8 способов решения одного уравнения

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Краевая научно-практическая конференция «Эврика» Малой академии наук учащихся Кубани Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения Выполнен ученицей 11 «А» класса МОУ гимназии №40 Скопинцевой М. Г. Краснодара Научный руководитель- учитель математики МОУ гимназии№40 Шмитько И.А. Научный консультант-преподаватель ИНСПО Куб ГУ, канд. пед. наук Печкуренко Е.Н. 2008г.

Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер /английский математик и педагог XX века/

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения. 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение.

Задача. Решите уравнение различными способами: sin x – cos x = 1. ?

Способ первый. Приведение уравнения к однородному. sin x – cos x = 1 Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на т.к., если что противоречит тождеству Получим: sin x = 2 sin x/2 cos x/2, cos x = cos 2 x/2 +sin 2 x/2, 1 = sin 2 x/2 + cos2 x/2. , .

Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: sin x – cos x = 1 Далее так, как в первом способе.

Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1 В левой части вынесем — корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х. = sin  /4 = cos  /4 sin cos — cos  sin  = sin (-)

Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные в рассмотренных способах решений данного уравнения sin x – cos x = 1? Покажем однозначность ответов. 1 –й способ x =  /2 + 2  n, n  Z x:  /2; 5  /2 ; 9 /2; -3  /2; -7  /2;… x =  + 2 n, b Z x =  ; 3  ; 5 ; —  ; -3 ;… 2-й способ x = /4 + ( -1)  /4 +  k, k  Z x:  /2; ; 5  /2 ; 3  ; 9/2; -; — 3/2; -3; -7/2…

Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1 Запишем уравнение в виде: Применим формулу разности двух синусов. Далее так, как в третьем способе. 1 cos x = sin ( / 2 – x )

Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. sin x — cos x = 1 Возведем в квадрат: или

Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Сделаем проверку. Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим: Левая часть: а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.

Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1 sin2x — 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 1 1 – 2sin x cos x = 1, 2sin x cos x = 0, Ответ: x =  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z. или cos x =0 x=  /2 + n, n  Z sin x = 0 x =  n, n  Z

Способ седьмой. Универсальная подстановка (выражение sin x и cos x через tg x/2). sin x – cos x =1 Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам: Sin x –cosx = 1 Умножим обе части уравнения на

Внимание! Могли потерять корни.Необходима проверка! Область допустимых значений первоначального уравнения — всё множество R . При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения x, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е.x =  +  n, где n  Z . Следует проверить , не является ли x =  + n, где n  Z решением данного уравнения. Левая часть sin(π — 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x =  +  n ,где n  Zявляется решением данного уравнения. Ответ: : x=  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z.

Способ восьмой. Графический способ решения. sin x – cos x = 1 На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х — график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх. sin x = cos x + 1

Проверь себя ! Решу, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: 1. sin2x + cosx = 0 ; 2. 3 sin x – cos x = 0 3. sin6x + sin3x = 0; 4. sin2x +cos2x = 1; 5.  3sin x + cos x = 1.

sin2x + cosx = 0 sin2x =2sinxcosx, тогда 2sinxcosx + cosx = 0, cosx( 2sinx + 1 ) = 0, cosx = 0 или 2sinx + 1 = 0, х =  /2 +  n; n  Z; sinx = -1/2 x = ( -1)k+1  /6 + k, k  Z. Ответ: x =  /2 +  n, ; x = (-1)k+1  /6 +  k , где n Z , k  Z . Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2-й способ ).

sin2x + cosx = 0 cosx = sin ( /2 – x ), тогда : sin2x + sin ( /2 – x ) = 0, 2sin ( x/2 +  /4)cos (3x/2 —  /4 ) = 0. sin (x/2 +  /4) = 0 или cos (3x/2 —  /4 ) = 0, x/2 +  /4 =  n 3x/2 —  /4 =  /2 +  n x =-  /2 + 2  n x =  / 2+ 2  n/3 , n Z Ответ : x = —  /2 + 2  n , x =  / 2 + 2 n/3 , n Z . Способ : преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ) .

