Алгебра 10 класс решите уравнение

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

Образовательные:
- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
- сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
- формирование умения анализировать поставленную задачу;
- способствовать улучшению психологического климата в классе.
Развивающие:
- способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
- способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Урок по математике 10 класс «Решение показательных уравнений» , презентация к уроку.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ конспект урока 10 класс Решение показательных уравнений.doc

Открытый урок по теме: «Решение показательных уравнений» 10 класс

Учитель математики МОУ СОШ с. Лебедёвка Краснокутского района Саратовской области Гудзь С.Н .

▪ актуализация опорных знаний при решении показательных уравнений; ▪обобщение знаний и способов решения;

▪ контроль и самоконтроль знаний.

▪ развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;

▪ развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности;

▪ развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;

▪ развитие интереса к предмету через содержание учебного материала.

▪ воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;

▪ воспитание культуры общения, умения работать в коллективе, взаимопомощи;

▪ воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях

.воспитание интереса к выбору профессии.

Технологии, используемые на уроке:

● технология дифференцированного и разно-уровневого обучения;

● технология обучения в сотрудничестве, индивидуально-групповая технология.

Оборудование: проектор, доска, оценочные листы.

Форма урока : Деловая игра

I . Организационно мотивационный этап – создание благоприятной атмосферы развития познавательного интереса на уроке.

Урок я хочу начать притчей: “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. «Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед ним ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», — ответил юноша. «Произнеси это 5 раз.». «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз.. «Вот видишь», -сказал мудрец, «повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо?

— Надо протянуть руку и взять ложку.

Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

II . Постановка цели и задач.

Учитель: Что мы называем равенством двух выражений с одной переменной?

Учитель: А какие вообще виды уравнений вы знаете?

Ученик: Рациональные, дробно – рациональные, иррациональные, показательные.

Тема урока «Решение показательных уравнений ». А эпиграфом к нашему уроку станут слова С. Коваля: «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

Сегодня на уроке мы будем повторять , отрабатывать и обобщать способы решения показательных уравнений.

Учитель: Сегодня у нас необычный урок, а урок – деловая игра. Давайте представим, что я – представитель фирмы “Лабиринт”. На днях мы получили заказ на создание сборника заданий по теме « Решение показательных уравнений» для подготовки к ЕГЭ по математике, этого необходимо увеличить штат сотрудников. Я предлагаю вам попробовать получить место в нашей фирме. На ваш выбор вам предлагается три должности, связанные с нашей работой, но чтобы получить данную должность вам необходимо хорошенько поработать. Для этого вам нужно будет выполнить некоторые задания. Прежде всего, вам необходимо получить допуск к выполнению этих заданий. Для этого в полученных бланках вам необходимо выполнить задание 1 . Вы допускаетесь к выполнению задания 2, если вы выполните больше половины заданий.

(на доске записаны должности)

III . Актуализация опорных знаний.

Индивидуальный опрос учащихся по карточкам (разно-уровневые).

У доски работают трое учащихся, остальные работают устно.

Карточка № 1 (уровень 1).

Задание №1.

Задание №2.

Карточка № 2 (уровень 2).

Задание №1.

Задание №2.

Карточка № 3 (уровень 3).

Задание №1.

Задание №2.

Уровень 1 на «3». Уровень 2 на «4» . Уровень 3 на «5».

Остальные учащиеся работают устно.

Устная работа (презентация)

Устно решить уравнения.

1. ;

2 . ;

3 . ;

4. ;

5 . ;

6 . ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. .

Проверка работы у доски .

Оценки выставляются в оценочный лист.

Заполнить бланк с вопросами, выполнить самопроверку и подсчитать балл. Результат внести в оценочный лист.

Бланк вопросов К 1

Ответьте на вопросы. За правильный ответ начисляется

1 балл, за неправильный 0 баллов.

1.Какая функция называется показательной?

2.Какова ее область определения?

3.Какова ее область значения?

4.Когда показательная функция убывает, а когда возрастает?

5.Напротив каждой из функций запишите какой она является: возрастающей или убывающей.

а) у =

б) у = , х – положительное число

в)у =

г) у = (

6. Назвать метод решения уравнения.

Общее количество баллов:

(ученики обмениваются бланками, учитель сообщает правильные ответы, а ученики проверяют бланки друг друга)

Ответы: 1.Какая функция называется показательной?

