3 дифференциальное уравнение свободных колебаний

Дифференциальное уравнение свободных колебаний

Для изучения любого физического явления необходима модель. Моделью для изучения механических колебаний является гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, которые могут быть описаны дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний, имеющим вид:

. (19.5)

Выражение (19.5) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, решением уравнения (19.5) является выражение (19.1).

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, математический и физический маятники.

Пружинный маятник — Пружинный маятник тело, подвешенное на пружине жесткостью k.Модель пружинного маятника показана на рис.19.1. Положение тела, при котором пружина не деформирована, является положением устойчивого равновесия. При отклонении тела от положения равновесия в результате деформации возникает сила упругости, которая согласно закону Гука равна .

Свободные колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Рис. 19.1

В случае пружинного маятника уравнение движения согласно второму закону Ньютона можно записать . Делим на m, получим:

. (19.6)

Учтем, что , получим уравнение (19.5)

Период колебаний пружинного маятника определяется как

. (19.7)

Потенциальная энергия пружинного маятника определяется как:

. (19.8)

Математический маятник. Математическим маятником называют подвешенный на тонкой нерастяжимой нити груз, размеры которого меньше длины нити, а масса больше массы нити.

Положение, в котором нить вертикальна – положение устойчивого равновесия. В положении устойчивого равновесия сила тяжести уравновешена силой натяжения нити , как показано на рис.19.2. При отклонении нити на угол α торавнодействующая сил тяжести и силы натяжения нити будет направлена к положению устойчивого равновесия.

. (19.9)

Если тело отпустить, то будем наблюдать свободные колебания. Во время колебаний можно считать, что меняется только координата х. Запишем проекцию равнодействующей силы на ось х

. (19.10)

При малых значениях a (a

4 о ) пренебрегаем движением вдоль оси y

(19.11)

Рис.19.2.

Из уравнения (19.10), учитывая (19.11) определим проекцию равнодействующей силы на ось х, которая согласно второму закону Ньютона равна

,

учтем, что , получим

Уравнение гармонических колебаний математического маятника можно записать в дифференциальной форме

. (19.12)

Подставим значение . Получим уравнение (19.5). Отсюда период математического маятника равен

, (19.13)

где l – длина математического маятника.

Физический маятник. Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр масс. Ось вращения, которого, расположена выше центра масс (рис.19.3).

При колебаниях физического маятника, возникает вращающий момент , который согласно основному уравнению динамики вращательного движения равен:

, (19.14)

где J – момент инерции,

ε – угловое ускорение,

l – расстояние между точкой подвеса и центром масс. Уравнение (19.14) можно записать в виде: или .

Принимая во внимание или .

Можно получить выражение периода колебаний физического маятника:

, (19.15)

где — приведенная длина физического маятника. Приведенная длина, приравнивается длине математического маятника с таким же периодом колебаний.

Рис.19.3.

Период колебаний физического маятника, следовательно, и его приведенная длина, немонотонно зависят от расстояния от точки подвеса до центра масс маятника. Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Штейнера (4.7) момент инерции выразить через момент инерции относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс. Тогда период колебаний будет равен

, (19.16)

где J₀ –момент инерции центра масс.

На практике значения низших собственных частот систем могут быть весьма малыми. Например, бельевая веревка, подвешенная на двух столбах, может в случае достаточного провисания совершать свободные колебания с частотой 1-2Гц. Колебания такого типа были обнаружены осенью 1959г. у проводов линии электропередачи, пересекавшей реку Северную, частота собственных колебаний была весьма низкой — около 1/8Гц. Провода диаметром 43мм, протянутые над рекой, были прикреплены к двум большим пилонам, расстояние между которыми превышало 1,6км. Было обнаружено, что когда ветер дул с небольшой силой, но в определенном направлении, возникали столь интенсивные низкочастотные колебания проводов, что эти провода, минимальное расстояние между которыми составляло 8,2м, входили в соприкосновение, вызывавшее короткое замыкание в системе электропередачи. (Была найдена вероятная причина этих колебаний, и в дальнейшем их удалось предотвращать путем покрытия тросов тонкой пластиковой лентой: благодаря этому изменялась геометрия поверхности, обтекаемой воздушным потоком).

Колебания проводов над рекой не представляют собой свободных колебаний, поскольку в этом случае пассивная система находилась под действием внешнего источника энергии — ветра. Однако характерно, что при решении этой проблемы инженерам, как обычно, потребовалась информация относительно значений собственных частот системы, близких к частоте наблюдавшихся колебаний.

