J3 2’EJ ’ x_I u i, I, i,\P I7tp, 22Ev! x2 2+£2J2 2 2 2E3J3 2 8 3-12£J1x h1h ZL33 -£, -/, E2J2E3Ja-EJ • Рис четыреста одиннадцать Если присвоить выражения (14.15) и (14.14)найденным значениям 6 и D, то получится 4-M1-x, 4 — и C_4-LX,+X. — ^ — Нет. Семь. Двенадцать. ft3y Ph3EJ2«R16 на£Дж; Х I=0,1 8 7р; Х2=-0.107 П; хз=0,0 2 1П/Дж. Для риса. 411 показывает
эквивалентную систему и строит графики L4, Q, V. Вычислите рамку прямоугольника(рис. 412, А) состоит из двух одинаковых поперечин и двух стоек. Рама нагружается двумя равными и противоположно направленными силами, приложенными к середине перекладины. Внутри рамы температура титана и снаружи T2; l>l-JIT полка в поперечине e-ej2 жесткость. Рама, образующая замкнутый контур без шарнира, трижды статически неопределима. Задачи могут быть значительно упрощены, 4W÷симметрия системы и нагрузки. Выберите базовую систему симметрии, разрезав одну из стоек вдоль оси симметрии(рис. 412, б). Примените систему сил x t, x2, X3 в месте разреза. Как показано, для симметрии нагрузки поперечная сила x2=0. Теперь разрезаем каркас по оси а-а(рис. 412, б). Учитывая симметрию системы относительно оси B-B, сразу определим силу X s из условий
равновесия: 2×3=P’, X3=4′ В п $ Л1 TlTrJ 7а отечественные текстильные элементы стали длиннее(рис. 412, а) — сжатие. В дальнейшем, И так оно и есть., Для Lt=Z2-I Рис: сорок три Для риса. В случае 412\ — T2-дан график E-z коэффициента внутренней силы O, P=/=0. 67, например. Рассчитайте ферму, показанную на рисунке. 413, и в предположении, что все полюсы изготовлены из одного и того же материала и имеют одинаковое поперечное сечение, полюсы 5 и 6 не имеют общих узлов. Легко видеть, что система 411 не однажды определена статически. Основная ц Стея, полученная при разрезании стержня 6, показана на рисунке. 413, б. избыточная нелинейная сила X d определяется в этом случае из канонического уравнения,
представляющего собой равенство нулей взаимных перемещений сторон сечения: =0. Таблица 18 №. Стержень. Длина стержня 1 «Р Ж 2! Один. На П2 Два. 2Р — РА u2. А2 Два. Но 2/2 Два. Р -?■С Два.» Три. Но 1^2 Два. Ноль. Ноль. г 4а К2 Два. 2Р-Р а|^2а Тонны 5a^2 1-2R/2-4RA a/2 6A V2 V2 1 0 0a]«2 С — — — — П а — ^(5 — | — 4 F2) 2A(1+F2 Поскольку на элемент фермы действует только осевая сила, переменные DP и Aip определяются по формуле (см.§ 83). Шесть. =2 Один. EF9 (14.1 б Н^Пи эф’ (14.1 Один. Где Ni-сила в стержне от нагрузки X r=1, Np-сила в стержне от данной нагрузки. Для определения сил Np и Nt рассмотрим основные системы состояний P(рис. 413, Б) и состояние 1 (Рис. 413, г). х Удобно производить расчеты с помощью таблиц (вкладок). 18). Символы «mine» и A/p указывают на то, что соответствующая сила сжатия стержня в таблице одинакова для всех элементов, поэтому жесткость не задается 412 способами, Я d — = — tyg (5+4^,; 2O(1+^2) ФВ Подставляя эти значения в канонические уравнения, можно увидеть 5 + 4 / 2 2(2-hV2) P&1.56 p.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
http://toehelp.ru/theory/sopromat/38.html
http://lfirmal.com/kanonicheskie-uravneniya-metoda-sil/