Алгебра. 8 класс
Квадратные уравнения можно решать методом выделения квадрата двучлена.
Напомним формулы квадрата разности и квадрата суммы.
Рассмотрим уравнение 5x 2 – 6x + 1 = 0.
Преобразуем к приведённому виду. Разделим на 5 обе части уравнения: 
Второй коэффициент представим в виде произведения: 
Для выделения квадрата двучлена не хватает квадрата вычитаемого. Прибавим выражение 
к разности и, чтобы ничего не изменилось, вычтем его же: 
Преобразуем уравнение в квадрат двучлена: 
Перенеся слагаемые таким образом, чтобы в левой части был квадрат разности, а справа от знака равенства находилось свободное число, получим: 
Извлечение корня из квадрата приводит к двум линейным уравнениям:
или 
.
В итоге получим x = 1 или x = 0,2.
Алгоритм решение квадратного уравнения в общем виде
Деление на первый коэффициент квадратного трёхчлена – получение приведённого квадратного уравнения: 
Получение уравнения вида – квадрат многочлена слева, свободное число справа: 
Приведение к общему знаменателю: 
Число корней этого уравнения зависит от знака правой части.
4a 2 > 0, значит, знак дроби зависит от знака выражения b 2 – 4ac.
Возможны три случая.
1. D = b 2 – 4ac 2 – 4ac = 0.
Уравнение принимает вид 
, очевидно, что 
. Т. е. квадратное уравнение имеет один корень.
3. D = b 2 – 4ac > 0.
или 
.
Получим два корня:
или 
.
Формула корней квадратного уравнения
, где D = b 2 – 4ac.
Итак, чтобы решить квадратное уравнение необходимо найти его дискриминант. Если он будет отрицательным, то сделать вывод, что корней нет. Если дискриминант окажется положительным или равным нулю, то корни можно будет найти, используя формулу корней квадратного уравнения.
Решим уравнение 5x 2 – 6x + 1 = 0.
D = b 2 – 4ac = (–6) 2 – 4 • 5 • 1 = 36 – 20 = 16 > 0.
Значит, уравнение имеет два корня. 
Т. е. x1 = 0,2; x2 = 1.
Отдельно выделяют квадратные уравнения, у которых второй коэффициент является чётным числом.
D1 = k 2 – ac
1. D1 = k 2 – ac 2 – ac ≥ 0. Корни уравнения: 
.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Как решать квадратные уравнения
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.
Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.
Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.
Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.
Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.
Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:
- x 2 — 2x + 6 = 0
- x 2 — x — 1/4 = 0
В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.
- 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.
Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.
Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.
Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:
Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.
Полные и неполные квадратные уравнения
В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.
Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.
Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.
Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
| Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия: | |
|---|---|
Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:
Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам. Как решить уравнение ax 2 = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0. Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −6x 2 = 0.
Как решить уравнение ax 2 + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.
Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.
Разделим обе части на 8: Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение: Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0 0,5x = 0,125, Ответ: х = 0 и х = 0,25. Как разложить квадратное уравнениеС помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так: Формула разложения квадратного трехчлена Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2). Дискриминант: формула корней квадратного уравненияЧтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так: где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения. Эта запись означает: Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корнейТеперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни. В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней. Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться! Примеры решения квадратных уравненийКак решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике. Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.
Ответ: единственный корень 3,5. Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.
Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 3 и — 3. Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.
Ответ: два корня 0 и 1. Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.
Ответ: два корня 7 и −7. Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.
D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112 Ответ: корней нет. В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся. Формула корней для четных вторых коэффициентовРассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней: 2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″> Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид: где D1 = n 2 — ac. Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения. Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:
Формула ВиетаЕсли в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства: Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам. Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0. Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре: Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит: Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения: Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она: Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0. Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение. Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″> Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы. Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже. Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p> Упрощаем вид квадратных уравненийЕсли мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту. Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0. Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100. Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов. Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто. А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0. Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0. Связь между корнями и коэффициентамиМы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты: Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами. Например, можно применить формулы из теоремы Виета: Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3. Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: Разработка урока с презентацией»Еще одна формула корней квадратного уравнения » 8 классОбращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. Выберите документ из архива для просмотра:Выбранный для просмотра документ еще одна формула корней кв урав..ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Здравствуйте, ребята! Прошу занять свои места. Сегодня 14 марта, День недели – четверг. Слушайте меня внимательно, На вопросы отвечайте, Всё, ребята, подмечайте, Ничего не забывайте, Меня, прошу, не подкачайте. Поэтому будем сегодня работать все активно, хорошо и с пользой для ума.