18.3.Скорость и ускорение гармонических колебаний

Если материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат тогда зависимость координаты х от времени t описывается уравнением (19.1). Скорость и ускорение a колеблющееся точки соответственно равны:

, (19.17)

и , (19.18)

т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды скорости и ускоренияколебаний соответственно равны υ_max = Аw и a_max= Аw₀ 2 . Фаза скорости (19.17) отличается от фазы величины (19.1) на , а фаза ускорения (19.18) отличается от фазы величины (19.1) на . В момент времени, когда х=0скорость колеблющейся точки максимальна по величине и равна амплитуде скорости в моменты прохождения колеблющейся точки через положение равновесия. При максимальных смещениях (х =±А) скорость равна нулю. Вектор скорости всегда направлен в сторону движения.

Ускорение равно нулю при прохождении колеблющейся точки через положение равновесия и достигает максимального по величине значения, которое равно амплитуде ускорения, при максимальных смещениях колеблющейся точки. Вектор ускорения всегда направлен в сторону положения равновесия. Удаляясь от положения равновесия, колеблющаяся точка движется, замедлено, приближаясь к нему – ускоренно.

Рис.19.4.

График гармонического колебания, который описывается уравнением (19.1), скорость гармонического колебания, описываемая уравнением (19.17), и ускорение (19.18) показаны на рис.19.4. Видно, что смещение, скорость и ускорение гармонически колеблющейся точки являются периодическими функциями от времени с одинаковыми периодами.

Лекция №7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

Колебания − это движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение, амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

1) Смещение x − это величина, характеризующая колебания и равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2) Амплитуда колебаний А − это величина, равная максимальному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T − это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [T] = 1 с .

За период система совершает одно полное колебание.

4) Частота колебаний ν − это величина, равная числу колебаний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица измерения [ν]= 1 Гц . Частота определяется по формуле

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2π циклов колебаний, [ω]= с -1 . Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением

6) Фаза колебаний ωt + φ₀ − фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный момент времени.

7) Начальная фаза φ₀ − указывает местоположение колеблющейся точки в момент времени t = 0 .

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Сложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать графически с помощью метода векторной диаграммы.

Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды А . Для этого из произвольной точки O , выбранной на оси Ox , под углом φ₀ , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор амплитуды А . Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться по оси Ox и принимать значения от -A до +A , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону x = Acos(ωt + φ₀)

1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.

Сложим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x₁ и x₂ , которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания на векторной диаграмме. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А . Проекция этого вектора на ось Ox равна сумме проекций слагаемых векторов x=x₂+x₂ , следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды А потеореме косинусов

Так как угол между векторами А ₁ и А ₂ равен φ=π-(φ₂-φ₁) , то cos[π-(φ₂-φ₁)]=-cos(φ₂-φ₁) , следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего колебания

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси X , так и вдоль оси Y . Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

где φ − разность фаз обоих колебаний.

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6) параметр времени t: cosωt= $$x\over A_1$$ , а sinωt= $$\sqrt<1-cos^2 ωt>=\sqrt<1-x^2\over A_1^2>$$ Разложим косинус во втором из уравнений (5.2.6)

Перепишем это уравнение в следующем виде

После преобразования, получим

Используя тригонометрическое тождество cos 2 φ+sin 2 φ=1 , окончательно получим

Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и разности фаз.

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму траектории для них:

a) разность фаз равна нулю [φ=0]

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой $$A= \sqrt+A_2<^2>>$$ .

2) разность фаз равна ±π[φ=±π] .

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

3) Разность фаз равна ± $$π\over 2$$ [φ=± $$π \over2$$ ] . Тогда

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи φ=+ $$π\over 2$$ и φ=- $$π\over 2$$ отличаются направлением движения. Если φ=+ $$π\over 2$$ , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=-A₂sinωt и движение совершается по часовой стрелке. Если φ=- $$π\over 2$$ , , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=A₂sinωt и движение совершается против часовой стрелке.

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в. Рис

4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Продифференцируем по времени уравнение гармонических колебаний

и получим выражение для скорости

Из сравнения уравнений (5.3.1) и (5.3.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2 . Амплитуда скорости равна Аω .

Продифференцировав уравнение (2) еще раз по времени, получим выражение для ускорения

Как следует из уравнения (5.3.3), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент времени, когда смещение достигает наибольшего, положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот. Амплитуда ускорения равна Аω 2 (рис. 5.3.1).