Сравним результаты двух способов решения уравнения sin2x + cosx = 0 2 –й способ: x =  /2 +  n; n Z, n =0, x =  /2 ( т. A ), n = 1, x = 3  /2 (т. В ), n =-1, x = —  /2 ( т. В ), n = 2, x =  /2 +2 (т.А) 2) x=(-1)k+1 /6 + k;k Z, k=0, x = —  /6 ( т.C ), k =1, x =  /6 +  (т.D ), k =-1, x =  /6 —  (т .D), k =2,x = —  /6+2  (т.C) 4-способ: 1) x = - /2 +  n, n Z , n =0, x= —  /2, (т .В ), n =1, x =-  /2 + 2 , (т .В ), n=-1, x= —  /2 –2  , (т. В ), n=2, x = —  / 2+ 4 ,(т .В ). 2) x =  / 2 + 2 n/3 , n Z . n =0, x=  /2 ( т.А ), n=1, x = 7  /6 ( т. D ), n= -1, x = —  /6 (т. А), n = 2, x = 11 / 6 (т.С ),…

Графическая иллюстрация этих решений на тригонометрическом круге Вывод : при обоих способах решений данного уравнения результаты одни и те же. 0 х у у А В С D

3 sin x – coos x = 0 cos x  0 в силу основного тригонометрического тождества sin2x + cos2x = 1. Разделим обе части уравнения на cos x. 3 tg x = 1, tg x = 1/ 3 , x =  /6 + n , n  Z. Ответ: x =  /6 +  n, n  Z. Cпособ :решение однородного уравнения ( 1-й способ ).

3 sin x – cos x = 0 3sin x – cos x = 0, разделим обе части уравнения на 2. 3/2sin x – ½cos x = 0, sin x cos  /6 – cos x sin  /6 = 0, sin (x —  /6) = 0, x —  /6 =  n , n  Z, x =  /6 +  n , n  Z. Ответ : x =  /6 +  n, n  Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3 –й способ ).

3 sin x – cos x = 0 3 sin x – cos x = 0, возведем обе части уравнения в квадрат. 3 sin2x – 2 3 sin x cos x + cos2x = 1, разделим обе части уравнения на cos2x  0. 3 tg2x – 23 tg x + 1 = 0 D = 0, tg x =  3/ 3; x =  /6 +  n, n  Z. Ответ 😡 =  /6 +  n, n  Z. Способ :возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6-й способ). уравнения в

3 sin x – cos x = 0  3 sin x – cos x = 0, 2 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 3 2 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 3 2 tg x/2 — 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2  0, tg 2 x/2 + 2 3 tg x/2 — 1 = 0, tg x/2 = m, m 2 + 2 3 m – 1 =0, D = 0, m1 = — 3 — 2, m2 = — 3 + 2, 1) tg x = — 3 — 2, 2(- 3 — 2 ) — 2(3 + 2 ) — 2(3 + 2 ) — 1 1 +( — 3 — 2)2 8-4 3 4( 2+ 3 ) 2 , sin x = — 1/2, x = ( -1 ) k +1 /6 +  k, k  Z; 2) tg x = — 3 + 2, 2(- 3 + 2 ) — 2(3 — 2 ) — 2(3 — 2 ) 1 1 +( — 3 + 2)2 8-4 3 4( 2- 3 ) 2 , sin x = 1/2, x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Примечание:решения можно объединить: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Ответ: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ). sin x = cos x= — = = 0, =0, sin x= sin x = = = = = = =

sin 6x + sin 3x = 0 sin 6x + sin 3x = 0, 2 sin 3x cos 3x + sin 3x = 0, sin 3x ( 2 cos 3x + 1 ) = 0, sin 3x =0 , 2 cos 3x + 1 = 0, 3x =  n, n  Z, cos 3x = -½, x =  n/3, n  Z , x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z. Ответ: x =  n/3, n  Z; x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z. Способ:разложение левой части уравнения на множители ( 2 способ ).

sin 6x + sin 3x = 0 sin 6x + sin 3x = 0, 2sin 9x/2 cos 3x/2 = 0 , sin 9x/2=0 , cos 3x /2 = 0, 9x/2 =  n, n  Z, 3x /2 =  /2 +  n, n  Z, x = 2  n/9, n  Z; x =  /3 + 2  n/3, n  Z . Ответ: x = 2  n/9, n Z; x =  /3 + 2  n/3, n Z. Способ: преобразование тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ ).

