29 дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

Из теоремы о движении центра тяжести системы получаем дифференциальное уравнение для поступательного движения твердого тела. У нас есть L / ac = EAe). Однако при перемещении твердого тела ускорение во всех точках тела одинаково по модулю и направлению, то есть ac — a.

Некоторые представления о напряженном состоянии системы в заданном направлении можно вывести из силы смещения, которую можно назвать коэффициентом жесткости в заданном положении. Людмила Фирмаль

Где a — ускорение в любой точке тела. Учитывая это, из теоремы о движении центра тяжести получено следующее дифференциальное уравнение для поступательного движения тела в векторной форме: AW-Å † Когда проецируется на оси, это выглядит так: Mx = EFL; My = bFly, Mz = ZFL.

Это дифференциальные уравнения для поступательного движения твердого тела в проекции на декартовы оси. В этих уравнениях x, y и z являются координатами любой точки на теле, в частности, они являются координатами их центроидов. Поскольку поступательный объект имеет три степени свободы, он может составлять три дифференциальных уравнения движения.

Полное решение этой системы обыкновенных неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом состоит из общего решения однородных систем, полученного в задаче 18. Людмила Фирмаль

Дифференциальное уравнение для поступательного движения твердого тела аналогично дифференциальному уравнению для движения одной материальной точки. Эти уравнения могут быть использованы для решения той же проблемы, что и одна точка.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Дифференциальные уравнения поступательного движения

Основные задачи динамики твердого тела

В статике были рассмотрены условия равновесия системы сил, приложенных к абсолютно твердому телу и условия, при которых твердое тело находится в покое. Задание уравнений движения твердого тела и определение скоростей и ускорений точек твердого тела было рассмотрено в кинематике. При решении задач динамики твердого тела встают более сложные задачи, которые делятся на две основные группы. К первой группе относятся задачи, в которых по заданным уравнениям движения твердого тела требуется определить систему сил, под действием которых происходит это движение. Ко второй относятся задачи, в которых по заданным силам, действующим на тело, требуется при определенных начальных условиях найти уравнения движения тела, а для несвободного тела найти также реакции связей.

Рассмотрим движение твердого тела в плоскости. Для определения его положения требуется задать три независимых между собой параметра. Обычно это координаты центра масс , и угол поворота , который составляет ось х с осью на теле (рис. 4.1). Очевидно, что координаты центра масс , и угол полностью определяют положение твердого тела в плоскости.

Движение тела в плоскости обычно раскладывают на простейшие: поступательное движение тела, задаваемое уравнениями движения центра масс и вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела, задаваемое уравнением

Для получения законов движения воспользуемся теоремой о движении центра масс и теоремой об изменении кинетического момента.

Согласно теореме о движении центра масс (3.6), имеем

, т.е. .

Здесь m – масса тела, главный вектор внешних сил. Если тело не свободно, реакции связей считаем внешними силами.

Используя теорему об изменении кинетического момента относительно оси О z, перпендикулярной плоскости вращения Оху (3.18, а), имеем

Здесь кинетический момент тела, главный момент внешних сил.

Итак, законы движения тела в плоскости имеют вид

(4.1)

Дифференциальные уравнения поступательного движения

твердого тела

Для того, чтобы твердое тело двигалось поступательно, линия действия главного вектора внешних сил должна проходить через центр масс тела. Тогда угловая скорость и, соответственно, кинетический момент тела равны нулю.

Пусть тело движется поступательно, уравнения движения имеют вид: , а угол (рис.4.1). Тогда проекции дифференциального закона, описывающего поступательное движение твердого тела в плоскости, согласно (4.1), имеют вид

. (4.2)

Дифференциальный закон (4.2) имеет форму закона движения материальной точки в плоскости и в общем случае позволяет решить две основные задачи динамики:

· первая задача: по заданным уравнениям движения центра масс и , вычисляя вторые производные по времени и, используя (4.2), находят проекции главного вектора внешних сил и ;

· вторая задача: по заданным и и начальным условиям задачи (при заданы значения ), определяют уравнения движения центра масс: и ; методы интегрирования полностью аналогичны методам интегрирования дифференциальных уравнений прямолинейного движения точки.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Из общих теорем динамики можно получить дифференциальные уравнения движения твердого тела. При поступательном движении твердого тела все его точки движутся так же, как и центр масс. Поэтому дифференциальные уравнения поступательного движения получим из теоремы о движении центра масс: ; ; , (14.1) где М—масса тела;

, , — проекция главного вектора внешних сил на оси координат. Используя дифференциальные уравнения (14.1), можно решать две задачи динамики поступательного движения твердого тела:

1. по заданным уравнениям движения тела определять главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу;

2. по заданным внешним силам, действующим на тело, и известным начальным условиям определять закон движения тела, если оно движется поступательно;

Таким образом, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной его точки – центра масс тела.

