Алгебра 7 класс мордкович учебник уравнения

Алгебра 7 класс Мордкович

Математический язык. Математическая модель

Числовые и алгебраические выражения

Что такое математический язык

Что такое математическая модель

Линейное уравнение с одной переменной

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 1:

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 2:

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Линейная функция и ее график

Линейная функция y=kx

Взаимное расположение графиков линейных функций

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 1:

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 2:

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Метод алгебраического сложения

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 1:

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 2:

Степень с натуральным показателем и ее свойства

Что такое степень с натуральным показателем

Таблица основных степеней

Свойства степени с натуральным показателем

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

Степень с нулевым показателем

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 1:

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 2:

Одночлены. Арифметически опрерации над одночленами

Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

ГДЗ по Алгебре за 7 класс А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова Учебник, Задачник Базовый уровень часть 1, 2 ФГОС

Авторы: А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.

Издательство: Мнемозина 2017-2021

Уровень: Базовый уровень

Выполнения заданий за 7 класс по Алгебре А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская Учебник, Задачник часть 1, 2, от издательства: Мнемозина 2017-2021 ФГОС Базовый уровень, не простое занятие, поэтому ГДЗ поможем Вам сверить ответы к заданиям

Алгебра 7 класс Учебник Мордкович часть 1

(3х -t- 3 -f 6), т.е. у = -X + 3. Впрочем, тот же результат мы получили 2 бы, если бы обе части исходного уравнения почленно разделили на 2. Обычно предпочитают в подобных случаях говорить не об умножении, а о почленном делении обеих частей уравнения на одно и то же число. Итак, у = -X + 3. Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при д: = О получаем у = 3; при X = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем у = 9. Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 7. Точно так же уравнение 5х — 2у = 0 (см. пример 4 из § 7) можно было преобразовать к виду 2у = Ъх и, далее, у = 2,Ъх\ нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению. Наконец, уравнение Зд: -Ь 2г/ — 16 = 0 из того же примера можно 3 было преобразовать к виду 2у = — Зх и, далее, у = 8