Сравним решения уравнения sin6x+ sin3x =0, полученные разными способами. Вывод: результаты решения данного уравнения разными способами совпадают

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1 2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x =  n, n  Z, tg x = 1, x =  /4 + n, n  Z. Ответ:  n, n  Z, x =  /4 + n, n  Z. Способ: Приведение уравнения к однородному.( 1-й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin2x – (1 – cos 2x ) = 1, 2 sin x cos x – 2 cos 2x/2 = 0, Далее так, как первым способом ( кадр № 27 ). Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin 2x + sin ( /2 – 2x ) = 1, 2sin  /4 cos ( 2x —  /4 ) = 1, sin  /4 = 1/ 2 ,  2 cos ( 2x —  /4 )= 1 arksin (1 /  2 ) =  /4 . cos ( 2x —  /4 )= 1 /  2 , 2x —  /4 = arkcos (1 /  2 ) + 2  n, n  Z, 2x=  /4 arkcos( 1 /  2 ) + 2  n, n  Z, x=  /8  /8 +  n, n  Z. Ответ: x=  /8  /8 +  n, n  Z. Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, разделим обе части уравнения на 2, 1/2 sin 2x + 1/ 2 cos 2x = 1/ 2 , cos /4 sin 2x + sin /4 cos 2x = 1/ 2, sin (2x + /4 ) = 1/ 2, 2x + /4 = (- 1)k  /4 +  k, kZ, 2x = — /4 + (- 1) k /4 +  k, kZ, x = —  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ. Ответ: x = —  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ. Способ:Введение вспомогательного угла (3й – способ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, Cos 2x =   ( 1 — sin 2 2x ) sin 2x   ( 1 — sin 2 2x ) = 1,   ( 1 — sin 2 2x ) = 1 – sin 2x, возведем обе части уравнения в квадрат, тогда 1 — sin 2 2x = 1 – 2 sin 2x + sin 2 2x , 2 sin 2 2x — 2 sin 2x = 0, 2 sin 2x (sin 2x — 1 ) = 0, sin 2x = 0, sin 2x — 1 = 0, 2x =  n, sin 2x = 1, x =  n/2, n  Z ; 2x =  /2 + 2  n, n  Z, x =  /4 +  n, n  Z. Ответ: x =  n/2, n  Z ; x =  /4 +  n, n  Z. Способ: приведение к квадратному уравнению относительно sin 2x ( 5 –й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin 2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos 2x = 1, 2sin 2x cos 2x + 1 = 1, 2sin 2x cos 2x = 0, sin 2x = 0, cos 2x = 0 , 2x =  n, n  Z ; 2x =  / 2 + 2  n , n  Z, x =  n/2, n  Z ; x =  / 4 +  n , n  Z. Ответ:  / 2 + 2  n , n  Z; x =  / 4 +  n , n  Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin2 x +cos 2x = 0, 2 tg x 1 — tg 2 x 1 + tg 2 x , 1 + tg 2 x , 2 tg x 1 — tg 2 x 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x 2 tg x +1 — tg 2 x –1 — tg 2 x — 0, 1 + tg 2 x/2  0, 2tg 2 x — 2 tg x = 0, 2tg x ( tg x – 1 ) = 0, tg x =0, tg x – 1 = 0, sin 2x = 0, sin 2x = 1, x =  n/2, n Z , 2x =  /2 + 2  n, n  Z, x =  /4 +  n, n Z. Ответ: x =  n/2, n Z ; x =  /4 +  n, n Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ). sin 2x = cos2 x = + = 0

