Номер 1547 — ГДЗ по алгебре 10-11 класс Мордкович
Вы открыли задание номер 1547 из решебника на uchim.org.
(кликните по решению, если нужно изменить размер)
Введите номер задания:
Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:
51. Логарифмические уравнения
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком логарифма или в его основании.
При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается ОДЗ логарифма. Если ОДЗ найти сложно, то можно только выписать условия, а затем проверить полученные корни подстановкой в ОДЗ (можно проверять подстановкой в уравнение, не выписывая ОДЗ).
Типы уравнений и способы их решения
Всюду далее F(X), G(X), H(X) – некоторые выражения с переменной (число).
I тип: уравнение вида
(6.8)
ОДЗ:
На указанной ОДЗ уравнение (6.8) решают по определению логарифма:
II тип: уравнение вида
(6.9)
ОДЗ:
На основании равенства логарифмов, уравнение (6.9) сводится к равносильному ему (на указанной ОДЗ) уравнению:
(6.10)
ОДЗ:
Данное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений:
III тип: уравнения, решаемые заменой переменной
(6.11)
Где F – некоторое выражение относительно
Необходимо определить ОДЗ уравнения, учитывая все условия существования логарифма и выражения F.
Далее заменяют и решают уравнение
Если – корни последнего уравнения, то, после возвращения к старой переменной, необходимо решить совокупность
Полученные корни проверяют по ОДЗ.
З а м е ч а н и е. Если вместо какого-либо выражения F(X), G(X), H(X) уравнения (6.8)–(6.11) содержат число, то соответствующее условие не записывают в ОДЗ.
Пример 1. Решить уравнение
Преобразуем уравнение к виду
Получили уравнение I типа, которое решается по определению логарифма:
Откуда
Из полученных значений корень Х = 4 не подходит по ОДЗ.
Получаем ответ: Х = 6.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:
Заданное уравнение относится к I типу. Получаем:
Снова используем определение логарифма:
т. е. откуда
Полученные корни проверяем подстановкой в условия, определяющие ОДЗ уравнения. Убеждаемся, что корень подходит, а корень не подходит по ОДЗ.
Получаем ответ:
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:
Данное уравнение относится ко II типу, т. е. решается по свойству равенства логарифмов. Получаем:
т. е.
Раскладываем левую часть на множители:
откуда получаем
Подставляем найденные значения в ОДЗ, находим, что уравнение имеет только один корень Х = 3.
В ответе имеем: Х = 3.
Пример 4. Решить уравнение
т. е.
Данное уравнение относится ко II типу. Решаем совокупность:
По ОДЗ подходит только корень Х = 2, так как
Получаем ответ: Х = 2.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: Преобразуем уравнение:
Имеем квадратное уравнение относительно (уравнение III типа). Заменяем
Решая полученное квадратное уравнение, находим корни Возвращаемся к переменной X:
Оба корня подходят по ОДЗ, получаем ответ:
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Запишем условия ОДЗ:
Воспользуемся тем, что
Тогда
Решаем полученное уравнение как уравнение I типа:
Среди целых делителей свободного члена находим корень Х = –2. Он подходит по ОДЗ.
Пришли к ответу: Х = –2.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: т. е.
Воспользуемся свойствами модуля: если и Тогда уравнение перепишется в виде
Заменяем и приходим к квадратному уравнению
Корнями которого являются числа
Возвращаемся к старой переменной:
Раскрываем модуль, используя ОДЗ:
Получаем ответ:
Пример 8. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: т. е. Х Î R.
Рассмотрим левую часть уравнения:
Преобразуем правую часть. Получим:
Используя функциональный метод решения, заключаем, что решением исходного уравнения является решение системы
т. е. Х = –2.
Получаем ответ: Х = –2.
Пример 9. Найти сумму корней уравнения
Решение. Для данного уравнения характерно следующее: если Х – корень уравнения, то и (–Х) тоже корень уравнения. Поэтому если уравнение имеет корни, то их сумма будет равна нулю. Подстановкой находим корни
Решение логарифмических уравнений
Данный калькулятор позволяет найти решение логарифмических уравнений.
Логарифмическое уравнение – это уравнения, в которых переменная величина находится под знаком логарифма. Логарифмическая функция всегда монотонна и может принимать любые значения. Кроме того, переменный аргумент логарифма должен быть больше нуля и переменное основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.
При решении логарифмических уравнений зачастую необходимо логарифмировать или потенцировать обе части уравнения. Логарифмировать алгебраическое выражение — выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение. Потенцирование – нахождение выражения, от которого получен результат логарифмирования.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно ввести это уравнение в ячейку и нажать на кнопку «Вычислить». В ответе отображаются корни уравнения и график логарифмической функции.
Калькулятор поможет найти решение логарифмических уравнений онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Основные функции |
- : x^a
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/algebraicheskie-uravneniia-i-neravenstva-funktcii-logarifmy/51-logarifmicheskie-uravneniia
http://allcalc.ru/node/668