Открытый урок Показательные уравнения и неравенства 11 класс
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему
Открытый урок по теме «Показательные уравнения и неравенства» . Урок закрепления знаний.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| otkrytyy_urok_pokazatelnye_uravneniya_i_neravenstva.docx | 87.93 КБ |
| pokazatelnye_uravneniya_i_neravenstva_otkrytyy_urok.ppt | 981.5 КБ |
Предварительный просмотр:
МБОУ СОШ с. Арыг-Узюнский
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО МАТЕМАТИКЕ
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Учителя математики Сундуй С.А.
Тема: “Решение показательных уравнений и неравенств”.
- обобщение знаний и умений учащихся по применению методов решения показательных уравнений ;
- закрепление свойств показательной функции в процессе решения показательных неравенств;
- формирование заинтересованности учащихся в решении нестандартных показательных уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ.
- развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа её решения;
- активизация познавательной деятельности посредством использования компьютерных технологий;
- развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.
- формирование умения работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы;
- воспитание внимательности, устремленности к самообразованию и самосовершенствованию;
- осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме.
1. Мультимедийная установка. На уроке используется презентация “Решение показательных уравнений, неравенств”:
- при повторении теоретического материала на экране высвечиваются повторяемые определения, график показательной функции;
- при самопроверке на экране появляются эталонные ответы на соответствующие задания.
2. На столах лежат буклеты для организации самостоятельной работы в виде исправления ошибок в решении, карта “Рефлексия”.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Методы и приёмы проведения урока: фронтальный опрос, индивидуальная работа, работа в парах, самостоятельная работа (тест), рефлексия.
- Организационный момент.
- Повторение теоретического материала.
- Устный счет.
- Решение показательных уравнений и неравенств из ЕГЭ.
- Физкультминутка для глаз.
- Найдите ошибку.
- Решение усложненного задания ЕГЭ.
- Закрепление знаний.
- Домашнее задание.
- Рефлексия.
Эпиграф к уроку : С.Коваль: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
I. Организационный момент
С древних времен на Руси, прощаясь и встречаясь, говорили «Будь здоров». Сейчас мы говорим «Здравствуйте», т.е. люди желают здоровья друг другу. Здравствуйте ребята и гости.
Мобилизирующий момент: Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь» Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.». «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз.. «Вот видишь, -сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…»Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.
II. Повторение теоретического материала.
Функция y=a x монотонна на R и принимает все положительные значения.
Тогда, согласно теореме о корне, уравнение a x =b имеет единственный корень.
Уравнение примет вид a x =a t . из равенства степеней с одинаковыми основаниями получим x=t.
Решение показательных неравенств основано на свойстве показательной функции: при а>1 функция y=a x возрастает; при 0 x — убывает. Примеры учащихся.
III. Устный счет.
IV. Решение показательных уравнений и неравенств из ЕГЭ.
Приобретать знания — храбрость
Приумножать их – мудрость
А умело применять – великое искусство.
На носу ЕГЭ, поэтому нам надо тщательно к нему подготовиться. На данном этапе урока мы решим разноуровневые задания из ЕГЭ.
Уравнение решается методом уравнивания оснований
2) 5 3х — 2 5 3х -1 — 3 5 3х – 2 = 60,
Уравнение решается методов вынесения общего множителя за скобки
5 3х (1-2 5 -1 — 3 5 – 2 ) = 60,
5 3х = 60, разделим обе части уравнения на дробь , получаем
Т.к. y=6 t – возрастающая, перейдем к равносильному неравенству:
15;» src=»https://docs.google.com/drawings/image?id=sSTvV19AGsz9540-loPSAlg&rev=1&h=25&w=176&ac=1″ style=»width: 176.00px; height: 25.33px; margin-left: 0.00px; margin-top: 0.00px; transform: rotate(0.00rad) translateZ(0px); -webkit-transform: rotate(0.00rad) translateZ(0px);» title=»»>
15;» src=»https://docs.google.com/drawings/image?id=sv56shrAh09soMirpWfl7ww&rev=1&h=24&w=137&ac=1″ style=»width: 137.33px; height: 24.00px; margin-left: 0.00px; margin-top: 0.00px; transform: rotate(0.00rad) translateZ(0px); -webkit-transform: rotate(0.00rad) translateZ(0px);» title=»»>
V. Физкультминутка для глаз. Следить глазами за появлением показательных функций на экране глазами. Заодно повторить график показательных функций.