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1,  3 /2sin x + 1/2cos x = 1/2, cos /6 sin x + sin  /6 cos x = 1/2 , Sin ( x +  /6 ) = 1 / 2 , x+  /6 = (- 1 ) k  /6 +  k, k Z, x = —  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z, Ответ 😡 = —  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3-й способ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 2 3 sin x/2 cos x/2 + cos 2x/2 -sin 2x/2= cos 2x/2 + sin 2x/2, 2 3 sin x/2 cos x/2 — 2sin 2x/2 =0, 2 sin x/2 ( 3 cos x/2 — sin x/2 ) =0, sin x/2 = 0,  3 cos x/2 — sin x/2 = 0, sin x/2 =  3 cos x/2 , x/2=  n, n  Z, tg x/2 =  3 , x = 2 n, n  Z , x/2 =  /3 +  n, n  Z, x = 2  /3 + 2  n, n  Z. Ответ: x = 2 n, n  Z , x = 2 n, n  Z . Способ : приведение к однородному ( 1 –й способ ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 2 3 sin x/2cos x/2 = 1 – cos x, 1 – cos x = 2 cos 2 x/2 2 3 sin x/2cos x/2 = 2 cos 2 x/2, 2 3 sin x/2cos x/2 — 2 cos 2 x/2 = 0, 2 cos x/2 ( 3 sin x/2 — cos x/2) = 0, Далее решать так как в первом способе. Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 –й способ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 3 sin2 x +2  3 sin x cos x +cos 2 x = 1, 2sin2 x +2  3 sin x cos x + (sin2 x +cos 2 x ) = 1, 2sin2 x +2  3 sin x cos x = 0, 2sinx ( sin x +  3 cos x) = 0, sinx = 0, sin x +  3 cos x = 0, x =  n , n Z, tg x = - 3 , x = —  /3 +  n, n  Z . Ответ : x =  n , n Z, x = —  /3 +  n, n  Z . Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x +cos x = 0, 2  3 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 2 3 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 23 tg x/2 + 1 — tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2 , так как 1 + tg 2 x/2  0, 2 tg 2 x/2 + 23 tg x/2 = 1, 2 tg x/2 (tg x/2 + 3 ) = 0, tg x/2 = 0 , , tg x/2 = - 3 , x/2 =  n , n Z, x/2 = —  /3 +  n , n Z, x = 2 n , n Z, x = — 2 /3 + 2 n , n Z. Ответ: x = 2 n , n Z, x = — 2 /3 + 2 n , n Z. Способ : универсальная подстановка (7 – й способ ). sin x = cos x = + =1,

Подведем итоги 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение. 12345678 1 sin2x + cosx = 0 2 sin6x + sin3x = 0 3 sin6x + sin3x = 0 4 sin2x +cos2x = 1 5 3sin x + cos x = 1

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 571 236 материалов в базе

Другие материалы

• 09.09.2015
• 725
• 0

• 09.09.2015
• 519
• 0

• 09.09.2015
• 577
• 0

• 09.09.2015
• 545
• 0

• 09.09.2015
• 3221
• 5

• 09.09.2015
• 1310
• 10

• 09.09.2015
• 721
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 09.09.2015 5870
• PPTX 1.4 мбайт
• 30 скачиваний
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Шмитько Ирина Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 9590
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

8 способов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1

2016г. ученица 10 Б класса

Цели: изучить способы решения одного тригонометрического уравнения, научиться применять их имыслить логически, углубить понимание методов его решения, расширить знания по данной теме, поделиться знаниями с учащимися.

Задачи: вспомнить методы решений тригонометрических уравнений при помощи дополнительной литературы, применить к уравнению sinx + cosx = 1, рассказать о них учащимся.

Гипотеза: одно уравнение можно решить несколькими способами.

Методы исследования: теоретические и математические.

Скачать:

Предварительный просмотр:

средняя общеобразовательная школа №9 г. Холмска

муниципального образования «Холмский городской округ»

8 способов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1

ученица 10 «А» класса

Рязанцева Людмила Ивановна,

1.1Изглубокой древности и до наших дней……………………….………………..…….5

Глава 2. Тригонометрические уравнения. Методы решений тригонометрических уравнений………………………………………………………………………………..…..8

2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений………………………. 8

2.3 Разложение на множители……………………………………………………………. 9

2.4 Сведение к однородному уравнению…………………………………………. ……10

2.5 Переход к половинному углу……………………………………………..…….…….10

2.6 Введение вспомогательного угла……………………………………………….…….11

2.7 Преобразование суммы в произведение……………………………. ………………11

2.8 Преобразование произведения в сумму………………………………………………12

2.9 Универсальная тригонометрическая подстановка…………………………………..12

2.10 Возведение обоих частей уравнения в квадрат………………………..……..……..13

2.11 Сведение к квадратному уравнению……………………………………..………….14

Глава 3. Способы решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1…………. 15

3.1 Возведение обоих частей уравнения в квадрат…………………………………. 15

3.2 Введение вспомогательного угла……………………………………………………..16

3.3 Сведение к однородному уравнению……………………………………….…. 16

3.4 Сведение к квадратному уравнению…………………………………………………..18

3.5 Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП)……………………..……19

3.6 Преобразование суммы в произведение………………………………………………20

3.8 Переход к половинному углу. …………………………………………………. …..22

Первое знакомство с математикой происходит в детстве. Изначально, в старшей группе детского сада, нас учат цифрам, счету, основам, без которых невозможно приступить к дальнейшему изучению данной науки. Затем, в начальной школе, мы учимся проводить расчеты: складывать и вычитать, делить и умножать, решать простейшие задачи. Перейдя в старшие классы, изучаемый материал становится сложнее, но довольно интереснее, и уже математика имеет несколько разделов, а не два, как на начальном этапе нашего изучения.