-х. Из 2 этого уравнения можно найти точки (0; 8) и (2; 5), которые ему удовлетворяют. Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде. 47 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Случаи, когда в уравнении ах by + с = О коэффициенты а и Ь равны нулю, мы рассмотрели в § 7. Там же мы отметили, что в случае, когда а Ф Q, Ь = О, графиком уравнения является прямая, параллельная оси у. Рассмотрим случай, когда Ь 0. Имеем ал: + Ьг/ + с = 0; (1) by = -ах — с; а с и = —X —. h h Введя обозначения = к, Ь Ь т, получаем у = кх + т. Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и у в случае, когда ЬфО, можно преобразовать к виду у = кх + т, (2) где к, т — числа (коэффициенты). Это частный вид линейного уравнения. Зная, чему равен х, по правилу у = кх т всегда можно найти, чему равен у. Будем называть уравнение (2) линейной функцией. С помощью уравнения (2) легко, указав конкретное значение X, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например, у = 2х 3. Тогда если д: = о, то р = 3; если л; = 1, то р = 5; если л: = -1, то р = 1; если л: = 3, то I/ = 9 и т. д. Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы: X 0 1 -1 3 у 3 5 1 9 Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х-\-3 соответственно в точках х = 0, д: = 1, X = -1, д: = 3. 48 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ независимая переменная (аргумент) зависимая переменная линейная функция В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаём одной из них — переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что X — независимая переменная (или аргумент), у — зависимая переменная. Частным случаем теоремы 1 из § 7 является следующая теорема. Графиком линейной функции у = kx + т является прямая. Теорема 2. график линейной функции Пример 1. Построить график линейной функции у = 2х + 3. Решение. Составим таблицу: X 0 1 у 3 5 Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 3) и (1; 5) и проведём через них прямую. Это и есть график линейной функции у = 2х + 3 (рис. 32). О Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции. Приведём примеры. Первая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней? Если пройдёт X дней, то количество у угля на складе (в тоннах) выразится формулой у = 500 + 30л:. Таким образом, линейная функция у ■= ЗОх + 500 есть математическая модель ситуации. Теперь нетрудно установить, что: при х = 2 имеем у = 560 (в уравнение у = ЗОх + -I- 500 подставили х = 2 и получили у = 560); при X = 4 имеем у = 620; при X = 10 имеем у — 800. 49 линейная функция Вторая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней? Здесь математической моделью ситуации является линейная функция у = 500 — ЗОдс. С помощью этой модели нетрудно ответить на вопрос задачи: если X = 2, то у = 440 (в уравнение у = 500 — ЗОд: подставили JC = 2 и получили у = 440); если д: = 4, то у = 380; если X = 10, то у = 200. Третья ситуация. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А до пункта В, а затем продолжил движение из пункта В в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от пункта А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч ходьбы? Математической моделью ситуации является линейная функция у = \Ъ + Ах, где X — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А (в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи: если д: = 2, то у = 23 (в уравнение у = \Ъ + Ах подставили дс = 2 и получили у = 23); если X = А, то у = 31; если X = 6, то у = 39. Итак, в каждой из рассмотренных ситуаций математической моделью служит линейная функция. Но (внимание!), строго говоря, все три составленные модели не совсем точны, они не учитывают тех ограничений на переменную, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, что в первой ситуации независимая переменная х может принимать только значения 1, 2, 3, . поскольку X — число дней. Следовательно, уточнённая математическая модель первой ситуации выглядит так: у = 500 + ЗОх, где х — натуральное число. Вторую ситуацию необходимо уточнить условием у > 0. Это значит, что независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3. 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 — ЗОх находим у = 500 — 30 • 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к 50 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ о 6 Рис. 33 этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придётся прекратить. Следовательно, уточнённая математическая модель второй ситуации выглядит так: у = 500 — ЗОх, у > о или у = 500 — ЗОх, где х = 1, 2, 3, . 16. В третьей ситуации независимая переменная х теоретически может принять любое неотрицательное значение (х = 0, х = 2, X = 3,5 и Т.Д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было принять разумные ограничения для х, скажем, о 0; в) при каких значениях х будет у О при л: > 3. В самом деле, если л: > 3, то соответствующая часть прямой расположена выше оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны. в) у О (получили х > 3); в) неравенство 2х — 6 О, то убывание линейная функция у = кх + т возрастает. Рассмотрим график линейной функции, изображённый на рисунке 45, б. Если двигаться по этому графику слева направо. 56 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Рис. 45 то ординаты точек графика всё время уменьшаются, мы как бы ♦спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так; если к 0; в) неравенство кх + т ^ 07 9. В каком случае линейная функция возрастает, а в каком — убывает? Как об этом можно судить по графику линейной функции? 57 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ § 9. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ у =кх При рассмотрении линейных функций у = kx + т особо выделяют случай, когда пг = 0; тогда линейная функция принимает вид у = kx. Графиком линейной функции у = kx является прямая, проходящая через начало координат. Теорема 3. Доказательство. Осуществим его в два этапа. 1. у = kx — частный случай линейной функции, а графиком линейной функции является прямая (по теореме 2, см. с. 49); обозначим её через I. 2. Пара X = О, у = О удовлетворяет уравнению у = kx, а потому точка (0; 0) принадлежит графику уравнения у = kx, т. е. прямой I. Следовательно, прямая I проходит через начало координат. Теорема доказана. Надо уметь переходить не только от аналитической модели у = kx к геометрической, но и от геометрической модели к аналитической. Рассмотрим, например, прямую на координатной плоскости хОу, изображённую на рисунке 46. Она является графиком линейной функции у = kx, нужно лишь найти значение коэффи- у циента k. Так как ^

™ достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение ординаты этой точки к её абсциссе. 6 „ Прямая проходит через точку Р(3; 6), а для этой точки имеем — = 2. О Значит, /г = 2, а потому заданная прямая линия служит графиком линейной функции у = 2х. График линейной функции у = kx обычно строят так: берут точку (1; k) (если х = 1, то из равенства у = kx находим, что у — k) и проводят прямую через эту точку и начало координат. Впрочем, в случае необходимости точку (1; А) можно заменить другой точкой, более удобной. На рисунке 47 изображены графики линейных функций у — X (прямая 1 <), у = 2х (прямая I2), у — -х (прямая здесь не очень удобно брать точку взяли точку (3; 1)), у = -2х (прямая /4). 58 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Обратите внимание: от коэффициента k зависит угол, который построенная прямая образует с положительным направлением оси X', заметим, что этот угол отсчитывают от оси х в направлении против часовой стрелки. Если ft >О, то этот угол острый (так обстоит дело на рис. 47 с прямыми (j, I2, I3); если ft О, то чем больше ft, тем больше угол. Так, на рисунке 47 для прямой (3 имеем k = для прямой (j имеем ft = 1, 3 для прямой I2 имеем ft = 2; при увеличении коэффициента ft увеличивается и угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент ft в записи у = kx называют угловым коэффициентом. На рисунке 48 изображены графики линейных функций у = 2х — 4, у = 2х + 6. Оба они параллельны графику линейной функции у = 2х, только первая прямая (у = 2х — 4) получается из прямой у = 2х сдвигом вниз на 4 единицы масштаба, а вторая прямая <у = 2х + 6) получается из прямой у = 2х сдвигом вверх на 6 единиц масштаба. Справедлив следующий общий результат, который мы оформим в виде теоремы. угловой коэффициент 59 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Теорема 4. Прямая, служащая графиком линейной функции у = kx + т, параллельна прямой, служащей графиком линейной функции у = kx. Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции у = kx + т также называют угловым коэффициентом. Если k >О, то прямая у = kx + т образует с положительным направлением оси X острый угол (см. рис. 45, а), а если k О и при ft 0? если о 5, то л > А. Ответ: п > к. Имеются ещё три числа, для которых легко составить таблицу степеней, особенно учитывая, что ничего вычислять не нужно и результат фактически известен заранее. Это числа 1, 0, -1, а таблица степеней для этих оснований выглядит следующим образом: 1″ = 1 для любого п; 0″ = о для любого п; если п — чётное число (га = 2, 4, 6, 8, . ), то (-1)» = 1; если га — нечётное число (га = 1, 3, 5, 7, . ), то (-1)» = -1. 85 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Кстати, используя формулу чётного числа п = 2k и формулу нечётного числа п = 2Л — 1, можем записать, что 1)^* = 1; (-1)^ А теперь выберем в качестве основания степени число 10: 10^ = 10, 10^ = 100, 10® = 1000. Обратите внимание: каков показатель, столько нулей надо записать после цифры 1. Вообще 10″ = 1000. о. п нулей Например, 10® = 1000000, 100000 = 10®. Пример 2. Найти значение выражения а’’’ + + с*° ^ (Юс)’ к37 , ^1 — О + с при о = -1, ё = о, с = 1. Решение. ,17 ь18 1) a^’ + _ (-1)” + + Г а’® — 6®’ + с’ (-1)»® — О®’ + 1‘ (а + З/ -1 + 0 + 1 ^ о ^ 1-0+1 2 JlOcjl^ (10 ■ ^ 10^ ^ 625; (а + 3)» (-1 + З/ 2* 16 3) о + 625 = 625. Ответ: 625. В заключение данного параграфа ещё раз отметим, что математики всегда стремятся к краткости записей, чёткости рас-суждений. Поэтому, введя новое понятие, они начинают изучать его свойства, а затем применяют эти свойства на практике. О разных свойствах степени с натуральным показателем поговорим в следующем параграфе, а пока, забегая вперёд, заметим, что если бы одно из таких свойств мы уже знали, то не вычисляли 86 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА бы так долго 9®, как это было сделано выше. Мы бы записали так: 9З = (з2)3 = 36 = 729. Видите, запись в два раза короче. А почему это так, узнаете в § 17. Вопросы для самопроверки 1. Чему равно значение выражения (-1)^“^^? (-1)^°*®? 2. Сколько нулей содержится в записи числа 10®°*®? 