Алгебра 7 класс графически система уравнение

Алгебра 7 класс графически система уравнение

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Учебное занятие по алгебре в 7 классе по теме: «Системы линейных уравнений. Графический метод решения систем линейных уравнений».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Бондарь Е.Ф., учитель математики муниципального

бюджетного общеобразовательного учреждения

«Средняя общеобразовательная школа № 47» г. Чита

Разработка открытого учебного занятия по алгебре в 7 классе

для слушателей курсов повышения квалификации института развития образования Забайкальского края «Профессиональная деятельность учителя математики в условиях ФГОС «

по теме: «Системы линейных уравнений.

Графический метод решения систем линейных уравнений».

Цель модуля: Организация деятельности учащихся по усвоению понятий «система линейных уравнений», «решение системы линейных уравнений»; овладению навыками решения систем линейных уравнений графическим методом.

1. Создать условия для актуализации опорных знаний.

2. Организовать формулировку темы урока.

3. Организовать постановку учебной цели учащимися; способствовать организации деятельности учащихся по самостоятельному определению понятий «система линейных уравнений и ее решение» и выходу на графический метод решения.

4. Способствовать формированию умений учащихся решать системы линейных уравнений с помощью графического метода.

5. Продолжить работу по формированию у учащихся умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы; развитию исследовательских навыков. Продолжить работу по формированию навыков сотрудничества, самостоятельности, самоконтроля и самооценки.

Тип учебного занятия : модуль усвоения новых знаний.

1. Организационный момент. — 3 мин

Ребята, я рада снова вас видеть. Сегодня у нас с вами присутствуют гости, и мы будем работать вместе. Давайте вспомним, что вы научились делать на предыдущих занятиях

(узнали, что такое линейные уравнения с двумя переменными, линейная функция, научились строить графики линейной функции, узнали о взаимном расположении графиков)

Сегодня нам предстоит не только использовать наши предыдущие знания, но и продолжить работу с уравнениями. Это, на самом деле, очень интересное понятие, и даже великий ученый и видный общественный деятель 19-20 века Альберт Эйнштейн говорил «Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности».

2. Актуализация опорных знаний. – 5 мин

-Решим фантастическую задачу «В 7 классе Г МБОУ СОШ № 47 семь учащихся не выполнили д/з. Сколько из них мальчиков и сколько девочек?». Составим математическую модель задачи

-Как называется такая запись?

(линейное уравнение с двумя переменными)

-Решим задачу (называют решения)

-Сколько может быть решений (бесконечное множество)

-Что является решением линейного уравнения с двумя переменными (пара чисел, обращающая уравнение в верное равенство)

3. Изучение нового материала + целеполагание – 10 мин

-Неужели мы не сможем решить эту задачу? (Надо добавить еще одно условие, какое?)

-Например, мальчиков на 3 человека больше чем девочек. Тогда задача звучит так «В 7 классе Г МБОУ СОШ № 47 семь учащихся не выполнили д/з, причем мальчиков на 3 человека больше чем девочек. Сколько из них мальчиков и сколько девочек?». Появляется еще одно уравнение

-Сколько теперь условий, и как они должны выполняться? (два и одновременно).

Для решения таких задач в математике применяется новый символ и новое понятие. Два уравнения объединяются фигурной скобкой.

-Может, кто — нибудь знает, что это за символ? (Система)

— Итак имеется система двух линейных уравнений с двумя переменными.

-Как вы думаете, что такое система? (Система – это объединение нескольких условий так, чтобы они выполнялись одновременно)

-Дадим определение системе уравнений (Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно) — слайд.

-Итак, мы рассмотрели новое математическое понятие. С чем же мы сегодня будем работать и чему нужно научиться? (Решать системы линейных уравнений)

-Запишем тему и данную систему.

-Можете ли вы решить эту систему?

-Что значит решить систему (Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство) — слайд.

— Каким методом мы решили систему? (Подбора)

Но, во – первых метод подбора, угадывания, не всегда применим на практике

0, 5 х +1/2 у=0,9785

-7/18 у – 0, 11 х = 1 4/18

Во вторых, где гарантия, что иного решения быть не может, что мы до него не додумались, не доугадали?

-Можно ли решить систему каким-нибудь другим методом?