Лично для меня наиболее интересной показалась тригонометрия. Она изучает зависимость между значениями величин углов и длин сторон треугольников, а также занимается анализом алгебраических тождеств тригонометрических функций. Её изящность и гибкость решений многих задач привлекает большое количество людей. Например, одно уравнение имеет не одно или два решения, как учат в школе, а несколько. А если рассмотреть окружность, составляющую данного раздела, можно заметить,что точкам, лежащим на ней, соответствует множество значений. Этим то и необычна тригонометрия.

К тому же, сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Учащийся в школе подросток не всегда знает, как сложится его будущее, куда пойдет учиться и где будет работать. Для некоторых профессий знание тригонометрии просто необходимо. Вы могли не подозревать об этом, но именно она позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии используются в таких науках и областях, как физика, биология, химия, медицина, электроника, теория вероятностей, фармацевтика, экономика и даже фонетика. Не последнюю роль она играет в сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, геодезии и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.

Решение тригонометрических уравнений играет важную роль для учащегося школы, так как они из года в год встречаются в заданиях ЕГЭ.

В своей работе я буду рассматривать 8 способов решений одного тригонометрического уравнения. Я выбрала эту тему, потому что она показалась мне достаточно интересной, к тому же в школе отводится мало часов для ее изучения. В ходе исследований по данной теме я поставила цели и задачи, а также вывела гипотезу.

Цели : изучить способы решения одного тригонометрического уравнения, научиться применять их имыслить логически, углубить понимание методов его решения, расширить знания по данной теме, поделиться знаниями с учащимися.

Задачи : вспомнить методы решений тригонометрических уравнений при помощи дополнительной литературы, применить к уравнению sinx + cosx = 1, рассказать о них учащимся.

Гипотеза : одно уравнение можно решить несколькими способами.

Методы исследования : теоретические и математические.

Итак, мы сегодня сможем поближе познакомиться с этой наукой и рассмотреть всю красоту и разносторонность решений тригонометрических задач.

Глава 1. Историческая справка.

Впервые термин «тригонометрия» встречается в заглавии книги«Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников» немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561-1613) в 1595 году. Оно имеет греческое происхождение и означает «измеряю треугольник».

1.1 Из глубокой древности и до наших дней

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад. Стимулом к развитию тригонометрии являлись потребности астрономии, вспомогательным разделом которой стала тригонометрия. Согласно сохранившимся данным, основоположником возникновения тригонометрии стал во 2 в. до н. э. древнегреческий астроном Гиппарх Никейский. Он впервые рассмотрел тригонометрический круг и вычислил таблицу хорд, соответствующих различным углам. Так как в то время астрономам не были известны тригонометрические функции, она стала основным элементом греческой тригонометрии на плоскости. Единицами измерения были градусы, минуты, секунды, терции. Далее, Клавдий Птолемей во 2 в. н. э. вывел соотношения между хордами в круге, которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, на основании теоремы Пифагора он записал: (хорда α)²+ (хорда /180-α/)² = (диаметру)², что соответствует современной формуле sin²α+cos²α=1.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийскими астрономами в период 5-12 вв. н. э. Индийские математики вычисляли не полную хорду, как это делали греки, а ее половину. Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Индийские математики назвали синус «ардхаджива», что в буквальном смысле означало «половина тетивы лука». Также они составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от «гониа» — угол и «метрио» — измеряю). Тем не менее, для индийцев как и для греков тригонометрия была вспомогательным разделом астрономии.

Ознакомившись с трудами индийских математиков, арабские ученые существенно продвинули вперед разработку тригонометрии. Они называли линию синусов словом «джайб» , что переводится на латынь как sinus – изгиб, кривизна. От латинского выражения complementisinus, т.е. «дополнительный синус», произошло слово «косинус» . Тангенсы и котангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени в 10 в. Термин «тангенс» с латинского переводится как «касающийся», т.е. линия тангенсов – касательная к единичной окружности. Ну а «котангенс», по аналогии с косинусом, означает «дополнительный тангенс». Важным нововведением было использование единичного радиуса, вычисления с ним гораздо проще.