Из выражения (5.3.3) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Результирующая сила, действующая на материальную точку массой m , определяется с помощью второго закона Ньютона. Проекция этой силы

Эта сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена в сторону противоположную этому смещению, т. е. она стремится вернуть точку в положение равновесия, и поэтому называется возвращающей силой . Таким образом, гармонические колебания происходят под действием силы F , пропорциональной смещению x и направленной к положению равновесия,

где k=mω 2 − постоянный коэффициент. Возвращающая сила подобна упругим силам, возникающим в телах при их деформации. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы, поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие зависимости (5.3.6) называются квазиупругими силами .

Материальная точка, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, называется линейным осциллятором . Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением

ω₀ − собственная частота осциллятора.

Решение этого уравнения дает закон движения линейного осциллятора x=Acos(ωt+φ₀) .

5.4. Энергия гармонических колебаний.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно (рис. 5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия возрастает. При прохождении через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к точке наибольшего отклонения происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана нулю. И т. д.

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2ω и амплитудой ωt kA 2

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармонические колебания.

1) Пружинный маятник − это материальная точка массой m , подвешенная (или расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m , прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ox F_упр=ma . Упругая сила F_упр=-kx . Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

Так как период колебаний определяется по формуле T= $$2π\over ω_0$$ , то период колебаний пружинного маятника

2) Математический маятник − это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m . Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент M , равный по величине mqlsinφ .Он имее акое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид: M=-mqlsinφ . Применим основно ательного движения

где L=ml 2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение ε= $$d^2φ\over dt^2$$ , получим

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний математического маятника

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M=-mglsinφ .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний математического маятника

Из сопоставления формул периодов колебаний математического и физического маятников T=2π $$\sqrt$$ и T=2π $$\sqrt$$ получается, что математический маятник с длиной

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Величина l_пр (отрезок OO′) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Свободные колебания без учета сил сопротивления

Лекция 3. Прямолинейные колебания точки

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Свободные колебания без учета сил сопротивления.

2. Сложение колебаний.

3. Энергия гармонических колебаний.

4. Понятие о фазовой плоскости.

5. Свободные колебания в поле постоянной силы.

6. Параллельное включение упругих элементов.

7. Последовательное включение упругих элементов.

8. Вынужденные колебания. Резонанс.

9. Свободные колебания с вязким сопротивлением.

10. Вынужденные колебания с вязким сопротивлением.

Изучение данных вопросов необходимо для динамики колебательного движения механических систем, теории удара, для решения задач в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Детали машин».

Свободные колебания без учета сил сопротивления.

Движения, обладающие той или иной степенью повторяемости, называются колебаниями.

Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд, с высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы, в земной ионосфере и атмосфере циркулируют потоки заряженных частиц, ветры возбуждают колебания воды на поверхности водоемов. Внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные, ритмично повторяющиеся процессы, например, с удивительной надежностью бьется сердце, даже психика людей подвержена колебаниям. В виде сложнейшей совокупности колебаний частиц и полей можно представить «устройство» микромира.

В технике колебания либо выполняют определенные функциональные обязанности (маятник, колебательный контур, генератор), либо возникают как неизбежное проявление физических свойств (вибрация машин и сооружений, неустойчивости и вихревые потоки при движении тел в газах).

В физике выделяются колебания механические, электромагнитные и их комбинации. Это обусловлено той исключительной ролью, которую играют гравитационные и электромагнитные взаимодействия в масштабах, характерных для жизнедеятельности человека. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем бóльшую часть прямой информации об окружающем нас мире.

По мере изучения колебаний различной физической природы возникло убеждение о возможности общего, «внепредметного» подхода к ним, основанного на свойствах и закономерностях колебательных процессов вообще. В результате появилась теория колебаний и волн. Основным математическим аппаратом теории колебаний являются дифференциальные уравнения.

Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, на­пример в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической природе, основные законы этих коле­баний во всех случаях остаются одними и теми же. Поэтому изуче­ние механических колебаний является важным не только по той причине, что такие колебания очень часто имеют место в технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении меха­нических колебаний, могут быть использованы для изучения и уясне­ния колебательных явлений в других областях.

Если значения физических величин, изменяющихся в процессе движения, повторяются через равные промежутки времени, то такое движение называется периодическим. Примерами периодического движения могут служить движение планет вокруг Солнца, движение поршня в цилиндре двигателя внутреннего сгорания и др. В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма» его возбуждения различают механические и электромагнитные колебания. Колебательную систему вне зависимости от ее физической природы называютосциллятором. Примером осциллятора может служить колеблющийся груз, подвешенный на пружине или нити.

