Адекватность уравнения регрессии проверяется по критерию

Проверка адекватности линейного уравнения регрессии

Расчет коэффициентов ПФЭ при равном числе параллельных опытов в каждой точке факторного пространства

Коэффициенты находятся по формуле:

,

где — среднее значение параметра оптимизации, вычисленное по параллельным опытам – ой строки матрицы планирования .

Проверка значимости коэффициентов ПФЭ

Очевидно, что один фактор больше влияет на параметр оптимизации, другой – меньше. Поэтому можно проверить полученные коэффициенты регрессии на значимость, т.е. оценить величину влияния каждого фактора на значение параметра оптимизации. Если эта величина соизмерима с ошибкой эксперимента, то соответствующий коэффициент не несет дополнительной информации об объекте, и его можно приравнять к нулю, что упрощает математическую модель.

Значимость коэффициентов проверяется с помощью – критерия Стьюдента.

Значения – критерия вычисляются для каждого для каждого фактора по формуле:

,

Полученные значения сравнивают с табличным значением критерия Стъюдента , которое находится по числу степеней свободы , и уровню значимости α — величина, характеризующая вероятность того, что решение будет неправильным. Обычно принимают, что α =0.05.

> ,

то коэффициент значимо отличается от нуля, если же , (1)

то линейное уравнение регрессии признается адекватным. Если это условие не выполняется, т.е.

При расчете F предполагается что . Если наблюдается обратное, то вывод об адекватности может быть сделан и без проверки условия (1).

Если модель адекватна, то ее можно использовать для поиска области оптимума объекта исследования или для предсказания отклика.

При неадекватной линейной модели наиболее часто принимают решение об уменьшении интервалов варьирования факторов и повторении эксперимента.

Итак, алгоритм расчета линейной модели с использованием ПФЭ следующий:

Задают матрицу планирования в кодированной форме для заданного числа факторов

Для каждого фактора задают базовую точку и интервал варьирования

Рассчитывают матрицу планирования в натуральной (размерной) форме

Проводят эксперименты, по матрице планирования, используя случайные числа.

Проводят серию опытов в центре плана, для определения ошибки опыта.

Проверка адекватности регрессионной модели

Расчет F-критерия Фишера, индекса (коэффициента) детерминации, критерия Дарбина -Уотсона, средней ошибки аппроксимации

Исходные данные

Используем опытные данные при построении уравнения квадратичной функции вида y = ax 2 + bx + c, оценим значимость полученного уравнения регрессии У =0.6531x 2 -1.3403x+1.9226 .

Решение системы линейных уравнений и определение параметров для данного уравнения, с использованием метода Крамера, смотри МНК для параболы 2-го порядка .

Диаграмма рассеяния и график уравнения регрессии

Расчет критериев оценки

Для оценки значимости параметров регрессии и корреляции сначала рассчитаем среднее значение зависимой переменной:

Составим таблицу вспомогательных величин, где:

Критерии оценки

Зависимость (связь) между переменными весьма тесная.

Индекс детерминации (коэффициент детерминации) используют для характеристики качества уравнения регрессии. R 2 = 0.9216 2 =0.8494 Чем больше R 2 , тем большая часть дисперсии результативного признака (y) объясняется уравнением регрессии и тем лучше уравнение регрессии описывает исходные данные. Изменчивость зависимой переменной (у) на 84,94 % объясняется изменчивостью независимой переменной (х). Иными словами: в 85 случаях из 100 изменение величины результативного показателя (у) объясняется изменением величины факторного признака (х).

Средняя ошибка аппроксимации:

Общее суждение о качестве модели среднее (полученный критерий выше максимально допустимых значений: 12-15 %).

F-критерий Фишера (фактический):

k=m = 2 , k=n-m – 1 = 10-2-1 = 7 , α= 0.05 m– это число параметров при переменных уравнения регрессии (без свободного члена).

F_факт > F_теор. ( 19,7371>4.7374 ) – признается статистическая значимость уравнения в целом.

Критерий Дарбина-Уотсона (фактический):

Автокорреляция отклонений отсутствует, если выполняется следующее условие: d_L d_U) → 0.95 1.54 основная гипотеза (H₀) об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.