Линейные диофантовы уравнения онлайн
Линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида:
В основе нашего калькулятора лежит расширенный алгоритм Евклида, записанный в виде цепной дроби. Однако, в некоторых случаях (например, когда коэффициент ) применяются более простые подходы. Также калькулятор не рассматривает случаи, когда хотя бы один из коэффициентов или равен , так как они приводят к обычному линейному уравнению.
Если коэффициент не делится нацело на , то линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными не имеет решений. Напротив, если делится нацело на , то указанное уравнение имеет бесконечное множество целых решений.
Для решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными сначала необходимо найти частное решение и , а затем записать общее решение, используя формулы:
Рассмотрим пример решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными:
Поскольку делится нацело на , то данное уравнение имеет решения в целых числах.
Далее, найдём какое-нибудь конкретное (частное) решение и исходного уравнения. Для этого, сначала необходимо найти частное решение и вспомогательного уравнения с коэффициентом :
а затем умножить найденное частное решение и вспомогательного уравнения на и получить частное решение и исходного уравнения:
Чтобы найти частное решение вспомогательного уравнения используем цепные дроби. Для этого составим дробь , числителем которой будет коэффициент , а знаменателем коэффициент .
Преобразуем данную дробь в цепную дробь:
В полученной цепной дроби отбросим последнюю дробь :
Полученная дробь является отношением частных решений и выбранных с правильным знаком:
Подставляя четыре значения во вспомогательное уравнение, определяем его частное решение:
Теперь, чтобы найти частное решение и исходного уравнения, умножим найденное частное решение и вспомогательного уравнения на :
Используя формулы для общего решения, запишем конечный ответ:
Наш онлайн калькулятор может решить любое линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными с описанием подробного хода решения на русском языке. Чтобы начать работу, необходимо ввести уравнение и задать искомые переменные.
Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными
Калькулятор решает линейные диофантовы уравнения с двумя переменными.
Сначала калькулятор, теория под ним.
Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными
Диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:
где a, b, c — заданные целые числа, x и y — неизвестные целые числа.
Для нахождения решений уравнения используется Расширенный алгоритм Евклида (исключая вырожденный случай, когда a = b = 0 и уравнение имеет либо бесконечно много решений, либо же не имеет решений вовсе).
Если числа a и b неотрицательны, тогда с помощью расширенного алгоритма Евклида мы можем найти их наибольший общий делитель g, а также такие коэффициенты и , что:
.
Утверждается, что если число c делится на g, то диофантово уравнение имеет решение; в противном случае диофантово уравнение решений не имеет. Это следует из очевидного факта, что линейная комбинация двух чисел по-прежнему должна делиться на их общий делитель.
То есть если c делится на g, тогда выполняется соотношение:
т. е. одним из решений диофантова уравнения являются числа:
Если одно из чисел a и b или они оба отрицательны, то можно взять их по модулю и применить к ним алгоритм Евклида, как было описано выше, а затем изменить знак найденных коэффициентов и в соответствии с настоящим знаком чисел a и b соответственно.
Если мы знаем одно из решений, мы можем получить выражение для всех остальных решений, которых бесконечное множество.
Итак, пусть g = НОД (a,b), выполняется условие:
.
Тогда, прибавив к число и одновременно отняв от , мы не нарушим равенства:
Этот процесс можно повторять сколько угодно, т. е. все числа вида:
,
где k принадлежит множеству целых чисел, являются множеством всех решений диофантова уравнения.
Линейное диофантово уравнение и 4 способа его решения
Разделы: Математика
Првило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.
Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Хо ; уо) уравнения ах + ву = 1; числа СХо , Суо составляют решение уравнения ах + ву = с.
Решить в целых числах (х,у) уравнение
Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.
Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)
имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Хо = 7; уо =2.
Итак, пара чисел (7;2) — частное решение уравнения (1).
Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)
Вопрос: Как имея одно решение записать все остальные решения?
Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у — 2) =0.
Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.
Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:
n Z.
Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.
Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х — 8у = 19 х = .
Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.
Если у = 0, то х = =.
Если у =1, то х = =.
Если у = 2, то х = = = 7 Z.
Если у =3, то х = =.
Если у = 4 то х = =.
Итак, частным решением является пара (7;2).
Тогда общее решение: n Z.
Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.
Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.
1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.
2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.
8 = 5 1 + 3.
5 = 3
3 = 2 .
Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 — 2 = 3 – (5 — 3 ) =
= 3 — 5 = 3 = (8 — 5 — 5 82 -5
= 5(-2). Итак, m = -3, n = -2.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19m; уо =19n.
Отсюда получим: Хо =19; уо =19 .
Пара (-57; -38)- частное решение (1).
3. Общее решение уравнения (1): n Z.
Четвертый способ. Геометрический.
1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.
2. Запишем частное решение уравнения (1).
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие
-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.
На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли — ю часть окружности, так что х = у + .
Итак, Хо = 5, уо =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19 уо =19
3. Общее решение уравнения (1): n Z.
http://planetcalc.ru/3303/
http://urok.1sept.ru/articles/501260