Полным колебаниемназывают один законченный цикл колебательного движения, после которого оно повторяется в том же порядке.

По способу возбуждения колебания делят на: свободные(собственные), происходящие в представленной самой себе системе около положения равновесия после какого-либо первоначального воздействия; вынужденные – происходящие при периодическом внешнем воздействии (например, колебания моста при прохождении по нему поезда или раскачивание человеком качелей); параметрические– происходящие при изменении какого-либо параметра колебательной системы; автоколебания– происходящие в системах, самостоятельно регулирующих поступление внешних воздействий.

Собственные колебания являются не только самыми распространенными, но и самыми важными с точки зрения теории колебаний, так как условия возникновения и характер всех других типов колебаний существенно зависят от характера собственных колебаний.

Начнем с изучения свободных колебаний точки без учета сил сопротивления. Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восстанавливающей силы , направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы на ось Ох (рис.1) будет равна

Рис.1

Сила , как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где F=0; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила. Примером такой силы является сила упругости. Коэффициент c пропорциональности называется жесткостью упругого элемента.

Любая другая сила, неупругая по природе, но удовлетворяющая соотношению F = – cx, называется квазиупругой.

Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное уравнение движения получим

Деля обе части равенства на т и вводя обозначение

приведем уравнение к виду

Уравнение представляет собою дифференциальное уравне­ние свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Реше­ние этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x=e nt . Полагая x=e nt , получим для определения п так называемое характеристиче­ское уравнение, имеющее в данном случае вид п 2 + = 0. Поскольку корни этого характеристического уравнения являются чисто мнимыми ( ), то, как известно из теории дифференциальных уравне­ний, общее решение имеет вид

где C₁ и С₂ — постоянные интегрирования. Если вместо постоянных C₁ и С₂ ввести постоянные а и , такие, что , то мы получим или .

Это другой вид решения, в котором постоянными интегрирования являются A и . Им удобнее пользоваться для общих исследований.

Скорость точки в рассматриваемом движении равна

.

Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть сведены к совокупности простейших периодических колебаний, называемых гармоническими.

Колебания, совершаемые точкой по закону косинуса или синуса или называются гар­моническими колебаниями.

Система, закон движения которой имеет такой вид, называется одномерным (линейным) классическим гармоническим осциллятором или сокращенно гармоническим осциллятором.

Скорость и ускорение гармонического осциллятора находят, взяв первую, а затем вторую производные от смещения x:

Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим; во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Всем характеристикам этого движения можно дать наглядную ки­нематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся равномерно по окружности радиуса а из положения В₀ определяемого углом (рис.2).

Пусть постоянная угловая ско­рость вращения радиуса ОВ равна . Тогда в произвольный момент времени t угол и про­екция М точки В на диаметр, перпендику­лярный к DE, движется по закону , где х=ОМ, т.е. совер­шает гармонические колебания.

Рис.2

Величина A, равная наибольшему откло­нению точки М от центра колебаний, назы­вается амплитудой колебаний. Величина называется фазой колебаний.

Фаза колебания определяет смещение в момент времени t. Начальная фаза α определяет смещение тела в момент начала отсчета времени.

Фаза колебаний представляет собой угловую меру времени, прошедшего от начала колебаний.

Колебания точки, происходящие с постоянной амплитудой, называютнезатухающими,а колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой – затухающими.

Величина k, совпадающая с угловой скоростью вращения радиуса ОВ, показанного на рис.2 называется круговой (круговой) частотой колебаний.

Циклической иликруговой частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за время 2π с:

Промежуток времени Т (или ), в течение которого точка совер­шает одно полное колебание, называется периодом колебаний.

По истечении периода фаза изменяется на . Следовательно, должно откуда период

Величина , обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называется частотой колебаний

Отсюда видно, что величина k отличается от Т только постоянным множителем . В дальнейшем мы обычно для краткости частотой колебаний будем называть величину k.

Единица частоты колебаний — герц (Гц). Герц – это частота колебаний, период которых равен 1 с: 1 Гц = 1 с –1 .

Если положение тела в любой момент времени может быть описано единственным параметром, то тело имеет одну степень свободы. Такое колеблющееся тело называют одномерным осциллятором.

