5 уравнение определяет на плоскости

Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости.

Эта статья является продолжением раздела прямая на плоскости. Здесь мы перейдем к алгебраическому описанию прямой линии с помощью уравнения прямой.

Материал данной статьи является ответом на вопросы: «Какое уравнение называют уравнением прямой и какой вид имеет уравнение прямой на плоскости»?

Навигация по странице.

Уравнение прямой на плоскости — определение.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и в ней задана прямая линия.

Прямая, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В фиксированной прямоугольной системе координат каждая точка прямой имеет свои координаты – абсциссу и ординату. Так вот зависимость между абсциссой и ординатой каждой точки прямой в фиксированной системе координат, может быть задана уравнением, которое называют уравнением прямой на плоскости.

Другими словами, уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy есть некоторое уравнение с двумя переменными x и y , которое обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки этой прямой.

Осталось разобраться с вопросом, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости. Ответ на него содержится в следующем пункте статьи. Забегая вперед, отметим, что существуют различные формы записи уравнения прямой, что объясняется спецификой решаемых задач и способом задания прямой линии на плоскости. Итак, приступим к обзору основных видов уравнения прямой линии на плоскости.

Общее уравнение прямой.

Вид уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает следующая теорема.

Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y вида , где А , В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и всякая прямая на плоскости задается уравнением вида .

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Поясним смысл теоремы.

Заданному уравнению вида соответствует прямая на плоскости в данной системе координат, а прямой линии на плоскости в данной системе координат соответствует уравнение прямой вида .

Посмотрите на чертеж.

С одной стороны можно сказать, что эта линия определяется общим уравнением прямой вида , так как координаты любой точки изображенной прямой удовлетворяют этому уравнению. С другой стороны, множество точек плоскости, определяемых уравнением , дают нам прямую линию, приведенную на чертеже.

Общее уравнение прямой называется полным, если все числа А , В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным. Неполное уравнение прямой вида определяют прямую, проходящую через начало координат. При А=0 уравнение задает прямую, параллельную оси абсцисс Ox , а при В=0 – параллельную оси ординат Oy .

Таким образом, любую прямую на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy можно описать с помощью общего уравнения прямой при некотором наборе значений чисел А , В и С .

Нормальный вектор прямой, заданной общим уравнением прямой вида , имеет координаты .

Все уравнения прямых, которые приведены в следующих пунктах этой статьи, могут быть получены из общего уравнения прямой, а также могут быть обратно приведены к общему уравнению прямой.

Рекомендуем к дальнейшему изучению статью общее уравнение прямой. Там доказана теорема, сформулированная в начале этого пункта статьи, приведены графические иллюстрации, подробно разобраны решения примеров на составление общего уравнения прямой, показан переход от общего уравнения прямой к уравнениям другого вида и обратно, а также рассмотрены другие характерные задачи.

Уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами и , и с помощью линейки соединить их прямой линией.

Для примера построим прямую линию, заданную уравнением в отрезках вида . Отмечаем точки и соединяем их.

Детальную информацию об этом виде уравнения прямой на плоскости Вы можете получить в статье уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой вида , где x и y — переменные, а k и b – некоторые действительные числа, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом ( k – угловой коэффициент). Уравнения прямой с угловым коэффициентом нам хорошо известны из курса алгебры средней школы. Такой вид уравнения прямой очень удобен для исследования, так как переменная y представляет собой явную функцию аргумента x.

Определение углового коэффициента прямой дается через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox .

Углом наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс в данной прямоугольной декартовой системе координат Oxy называют угол , отсчитываемый от положительного направления оси Ох до данной прямой против хода часовой стрелки.

Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол ее наклона считают равным нулю.

Угловой коэффициент прямой есть тангенс угла наклона этой прямой, то есть, .

Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент обращается в бесконечность (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент не существует). Другими словами, мы не можем написать уравнение прямой с угловым коэффициентом для прямой, параллельной оси Oy или совпадающей с ней.

Заметим, что прямая, определяемая уравнением , проходит через точку на оси ординат.

Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом определяет на плоскости прямую, проходящую через точку и образующую угол с положительным направлением оси абсцисс, причем .

В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением вида . Эта прямая проходит через точку и имеет наклон радиан ( 60 градусов) к положительному направлению оси Ox . Ее угловой коэффициент равен .

Отметим, что уравнение касательной к графику функции в точке очень удобно искать именно в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом.