VI. Найдите ошибку:
Нахождение всех ошибок и в уравнении и в неравенстве – «5»;
Нахождение ошибок в уравнении или в неравенстве – «4»;
Нахождение ошибки, но не до конца либо уравнении, либо в неравенстве – «3»;
Не нашел ошибки – «2».
VII. Решение более сложного задания ЕГЭ.
VIII. Закрепление знаний. Онлайн тест «Решу ЕГЭ» Дмитрия Гущина.
IX. Домашнее задание:
1 уровень.
Вариант 1. Вариант 2.
№1 Решите уравнение: №1 Решите уравнение:
б) 2 х – 1 + 2 х + 2 = 36. б) 5 х — 5 х — 2 = 600.
№2. Решите неравенства: №2. Решите неравенства:
б) 4 х – 2 х 2. б) 9 х – 3 х 6.
Вариант 1. Вариант 2.
№1 Решите уравнение: №1 Решите уравнение:
б) 3 х-1 + 3 х + 3 х +1 = 13 . б) б) 2 х+2 + 2 х+3 + 2 х +4 = 7 .
№2. Решите неравенства: №2. Решите неравенства:
б) 5 х + 5 1-х 6 . б) 4 1-х + 4 х 5.
Вариант 1. Вариант 2.
№1 Решите уравнение: №1 Решите уравнение:
б) 6 х + 6 х +1 = 2 х + 2 х +1 + 2 х +2 . б) 3 х — 1 + 3 х + 3 х +1 = 12 х-1 + 12 х .
№2. Решите неравенства: №2. Решите неравенства:
б) 4 х +1 — 13 6 х + 9 х+1 б) 25 х +0,5 — 7 10 х + 2 2х+1
Рефлексия урока. Отметить точкой на графике показательной функции уровень своих полученных знаний сегодня на уроке.
Итоги урока. Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока «Решение уравнений — это золотой ключ, открывающий все сезамы». С. Коваль
Мне хотелось бы вам пожелать, чтобы каждый из вас нашел в жизни свой золотой ключик. С помощью которого перед вами открывались любые двери.
На уроке рассматривались показательные уравнения и неравенства, которые можно решить разными способами и которые часто встречаются в заданиях ЕГЭ по математике . Класс, в котором проводился урок, характеризуется неустойчивостью внимания и слабыми знаниями. Отсюда вытекает необходимость в разнообразии видов деятельности и частая их сменяемость.
- Повторение теоретического материала и устный счет направлены на включение в работу всего класса и актуализацию знаний, используемых при решении показательных уравнений. На этапе «Найдите ошибку» урока используется индивидуальная и парная работа, направленная на развитие навыков самоконтроля и взаимоконтроля, внимательности.
- Урок разбивается на две части, примерно равные по объему, которые разделены физкультминуткой для отдыха и смены видов деятельности. В первой части решаются показательные уравнения и неравенства различной сложности из базового уровня ЕГЭ. Во второй части урока усвоенные знания проверяются с помощью задания «Найдите ошибку» и демонстрирования решение более сложного показательного уравнения. Закрепление данного материала производится путем включения онлайн тестирования «Решу ЕГЭ» Дмитрия Гущина.
- На уроке использованы задания стандартного учебника (А. Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11»), И.В. Ященко «ЕГЭ 4000 задач с ответами по математике»,Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова «»Повторение курса в формате ЕГЭ», А.Н. Руруин «Контрольно-измерительные материалы».
- Домашнее задание состоит из трех уровней сложности, направленной на развитие познавательного интереса учащихся и творческого мышления.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Сундуй Сайлык Адиковна учитель математики Показательные уравнения и неравенства
Показательные уравнения и неравенства Повторение теоретического материала Устный счет Решение показательных уравнений и неравенств из ЕГЭ Физкульминутка Найдите ошибку Решение задания ЕГЭ из второй части профильного уровня Творческое задание Домашнее задание
Эпиграф к уроку: «Уравнения – это золотой ключ, открывающие все математические сезамы»
Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь» Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.». «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз.. «Вот видишь, -сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…»Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.