Значения A и определяются по начальным условиям. Считая при t=0 получим и . Отсюда, складывая сначала квадраты этих равенств,а затем деля их почленно, найдем:

Отметим, что свободные колебания при отсутствии сопротивления обладают следующими свойствами: 1) амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий; 2) частота k, а следова­тельно, и период Т колебаний от начальных условий не зависят.

Рис.3

Влияние постоянной силы на свободные колебания точки. Пусть на точку М, кроме восстанавливающей силыF,направленной к центру О, действует еще постоянная по модулю и направлению сила Р (рис.3). Ве­личина силы F по прежнему пропорциональна расстоянию от центра О, т.е. .

Очевидно, что в этом случае положением рав­новесия точки М будет центр О₁ отстоящий от О на расстоянии , которое определяется равенством или

Величину назовем статическим отклонением точки. Примем центр O₁ за начало отсчета и направим координатную ось О₁х в сторону действия силы . Тогда . В результате, составляя дифференциальное уравнение дви­жения и учитывая, что согласно равенству , будем иметь:

Отсюда заключаем, что постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину ста­тического отклонения .

Физический маятник. Представляет собой твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс (центр тяжести) тела (рис.4).

Рис.4

Колебания маятника, как и в случае математического маятника, совершаются под действием силы тяжести:

Если маятник отклонить на некоторый угол j от положения равновесия, то на него будет действовать момент силы:

(или для малых углов M=mgφl), возвращающий его в исходное положение, где l – расстояние от точки подвеса О до центра тяжести маятника – С.

Воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения , запишем уравнение колебаний физического маятника:

Решением этого уравнения является выражение вида

где — частота собственных колебаний маятника.

Таким образом, маятник будет совершать гармонические колебания, период которых определяется выражением

Приведенная длина физического маятника (l_пр) – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника:

Математический маятник. Это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити по дуге окружности в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (рис. 5).

Рис.5

Момент силы, действующей на маятник равен,

Знак « – » указывает, что момент силы противоположен направлению поворота. Так как угол φ мал, то sinφ≈φ и M= -mglφ.

Основное уравнение динамики для вращающегося тела имеет вид

,

Для математического маятника момент инерции J=ml 2 , а угловое ускорение Тогда как уравнение движения математического маятника запишется

Перепишем это уравнение в следующем виде:

Мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, решением которого является

где частота собственных колебаний маятника , т.е. период собственных колебаний равен

Выражение определено только для малых углов φ.

Пружинный маятник. Это система, состоящая из груза массы m, прикрепленного к пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с массой груза.

Рис.6

При малом смещении шарика вправо относительно положения равновесия (рис.6) на него действует возвращающая сила F – сила упругости, пропорциональная смещению х и направленная к положению равновесия:

где k – коэффициент упругости [Н/м].

Уравнение движения пружинного маятника определяется вторым законом Ньютона:

Так как то уравнение движения шарика примет вид

Преобразуем это уравнение:

где ω₀ — круговая частота собственных колебаний.

Следовательно, период собственных колебаний пружинного маятника будет определяться выражением

Запишем общий вид дифференциального уравнения гармонических колебаний:

Решением этого уравнения является функция x=Acos(ω₀t+φ₀), что можно проверить подстановкой. График x(t) приведен на рисунке 6.1.

Рис.6.1

Свойствами маятников широко пользуются в различных приборах (в часах, в приборах для определения ускорения свободного падения, ускорений движущихся тел, колебаний земной коры, в гироскопических устройствах, в приборах для экспериментального определения момента инерции тел).

Сложение колебаний

Векторная диаграмма колебаний.Решение многих вопросов, в том числе сложение нескольких колебаний одного и того же направления, значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости (рис.7).

Рис.7

Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью w, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от +А до –А, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону:

Следовательно, гармоническое колебание может быть задано с помощью вращающегося вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол φ, равный начальной фазе колебания. Вращение вектора х может быть задано уравнением

Сложение колебаний одного направления. Биения.Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебательных процессах, происходящих вдоль одного и того же направления. Например, шарик, подвешенный на пружине к потолку вагона, качающегося на рессорах, участвует в собственных колебаниях относительно вагона и в колебаниях вагона относительно Земли. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, но с различными начальными фазами и амплитудами:

Представим оба колебания на векторной диаграмме и построим по правилам сложения векторов результирующий вектор (рис. 7.1).

