Решение квадратных уравнений
Если вы хотите ввести неполную квадратичную параболу y=ax², y=ax²+bx или y=ax²+c вам нужно вместо соответствующих коэффициентов вписать 0. Если поля останутся пустыми программа впишет 1.
Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то нужно перед вводом перевести его в неправильную обыкновенную дробь. Т.е. 1 целая 1/2 вводить нужно будет как 3/2.
Общий вид квадратного уравнения
Квадратное уравление в котором все коэффициенты a,b,c не равны нулю называется полным квадратным уравлением.
ax 2 +bx+c=0 , где a≠0, x — неизвестное, a — старший коэффициент, b — второй или средний коэффициент, c — свободный член.
Выражение ax 2 +bx+c называется квадратным трёхчленом.
Квадратное уравнение в котором старший коэффициент a=1 называется приведённым вадратным уравлением. x 2 +px+q=0, p=b/a, q=c/a
Неполным квадратным уравнением называют такое квадратное уравнение в котором хотя бы один из коээффициентов(b,c), кроме старшего, равен нулю.
Как найти дискриминант квадратного уравнения
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:
13 = 12 — противоречие.
Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:
12 = 12 — верное равенство.
Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.
Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные
Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.
Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
Ответ: корень уравнения 3.
Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, значит уравнение имеет два корня:
Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
Неполные квадратные уравнения
Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида
в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:
ax 2 + bx = 0, | если c = 0; |
ax 2 + c = 0, | если b = 0; |
ax 2 = 0, | если b = 0 и c = 0. |
Решение неполных квадратных уравнений
Чтобы решить уравнение вида ax 2 + bx = 0 , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:
Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:
Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы
x = — | b | . |
a |
Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:
x1 = 0 и x2 = — | b | . |
a |
Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.
Пример 1. Решите уравнение:
a 2 — 12a = 0 | |
a(a — 12) = 0 | |
a1 = 0 | a — 12 = 0 |
a2 = 12 |
Пример 2. Решите уравнение:
7x 2 = x | |
7x 2 — x = 0 | |
x(7x — 1) = 0 |
x1 = 0 | 7x — 1 = 0 | ||
7x = 1 | |||
|
Чтобы решить уравнение вида ax 2 + c = 0 , надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:
ax 2 = —c, следовательно, x 2 = — | c | . |
a |
В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.
Если данное неполное уравнение будет иметь вид x 2 — c = 0 , то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:
В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.
Пример 1. Решите уравнение:
24 = 2y 2 | |
24 — 2y 2 = 0 | |
-2y 2 = -24 | |
y 2 = 12 | |
y1 = +√ 12 | y2 = -√ 12 |
Пример 2. Решите уравнение:
b 2 — 16 = 0 | |
b 2 = 16 | |
b1 = 4 | b2 = -4 |
Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-diskriminant-kvadratnogo-uravneniya
http://izamorfix.ru/matematika/algebra/nepolnye_kv_ur.html