3. Что больше: 0*°°° или 1*°? § 1 7. СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ С НАТУРАЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ Большая часть математических утверждений проходит в своём становлении три этапа. На первом этапе человек в ряде конкретных случаев подмечает некоторую закономерность. На втором этапе он пытается сформулировать подмеченную закономерность в общем виде, т.е. предполагает, что эта закономерность действует не только в рассмотренных случаях, но и во всех других аналогичных случаях. На третьем этапе он пытается доказать, что закономерность, сформулированная (гипотетически) в общем виде, на самом деле верна. Доказать какое-либо утверждение — это значит объяснить, почему оно верно (объяснить убедительно, а не так: «это верно потому, что это верно»). При доказательстве можно ссылаться только на уже известные факты. Давайте попытаемся вместе пройти все три этапа, попробуем самостоятельно открыть, сформулировать и доказать свойства степеней, хорошо известные в математике. Открытие первое Пример 1. Вычислить: а) 2® • 2®; б) 3* • 3’*. Решение, а) Имеем 2® • 2® = (2 ■ 2 • 2) • (2 • 2 • 2 • 2 • 2) = = 2 2-2 •2 2-2-2-2 = 2 2-2-2-2-2-2-2. 3 множителя 5 множителей 8 множителей 87 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Всего имеется 8 одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, т. е. 2®, что по таблице (см. § 16) даёт 256. б) Имеем 3^ • 3^ = 3 • (3 • 3 • 3 • 3) = 3 3 • 3 • 3 • 3 = 3® = 243. 1 множитель 4 множителя Ответ; а) 256; 6) 243. В процессе решения примера мы заметили, что 2® • 2® = 2®, т.е. 2® • 2® = 2®»^®; 31 • 3“ = 3®, т.е. 3‘ • 3^ = 3^^^ Наблюдается закономерность; основания перемножаемых степеней одинаковы, при этом показатели складываются. Первый этап завершён. На ВТОРОМ этапе осмелимся предположить, что мы открыли (для себя) общую закономерность’, а» • а’‘ = а» ^ *. Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных чисел пик справедливо равенство а» ■ а* = а» ^ *. Обычно теорему формулируют так; если . (условие), то . (заключение). Например, теорему 1 можно (и, честно говоря, так было бы аккуратнее) сформулировать следующим образом; Если а — любое число и п, к — натуральные числа, то справедливо равенство а» ■ а’’= а»* *. На третьем этапе надо доказать, что наше предположение верно, т. е. доказать теорему 1. Сделаем это и мы — доказательство приведено ниже. Прочитайте его. Если чувствуете в себе силы, то попытайтесь разобраться в нём (оно состоит в том, что мы трижды используем определение степени с натуральным показателем); если же нет — ограничьтесь прочтением. Доказательство. 1) а» = а ■ а ■ ■ а; п множителей 2) а* = а ■ а а; к мпожителей 88 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА 3) а» • а’‘ = <а ■ а •• а) • (а • а а) = = а ■ а п множителей к множителей а ■ а ■ а •. ■ а = а ■ а ■ . а • а ■ а ■. ■ а = п множителей к множителей п-¥ к множителей Теорема доказана. Итак, первое открытие у нас состоялось. Идём дальше. Открытие второе Пример 2. Вычислить: а) 2® : 2'*; б) 3® : 3®. Решение, а) Запишем частное в виде дроби и сократим её: _ 2® _ (2 ■ 2 ■ 2 ■ 2) 2 ■ 2 2“ = = 2-2 = 2 = 92 = б) 3® : 3® = = 3 • 3 • 3 = 3® = 27 2* (2 2 • 2 • 2) (3 3 ■ 3 3 ■ 3) ■ 3 3 ■ 3 (3 • 3 • 3 3 3) Ответ: а) 4; б) 27. В процессе решения примера мы заметили, что 2® : 2^ = 2^ т.е. 2® : 2'* = 2®'“: 3® : 3® = 3®, т.е. 3® : 3® = 3®'®. Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя, при этом из показателя делимого вычитается показатель делителя. Первый этап завершён. На ВТОРОМ этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: а" : а* = а""*, если п>к. Для любого числа а ^ О и любых натуральных чисел пик таких, что п > к, справедливо равенство а» : о* = а» » *. Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если . то . *? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведён после доказательства теоремы). Теорема 2. Доказательство. Рассмотрим произведение а» Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив показатели п — к тл к, получим (п — А) -t- ft = п. 89 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Итак, а : а* = а»- Л — А а* = а’ а это как раз и означает, что Теорема доказана. А теперь иначе сформулируем теорему 2: Если а Ф О и п, k — натуральные числа такие, что п > к, то справедливо равенство \ а*‘ = а»

