Алгебра 10 класс уравнения и неравенства

«Решение неравенств». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели:

1. Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения рациональных неравенств.
2. Содействовать развитию математического мышления учащихся,умению комментировать,тренировать память.
3. Воспитание ответственного отношения к учебному труду,чувства товарищества и взаимопомощи.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал(разноуровневые карточки с практическими заданиями).

Структура урока:

1. Сообщение темы и цели урока (1 мин.)
2. Проверка домашнего задания (5 мин.)
3. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу (10 мин.)
4. Инструктирование по выполнению заданий в группах (3 мин.)
5. Выполнение заданий в группах (15 мин.)
6. Проверка и обсуждение полученных результатов (8 мин.)
7. Постановка домашнего задания (2 мин.)
8. Подведение итогов урока (1 мин.)

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока.

Сегодня на уроке мы будем решать неравенства методом интервалов и методом замены переменных. Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Ньютона:“При изучении наукпримеры не менее поучительны,нежели правила” и слова Ломоносова: “Примеры учат больше,чем теория”.

II. Проверка домашнего задания.

На дом были даны неравенства. Проверьте ваше решение по интерактивной доске.

Отметим на числовой оси корни числителя и знаменателя.

Ответ: Є (-3; 1]

≥

Преобразуем исходное неравенство

– ≥ 0

≥ 0

≥ 0

≥ 0

Применим метод интервалов.

III. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу.

Решим методом интервалов следующее неравенство. (Учитель на доске дает образец решения неравенств).

≥ 0

Рассмотрим функцию

1. Область определения функции f(x)находим из системы неравенств

Область определения: [-4; 3) U (3; 4]

2. Уравнение f (x) ═ 0 имеет корни: -4; 4; 3,5

Ответ: [-4; 3) U [3,5; 4]

Следующее неравенство решим методом замены переменных.

()² + 7 () +12 0

≤ 0

≥ 0

V. Выполнение заданий в группах.

VI. Проверка и обсуждение полученных результатов.

Проверьте по интерактивной доске решение работы.

Учащиеся осуществляют самопроверку и самооценку заданий. Получают разъяснения по возникающим при этом вопросам.

Ответы к рассмотренному варианту.

Воспользуемся методом интервалов, получим :

≤ 0

Замена

Тогда t-1 — ≤ 0

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 1. Повторение 7-9. Числовые и алгебраические выражения. Линейные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

1. обобщение и систематизация знаний по алгебре 7-9;
2. повтор арифметики алгебраических выражений;
3. решение линейных уравнений и неравенств;
4. решение систем линейных уравнений и неравенств.

1. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни.

2. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни

1. Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.

2. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2000.

Открытые электронные ресурсы:

1. Федеральный институт педагогических измерений. http://www.fipi.ru

Все выражения можно разбить на два класса на основании наличия переменных: числовые выражения и выражения с переменными.

Логическая задача на классификацию

Основание для классификации: наличие переменных

Выражения с переменными

Для числовых выражений можно находить значение – результат всех выполненных действий. Для выражений с переменными можно также находить значение при некоторых значениях переменных, предварительно упростив его, например, с помощью свойств, правил, формул сокращенного умножения.

Найдите значение выражения при a=0,01 и b=12:

2)

3)

2);

3)

3b-2a-3b=-2a-2a=-0,02

2.Линейное уравнение с одним неизвестным

Линейное уравнение с одним неизвестным – это уравнение вида ax=b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное

Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет

Основные свойства уравнений

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная

Если a≠0, b – любое число, то .

Если a=0, b≠0, то нет корней.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

1) ,

1),

Решим уравнение 2).

По определению модуля числа имеем 5x+7=±2.

Таким образом, либо 5x+7=2, откуда x=-1, либо 5x+7=-2, откуда x=-1,8. Получаем ответ: -1; -1,8.

Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная

Если a≠0, b – любое число, то .

Если a=0, b≠0, то нет корней.

Если a=0, b=0, то x – любое число.

Линейное уравнение с параметрами

Решите уравнение (5x+7)n=x-m, где m и n – некоторые числа, x – неизвестное

1)Если 5n-1≠0, то есть n≠0,2, то . Используя основное свойство дроби, получаем, что .

2)Если 5n-1=0, то есть n=0,2, то уравнение примет вид 0∙x=-m-1,4;

Тогда при m=-1,4 корнем уравнения будет любое число,

при m≠-1,4 уравнение не имеет корней.