Рекомендуем продолжить изучение этой темы в разделе уравнение прямой с угловым коэффициентом. Там представлена более подробная информация, приведены графические иллюстрации, детально разобраны решения характерных примеров и задач.

Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю.

Очевидно, что прямая линия, определяемая каноническим уравнением прямой, проходит через точку . В свою очередь числа и , стоящие в знаменателях дробей, представляют собой координаты направляющего вектора этой прямой. Таким образом, каноническое уравнение прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости соответствует прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .

Для примера изобразим на плоскости прямую линию, соответствующую каноническому уравнению прямой вида . Очевидно, что точка принадлежит прямой, а вектор является направляющим вектором этой прямой.

Каноническое уравнение прямой вида используют даже тогда, когда одно из чисел или равно нулю. В этом случае запись считают условной (так как содержится ноль в знаменателе) и ее следует понимать как . Если , то каноническое уравнение принимает вид и определяет прямую, параллельную оси ординат (или совпадающую с ней). Если , то каноническое уравнение прямой принимает вид и определяет прямую, параллельную оси абсцисс (или совпадающую с ней).

Детальная информация об уравнении прямой в каноническом виде, а также подробные решения характерных примеров и задач собраны в статье каноническое уравнение прямой на плоскости.

Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю, а — параметр, принимающий любые действительные значения.

Параметрические уравнения прямой устанавливают неявную зависимость между абсциссами и ординатами точек прямой линии с помощью параметра (отсюда и название этого вида уравнений прямой).

Пара чисел , которые вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра , представляет собой координаты некоторой точки прямой. К примеру, при имеем , то есть, точка с координатами лежит на прямой.

Следует отметить, что коэффициенты и при параметре в параметрических уравнениях прямой являются координатами направляющего вектора этой прямой.

Для примера приведем параметрические уравнения прямой вида . Эта прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку с координатами и имеет направляющий вектор .

В статье параметрические уравнения прямой на плоскости Вы можете ознакомиться с подробным решением примеров и задач по этой теме.

Нормальное уравнение прямой.

Если в общем уравнении прямой вида числа А , В и С таковы, что длина вектора равна единице, а , то это общее уравнение прямой называется нормальным уравнением прямой. Нормальное уравнение прямой определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, нормальным вектором которой является вектор , причем эта прямая проходит на расстоянии от начала координат в направлении вектора .

Часто можно видеть другую форму записи нормального уравнения прямой: , где и — действительные числа, представляющие собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины (то есть, и справедливо равенство ), а величина p () равна расстоянию от начала координат до прямой.

Для примера приведем общее уравнение прямой . Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как и . Оно в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты , и эта прямая удаленна от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора .

Отметим, что уравнение прямой в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой числа А , В и С таковы, что уравнение не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Об этом читайте в статье нормальное уравнение прямой.

Общее уравнение плоскости

В данной статье мы рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве. Определим понятия полного и неполного уравнения плоскости. Для построения общего уравнения плоскости пользуйтесь калькулятором уравнение плоскости онлайн.

Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение вида:

где A, B, C, D − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля.

Мы покажем, что линейное уравнение (1) в пространстве определяет плоскость и любой плоскость в пространстве можно представить линейным уравнением (1). Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве каждая плоскость α может быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве определяет плоскость.

Доказательство. Достаточно доказать, что плоскость α определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.

Пусть в пространстве задана плоскость α. Выберем оси Ox и Oy так, чтобы они располагались на плоскости α, а ось Oz направим перпендикулярно к этой плоскости. Тогда линейное уравнение z=0 будет уравнением плоскости, т.к. координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости удовлетворяют уравнению z=0, а координаты любой точки, не лежащей на этой плоскости − нет. Первая часть теоремы доказана.

Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Рассмотрим линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля. Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение x₀, y₀, z₀. Действительно. Пусть из коэффициентов A≠0. Возьмем произвольные числа y₀, z₀. Тогда

.

Таким образом, существует точка M₀(x₀, y₀, z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):

Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим

которая эквивалентна уравнению (1).

Покажем, что (3) определяет некоторую плоскость, проходящую через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярную вектору n=<A,B,C> (n≠0, так как хотя бы один из чисел A,B,C отлично от нуля).

Если точка M₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. векторы n=<A,B,C> и перпендикулярны (Рис.1) и их скалярное произведение равно нулю:

.