14. 03. 18 Классная работа Тема урока: «Еще одна формула корней квадратного уравнения» «Думать — коллективно! Решать — оперативно! Отвечать — доказательно! Бороться — старательно! И открытия нас ждут обязательно! » Девиз урока: Цель урока: Вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений
Не всегда уравненья Разрешают сомненья Но итогом сомненья Может быть озаренье . 1.Что такое уравнение? 3.Что такое корень уравнения? 5.Почему коэффициент а не может равняться нулю? 2.Что значит решить уравнение? 4.Какое уравнение называется квадратным? 6.Какие существуют квадратные уравнения? 7.Как получаются неполные квадратные уравнения? 8.Как называются числа а, в, с? 9.Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? 10.Сколько корней может иметь уравнение каждого вида? Актуализация знаний
Под какими номерами стоят квадратные уравнения? Определите вид квадратного уравнения Сколько корней имеет уравнение 4), 6), 7), 9)? Проверь себя
Способы решения квадратных уравнений Метод выделения полного квадрата; Разложение левой части на множители; Графический. Применение формул корней квадратного уравнения; Введение новой переменной Применение теоремы Виета По сумме коэффициентов квадратного уравнения
Графиком функции является парабола прямая Прямая и парабола имеют только одну общую точку, значит уравнение имеет одно решение; Прямая и парабола имеют две общие точки, абсциссы этих точек являются корнями квадратного уравнения; Прямая и парабола не имеют общих точек, значит уравнение не имеет корней.
0 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y Прямая и парабола имеют две общие точки с координатами (-2;4) и (3;9). Ответ:-2 и 3.
0 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y Прямая и парабола имеют одну общую точку с координатами (2;4). Ответ: 2.
0 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y Прямая и парабола не имеют общих точек, значит уравнение не имеет действительных корней. Ответ: нет корней. Если b2-4ac >0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня 3. Если b2-4ac = 0. x1 = x2 = = 3 6х2 – 5х + 1 = 0; D = (–5)2 – 4 · 6 · 1 = 25 – 24 = 1, D > 0 x1 = x2 = б) 2х2 – 13х + 6 = 0; D = (–13)2 – 4 · 2 · 6 = 169 – 48 = 121, D > 0 x1 = x2 = = 6 6х2 – 13х + 2 = 0; D = (–13)2 – 4 · 6 · 2 = 169 – 48 = 121, D > 0. x1 = x2 = = 2.
Проверка заданий 2- ой группы 1) х2 + 4x + 9 = 0 D = 22 – 1 · 9 = -5 , D 0 −4+√4=−4+2= -2 x1 = x2 = −4-√4=−4-2= -6 3)16 х2 — 8x + 1 = 0 16 х2 – 2*4x + 1 = 0 D = 42 – 16 · 1 = 0 , D = 0 =−4+√0/16=−4+0/16= -1/4 х
Пример 2. Решите уравнение: Решение. Нам требуется решить обычное рациональное уравнение. Будем действовать по алгоритму.
Не забываем проверить знаменатель Корни числителя и знаменателя не совпали. Ответ:
Пример 3. Решите уравнение: Решение. Воспользуемся формулой полученной выше. Ответ:
Пример 4. Решите уравнение с параметром. Решение. Посмотрим как будет изменяться решение нашего уравнения при различных значениях параметра p. Оказалось, что при любом p уравнение всегда имеет два корня. Ответ:
Можно предположить, что корни уравнений ax2 + bx + c = 0 и cx2 + + bx + a = 0 являются взаимно-обратными числами. Докажем это x2 = x4 = Вычислим x1 ∙ x4 = = 1 Значит, х1 и х4 – взаимно-обратные числа. Аналогично доказывается, что x2 и x3 – взаимно-обратные числа ax2 + bx + c = 0.cx2 + bx + a = 0. x1 = x3 =
Что нового вы узнали сегодня на уроке? Опыт использования каких «старых»знаний вам сегодня пригодился? В каком случае удобнее воспользоваться формулой D1? 3х2+17х-6=0; 5х2+38х-16=0; 24х2+58х-5=0; 6х2-27х+12=0 Найдите корни квадратного уравнения x2+8x+10=0 по формуле для уравнений с четным вторым коэффициентом. Рефлексия
Вывод второй формулы корней квадрат. уравнений. §20 Решить задания № 694 № 696 № 698 Домашнее задание: У нас хорошие знания, поэтому мы можем решить любое квадратное уравнение. Мы знаем разные способы решения и можем их применять на практике. Учитесь и вам все будет по силам! Хорошие знания это билет в светлое будущее!