Рассмотрим задачу 1.

От пристани А до пристани В катер плывет по реке 15 минут, а обратно 20 минут. Найти скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.

Для ее решения необходимо:

1.Провести ориентировку в тексте задачи.

1.1.Проанализировать условие и выявить данные (известные, дополнительные, скрытые).

1.2.Проанализировать вопрос задачи и выявить искомое.

1.3.Определить связи одноуровневые и межуровневые между данными и искомым.

1.4.Построить графическую схему, например, таблицу.

1.5.Установить в ней место искомого.

2.Спланировать способ решения задачи.

2.1.Подобрать метод, например, алгебраический.

2.3.Подобрать действия для решения составленной математической модели.

3.Исполнить намеченный план решения и найти искомое.

4.Провести самоконтроль решения задачи, проверив, что найденное искомое не противоречит условию задачи.

5.Провести самооценку решения задачи.

6.Провести самокоррекцию выполненного решения задачи, если есть в том необходимость.

1 способ: Провести повторное решение задачи от начала до конца.

2 способ: Провести дополнительную деятельность для того, чтобы ответить на вопрос задачи.

3 способ: Решить задачу другим способом.

удовлетворяет условию

3.Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причем и .

Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными – это пара чисел x и y, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений: способ подстановки и способ сложения.

Решите систему способом подстановки

Для этого необходимо:

1.Выразить одну переменную через другую из какого-либо уравнения.

2.Подставить полученное выражение вместо выраженной переменной в другое уравнение.

3.Решить полученное уравнение относительно одной переменной.

4.Найти значение другой переменной, подставив найденный корень в формулу пункта 1.

5.Записать решение системы.

(1;2) – решение системы

Решите систему способом сложения

Для этого необходимо:

1.Домножить какое-либо уравнение системы или оба уравнения на такие числа, чтобы при почленном сложении уравнений получить уравнение относительно одной переменной.

2.Решить уравнение, полученное после почленного сложения.

3.Подставить найденный корень в какое-либо уравнение исходной системы.

4.Решить составленное уравнение.

5.Записать решение системы.

(3;-1) – решение системы

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если , то система имеет единственное решение.

Если то система не имеет решений.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Система линейных уравнений с параметром

Решите систему уравнений с параметром a:

Решим систему способом подстановки. Выразим y из первого уравнения системы: . Подставим выражение вместо y во второе уравнение системы:
(a-3)x+a((a+1)x-a)=-9 .

Решим полученное уравнение относительно x:
.

1. Если , то есть , то система имеет единственное решение. Найдем это решение: После сокращения получаем: . Найдем соответствующее значение y, подставив вместо x в формулу
. Получим . Итак, если , то – решение системы.

2. Если и , то есть a=-3, то система имеет бесконечно много решений. Найдем в этом случае решения системы. Для этого подставим a=-3 в первое уравнение системы. Получим уравнение -2x-y=-3, из которого выразим y: y=3-2x. Значит, (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы.

3. Если и , то есть a=1, то система не имеет решений.

Ответ: Если , то – решение системы;

если a=-3, то (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы;

если a=1, то система не имеет решений.

4.Решение линейных неравенств с одним неизвестным

Неравенство первой степени с одним неизвестными – это неравенство вида ax b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Решение неравенства с одним неизвестным – это то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Правило решения неравенства первой степени с одним неизвестным

1.Перенести с противоположными знаками члены, содержащие неизвестное, из правой части в левую, а не содержащие неизвестное – из левой части в правую.

2.Привести подобные члены в левой и правой частях неравенства.

3.Если коэффициент при неизвестном отличен от нуля, то разделить на него обе части неравенства.

5.Системы линейных неравенств с одним неизвестным

Решение системы неравенств с одним неизвестным – это значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Решить неравенство 2x-8 3.

Решение неравенства ax 0, то

Если a 0, то x – любое число

Если a=0, b≤0, то решений нет

Линейное неравенство с параметром

Решите неравенство с параметром a:

ax 0, то

Если a 0, то ; если a 0, 2x>6, x>3.

Решим второе неравенство системы:

4x-20 b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причем и .

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе «Решение показательных уравнений и неравенств»

Просмотр содержимого документа
«Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе «Решение показательных уравнений и неравенств»»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1»

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе

«Решение показательных уравнений и неравенств»

Сулейманова Айшат Абакаровна

Тема урока: «Решение показательных уравнений и неравенств»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.