(показательной называется функция вида у = а х , где а > 0, а не равно 1)

2.Какова ее область определения?

3.Какова ее область значения?

4.Когда показательная функция убывает, а когда возрастает?

(Если а>1, a >0, то функция возрастает, если 0 a

5.Возрастает или убывает функция:

а)у= (в),

б)у= (у)

в)у= (у),

г) у=( (у)

6.Методы решения простейших показательных уравнений.

1) (методом сведения к одному основанию)

2) (вынесение общего множителя с наименьшим показателем за скобку)

3) (сведение к квадратному, метод замены переменных).

Учитель: Допуск к испытаниям на должность прошли все. Переходим к следующему туру.

Слайд 13, 14 Указать способы решения показательных уравнений.

Теперь приступим к борьбе за должности. Карточка 2.

2 испытание . Самостоятельная работа (дифференцированная).

Задания выдаются на карточках. Решаются учащимися в тетрадях с последующей самопроверкой .

Вариант 1 (2 уровень)

Вариант 2 (2 уровень)

6) ;

;

6) ;

Оценка «3» ставится за 5 заданий первого уровня

Оценка «4» — 5 заданий первого уровня и 3 задания второго уровня

Оценка «5» — 5 заданий первого уровня и 4 задания второго уровня

К 3. Дополнительное задание.

Самостоятельно №1, 2, 3, 6, У доски №4, 5, 7.

Учитель: Теперь все знают свои должности. А вот и Ваше первое задание. Вам необходимо решить все уравнения, а затем, расположив их корни в порядке возрастания, вы сможете прочесть фамилию математика, который впервые ввёл понятие показательной функции (Лейбниц).

( у каждого ученика на столе карточка)

Домашнее задание: Подготовить сообщение о Готфриде Лейбнице.

Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока «Решение уравнений это золотой ключ, открывающий все сезамы».

Мне хотелось бы вам пожелать , чтобы каждый из вас нашел в жизни свой «золотой ключик», с помощью которого перед вами открывались любые двери.

Рефлексия.

Вопросы:

На сколько важно уметь решать показательные уравнения?

Кто хорошо решает показательные уравнения?

У кого недостаточно знаний и умений решения уравнений?

Урок закончен. Спасибо за урок!

Помощник главного специалиста

Карточка № 1 (уровень 1).

Задание №1.

Задание №2.

Карточка № 2 (уровень 2).

Задание №1.

Задание №2.

Карточка № 3 (уровень 3).

Задание №1.

Задание №2.

Уровень 1 на «3» Уровень 2 на «4» Уровень 3 на «5»

Карточка № 1 (уровень 1).

Задание №1.

Задание №2.

Карточка № 2 (уровень 2).

Задание №1.

Задание №2.

Карточка № 3 (уровень 3).

Задание №1.

Задание №2.

Уровень 1 на «3» Уровень 2 на «4» Уровень 3 на «5»

Бланк вопросов Бланк вопросов

1)Ответьте на вопросы. За правильный ответ начисляется 1 балл, за неправильный 0 баллов.

1.Какая функция называется показательной?

2.Какова ее область определения?

3.Какова ее область значения?

4.Когда показательная функция убывает, а когда возрастает?

5.Напротив каждой из функций запишите какой она является: возрастающей или убывающей.

а) у =

б) у =

в) у =

г) у = (

г) у =(

6. Назвать метод решения уравнения.

Общее количество баллов:

Вариант 1 (2 уровень)

Вариант 2 (2 уровень)

6) ;

Оценка «3» ставится за 5 заданий первого уровня

Оценка «4» — 5 заданий первого уровня и 3 задания второго уровня

Оценка «5» — 5 заданий первого уровня и 4 задания второго уровня

;

6) ;

Оценка «3» ставится за 5 заданий первого уровня

Оценка «4» — 5 заданий первого уровня и 3 задания второго уровня

Оценка «5» — 5 заданий первого уровня и 4 задания второго уровня

+ = 3

= 1000 0

К – 3. Решить все уравнения, а затем, расположив их корни в порядке возрастания, вы сможете прочесть фамилию математика, который впервые ввёл понятие показательной функции

+ = 3

= 1000 0

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/pokazatelnye-uravneniya

http://infourok.ru/urok-po-matematike-klass-reshenie-pokazatelnih-uravneniy-prezentaciya-k-uroku-2968857.html