Оцените свою деятельность. Критерии выставления отметок «5» — 9-10 +, «4» — 7- 8+, «3» — 5-6+. Выбранный для просмотра документ техкарта урока Еще 1 ф-ла.doc Технологическая карта урока Тема урока Еще одна формула корней квадратного уравнения Тип урока Урок изучения нового материала Предметные: вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений Личностные: развивать готовность к самообразованию и решению творческих задач. Метапредметные : формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать по разным основаниям, моделировать выбор способов деятельности. Планируемые результаты: Учащийся научится решать математические задачи, используя квадратные уравнения. Основные понятия: Формула корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом. Организационная структура урока Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей. Проверка домашнего задания Включаются в деловой ритм урока. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. Регулятивные: организация своей учебной деятельности Личностные: мотивация учения 2 .Актуализация знаний Проверка домашнего задания 1)Устная фронтальная работа с классом. а) Какое уравнение называется квадратным? б) Какие виды квадратных уравнений вам известны? в) Какое уравнение называется неполным квадратным? г) Какое уравнение называется приведенным? д) Что значит решить уравнение? е) Сколько корней может иметь квадратное уравнение? ж) От чего зависит количество корней квадратного уравнения? и) Выпишите формулы корней квадратного уравнения Вспоминают и формулируют определения корректируют в случае необходимости ответы своих товарищей. Проверка домашнего задания Познавательные: структурирование собственных знаний. Коммуникативные: организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками. Регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Личностные: оценивание усваиваемого материала. 3.Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. Мотивирует учащихся, вместе с ними определяет цель урока; акцентирует внимание учащихся на значимость темы. Предложить учащимся для решения квадратное уравнение 15 х 2 – 34 х + + 15 = 0. Используя формулу нахождения корней квадратного уравнения Записывают дату в тетрадь, определяют тему и цель урока Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме. Регулятивные: формировать целевые установки. 4.Изучение нового материала. Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом выводится учителем совместно с учащимися путем фронтальной беседы. При выводе формулы обсудить тождественные преобразования. (Вынесение общего множителя за скобки; вынесение множителя из-под знака корня; сокращение рациональных дробей). Участвуют в работе по введению нового материала, отвечают на поставленные вопросы. Выводят новую формулу. Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме. Регулятивные: формировать целевые установки. Коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса. 5.Первичное закрепление изученного материала Сравните новую формулу для корней квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом с основной формулой корней квадратного уравнения. В чем ее преимущество? Сделайте вывод. Уч-ся работают в группах. № 659 (16,20), 660 (2,11) ,задания на карточках Обдумывают решение , работают в группах (задания дифференцированные) выставляют отметки на лист взаимоконтроля. № 659 (16,20), 660 (2,11) Проверка на слайдах. Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме. Регулятивные: формировать целевые установки. Коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса. корни уравнений ax 2 + bx + c = 0 и cx 2 + + bx + a = 0 являются взаимно-обратными числами. Докажем это Участвуют в работе по повторению материала, отвечают на поставленные вопросы. Познавательные: формирование интереса к данной теме. Личностные: формирование готовности к самообразованию. Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других. Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата. 7. Рефлексия подведение итогов урока Организует беседу о достижении поставленных целей урока, предлагает еще раз записать формулу, аргументирует оценки учащихся, отмечает достижения учащихся, намечает дальнейшие цели деятельности. Благодарит учащихся за урок. Ответьте на вопросы: а) отвечал(а) по просьбе учителя, но дал(а) неверный ответ; б) отвечал(а) по просьбе учителя, но дал(а) верный ответ; г) отвечал(а) по своей инициативе, дал(а) верный ответ;д) не отвечал(а). Регулятивные: оценивание собственной деятельности на уроке 8. Информация о домашнем задании Дает комментарий к домашнему заданию. Учащиеся записывают задание. Личностные: формирование готовности к самообразованию. Краткое описание документа:Урок изучения нового материала .Цель урока:вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений,формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать по разным основаниям, моделировать выбор способов деятельности .В результате урока учащийся научится решать математические задачи, используя квадратные уравнения.
Курс повышения квалификации Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Ищем педагогов в команду «Инфоурок» Дистанционные курсы для педагогов«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни» Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:5 582 397 материалов в базе Материал подходит для УМК
«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е. Глава 3. Квадратные уравнения Самые массовые международные дистанционные Школьные Инфоконкурсы 2022 33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок» Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:Оставьте свой комментарийАвторизуйтесь, чтобы задавать вопросы. Добавить в избранное
Настоящий материал опубликован пользователем Лядова Елена Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал. Автор материала
Московский институт профессиональной Дистанционные курсы |