Из теоремы об изменении кинетического момента системы относительно оси (10.15) с учетом (10.6) можно получить дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела или . (14.2) Уравнение (14.2) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела, с помощью которого можно решать следующие задачи:

1. по заданному уравнению вращения тела и известному моменту инерции определять главный момент внешних сил, действующих на тело: ;

2. по заданным внешним силам, приложенным к телу, и известным начальным условиям вращения и и моменту инерции находить уравнение вращения тела ;

3. по заданному закону вращательного движения тела и известному моменту внешних сил определять момент инерции тела относительно оси вращения.

Если к твердому телу приложен постоянно действующий момент внешних сил, то угловое ускорение тела также будет постоянным, т.е. может вращаться равноускоренно или равнозамедленно. Решение задачи целесообразно проводить в следующем порядке:

1. изобразить тело, вращение которого рассматривается;

2. приложить все активные силы и моменты, действующие на тело;

3. освободить тело от связей, заменив их реакциями;

4. составить уравнение вращательного движения;

5. решить полученное уравнение в соответствии с условием задачи.

Рисунок 46

К ведущему валу ременной передачи (рис. 46) приложен вращающий момент М_вр=200н/м. Натяжение ведущей и ведомой ветви ремня соответственно равны: Т₁=1500Н, Т₂=750Н. Определить момент трения в опорах ведущего вала, если вал вращается в соответствии с уравнением

, радиус шкива R=0,25м, масса вала со шкивом m=5кг и радиус инерции

=0,15м.

1. На вал действует сила тяжести , вращающий момент М_вр, момент трения в опорах М_тр, реакции опор , , , , натяжение ведущей и ведомой ветвей ремня.

2. Составим дифференциальное уравнение вращательного движения вала . (1) Момент инерции кгм 2 . Момент внешних сил относительно оси вращения . (2) Зная закон вращательного движения, определим угловое ускорение вала . (3) Выразим момент трения в опорах из уравнения (2) с учетом (1) и (3):

Нм.

Так как плоское движение твердого тела состоит из поступательного движения с центром масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, то дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела имеют вид: ; ; . (14.3) Первые два уравнения описывают поступательную часть движения тела вместе с центром масс. Третье уравнение выражает закон вращения тела вокруг оси, проходящей через центр масс. При решении задач динамики плоского движения твердого тела необходимо:

1. изобразить все внешние силы, приложенные к телу;

2. выбрать систему координат и определить положительное направление отсчета угла поворота ;

3. составить дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела;

4. решить систему уравнений в соответствии с условием задачи.

Барабан радиуса R весом

представляет собой ступенчатый цилиндр с радиусом r=0,6R (рис. 47). К концу намотанной на барабан нити приложена постоянная сила

, направление которой задано углом

. Кроме силы

к барабану приложена пара сил с моментом М=0,3РR. Барабан приводит в движение из состояния покоя и катится без скольжения по шероховатой горизонтальной поверхности. Пренебрегая сопротивлением качения, определить закон движения центра масс С барабана , т.е.

и наименьшее значение коэффициента

трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.

1. Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием заданных сил: , и момента М. Полная реакция шероховатой поверхности состоит из нормального давления и силы трения , направленной вдоль горизонтальной шероховатой поверхности. Так как направление движения барабана под действием приложенных сил заранее не известно, направление силы трения показываем произвольно.

;

; (1)

2. Составим дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения барабана:

или ; (2)

; (3)

. (4)

3. Определение уравнение движения центра масс барабана. Так как , , то уравнение (2), (3) и (4) содержат 4 неизвестных величины: N, F_тр, , . Так как центр масс барабана движется по прямолинейной траектории, . Мгновенный центр скоростей барабана находится в точке В: ; ; следовательно, . (5) Момент инерции однородного цилиндра . Подставив (5) в (4), и разделив на R, получим ;

. (6) Сложив равенства (2) и (6), получим (7) или . (8) Дважды проинтегрируем уравнение (8): ; (9)

. (10) Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определим из начальных условий:

x_C₀=0; C₂=0 . Окончательное уравнение движения центра масс барабана имеет вид: х_с=-0,266gt 2 . (11) Знак «-» показывает, что движение барабана происходит в направлении противоположном положительному направлению оси х.

4. Определение f_min.

При качении без скольжения сила трения удовлетворяет неравенству: . (12) Величину нормального давления N определим из уравнения (3): ; . Значение силы трения F_тр определим из уравнения (6), подставив в него значение : . Подставляя полученное значение силы трения в неравенство (12), получим , откуда . Следовательно, наименьшее значение коэффициента трения, при котором возможно качение барабана без скольжения f_min=0,38.

источники:

http://megaobuchalka.ru/15/27774.html

http://mydocx.ru/7-83742.html