В 11-13 вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки.

Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к 12 в., когда арабские трактаты были переведены на латынь. Изначально тригонометрия представляется как часть геометрии, но затем в сочинении «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.) начинает обособляться от нее.Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о треугольниках всех видов» (1462-1464), сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Благодаря его трудам тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. В 14—15 вв. тригонометрия заняла место среди университетских курсов.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло на пути накопления и систематизации формул, уточнении основных понятий, становления терминологии и обозначений.

В данной области работали европейские ученые Николай Коперник (1473-1543), Иоганн Кеплер (1571-1630), Франсуа Виет (1540-1603) и Исаак Ньютон (1643-1727).

Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604).

Виет открыл «плоскую» теорему косинусов, разработал общую алгебраическую символику. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества, например, формулы тригонометрических функций для кратных углов (приложение 2). Исаак Ньютон (1643-1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе.

В 17 в. тригонометрия имеет новое направление – аналитическое. Постепенно она становится частью математического анализа. Также находит широкое применение в физике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.

В России первые сведения о тригонометрии появились в начале 18 в.В то же время появился первый русский учебник по тригонометрии, и назывался он «Геометрия практика». Дальнейшее развитие теории тригонометрии было продолжено в 19 в Н. И. Лобачевским и другими учеными. В 19—20 вв. бурное развитие получили теория тригонометрических рядов и связанные с ней области математики: гармонический анализ, теория случайных процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие.

В наше время важнейшая часть тригонометрии – учение о тригонометрических функциях рассматривается в математическом анализе, а решение треугольников является частью геометрии.

1.3.1 Заслуги Леонарда Эйлера

Современный вид тригонометрия получила, благодаря заслугам члена Российской академии наук Леонарда Эйлера (1707-1783). Именно он ввел само понятие функции и принятую в наши дни символику. Величины sinx, cos x и т.д. он рассматривал как функции числа х – радианной меры соответствующего угла. Он давал числу х всевозможные значения. Как положительные, так и отрицательные, и даже комплексные. К его заслугам можно отнести то, что именно он обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента. Это позволило превратить многочисленные и объемные тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Также, Эйлер ввел обратные функции. Именно он создал тригонометрию как науку о функциях и дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из основных формул. Благодаря обозначениям, которые заключались в определении сторон малыми буквами, а углов – большими, он смог упростить формулы, тем самым придать им красоту и ясность. Его нововведения позволяют нам изучать тригонометрию такой, какая она есть в 21 в. Ведь именно Леонарду Эйлеру принадлежит идея рассматривать тригонометрические функции как числа (отношения соответствующих линий к радиусу круга, причем радиус равен 1). Он вывел ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций в во всех четвертях, получил обобщенную формулу приведения, избавил тригонометрию от многих ошибок, допущенных ранее. На основании работ Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Глава 2. Тригонометрические уравнения. Методы решений тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения – это один из видов трансцендентныхуравнений (содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции), то есть не алгебраических, содержащих переменную под знаками тригонометрических функций.

Решение трансцендентных уравнений в явном виде также может быть получено в редких, простейших случаях. Уравнения такого типа, как правило, имеют неопределённое число корней. Необходимость решения трансцендентных уравнений возникает, например, при расчёте устойчивости систем, расчете парожидкостного равновесия и т.п.

Одним из нескольких отличий такого уравнения является наличие в ответе параметра k . Его рассматривают как количество полных обходов окружности в ту или иную сторону. Данный параметр принадлежит к множеству целых чисел. В единичной окружности (R = 1) одной точке соответствует бесконечное множество чисел, потому что окружность – замкнутая линия. Ее можно сравнить с беговой дорожкой стадиона. По ней можно двигаться очень долго, так как она замыкается, и начинается новый круг, и старту ,началу движения, может соответствовать 0 м и 600 м (после прохождения дистанции 600 м), то есть одна точка имеет несколько значений. Также и в окружности, одной точке соответствует несколько чисел. Именно поэтому ввели параметр k .

А основной целью решения любого тригонометрического уравнения является приведение его к виду простейшего.

2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений.

Простейшие уравнения — это уравнения вида f(x) = a , где f(x) — одна из основных тригонометрических функция, а а -данное число. Для решения уравнений нужно знать основные тригонометрические формулы (приложение 1).

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

• x 2 — 2x + 6 = 0
• x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

• 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.