Алгебра 10 класс задачи уравнения

Решение задач и уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На уроке рассматривается обобщенная задача по вычислению значений тригонометрических функций аргумента, половинного аргумента и удвоенного аргумента. В процессе ее решения выводятся формулы универсальной тригонометрической подстановки и рассматриваются особенности их области допустимых значений.

Показательные уравнения. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Учебник: Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва, «Просвещение», 2014.

Урок проведён в универсальном 10-м классе средней общеобразовательной школы.

Цели урока: изучение способов решения показательных уравнений, тренировка в применении полученных знаний при решении заданий по теме, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, формирование познавательных интересов и мотивов самосовершенствования, воспитание умения работать с имеющейся информацией и культуры труда.

Структура урока

1. Организационный этап. Постановка темы и цели урока

– Прочитайте тему сегодняшнего урока (Приложение 1, слайд № 1)
– «Показательные уравнения».
– Нам это уже известно или это новый вид уравнений?
– Это новый вид уравнений.
– Попробуйте сформулировать цели урока.
– Мы узнаем, какие уравнения называются показательными, изучим способы их решения и будем учиться применять новое знание при решении задач по теме.
Учитель корректирует ответы учащихся.

2. Актуализация знаний. Устная работа (слайд № 3)

1. Подберите корень уравнения 2 х = 32; 3 х = 27; 10 х = 10000
2. Решите уравнение х 2 = 36; х 2 + х = 0; х 2 + 2х + 1 = 0
3. Найдите область значений функции у = π х ; у = (0,5) х ; у = (0,5) |х|
4. Сравните, используя свойства функций, с единицей 2 – 5 ; (0,5) – 3 ; (0,5) 0,5

3. Изучение нового материала (лекция)

Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, считается показательным (слайд № 4). Рассмотрим основные виды показательных уравнений (слайд № 5) (учащиеся записывают названия видов и примеры в тетрадях).

1. Элементарные показательные уравнения. Эти уравнения сводятся к решению уравнений вида а х = а в , где а >0, а ≠ 1. При этом используется свойство степени, которое мы изучали (повторить следствие 2 на стр. 160 учебника). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Пример 1 (слайд № 6).

(0,0016) 0,2 х + 1 = 25;
5 – 4 (0,2 х + 1) = 52;
– 0,8 х – 4 = 2;
– 0,8 х = 6;
х = – 7,5 .

Пример 2 (слайд №7)

36 · 6 х = 1;
6 2 + х = 60;
2 + х = 0;
х = – 2.

Пример 3 (слайд №8)

81 х · 2 4х = 36;
3 4х · 2 4х = 62;
6 4х = 6 2 ;
4х = 2;
х = 0,5.
Ответ: 0,5.

Пример 4 (слайд № 9)

2 х – 3 = 3 х – 3 ;
х – 3 = 0;
х = 3.
Ответ: 3.

2. Вынесение общего множителя за скобки (слайд № 10). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

2 · 3 х + 1 – 6 · 3 х – 1 – 3 х = 9;
3 х (2 · 3 – 6 · 3 – 1 – 1) = 9;
3 х · 3 = 9;
3 х = 3;
х = 3.
Ответ: 3.

Пример 2 (слайд № 11).

5 2х – 7 х – 5 2х · 17 + 7 х · 17 = 0;
5 2х – 5 2х · 17 = 7 х – 7 х · 17;
5 2х (1 – 17) = 7 х (1 – 17);
– 16· 52х = – 16 · 7х;
5 2х = 7 х ;
25 х = 7 х ;
х= 0.
Ответ: 0.

3. Сведение к квадратному уравнению (слайд № 12). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

9 х – 4 · 3 х = 45;
3 2х – 4 · 3 х – 45 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 4 t – 45 = 0;
D = 16 +180 = 196;
t₁ = 9,
t₂ = – 5 – не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 9;
3 х = 32;
х = 2;
Ответ: 2.

4. Закрепление изученного материала

– Продолжаем учиться решать показательные уравнения. (Решение всех последующих уравнений записывается на доске с объяснениями, следует вызвать ученика по желанию). Разберём №680(3), 681(1), 682(3), 684(1), 693(2).

5. Обучающая самостоятельная работа с самопроверкой

– Предлагаю вам самостоятельно решить следующие уравнения (слайд № 13), а затем проверить себя самостоятельно с помощью готовых решений (решение уравнений следует заранее заготовить, например, на слайдах, а затем показать учащимся по окончании работы).

1. (0,3) 5 – 2х = 0,09;
2. 225 · 15 2х + 1 = 1;
3. 3 х + 1 – 3 х = 18;
4. 9 х – 26 · 3 х – 27 = 0

Решение № 1 (слайд № 14)

Решение № 2 (слайд № 15)

15 2 · 15 2х + 1 = 150;
152х + 3 = 150;
2х + 3 = 0;
х = – 1,5.
Ответ: – 1,5.

Решение № 3 (слайд № 16)

3 х · 3 – 3 х = 18;
3 х (3 – 1) = 18;
3 х · 2 = 18;
3 х = 9;
3 х = 3 2 ;
х = 2.
Ответ: х = 2.

Решение № 4 (слайд № 17)

3 2х – 26 · 3 х – 27 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 26 t – 27 = 0;
t₁ = 27,
t₂ = – 1 не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 27; 3 х = 3 3 ; х = 3;
Ответ: 3.

