Математика
64. Три уравнения с тремя неизвестными . Пусть теперь требуется решить совместно 3 уравнения с тремя неизвестными:
3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9
4x + 5y – 6z = 26.
Вспоминая все предыдущее, мы уже заранее вправе думать, что здесь произвольные значения ни одному из неизвестных давать нельзя и что здесь найдем единственное решение (по одному числу для каждого неизвестного).
При этом для нас уже намечен путь, как этого достигнуть. В предыдущем п. мы научились из двух уравнений с тремя неизвестными определять два неизвестных через третье. Выберем из наших трех уравнений те два, которые кажутся нам наиболее простыми, напр., 1-е и 2-ое:
3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9
и из них определим x и y через z
Подставим теперь полученные выражения для x – a и для y – a в третье уравнение, — получим:
(4(6 + 11z)) / 7 + (5(19 + z)) / 7 – 6z = 26
т. е. получили одно уравнение с одним неизвестным z, которое умеем решить. Сначала освободим его от дробей, для чего обе части его умножим на 7.
4(6 + 11z) + 5(19 + z) – 42z = 182.
24 + 44z + 95 + 5z – 42z = 182.
Перенесем известные члены вправо и сделаем приведение подобных членов:
7z = 63, откуда z = 9.
Теперь из формул (1) и (2) получим:
x = (6 + 11 · 9) / 7 = 15 и y = (19 + 9) / 7 = 4.
2x + 3y = 11
5y + 2z = 3
4z + 3x = 66
Определим из первых двух уравнений 2 неизвестных через третье: мы именно видим, что можно из первого уравнения определить x через y и из второго определить z через y:
x = (11 – 3y) / 2 и z = (3 – 5y) / 2.
Подставим полученные выражения в третье уравнение на место z и x:
(4(3 – 5y)) / 2 + (3(11 – 3y)) / 2 = 66.
4(3 – 5y) + 3(11 – 3y) = 132
12 – 20y + 33 – 9y = 132
x = (11 – 3 · (–3)) / 2 = 10
z = (3 – 5 · (–3)) / 2 = 9.
В этих двух примерах мы держались следующего плана; выбираем из данных трех уравнений какие-либо два, более удобных, и из них определяем два неизвестных через третье, – полученные выражения мы подставляем на место этих неизвестных в третье уравнение.
Возможны и иные планы. Поясним их на следующих примерах:
1. 3x – 4y + 3z = 19
4x – 6y + z = 22
7x – 18y = 33.
Мы видим, что в третье уравнение входят только 2 неизвестных, x и y. Поэтому постараемся получить из первых двух уравнений с тремя неизвестными новое уравнение с двумя неизвестными, а именно: также с x и y, — тогда мы будем иметь два уравнения с двумя неизвестными, которые умеем решать. Для этой цели исключим способом уравнивания коэффициентов из первых двух уравнений неизвестное z, для чего 1-ое уравнение оставим без изменения, а обе части второго умножим на –3. Получим:
3x – 4y + 3z = 19
–12x + 18y – 3z = –66.
Сложив по частям эти уравнения, получим:
Присоединим сюда еще третье из данных уравнений и решим их совместно способом уравнивания коэффициентов:
Подставляя это значение x – a в уравнение
Подставляя полученные для x и для y значения в простейшее из данных уравнений, а именно в уравнение
2. 3x + 5y – 9z = 29
5x + 2y – 6z = 17
4x – 10y + 3z = 17
Наметим следующий план: выберем сначала 2 из этих трех уравнений и из них способом уравнивания коэффициентов получим одно уравнение с двумя неизвестными; затем выберем вторую пару уравнений из данных и из них тем же способом получим второе уравнение с теми же двумя неизвестными. Применяясь к данным уравнениям, удобно будет выполнить этот план в следующем порядке: 1) возьмем 1-ое и 2-ое уравнение и из них, исключив способом уравнивания коэффициентов y, получим одно уравнение с x и z; 2) возьмем 1-ое и 3-е уравнения и из них также исключим y и получим второе уравнение с неизвестными x и z; 3) решим полученные 2 уравнения с неизвестными x и z также способом уравнения коэффициентов.