2. 1. Пусть Показательные уравнения
Показательные неравенства Решение показательных неравенств часто сводиться к решению неравенств или Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции
Устный счет 6 4 — 3 — 3 — 1 — 1 — 1 0
Решение показательных уравнений и неравенств из ЕГЭ Приобретать знания – храбрость Приумножать их – мудрость А умело применять – великое искусство
Критерии оценивания: Нахождение всех ошибок и в уравнении и в неравенстве – «5»; Нахождение ошибки в уравнении или в неравенстве – «4»; Нахождение ошибки, но не до конца, либо уравнении, либо в неравенстве – «3»; Не нашел ошибки – «2».
Возможная запись решения ученика . Решите уравнение , тогда или или или т.к. , то
Рефлексия Отметить точкой на графике показательной функции уровень своих полученных знаний сегодня на уроке Усвоил на недостаточном уровне Усвоил на среднем уровне Усвоил на хорошем уровне Усвоил на отличном уровне
Спасибо за урок!
Интернет-ресурсы Циркуль: http://www.daviddarling.info/images/compasses.jpg Карандаш: http://www.proshkolu.ru/content/media/pic/std/3000000/2240000/2239093-7acd9447b354cc7e.gif Угольник-транспортир: http://p.alejka.pl/i2/p_new/25/38/duza-ekierka-geometryczna-z-uchwytem-rotring-14-cm_0_b.jpg Фон «тетрадная клетка»: http://radikal.ua/data/upload/49112/4efc3/3bd0a3d6bb.jpg
Автор шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей №21 г. Иваново
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
конспект урока «Показательные уравнения и неравенства»
Урок закрепления материала по теме «Показательные уравнения и неравенства».
конспект урока Показательные уравнения и неравенства
в содержание урока включен материал для обобщения и систематизации знаний учащихся по теме. Урок построен по таксономии учебных целей Б.Блума.
Презентация к уроку алгебры в 10 классе на тему «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»
Презентация на тему «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ» является иллюстрацией к одноименному уроку-семинару по алгебре и началам анализа, пр.
План урока математики в 11 классе.«Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства».
Урок математики в 11 классе.«Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства» с элементами сингапурского обучения.Цель: обобщить и систематизировать материал по теме, обогатит.
Открытый урок «Показательные уравнения и неравенства» 11 класс
Конспект открытого урока в 11ом классе натему «Показательные уравнения и неравенства".
Презентация к уроку Показательные уравнения и неравенства
Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Методическая разработка открытого урока «Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений»
Методическая разработка открытого урока «Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений".
Показательные уравнения и неравенства. 11 класс.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Вид урока: Практикум решения задач по теме
Цель урока: Повторить, систематизировать и углубить знания, умения и навыки учащихся по теме « Показательные уравнения и неравенства». Рассмотреть методы решения показательных уравнений, неравенств, уравнений и неравенств с параметрами. Работать над грамотным оформлением решений. Работать над математической речью учащихся при защите решения задач.
Повторение и закрепление изученного материала (5-10 мин)
Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач)
(За правильное выполнение 3-х заданий добавляется 1 балл к итоговой оценке за урок)
Решение задач (60-65 мин)
Целью решения следующих задач повторение всего курса показательных уравнений и неравенств (в целом на более высоком уровне сложности). По умолчанию требуется решить уравнение или неравенство.
Учащимся необходимо раздать листки с практикумом по решению задач, где они могут самостоятельно выбрать тот или иной пример и решить его с комментированием у доски.
11 0 Задачи с параметрами
При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечно много корней?
Решение: Пусть . Построим график функции (на рисунках представлены случаи для a >0, a , a=0 нас не интересует, так как в этом случае уравнение будет иметь единственное решение). В первом случае бесконечное множество решений будет при условии 2а=2, т.е. а=1 . Во втором случае ; — 2а=2, a =-1/
При каких значениях параметра а неравенство имеет решение?
Пусть , тогда имеем
Система неравенств не имеет решение в двух случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена не положителен -это будет при . Или, когда дискриминант положителен, и оба корня неположительны, т.е. получим систему
Итог урока (5-10 минут)
(анализ основных методов решения показательных уравнений и неравенств, комментирование решений учащихся у доски и выставление оценок)
Домашнее задание: (задание учащимся дается на неделю в виде зачета по теме)
Краткое описание документа:
Тема урока: Решение задач по теме «Показательные уравнения, неравенства»
Вид урока: Практикум решения задач по теме
Цель урока: Повторить, систематизировать и углубить знания, умения и навыки учащихся по теме « Показательные уравнения и неравенства». Рассмотреть методы решения показательных уравнений, неравенств, уравнений и неравенств с параметрами. Работать над грамотным оформлением решений. Работать над математической речью учащихся при защите решения задач.