*. Условие теоремы: а Ф 0; п, к — натуральные числа, п > к. Заключение теоремы: а» : а’’ = а»

Второе открытие у нас состоялось. Идём дальше. Открытие третье Пример 3. Вычислить: а) (2®)^; б) (3^)®. Решение, а) Имеем (2®)2 = 2® ■ 2® = 2® ^ ® = 2‘® = 1024 (см. § 16). б) Имеем (З^)® = 3® ■ 3® • 3® = 3® ® ^ ® = 3® = 729 (см. § 16). Ответ: а) 1024; б) 729. В процессе решения примера мы заметили, что (25)2 = 210, т. е. (2®)® = 2® (3®)® = 3®, т. е. (3®)® = 3® • ®. Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножаются. Первый этап завершён. На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: (а»)* = а»*. 1Для любого числа а и любых натуральных чисел пик справедливо равенство (а»)* = а»*. Доказательство теоремы Гтретийэтап^ мы приводим в самом конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и 2). Если есть желание, попытайтесь доказать её самостоятельно (или с помощью учителя). Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трём серьёзным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее формулировать в виде трёх правил, которые полезно запомнить. 90 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Правило 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Правило 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитают показатель делителя. Правило 3. При возведении степени в степень показатели перемножаются. Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах всё чётко, всё оговорено, всё предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, лёгкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математического языка; наряду с серьёзными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила. П р и м е р 4. Вычислить (2″ • (2 • 2®) Решение. 1) 2^ • 2^ = 2®^= 2^ (правило 1); 2) (2^)® = 2^ ■ ® = 2®® (правило 3); 3) 2 • 2® = 2* ^« = 2® (правило 1); 4) (2®)® = 2® ® = 2®^ (правило 3); 5) 2®® ; 2®’ = 2®® — ®^ = 2® (правило 2); 6) 2® = 256. Ответ: 256. Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада ещё раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряжённая работа, давайте же и мы выделим самое главное. Самое главное — три формулы: а* = а а = а — к п + к. , где п > k, а Ф 0\ (а»)* = а»*. 91 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА Их можно применять как справа налево, так и слева направо. Например, 2® • 2® = 2»; 2® = 2“ “ = 2“ • 2’*; 2^ + « = 2^ • 2″ = = 4-2″; 3^ : 3‘ = 3®; 3® = о10 glO-4 _ ^ . 3′ ‘ оп 3* 3″ IT’ 3\4 (5“) 512 = (5в)з = (52)6 ^ (54)3 = (5«)4 :3ч4 Замечание. Мы говорили только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об их сложении и вычитании ничего не известно, так что не сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять сумму 2* + 2^ на 2^; в самом деле, посчитайте: 2* = 16; 2^ = 8; 16 + 8 = 24, но зто не есть 2^, поскольку 2^ = 128. Нельзя заменять разность 3* — 3^ на З’; действительно, посчитайте: 3^ = 243; 3^ = 81; 243 — 81 = 162, но это не есть З’, так как З’ = 3. Будьте внимательны! В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. Имеем -Л \к = (а ■ а (а» Г = ^ а) ■ (а ■ а •. а = к множителей . • а) ■■ (а ■ а а) = к групп ПО п множителей в каждой = а • а ‘- а • а ‘ а а • а • а а — а пк пк множителей Вопросы для самопроверки 1. Закончите предложение; «При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели . ». 2. Закончите предложение: «При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели . ». 3. Закончите предложение: «При возведении степени в степень показатели . ». 4. Запишите каждое из сформулированных вами в п. 1—3 правил на математическом языке. 5. Что получится, если 2*^ умножить на 2**? 6. Что получится, если 2*^ разделить на 2*®? 7. Какое из двух равенств верно: (2^)® = 2^ ® или (2’*)® = 2’* ® ? 92 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА §18. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ В предыдущем параграфе мы рассматривали умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями. Оказывается, можно умножать и делить степени и с разными основаниями, если только показатели у этих степеней одинаковые. Пример 1. Вычислить 2* • 5*. Решение. Конечно, можно по таблице из § 16 установить, что 2* = 16, S’* = 625, а затем умножить 16 на 625. Однако эффективнее следующее рассуждение: 2* • 5^ = (2 • 2 • 2 • 2) • (5 • 5 • 5 ■ 5) = = (2 • 5) • (2 • 5) ■ (2 • 5) • (2 • 5) = (2 • 5)^ = 10* = 10 000. к)-. a»-b» = (аЬУ, а» \ Ь» = <аЬ)" (Ь * 0). Если же умножение и деление выполняется над степенями с различными основаниями и разными показателями, то будьте внимательны. Так, 3® • 2'* можно вычислить «в лоб»: сначала вычислить 3®, затем 2* и, наконец, выполнить умножение. А можно так: 3 • З"* • 2^* = 3 • (3 • 2)^ = 3 • 6^. Вопросы для самопроверки 1. Закончите предложение: «Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями . ». 2. Закончите предложение: «Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями . ». 3. Запишите каждое из сформулированных вами в п. 1 и 2 правил на математическом языке. 4. Верно ли, что 3® ■ 4® = 12®? Если да, то сошлитесь на соответствующее свойство степеней. 3& 3 5. Верно ли, что -г = - ? Если да, то сошлитесь на соот- ветствующее свойство степеней. 6. Верно ли, что 28® = 2® • 2® • 7®? Если да, то сошлитесь на соответствующее свойство степеней. 7. Запишите число 3®° в виде степени с основанием 27. §19. СТЕПЕНЬ С НУЛЕВЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ В предыдущих параграфах мы с вами научились вычислять значение степени с любым натуральным показателем. Например: 0,2^ = 0,2; 3^ = 3 • 3 = 9; 4® = 4 • 4 • 4 = 64; 14 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1; (_2)5 = (_2). (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32; 0® = 0‘0'0'0-0-0 = 0ит. д. 95 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА В дальнейшем вы узнаете, что показателем степени может быть не только натуральное число. Но это произойдёт позднее, в старших классах, а пока мы сделаем лишь один скромный шаг в этом направлении: введём понятие степени с нулевым показателем, т. е. выясним, какой смысл придаётся в математике символу а°. А ведь этот символ «напрашивается». Смотрите: 2® : 2^ = 2®"® = 2^, 3® : 3 = = 3®’ * = 3^. Почему бы не написать 5'*: S'* = 5*'* = 5”? До сих пор всё было хорошо: о® — это значит число а умножить само на себя 3 раза, а*® — это значит число а умножить само на себя 10 раз, а* — это просто а. А что такое а°? Ведь нельзя же, в самом деле, умножить число а само на себя о раз! Хотелось бы, чтобы для а° выполнялись привычные правила, например, чтобы при вычислении а® • а® показатели складыва-®. Но 3 + о = 3. Что же получается? Получается, степень с нулевым показателем лись: а® • а® = а® что а® • а® = а®. Значит, а® = а® : а — 1 (при этом нужно ввести естественное ограничение: а Ф 0). Проведённое рассуждение как-то мотивирует следующее определение. Определение. Если а Ф 0, то а° = 1. Например, (5,7)® = 1; (-3)® = 1; (2")® = 1 и т. д. Однако учтите, что символ о® считается в математике не имеющим смысла. Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение степени с нулевым показателем. 2. Сравните: (987 654 321)® и 0»®^®®*®®*. 3. Как вы думаете, можно ли отрицательное число возвести в нулевую степень? 4. Как вы думаете, почему запись 0® считается в математике лишённой смысла? 96 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Здесь собраны основные определения, свойства, теоремы, формулы, правила, которые мы с вами изучали в § 15—19. Всё это записано на сухом математическом языке без всяких комментариев, поскольку комментарии, обоснования были приведены в указанных параграфах. a^ = а; а" = а ■ а • а; п иножителей а° = 1, где а ^ 0; 1« = 1; О" = 0; (-1)2" = 1; (-1)2"-* = -1; 10" = 100^; Л нулей а" - а'’ = а"* *: а" ^ ^ = а" • а* • o'"; а"5" = (аЬ)"; а'^ : а'‘ = а"