Если же точка M(x, y, z) не лежит на плоскости α, то векторы n=<A,B,C> и не ортогональны. Тогда их скалярное произведение не равно нулю, т.е. координаты точки M(x, y, z) не удовлетворяют условию (3). Теорема доказана.

Одновременно с доказательством теоремы 1 мы получили следующее утверждение.

Утверждение 1. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (A,B,C) перпендикулярен плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости , определяемой линейным уравнением (1).

Утверждение 2. Если два общих уравнения плоскости

определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число λ, что выпонены равенства

Умножая уравнение (7) на λ и вычитая из него уравнение (8) получим:

Так как выполнены первые три равенства из выражений (6), то D₁λ−D₂=0. Т.е. D₂=D₁λ. Утверждение доказано.

Неполные уравнения плоскости

Определение 1. Общее уравнение плоскости (1) называется полным , если все коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля. Если же хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D равен нулю, то общее уравнение плоскости называется неполным .

Рассмотрим все возможные варианты неполных уравнений плоскости:

При D=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+Cz=0, проходящей через начало координат (Рис.2). Действительно, точка O(0,0,0) удовлетворяет этой системы линейных уравнений.

При A=0, имеем уравнение плоскости By+Cz+D=0, которая параллельна оси Ox (Рис.3). В этом случае нормальный вектор плоскости n=<0,B,C> лежит на координатной плоскости Oyz.

При B=0, имеем уравнение плоскости Ax+Cz+D=0, которая параллельна оси Oy (Рис.4).

При C=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+D=0, которая параллельна оси Oz (Рис.5).

При A=0,B=0 имеем уравнение плоскости Cz+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxy (Рис.6).

При B=0,C=0 имеем уравнение плоскости Ax+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oyz (Рис.7).

При A=0,C=0 имеем уравнение плоскости By+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxz (Рис.8).

При A=0,B=0,D=0 имеем уравнение плоскости Cz=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxy (Рис.9).

При B=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости Ax=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oyz (Рис.10).

При A=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости By=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxz (Рис.11).

Рассмотрим примеры построения общего уравнения плоскости.

Пример 1. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через точку M(4,−1,2) параллельной координатной плоскости Oxy.

Решение. Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x₀,y₀,z₀) имеет вид (3). Подставляя координаты точки M в (3), получим:

Так как плоскость параллельна координатной плоскости Oxy, то направляющий вектор имеет следующий вид n=<A,B,C>=<0,0,1>, т.е. A=0, B=0, C=1.

Подставляя коэффициенты A,B,C в (9), получим:

Пример 2. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат и имеющий нормальный вектор n==<2,3,1>.

Решение. Начало координат имеет коэффициенты (0,0,0). Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x₀,y₀,z₀) имеет вид (3). Подставляя коэффициенты начальной точки в (3), получим:

Так как плоскость имеет нормальный вектор n=<A,B,C>=<2,3,1>, т.е. A=2, B=3, C=1, подставляя коэффициенты A,B,C в (10), получим:

Онлайн калькулятор для построения общего уравнения плоскости находится здесь. Там же вы найдете примеры построения общего уравнения плоскости, если известны три точки этой плоскости или если известна одна точка и нормальный вектор этой плоскости.

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x , y , и z , которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства, можно определить уравнением A x + B y + C z + D = 0 . В свою очередь, любое уравнение A x + B y + C z + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A , B , C , D – некоторые действительные числа, и числа A , B , C не равны одновременно нулю.

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 . Допустим, задана некоторая плоскость и точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n → = ( A , B , C ) . Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат O x y z задает уравнение A x + B y + C z + D = 0 .

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M ( x , y , z ) .В таком случае векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n → , M 0 M → = A x — x 0 + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = A x + B y + C z — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 )

Примем D = — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 ) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: A x + B y + C z + D = 0 . Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А , B , C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C z + D = 0 , т.е. верным будет равенство A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 . Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Получим уравнение вида

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 , и оно эквивалентно уравнению A x + B y + C z + D = 0 . Докажем, что уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 . Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 множество точек M ( x , y , z ) задает плоскость, у которой нормальный вектор n → = ( A , B , C ) . При этом плоскость проходит через точку M ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Иначе говоря, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение A x + B y + C z + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением A x + B y + C z + D = 0 , поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 ( при конкретных значениях чисел A , B , C , D ). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 , и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением A x + B y + C z + D = 0 в том случае, когда подставив координаты точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) в уравнение A x + B y + C z + D = 0 , мы получим тождество.