4) Подставим полученное для x значение в уравнение
–6 – 3z = 15 или 3z = –21 и z = –7.
Подставим полученные для x и z значения в уравнение
3. 4x – 2y + z = 4
5x + 3y – z = 11
3x + 7y – 2z = 7
Составим следующий план: 1) из первого уравнения определим z через x и y; 2) полученное выражение подставим на место z во 2-ое и в 3-е уравнения, – получим два уравнения с двумя неизвестными, а именно — с x и y; 3) решим полученные два уравнения.
2) 5x + 3y – (4 – 3x + 2y) = 11
3x + 7y – 2(4 – 3x + 2y) = 7
Упростим каждое из этих уравнений:
1-ое: 5x + 3y – 4 + 3x – 2y = 11 или 8x + y = 15.
2-ое: 3x + 7y – 8 + 6x – 4y = 7 или 9x + 3y = 15 или 3x + y = 5.
3) Вычтем по частям из 1-го уравнения второе:
8x + y = 15
3x + y = 5
–————
5x = 10, откуда x = 2.
4) Подставим полученное для x значение в уравнение
Подставим эти значения x – a и y – a в выражение для z:
Решить систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными онлайн
Этот онлайн калькулятор предназначен для решения систем из трёх уравнений с тремя неизвестными. Вы можете быть уверены, что калькулятор выдаёт точный результат.
Калькулятор
Инструкция
Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().
Шаг 1. Введите в поля три уравнения.
Шаг 2. Нажмите кнопку “Решить систему”.
Шаг 3. Получите точный результат.
В калькулятор нужно вводить только латинские буквы и любые цифры с клавиатуры.
Что такое система из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными
Решение систем из трёх уравнений с тремя неизвестными – это то же линейное уравнение, которое, чаще всего решается методом Крамера. Однако метод Крамера можно использовать только в том случае, если определитель системы не равняется нулю. Если же определитель системы равен нулю, тогда нельзя использовать этот метод.
Следуя теореме Крамера, в таких уравнениях может быть три случая:
- У системы уравнений есть всего навсего одно решение.
- У системы уравнений имеется бесконечное множество решений.
- У системы уравнений нет решений.
Средняя оценка 2.7 / 5. Количество оценок: 3
Система линейных уравнений с тремя переменными
Линейное уравнение с тремя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.
Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; \frac<1> <2>x-8y-5z = 7$
Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.
Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$
Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки
Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)
Например: решить систему
$$ <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера
Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.
Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:
$$ <\left\< \begin
Определим главный определитель системы:
$$ \Delta = \begin
и вспомогательные определители :
$$ \Delta_x = \begin
Тогда решение системы:
Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:
Три плоскости пересекаются в одной точке
Три плоскости параллельны
Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой
Бесконечное множество решений
Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.
Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):
$$ \Delta = \begin
$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$
Примеры
Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:
$$<\left\< \begin
$$\Rightarrow <\left\< \begin
$$ <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:
$$ \Delta = \begin
$$ \Delta_x = \begin
$$ \Delta_y = \begin
$$ \Delta_z = \begin
$$ \Delta = \begin
$$ \Delta_x = \begin
$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$
$$ \Delta_y = \begin
$$ \Delta_z = \begin
Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:
$$ a \neq b, b \neq c, a \neq c $$
Решаем методом замены:
$$ <\left\< \begin
Т.к. $ a \neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) \neq 0$
Т.к.$ a \neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) \neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:
Из второго уравнения получаем:
Т.к. $b \neq c$ можно сократить на $(b-c) \neq 0$:
$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$
$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$
http://nauchniestati.ru/kalkulatory/reshit-sistemu-iz-3-h-uravnenij-s-3-mja-neizvestnymi-onlajn/
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/sistema-linejnyh-uravnenij-s-tremya-peremennymi/