*, где п > к; (а»)* = а»*; (afcc)» = а»Ь»с»; ^ (f I ’ ^ Знание этих формул — ключ к успеху в работе с любыми алгебраическими выражениями. К этой работе мы приступаем постепенно, начиная со следующей главы. ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Свойства степеней с натуральным и нулевым показателем. 2. Таблицы распределения данных. ГЛАВА 5 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ § 20. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена § 21. Сложение и вычитание одночленов § 22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень § 23. Деление одночлена на одночлен §20. ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ОДНОЧЛЕНА Определение. Одночленом называют алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведённых в степень с натуральными показателями. Примеры одночленов: 2аЬ; ^а^ху^; (

2)ху^ • х^аЬ*; 1,7а»б» (п 6 N). Одночленами являются, в частности, также все числа, любые переменные, степени переменных. Например, одночленами являются: 0; 2; -0,6; х; а; Ь; х^; а®; Ь» (п е N). Теперь приведём примеры алгебраических выражений, не являющихся одночленами: а + Ь; 2х^ — Sy^ + 5; —. 2аЬ А как вы считаете: выражение — одночлен или нет? Ведь оно по форме похоже на выражение —, ь которое фигурирует у нас в числе выражений, не являющихся одночленами, и содержит в своей записи черту дро- . п, 2а6 2аЬ 2 . би. Тем не менее — одночлен: =

ао. О 3 98 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ и 3 Вот ещё два примера, построенных на контрасте: — и —. Как О CL вы считаете, какое из этих выражений одночлен, а какое нет? составил 120 км? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть X км/ч — скорость пешехода. За 2 ч он пройдёт 2х км. Из условия следует, что скорость катера 4х км/ч. За 1,5 ч катер пройдёт путь 4х ■ 1,5 км, т. е. 6л: км. Из условия следует, что скорость автобуса равна 2 • 4х км/ч, т. е. 8д: км/ч. За 2 ч автобус проедет 8л: • 2 км, т. е. 16л: км. Весь путь от А до В равен 2л: + 6л: -I- 16х, что составляет по условию 120 км. Таким образом, 2л: + 6л: -ь 16лг = 120. Это — математическая модель задачи. Второй этап. Работа с составленной моделью. Сложив одночлены 2л:, 6л:, 16л:, получим 24л:. Значит, 24л: = 120, откуда находим х = 5. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. За л: мы приняли скорость пешехода, она равна 5 км/ч. Скорость катера в 4 раза больше, т. е. 20 км/ч, а скорость автобуса ещё в 2 раза больше, т. е. 40 км/ч. Ответ: скорость автобуса 40 км/ч. Вопросы для самопроверки 1. Какие одночлены называют подобными? Приведите пример двух подобных одночленов и пример двух неподобных одночленов. 2. Будет ли сумма или разность двух подобных одночленов одночленом? Приведите два соответствующих примера. 3. Будет ли сумма или разность двух неподобных одночленов одночленом? 4. Используя переменные тип, составьте одночлен с коэффициентом 36 и представьте его в виде суммы одночленов несколькими способами. 5. В каком случае сумма двух подобных одночленов является числом? Что это за число? 104 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ §22. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ. ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ В § 21 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов. Оказалось, что эти операции применимы только к подобным одночленам. А как обстоит дело с умножением одночленов? Очень просто: если между двумя одночленами поставить знак умножения, то снова получится одночлен; остаётся лишь привести его к стандартному виду (фактически это мы уже делали в примере из § 20). Не вызывает затруднений и возведение одночлена в степень. При этом используются правила действий со степенями (фактически в примере 3 из § 18 мы уже возводили одночлен в степень, см. с. 94). Все правила действий над буквенными выражениями определяются таким образом, чтобы не менялись значения этих выражений при любой подстановке допустимых значений переменных. Пример 1. Найти произведение трёх одночленов: 2а^Ьс^, -а^сх^ и а^Ь. 4 Решение. <2а^Ьс^)-1 -(а^Ь) = f2 • ^j(aVa2) (b-b) <с^с)х^ = l,5aVcV. ®с®)®, то А = В®, где В = 7afe®c®. г) Поскольку -27а®Ь® = (-3)®а®(Ь®)® = (-ЗаЬ®)®, заключаем, что А = В®, где В = -Зай®. д) С одночленом 16а®6® у нас ничего не получится. Почему? Давайте рассуждать. Если бы не было множителя Ь®, то задача решалась бы без труда: 16а® = 2'*(а®)‘‘ = (2а®)‘‘; если бы вместо (?® был множитель, например, то мы решили бы задачу так: 16а®Ь'® = 2\аУ(Ь^)^ = (2a®fc®)“'. Однако множитель Ь® нельзя представить в виде (ft*)'*, где k — натуральное число; этот множитель, как говорится, «портит всё дело». Значит, одночлен 16а®й® нельзя представить в виде В'*, где В — некоторый одночлен. (Ш Пример показывает, что в математике далеко не всё получается, не любая задача имеет решение (как и в реальной жизни). Кстати, если математику предлагают решить задачу, которая явно не имеет решения, то он говорит: ^Задача поставлена некорректное или «Это — некорректная задача». Тот, кто предложил некорректную задачу, должен извиниться. Вот и автор 106 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ извиняется за пример 4д). Хотя согласитесь, что он был дан не без пользы. Раз уж мы заговорили о корректных и некорректных задачах, приведём ещё несколько примеров и тех и других, а вы попытайтесь объяснить, почему задача корректна или некорректна. Корректные задачи 1. Упростить 2аЬ^ • (ЗаЬ)®. 2. Упростить lab + Sab + ab. 2,7 + 3,8 3. Вычислить 2-6 4. Представить одночлен 13а'*Ь^в виде суммы одночленов. 5. Представить одночлен 48х^у^г в виде произведения одночленов. 6. Представить одночлен А — 25а* в виде квадрата некоторого одночлена В. Некорректные задачи 1. Сложить одночлены ЗаЬ^, 5аЬ^ и la^b. „ ^ 2,7 + 3,8 2. Вычислить ——-—. 6 — 6 3. Представить одночлен А в виде квадрата некоторого одночлена В, если А = -25а‘*. 4. Найти точку пересечения прямых у = -Зд: ч- 1 и I/ = -Зх -Ь 5 (см. пример 16) в §10 на с. 61). Вопросы для самопроверки 1. Как перемножить два одночлена? Приведите пример. 2. Используя переменные р, д и г, составьте одночлен с коэффициентом 144 и представьте его в виде произведения одночленов несколькими способами. 3. Как возвести одночлен в натуральную степень? Приведите пример. 4. Представьте одночлен 16а*Ь^ в виде произведения двух одночленов; в виде степени одночлена. 107 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ §23. ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН Что такое одночлен, мы знаем; как одночлены складывать, вычитать, перемножать и даже возводить в степень — обсудили. Но ведь имеется ещё одна арифметическая операция — деление, операция, обратная умножению. Можно ли быть уверенным в том, что операция деления одночлена на одночлен всегда выполнима — в том смысле, что в частном получится одночлен? Вот об этом и поговорим. Пример 1. Опираясь на свойства арифметических действий, попытаемся выполнить деление одночленов: а) 10а : 2; в) Зба^й® : (4аЬ^); д) 4дг® : (2ху); б) 18аЬ : (За); г)

