Построение графиков с помощью упрощения уравнения функции
Построение графиков с помощью упрощения уравнения функции. При построении графиков функций сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана: Найти область определения и область значений функции. Выяснить, является ли функция четной (нечетной). Выяснить, является ли функция периодической. Найти точку пересечения графика функции с осью ординат. Найти нули функции и промежутки знакопостоянства. Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых могут существовать экстремумы. Найти промежутки монотонности функции. Определить экстремумы функции. Вычислить вторую производную f(x) Определить точки перегиба. Найти промежутки выпуклости функции. Найти асимптоты графика. Найти значения функции в нескольких контрольных точках. Построить эскиз графика функции.
Слайд 13 из презентации «Графики сложных тригонометрических функций»
Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Графики сложных тригонометрических функций.ppt» можно в zip-архиве размером 324 КБ.
Тригонометрические функции
«Функция y sinx» — sin(?/4). Построение графика функции y = sinx с применением тригонометрического круга. sin(?/3). У=sinх. , График симметричен относительно начала координат. Функция возрастает. Основные свойства функции у=sinx. Множество значений. y = cosx. P — три клетки. Периодическая. cos(?/6). На интервалах (0+2?k; ?+2?k),
«Построение графиков тригонометрических функций» — График функции y=f(x + t) + m. У2 = 2sinx. Y=sin(x — 0,75) + 2. Y1 = sinx. У = 2,5cos(x + 1,5 )-1. Графики функций. Применение программы MS Excel. Y = sin(x + 1,5) +2. Перенос графика вдоль оси Ох. Параллельный перенос графика. Преобразование графиков. У2 = sinx + 2. Формирование знаний. Построение.
«Графики тригонометрических функций» — Y=sin0.5x. y =sin (x+ p/4). Графиком функции у = cos x является косинусоида. Постройте график Функции у =sin(x+p/4). Постройте график функции: y=sin (x — p/6). Свойства функции у =sin x. y = sin x. Свойства функции у = sin x. 8. Область значений: Е(у) = [-1;1]. Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций:
«Преобразование графиков тригонометрических функций» — Вводное слово учителя. Ученик второй. Ученик четвётый. Ученик пятый. Развить умение наблюдать, сравнить, обобщать. 2.Растяжение графика вдоль оси абсцисс y=f(
Индивидуальный проект на тему «Построение сложных тригонометрических графиков»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Георгиевский региональный колледж «Интеграл»
По дисциплине « Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»
На тему: «Построение сложных тригонометрических графиков»
Выполнила студентка группы ДУ-61, обучающаяся по специальности
«Документационное обеспечение управления и архивоведение »
Куренкова Надежда Алексеевна
Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.
Дата сдачи: « » 2017г.
Дата защиты: « » 2017г.
Цель: выявление методов построения графиков сложных тригонометрических функций.
проанализировать литературу по проблеме исследования;
раскрыть сущность методов построения графиков сложных тригонометрических функций;
подобрать и разработать творческие задания, способствующие развитию навыков построения графиков сложных тригонометрических функций
Актуальность исследования: Анализ материала, посвящённого построению графиков сложных тригонометрических функций в учебных пособиях «Алгебра и начала математического анализа» разных авторов, учёт целей изучения данной темы. Атак же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.
Основной целью написания данного проекта является представление общих методов построения графиков сложных тригонометрических функций.
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
3. Построение графиков с помощью упрощения формулы. Примеры.
Функция выражает зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний химия, физика, биология, социология и др. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи между этими объектами в реальном мире. Впервые функция вошла в математику под именем “переменная величина”, в труде французского математика и философа Рене Декарта в 1637 году. Сам термин “функция” впервые встречается в рукописи немецкого математика и философа Г.Лейбница. Леонард Эйлер ввёл принятые сейчас обозначения для функций. Сложный, очень длительный путь развития понятия функции. С ним связаны имена Н.И.Лобачевского, Л.Дирихле, Г. Кантора. Сейчас многие науки берут на вооружение математический аппарат. Такие функциональные зависимости, например, возраст деревьев, развитие папоротника изучает наука биология. Функции помогают описывать процессы механического движения тел небесных и земных. С помощью них учёные рассчитывают траектории движения космических кораблей и решают множество технических проблем. Наряду с другими функциями тригонометрические занимают важное место. Тригонометрия возникла из практических нужд человека. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер. Почему летом жарко? Многие считают, что летом жарче, так как Земля находится ближе всего к солнцу, но это не так. Орбита Земля – это почти круг, в центре которого находится солнце, и расстояние от Земли меняется незначительно из месяца в месяц. Всё дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты. Зимой солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом солнце приближается к зениту, лучи его падают почти отвесно. Поток солнечной энергии одинаков во все времена. Он зависит от угла падения лучей. Меняется угол падения и меняется доля солнечной энергии. Зависимость солнечной энергии от угла падения лучей и выражает график y = sinx.
В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры за 10 класс. Тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание. Все выше сказанное и обуславливает актуальность выбора темы для данной работы.
1. Определение синуса и косинуса
Синус , одна из тригонометрических функций, обозначение sin. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе. Инд. математики синус обозначали словом «джива» (букв. — тетива лука). Арабы переделали этот термин в «джиба», который в дальнейшем превратился в «джайо» — обиходное слово арабского языка, означающее изгиб, пазуха, складка одежды, что соответствует латинскому слову sinus.
Косинус (новолат. cosinus, сокращение от complementi sinus — синус дополнения), одна из тригонометрических функций; обозначение cos. К. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе.
Т а нгенс (от лат. tangens — касающийся), одна из тригонометрических функций; обозначение tg. Т. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к катету, прилежащему к этому углу.
Кот а нгенс (новолат. cotangens, сокращение от complementi tangens — тангенс дополнения), одна из тригонометрических функций , обозначение ctg. К. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к противолежащему катету.
Синусом α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)
Косинусом α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)
Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
Секансом α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету)
Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету)
3. Построение графиков с помощью упрощения уравнения функции. При построении графиков функций сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана.
Найти область определения и область значений функции.
Выяснить, является ли функция четной (нечетной).
Выяснить, является ли функция периодической.
Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.
Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.
Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых могут существовать экстремумы.
Найти промежутки монотонности функции.
Определить экстремумы функции.
Вычислить вторую производную f ( x )
Определить точки перегиба.
Найти промежутки выпуклости функции.
Найти асимптоты графика.
Найти значения функции в нескольких контрольных точках.
Построить эскиз графика функции.
a) Если sin x ˃ 0, то y=2 cos x │sin x│
Построение графиков функций
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
- х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
- стационарные и критические точки;
- точки экстремума;
- нули функции;
- точки разрыва функции.
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
- Найти область определения функции.
- Найти область допустимых значений функции.
- Проверить не является ли функция четной или нечетной.
- Проверить не является ли функция периодической.
- Найти нули функции.
- Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
- Найти асимптоты графика функции.
- Найти производную функции.
- Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
- На основании проведенного исследования построить график функции.
при х ≠ -1.
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Преобразование в одно действие типа f(x — a).
Сдвигаем график вправо на 1:
В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
http://infourok.ru/individualniy-proekt-na-temu-postroenie-slozhnih-trigonometricheskih-grafikov-2061100.html
http://skysmart.ru/articles/mathematic/postroenie-grafikov-funkcij