Оборудование: персональный компьютер (ПК) учителя, мультимедийный проектор, презентация к уроку, дидактические материалы (цветные карточки с заданиями, сигнальные карточки, карточки для самостоятельной работы, для домашнего задания), оценочные листы, карта «Рефлексия».

Формы организации труда: блиц-опрос, индивидуальная, работа в паре, рефлексия.

Форма проведения: урок-практикум.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический.

Пояснительная записка: при подготовке урока в 10 классе я руководство-валась возрастными особенностями учащихся и государственным стандартом по математике (алгебра).

Основные понятия урока: Показательная функция, график показательной функции, показательное уравнение, показательное неравенство, способы решения показательных уравнений и неравенств.

— создать условия для повторения свойств показательной функции; способы решения показательных уравнений и неравенств;

— систематизировать знания учащихся по теме, закрепить умение применять их, выявить «скрытые» проблемы и затруднения, определить степень усвоения материала;

— формирование заинтересованности учащихся в решении показательных уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ;

— подготовиться к контрольной работе

— развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа её решения;

— способствовать развитию познавательного интереса, навыков самоконтроля и самооценки;

— развивать умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания по изученной теме;

— способствовать активности, организованности, умению общаться.

1. Организационный момент. Приветствует учащихся, определяет отсутствующих. Проверяет готовность к уроку.

2. Постановка целей и задач.

Через 1,5 года вы подойдёте к важной черте вашей жизни к итоговой аттестации. С какими заданиями вы уже можете справиться? Что вы изучали на последних уроках?

Сегодня у нас урок обобщения по теме «Решение показательных уравнений и неравенств» Откройте тетради и запишите число и тему урока. (слайд 2)

— Как вы считаете, что мы должны повторить на уроке?

-Давайте вместе сформулируем цели сегодняшнего урока.

( формулируют цели : повторить всё, что знаем о показательной функции, обобщить, закрепить и систематизировать знания методов решения показательных уравнений и неравенств)

— Все виды работ на уроке будут оценены и занесены в рабочие листы учёта знаний, которые есть у каждого из вас. В эти листы вы будете вносить, свои полученные баллы за каждый этап урока. Часть баллов поставит вам сосед по парте, а часть я — если сочту необходимым. Затем по общему количеству набранных баллов вы получите оценку за урок.

3. Актуализация опорных знаний. Блиц-опрос.

( в рабочем листе, ставите себе «плюс» за каждый верный ответ)

Вопросы к классу: В основе решения показательных уравнений и неравенств лежит знание свойств степени и свойств показательной функции, вспомним их.

(один человек работает у доски. Задание «Найти пару». Восстановите формулы, выражающие свойства степеней с рациональным показателем)

1. Какая функция называется показательной?

(функция вида у=а х , где а и а 1)

2. Какова область определения показательной функции у = 4 х ?

(множество R всех действительных чисел)

3. Какова область значения показательной функции у= 4 х ?

(множество всех положительных чисел)

4. При каком условии показательная функция является возрастающей?

(а

5. При каком условии функция является убывающей? (0 (слайд 5)

6. Что общего у графиков этих двух функций? (слайд 6)

7. Возрастает или убывает показательная функция:

а) у = б) у = 7 х в) у= 0,8 х

8. Для чего необходимо знать свойства возрастающей и убывающей функции? (для решения показательных неравенств)

9. Зная свойства возрастающей и убывающей показательной функции, решите неравенства: 2 3 2 х 3 х 81 (слайд 7)

10. Какое уравнение называется показательным? (уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени)

(уравнения вида , где а – положительное число, и отлично от 0, и уравнения, сводящиеся к этому виду)

11. Назовите методы решения показательных уравнений и неравенств:

а) метод уравнивания оснований

б) метод вынесения общего множителя за скобки

в) метод введения вспомогательной переменной

г) графический метод.

— Оцените свою работу, как поработали устно

(за каждый верный ответ 1 балл)

Хорошо, вспомнив основные теоретические вопросы, переходим к следующей работе.

4. Математический диктант (по вариантам) 6 мин.