2x^y^z); е) : а®. Решение, а) Воспользуемся тем, что если произведение двух чисел делят на третье число, то можно разделить на это число один из множителей и полученное частное умножить на другой множитель. (Вспомнили? Например, (12 ■ 4) = 4 • 4 = 16.) Имеем 10а : 2 = (10 : 2) • а = 5а. б) Рассуждая как в примере а), получаем 18afc : (За) = (18 : 3) • (а : а)5 = 6 • 1 Ч2\ = 3 = (12 : 3) • 4 = Ь = 65. (4а5″) = (36 : 4) • (а'» : а) ■ (5® : Ь‘^) = 9а 3 -1 ч5-2 _ в) 36а®5® = 9а^Ь®. Иногда удобнее вместо знака деления (:) использовать черту дроби. Вот как тогда будет выглядеть решение примера в): 36а®5® ^ ^ 4 4аЬ^ 3 l5 _ . * = 9aV. I b г) Здесь мы используем комбинированную запись решения, т. е. и знак деления, и черту дроби: yxVs : <-2х^у^г) = : (-2) 7 • 2 • = — - l- l X У г ^ 3 2 X У г 108 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ Здесь всё верно, но, как говорят математики, нерационально, поскольку сразу было ясно, что x^y^z : x^y^z = 1 (фактически выражение делится само на себя). 1 2х" 4х^ 1 д) 4х^ : (2ху) = ^