Заданы точки M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) и N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) и плоскость, определяемая уравнением 2 x + 3 y — z — 2 = 0 . Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение

Подставим координаты точки М 0 в исходной уравнение плоскости:

2 · 1 + 3 · ( — 1 ) — ( — 3 ) — 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) принадлежит заданной плоскости.

Аналогично проверим точку N 0 . Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2 · 0 + 3 · 2 — ( — 8 ) — 2 = 0 ⇔ 12 = 0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной плоскости; точка N 0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n → = ( A , B , C ) — нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением A x + B y + C z + D = 0 . Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2 x + 3 y — z + 5 = 0 . Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x , y , z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n → исходной плоскости имеет координаты 2 , 3 , — 1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ · n → = λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Ответ: λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n → = ( A , B , C ) является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором n → = ( A , B , C ) будет выглядеть так: A x + B y + C z + D = 0 . По условию задачи точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство: A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 , получим уравнение вида A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 . Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) .

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М ( x , y , z ) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

Задана точка М 0 ( — 1 , 2 , — 3 ) , через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n → = ( 3 , 7 , — 5 ) . Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x 0 = — 1 , y 0 = 2 , z 0 = — 3 , A = 3 , B = 7 , C = — 5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

3 ( x — ( — 1 ) ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z — ( — 3 ) ) = 0 ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

1. Допустим, М ( x , y , z ) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M 0 M → по координатам точек начала и конца:

M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) = ( x + 1 , y — 2 , z + 3 )

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n → , M 0 M → = 0 ⇔ 3 ( x + 1 ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z + 3 ) = 0 ⇔ ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Ответ: 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А , B , C , D отличны от нуля, общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

1. В случае, когда D = 0 , мы получаем общее неполное уравнение плоскости: A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = 0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О ( 0 , 0 , 0 ) , то придем к тождеству:

A · 0 + B · 0 + C · 0 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

1. Если А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: B y + C z + D = 0 , или A x + C z + D = 0 , или A x + B y + D = 0 . Такие плоскости параллельны координатным осям О x , O y , O z соответственно. Когда D = 0 , плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей B y + C z + D = 0 , A x + C z + D = 0 и A x + B y + D = 0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям O y z , O x z , O z y соответственно.

1. При А = 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 получим общие неполные уравнения плоскостей: C z + D = 0 ⇔ z + D C = 0 ⇔ z = — D C ⇔ z = λ , λ ∈ R или B y + D = 0 ⇔ y + D B = 0 ⇔ y = — D B ⇔ y = λ , λ ∈ R или A x + D = 0 ⇔ x + D A = 0 ⇔ x = — D A ⇔ x = λ , λ ∈ R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям O x y , O x z , O y z соответственно и проходят через точки 0 , 0 , — D C , 0 , — D B , 0 и — D A , 0 , 0 соответственно. При D = 0 уравнения самих координатных плоскостей O x y , O x z , O y z выглядят так: z = 0 , y = 0 , x = 0

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости O y z и проходящая через точку М 0 ( 7 , — 2 , 3 ) . Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z , а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости A x + D = 0 , A ≠ 0 ⇔ x + D A = 0 . Поскольку точка M 0 ( 7 , — 2 , 3 ) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости x + D A = 0 , иначе говоря, должно быть верным равенство 7 + D A = 0 . Преобразуем: D A = — 7 , тогда требуемое уравнение имеет вид: x — 7 = 0 .

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости O y z . Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости O y z : i → = ( 1 , 0 , 0 ) . Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 ⇔ ⇔ 1 · ( x — 7 ) + 0 · ( y + 2 ) + 0 · ( z — 3 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 7 = 0

Ответ: x — 7 = 0

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости O x y и проходящая через начало координат и точку М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) .

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости O x y определяется общим неполным уравнением плоскости A x + B y + D = 0 ( А ≠ 0 , В ≠ 0 ) . Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D = 0 и уравнение плоскости принимает вид A x + B y = 0 ⇔ x + B A y = 0 .

Найдем значение B A . В исходных данных фигурирует точка М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) , координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: — 3 + B A · 1 = 0 , откуда определяем B A = 3 .

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x + 3 y = 0 .