1. Организационный момент.
2. Повторение и закрепление изученного материала (5-10 мин)
ü Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач)
(За правильное выполнение 3-х заданий добавляется 1 балл к итоговой оценке за урок)
3. Решение задач (60-65 мин)
Целью решения следующих задач повторение всего курса показательных уравнений и неравенств (в целом на более высоком уровне сложности). По умолчанию требуется решить уравнение или неравенство.
Учащимся необходимо раздать листки с практикумом по решению задач, где они могут самостоятельно выбрать тот или иной пример и решить его с комментированием у доски.
100 Разные приемы
110 Задачи с параметрами
При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечно много корней?
Решение: Пусть . Построим график функции (на рисунках представлены случаи для a >0, a , a=0 нас не интересует, так как в этом случае уравнение будет иметь единственное решение). В первом случае бесконечное множество решений будет при условии 2а=2, т.е. а=1. Во втором случае ; -2а=2, a =-1/
При каких значениях параметра а неравенство имеет решение?
Пусть , тогда имеем
Система неравенств не имеет решение в двух случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена не положителен -это будет при . Или, когда дискриминант положителен, и оба корня неположительны, т.е. получим систему
4. Итог урока (5-10 минут)
(анализ основных методов решения показательных уравнений и неравенств, комментирование решений учащихся у доски и выставление оценок)
5. Домашнее задание: (задание учащимся дается на неделю в виде зачета по теме)
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 582 213 материалов в базе
Материал подходит для УМК
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
§ 40. Показательные уравнения и неравенства
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Другие материалы
- 22.12.2019
- 12351
- 1137
- 17.11.2019
- 488
- 43
- 21.10.2019
- 433
- 7
- 21.07.2019
- 1798
- 99
- 14.07.2019
- 220
- 2
- 12.05.2019
- 6815
- 148
- 01.03.2019
- 636
- 30
- 07.02.2019
- 235
- 1
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 07.01.2015 374
- DOCX 1.4 мбайт
- 6 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Ситбаталова Алма Капаровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 7 лет и 1 месяц
- Подписчики: 6
- Всего просмотров: 172175
- Всего материалов: 16
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей
Время чтения: 1 минута
Инфоурок стал резидентом Сколково
Время чтения: 2 минуты
В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля
Время чтения: 1 минута
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Показательные уравнения и неравенства
Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств. В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.
Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике «Методическая копилка репетитора по физике и математике» в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.
Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.
Показательная функция
Что такое показательная функция?
Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции y = a x :
| Свойство | a > 1 | 0 только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему: Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:
Пример 1. Решите уравнение:
Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:
Уравнение тогда принимает вид:
Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:
Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:
Переходя к обратной подстановке, получаем:
Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:
С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию. Ответ: x = 3. Пример 2. Решите уравнение:
Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю). Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:
Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1. Пример 3. Решите уравнение:
Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:
Ответ: x = 0. Пример 4. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:
Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x. Ответ: x = 0. Пример 5. Решите уравнение:
Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет. Ответ: x = -1. Пример 6. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:
Ответ: x = 2. Решение показательных неравенствПоказательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f(x) > a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 f(x) > a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:
Тогда неравенство примет вид:
Итак, решением неравенства является промежуток:
переходя к обратной подстановке, получаем:
Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:
Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:
Итак, окончательно получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:
Введем новую переменную:
С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:
Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:
Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:
Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:
Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:
Окончательно получаем ответ:
Пример 9. Решите неравенство:
Решение:
Делим обе части неравенства на выражение:
Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:
Воспользуемся заменой переменной:
Исходное уравнение тогда принимает вид:
Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:
Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:
Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:
Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:
Итак, окончательный ответ:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение: Ветви параболы y = 2x+2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:
Ветви параболы y = x 2 -2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:
Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x+2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1. Ответ: x = 1. Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене. P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно. источники: http://infourok.ru/pokazatelnie-uravneniya-i-neravenstva-klass-344483.html http://yourtutor.info/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87-%D1%813-%D0%B5%D0%B3%D1%8D-%D0%BF%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D0%BA |
0,\, b>0: \\ a^0 = 1, 1^x = 1; \\ a^<\frac
0. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