6. Подведение итога урока. Рефлексия

– Итак, подведём итоги проделанной работы. Что нового вы узнали?
– С какими видами показательных уравнений мы познакомились?

7. Домашнее задание (слайд № 18)

Конспект урока алгебры «Решение задач с помощью рациональных уравнений» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ Гимназия г. Новый Уренгой

«Решение задач с помощью рациональных уравнений»

конспект урока алгебры в 10 классе

Автор: учитель математики

Решение задач при помощи рациональных уравнений.

Урок алгебры в10 классе.

• умения составлять рациональные уравнения по условию задачи;

• умения определять, соответствуют ли найденные корни уравнения условию задачи;

• умения решать текстовые задачи при помощи рациональных уравнений;

• умения решать текстовые задачи разными способами.

Познакомить учащихся с методом подобия при решении текстовых задач, который приводит к составлению рационального уравнения.

«Математическая задача иногда столь же увлекательна, как кроссворд, и напряженная умственная работа может быть столь же желанным упражнением, как стремительный теннис»

«Крупное научное открытие даёт решение крупной проблемы,

но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия»

«Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения».

«Если хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если

хотите научиться решать задачи, то решайте их»

2) Отпечатанные тексты обобщенного приема решения задач с помощью

уравнений для каждого ученика.

3) Мультимедийный проектор для демонстрации слайдов с задачами для устной работы, решения задачи различными способами.

Сообщается тема урока и его цели.

Начиная с 2003 года, в экзаменационные материалы ЕГЭ включаются текстовые задачи. Предлагаются задачи на проценты, на сплавы и смеси, на работу, на движение и т.д. Как правило, с текстовыми задачами справляются около 40% экзаменуемых. Решение текстовых задач вызывает изрядные затруд-нения у многих школьников. Быть может это происходит потому, что многие виды задач изучались в основной школе, т.е. до 10 класса. В контрольных измерительных материалах ЕГЭ текстовые задачи во второй части, это задание 11. Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего, необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.

Задачи на движение – классический тип текстовых задач. Разнообраз-ные объекты движутся в одном или разных направлениях, в условии перечислен ряд данных, по которым требуется найти некоторую величину, например, ско-рость, расстояние, время, за которое это расстояние пройдено… Зачастую знания одной формулы s = vt оказывается недостаточно, необходимо провести самосто-ятельное исследование задачи.

Сегодня мы рассмотрим задачи, в которых объекты движутся по прямой, и решение которых может привести к рациональному уравнению.

I . Фронтальная работа.

Ответить на вопросы:

1) Какие уравнения называют рациональными уравнениями?

2) Что называют корнем уравнения с неизвестным х ?

3) Что значит решить уравнение?

4) Какие уравнения называют равносильными?

5) Какие преобразования приводят уравнение к равносильному уравнению?

На экране появляются слайды 2 и 3 с заданиями для устной работы.

1. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошел 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость течения реки.

Для решения этой задачи составлено уравнение

Ответить на вопросы:

1) Что принято за х ?

2) Что выражается суммой

3) Что выражается разностью

4) Что выражается дробью

5) Что выражается дробью

6) Что выражается суммой

2. Расстояние между двумя населенными пунктами 50 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше. Встретились они на расстоянии 10 км от одного из населенных пунктов. Какова скорость велосипедиста?

Составьте уравнение для решения задачи.

Задача I тура школьной олимпиады по математике в 9 классе из учебного пособия по математике: А.В.Шевкин «Школьная математическая олимпиада. Задачи и решения».

Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они

встретились в полдень, и первая достигла чужого города в 4 часа пополудни, а вторая — в 9 часов. Узнайте, когда они вышли из своих городов.

Эту задачу один из учащихся решает у доски. Заслушиваем коментарии учащегося по решению задачи. Просматриваем слайды 4, 5, 6.

Предлагаю учащимся решение данной задачи методом подобия ( 2 способ ).

Один из учащихся решает эту задачу у доски, комментирует решение. Демонстрирую решение этой задачи на слайде 8.

Построим схематически графики движения первой и второй старушек: AD и CB соответственно. Точка N соответствует моменту их встречи. KL отсекает промежутки времени движения старушек до встречи. AL – промежуток времени движения до встречи.

Пусть до встречи старушки шли х часов. Из условия задачи следует, что KD = 4, LB = 9. Требуется найти AL .

На экране появляется слайд 7.

На экране появляется слайд 8.

Рассмотрим ∆ NKD и ∆ NLA : ∆ NKD подобен ∆ NLA по двум углам.

Рассмотрим ∆ NKC и ∆ NLB : ∆ NKC подобен ∆ NLB по двум углам.

Из подобия двух пар треугольников следует, что и , то есть

Составим и решим уравнение:

Это уравнение имеет единственный положительный корень 6, поэтому старушки были в пути 6 ч и вышли из своих городов в 12 – 6 = 6 ч утра.

Ответ: в 6 ч утра.

Метод подобия приводит к более простому решению задачи.

3 способ . На экране появляется слайд 9. Объясняю решение и учащиеся записывают это решение в тетради.

4 способ . Появляется слайд 10, 11.

Домашнее задание: задачи № 286, 294 на с. 399-400 (решить различными способами), учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.