У каждого ученика на парте приготовлен бланк для выполнения математического диктанта. В этих бланках ученик либо сразу записывает ответ, либо выполняет решение, если это требуется. Перед проведением математического диктанта можно повторить правила его проведения. (слайд 8)

1. Какие из указанных функций являются:

а) возрастающими; б) убывающими

ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2

а) у = 5 х б) у = а) у = б) у= 8 х

в) у = 49 -х г) у=1,4 х в) у = 4,9 х г) у=4 -х

2. Решите уравнение: а) 2 х =32 а) 5 х = 625

б) 5 х-2 =25 б ) 3 х-8 =27

в) 3 х-1 = в) 6 х+12 =

3. Решите неравенство:

а) 2 х 4 а) 5 х 125

б) 2 х -2 б) 5 х -5

в) 0,2 х 0,2 7 в) 0,4 х 0,4 3

Проверка выполнения математического диктанта осуществляется учениками. (взаимопроверка). Учитель с помощью проектора выводит правильные ответы к заданиям математического диктанта на экран. Также на доске записаны критерии выставления оценки. После как ученики выставили оценки они сдают работу учителю.

Ответы к математическому диктанту: (слайд 11)

Критерии проверки: 10 баллов (максимум)

За каждый правильный ответ выставляется 1 балл.

Диагностика уровня формирования практических навыков.

Продолжаем. (слайд 12)

Михаил Васильевич Ломоносов говорил: «Теория без практики мертва и бесплодна. Практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того и умения». И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений и неравенств. (слайд 13)

Задание: (в паре) Разбить уравнения и неравенства на группы по методу их решения и записать соответствующие номера в таблицу.

1) 2 2х-4 4 5) = 3-х

2) 6) 9 81 1-2х = 27 2-х

3) 27 1-х = 7) 5 х+1 + 5 х + 5 х-1 = 31

4) 3 х+2 -5 3 х = 36 8) 2 х 3-х

9) 10) 2 2х-1 +2 2х-2 +2 2х-3 448

Результаты занесите в таблицу:

Приведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за скобки

Замена переменного (приведение к квадратному)

Давайте проверим, что у вас получилось. (слайд 14)

Оцените свою работу. Укажите количество верно определённых способов.

5. Решение уравнений и неравенств по каждому способу у доски.

За каждое верно выполненное уравнение и неравенство получают по 2 балла.

8. Диагностика уровня освоения учащимся знания. После решения уравнений и неравенств рассматривается задание

« Найди ошибку в решении» . Для выполнения этого задания учащиеся пользуются бланком, который раздаёт учитель. Свои ответы можно сверить с правильными ответами на доске.

Оцените свою работу.

Все ошибки найдены и исправлены- 6 баллов;

исправлены в 1 задании – 4 балла; другие варианты -1 балл.

Приём «Верные и неверные утверждения»

Верно ли утверждение, что…. (каждый раз называю это словосочетание)

Обоснуйте свой ответ.

1. Уравнение вида называется показательным. (+)

2. — это показательное уравнение (-)

3. 4 является корнем уравнения (+)

4. Корень уравнения меньше корня уравнения (+)

5. — это показательное неравенство (+)

6. Корень уравнения принадлежит промежутку (-)

7. Корень уравнения является (+)

8. Показательное неравенство равносильно неравенству , если а1

Оценка: за каждое верное обоснование по 1 баллу.

Выставляем оценку за последнее задание и выводим общую за урок.

****Применение показательной функции в природе и технике Показательные уравнения необходимы в биологии, в медицине, при исследовании морей и океанов. Находит важнейшее применении при изучении природных явлений, при описании размножения живых организмов, в технике и во многих других областях.

9. Итог урока. Домашнее задание. Рефлексия

Сегодня мы повторили свойства показательной функции, способы решения показательных уравнений и неравенств. На дом вы получаете задание двух уровней из банка заданий ЕГЭ, выполните те, которые сможете, подготовьтесь к контрольной работе.

В ходе нашего урока в ваших рабочих листах появились баллы за работу на уроке. Посчитайте свой суммарный балл и согласно критериям, приведённым на доске поставьте себе оценку за усвоение темы «Показательная функция»

Критерии: выше 25 баллов- оценка «5»

от 19 до 25 баллов –оценка «4»

от 13 до 19 баллов –оценка «3»

ниже 13 –оценка «2»

Рефлексия. Отметьте точкой на графике функции уровень своих полученных знаний сегодня на уроке:

— на графике возрастающей функции, если на уроке у меня не было проблем, я доволен своей работой;

— на прямой параллельной оси ОХ, если всё шло ровно, гладко, я работал неплохо;

-на графике убывающей функции, если встретились затруднения, мне было трудно на уроке.