— Как мы можем представить данные уравнения? (выразить у через х)

— Что получим? (линейную функцию)

— Можем построить графики, что нам это даст (точку пресечения, это и будет решением)

— Как назовем этот метод? (графический)

-Значит, чему мы должны еще сегодня научиться? (Решать системы графическим методом)

Решение системы на доске — 5 мин

Ученик на доске решает систему.

В данной системе очень просто было выразить y через х, давайте вспомним, как это делается в более сложных случаях – 2 мин – по времени

Итог части модуля: познакомились с понятием системы линейных уравнений, рассмотрели графический способ ее решения. Встречались ли вы уже с чем то подобным? (взаимное расположение графиков линейных функций)

4. Первичное применение знаний. Работа в парах – 10 мин.

Обучающиеся получают карточки со следующими заданиями

1. Решить систему уравнений графическим способом

2. Объясните решение соседу по парте

3. Составьте алгоритм решения систем линейных уравнений графическим способом.

1. Решить систему уравнений графическим способом

2. Объясните решение соседу по парте

3. Составьте алгоритм решения систем линейных уравнений графическим способом.

Выводы учащихся (системы записаны на доске)

Проверка по слайдам – 3 мин

— У вас на партах лежат памятки, в которых отражены случаи решения систем линейных уравнений графическим способом, изобразите рисунки в первом столбце.

Проверим, что у нас получилось – слайд — 3 мин

Теперь нам надо составить алгоритм решения системы линейных уравнений графическим способом, составляем, проверяем по слайду.

Итак, алгоритм составлен, с его помощью, решим самостоятельно систему – 6 мин:

Рис 51, стр 63 – графики пересекаются в т. А, координаты которой мы точно определить не сможем.

Если не успеваем, смотрим по рисунку в учебнике

Мы с вами рассмотрели сегодня графический метод решения систем линейных уравнений, отметьте, пожалуйста, его плюсы и минусы. Несмотря на минусы, этот метод имеет большое значение – слайд

6. Домашнее задание. Дома вы еще потренируетесь в применении графического способа решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными, д/з как обычно записано на доске и в АИС (параграф 11, №№ 11.7, 11.10 (а), 11.12 (б, в),

7. Подведение итогов. Рефлексия.

1) Ответьте на вопросы.

1) Какую математическую модель мы сегодня рассматривали?

2) Что такое система линейных уравнений?

3) Что является ее решением?

4) Какой метод решения систем линейных уравнений сегодня узнали?

5) Расскажите алгоритм решения системы линейных уравнений с помощью графического метода.

2) Рефлексия модуля.

— Чем лично для вас был интересен этот модуль?

— Какие формы работы вам понравились?

— На каком этапе модуля вы испытывали затруднения?

— Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

8. Заключительное слово учителя.

Итак, мы познакомились с новой математической моделью – системой двух линейных уравнений с двумя переменными. Как могли убедиться, метод подбора не очень надежен, графический метод тоже выручает не всегда. Значит, нам еще нужны надежные

алгебраические методы. Об этом и пойдет речь на следующих занятиях.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 742 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра (в 2 частях)», Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)

Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 24.02.2021
• 111
• 1

• 24.02.2021
• 626
• 3

• 24.02.2021
• 140
• 4

• 24.02.2021
• 85
• 0

• 24.02.2021
• 136
• 4

• 24.02.2021
• 105
• 2

• 24.02.2021
• 116
• 1

• 24.02.2021
• 646
• 47

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.02.2021 158
• DOCX 78 кбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бондарь Елена Федоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 285
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Системы линейных уравнений (7 класс)

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Способ алгебраического сложения.

Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\).

Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).

\(\begin2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin4x+6y=26\\15x+6y=15\end\)\(\Leftrightarrow\)

Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

Найдите неизвестное из полученного уравнения.

Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin12x-7y=2\\5y=4x-6\end\)

Приводим систему к виду \(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\) преобразовывая второе уравнение.

«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).

Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).

Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.

Икс тоже найден. Пишем ответ.

Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).

Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin3x-8=2y\\x+y=6\end\), мы получили ответ \((4;2)\). Проверим его, подставив вместо икса \(4\), а вместо игрека \(2\).

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end\)

Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).

Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.

Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).