Рис.7.1

Так как проекция на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов, следовательно, вектор представляет собой результирующее гармоническое колебание той же частоты ω, с амплитудой А и начальной фазой φ. Из построения видно, что по теореме косинусов можно записать:

Итак, при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты, направленных по одной и той же прямой, результирующее движение – также гармоническое колебание с той же частотой ω и с амплитудой А, лежащей в пределах

Если фазы обоих колебаний одинаковы φ₂=φ₁, то амплитуды колебаний просто складываются A=A₁+A₂.

Если φ₂-φ₁=π, то колебания находятся в противофазе, и A=|A₁-A₂|, в частности, если A₁=A₂, то A=0, т.е. оба колебания взаимно уничтожаются.

Биениями называют периодические изменения амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами (рис.7.2) (T – период биения).

Рис. 7.2

Биение возникает вследствие того, что разность фаз между двумя колебаниями с различными частотами все время изменяется так, что оба колебания оказываются в какой-то момент времени в фазе, через некоторое время – в противофазе, затем снова в фазе и т.д. Если А₁ и А₂ – амплитуды двух накладывающихся колебаний, то при одинаковых фазах колебаний амплитуда достигает наибольшего значения A=A₁+A₂, а когда фазы колебаний противоположны, амплитуда падает до наименьшего значения A₁-A₂. В простейшем случае, когда амплитуды обоих колебаний равны, их сумма достигает значения 2А при одинаковых фазах колебаний и падает до нуля, когда они противоположны по фазе.

Результат наложения колебаний можно записать в виде

где ω₁ и ω₂ — циклические частоты двух накладывающихся гармонических колебаний.

Если ω₁ и ω₂ мало различаются, то величину в уравнении (5) можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду (огибающую) колебания, происходящего по закону

Частота Ω=ω₁-ω₂ называется циклической частотой биений.

— период биений.

По мере сближения частот ω₁ и ω₂ частота биения Ω уменьшается, исчезая при ω₁ → ω₂ («нулевые» биения). Определение частоты биения между измеряемым и эталонным колебаниями – один из наиболее точных методов измерения частоты, широко применяемый на практике. Метод биений применяют для измерения емкости, индуктивности, для настройки музыкальных инструментов, при анализе слухового восприятия и т.д.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.Рассмотрим систему, обладающую двумя степенями свободы, т.е. такую систему, для задания положения которой нужны две координаты.

На рисунке 8 тяжелый шарик, подвешенный на легкой длинной пружине, совершает маятникообразные колебания в одной плоскости. Если растянуть и отпустить пружину, то шарик будет двигаться по некоторой сложной траектории, участвуя в двух колебаниях.

На рисунке 8.1 показан тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. Этот шарик может совершать одновременно колебания во взаимноперпендикулярных направлениях, причем частоты колебаний одинаковы, в этом случае вид колебаний будет зависеть от разности фаз обоих колебаний.

Рис.8

Рис.8.1

Рассмотрим результат сложения взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной и той же частоты w, совершающихся вдоль координатных осей х и у. Уравнения этих колебаний запишутся следующим образом:

где φ – разность фаз колебаний.

Чтобы получить уравнение траектории точки, нужно исключить из этих уравнений параметр t. Из первого уравнения следует, что

тогда с учетом, что sin 2 ωt+cos 2 ωt=1, можно записать

Преобразуем второе уравнение (6):

Подставим sinωt и cosωt (7) и (8) и избавимся от корня:

Возведем обе части равенства в квадрат:

После преобразования имеем

Как известно из аналитической геометрии, полученное уравнение является уравнением эллипса, ориентация и значение полуосей которого относительно осей х и у зависит от амплитуд А и В и разности фаз φ. Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях.

1. φ=0. В этом случае уравнение примет вид

Это уравнение прямой, следовательно, в этом случае точка движется по прямой (рис. 8.2).

Рис.8.2

2. φ=±π. Уравнение траектории примет вид

т.е. в этом случае точка гармонически колеблется вдоль прямой (рис.8.3).

Рис.8.3

3. При φ=± уравнение траектории примет вид

Это уравнение эллипса, полуоси которого равны соответствующим амплитудам колебаний. Если А = В, эллипс вырождается в окружность; при движение происходит по часовой стрелке, при точка движется по эллипсу против часовой стрелки (рис. 8.4).

Рис.8.4

Фигуры Лиссажу.Если частоты двух взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу (таблица 1).

Метод фигур Лиссажу – широко распространенный способ сравнения (измерения) частот двух складываемых колебаний, т.к. отношение частот обратно пропорционально количеству точек касания кривой с соответствующей осью: