7 класс алгебра метод подстановки линейные уравнения

Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки

1. Из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую.
2. Подставить во второе уравнение системы вместо переменной выражение, полученное на первом шаге.
3. Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге.
5. Найти значение второй переменой.
6. Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.

Из второго уравнения выражаем y:

Подставляем выражение для y в первое уравнение:

Шаг 3 Решаем первое уравнение:

Подставляем значение x в выражение для y:

В последовательной записи:

$$ <\left\< \begin 3x+y = 5 \\ y-x = 1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3x+y = 5 \\ y = x+1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3x+(x+1) = 5 \\ y = x+1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4x = 5-1 \\ y = x+1 \end \right.> \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow <\left\< \begin x = 1 \\ y = x+1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1 \\ y = 2\end \right.> $$

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом подстановки:

$ а) <\left\< \begin 5x-4y = 3 \\ 2x-3y = 4 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x-4y = 3 \\ x = \frac<3y+4> <2>= 1,5y+2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(1,5y+2)-4y = 3 \\ x = 1,5y+2 \end \right.> \Rightarrow $

$ \Rightarrow <\left\< \begin 7,5y+10-4y = 3 \\ x=1,5y+2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3,5y = -7 \\ x = 1,5y+2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin y = -2 \\ x = 1,5y+2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = -1 \\ y = -2\end \right.> $

$ б) <\left\< \begin 4x-3y = 7 \\ 3x-4y = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4x-3y = 7 \\ y = \frac<3> <4>x \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4x-3\cdot \frac<3> <4>x = 7 \\ y = \frac<3> <4>x \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin (4- \frac<9><4>)x = 7 \\ y = \frac<3> <4>x \end \right.> \Rightarrow $

$\Rightarrow <\left\< \begin x = 7 \cdot \frac<4> <7>= 4 \\ y = \frac<3> <4>x = \frac<3> <4>\cdot 4 = 3 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \beginx = 4 \\ y = 3 \end \right.> $

$ в) <\left\< \begin 5a-4b = 9 \\ 2a+3b = -1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5a-4b = 9 \\ a = \frac<-3b-1> <2>= -1,5b-0,5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(-1,5b-0,5)-4b = 9 \\ a = -1,5b-0,5 \end \right.> \Rightarrow $

$ \Rightarrow <\left\< \begin -7,5b-2,5-4b = 9 \\ a = -1,5b-0,5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin-11,5b = 11,5 \\ a = -1,5b-0,5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -1 \end \right.> $

$ г) <\left\< \begin 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7a+4b = 5 \\ b = \frac<-3a+1> <2>= -1,5a+0,5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7a+4(-1,5a+0,5) = 5 \\ b = -1,5a+0,5 \end \right.> \Rightarrow $

$ \Rightarrow <\left\< \begin 7a-6a+2 = 5 \\ b = -1,5a+0,5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 3 \\ b = -1,5\cdot3+0,5 = -4 \end \right.> $

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$а) <\left\< \begin \frac<4>-y = 7 | \times 4 \\ 3x+ \frac <2>= 9 | \times 2\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x-4y = 28 \\ 6x+y = 18 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 4y+28 = 4(y+7) \\ 6 \cdot 4(y+7)+y = 18 \end \right.> \Rightarrow $

$\Rightarrow <\left\< \begin x = 4(y+7) \\ 24y+168+y = 18 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 4(y+7) \\ 25y = -150 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \beginx = 4(-6+7) = 4 \\ y = -6 \end \right.>$

$ в) <\left\< \begin 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \\ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 15x-3y+14 = 5x+5y \\ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 \end \right.> \Rightarrow $

$ \Rightarrow <\left\< \begin 10x-8y = -14 |:2 \\ x+8y = 25 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x-4y = -7 \\ x = -8y+25 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(-8y+25)-4y = -7 \\ x = -8y+25 \end \right.> \Rightarrow $

$ \Rightarrow <\left\< \begin -40y+125-4y = -7 \\ x = -8y+25 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin -44y = -132 \\ x = -8y+25 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1 \\ y = 3 \end \right.> $

$ г) <\left\< \begin 5-3(2x+7y) = x+y-52 \\ 4+3(7x+2y) = 23x \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5-6x-21y = x+y-52 \\ 4+21x+6y = 23x \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ 2x-6y = 4 |:2 \end \right.>$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ x-3y = 2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ x = 3y+2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7(3y+2)+22y = 57 \\ x = 3y+2 \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 21y+14+22y = 57 \\ x = 3y+2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 43y = 43 \\ x = 3y+2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 5 \\ y = 1 \end \right.>$$

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ <\left\< \begin 3a+8b = 5 \\ 12b-a = 2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3(12b-2)+8b = 5 \\ a = 12b-2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 36b-6+8b = 5 \\ a = 12b-2 \end \right.> \Rightarrow $$

Системы линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1. Метод подстановки для решения системы линейных уравнений с двумя переменными

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Мы научились составлять математическую модель для решения различных прикладных задач. В результате задача сводится к технике – решению уравнения или системы уравнений. На этом уроке мы научимся решать системы уравнений, а именно системы линейных уравнений с двумя переменными.

План – конспект урока по алгебре в 7-м классе на тему: «Решение систем линейных уравнений методом подстановки»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

План – конспект урока по алгебре в 7-м классе на тему:

« Решение систем линейных уравнений методом подстановки »

Образовательные: – разобрать, в чем состоит метод подстановки решения систем линейных уравнений; вывести алгоритм применения этого метода; сформировать умение решать системы уравнений методом подстановки.

Воспитательные: – воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Развивающие: — развитие зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

1. Предметные: разобрать, в чем состоит метод подстановки решения систем линейных уравнений; вывести алгоритм применения этого метода; сформировать умение решать системы уравнений методом подстановки продолжить формирование мотивации обучающихся к изучению предмета.

2. Метапредметные: развивать операционный стиль мышления, способствовать приобретению учащимися навыков общения при совместной работе, активизировать их творческое мышление; продолжить формирование определенных компетенций обучающихся, которые будут способствовать их эффективной социализации, навыков самообразования и самовоспитания

3. Личностные: воспитывать культуру, способствовать формированию личностных качеств, направленных на доброжелательное, толерантное отношение к людям, жизни; воспитывать инициативу и самостоятельность в деятельности; подвести к пониманию необходимости изучаемой темы для успешной подготовки к государственной итоговой аттестации.

Тип урока: урок изучения новой темы.

Вид урока: комбинированный.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер.

Запись даты и темы урока.

Напомнить учащимся, что на предыдущих уроках мы учились решать системы линейных уравнений.

Что такое система двух линейных уравнений с двумя переменными? (Математическая модель, состоящая из двух линейных уравнений с двумя переменными)

Что мы называем решением системы уравнений? (Пара чисел (х;у), которая одновременно является решением первого и второго уравнений системы)

Какими способами мы умеем решать системы уравнений? (Метод подбора и графический метод)

Проверка домашнего задания (работа в парах)

Для повторения предлагаю вам выполнить следующие задания:

1. Раскрыть скобки (устно с повторением правил раскрытия скобок)

2. Выразить из уравнения одну переменную через другую. (задание выполняется на доске с комментариями)

Вопрос: Какую переменную легче выразить через другую в каждом из уравнений и почему?

3. Является ли пара чисел (2;3) решением системы уравнений:

4. Сколько решений имеет система уравнений:

Изучение нового материала.

Системы уравнений с двумя переменными, которые имеют одни и те же решения или не имеют решений, называются равносильными.

Эти системы равносильны, т. к. имеют одно и то же решение (2;1). (проверить устно, подставив в каждую из систем)

Эти системы равносильны, т. к. каждая из них не имеет решений. (проверить устно)

При решении системы уравнений с помощью преобразований ее заменяют более простой равносильной системой. Одним из способов решения системы является способ методом подстановки. Давайте решим систему уравнений, составляя таблицу.

Решим методом подстановки

1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.

Видно, что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1, отсюда получается, что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.

2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.

2. После того как выразили х через у, подставляем в первое уравнение «3+10 y » вместо переменной « x ».

3. Решаем полученное уравнение с одной переменной.

4. Находим вторую переменную.

3. Решаем полученное уравнение.

2(3+10 y ) +5 y =1 ( раскрываем скобки)

Подставить найденное значение у в выражение х через у.

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.

Ответ: (1; -0,2) или х=1 и у=-0,2

Необходимо обратить внимание учащихся, что выражать следует ту переменную, при которой стоит более « удобный » коэффициент (в частности + — 1).

Мы составили алгоритм решения системы методом подстановки.

Формирование умений и навыков.

Желательно, чтобы в течение урока учащиеся запомнили алгоритм решения систем уравнений методом подстановки и могли его применять, не обращаясь к записям в тетрадях и разобранным примерам.

Задание на уроке: № 12.5( аб), № 12.2( а), № 12.8( аб)

Для решения каждой системы следует вызывать к доске по одному учащемуся. Необходимо требовать, чтобы они вслух комментировали все свои шаги.

– Какие вы знаете способы решения систем уравнений?

– Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений способом подстановки

– Из какого уравнения системы лучше выражать переменную?