Алгебра 7 класс тема системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений (7 класс)

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Способ алгебраического сложения.

Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\).

Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).

\(\begin2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin4x+6y=26\\15x+6y=15\end\)\(\Leftrightarrow\)

Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

Найдите неизвестное из полученного уравнения.

Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin12x-7y=2\\5y=4x-6\end\)

Приводим систему к виду \(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\) преобразовывая второе уравнение.

«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).

Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).

Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.

Икс тоже найден. Пишем ответ.

Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).

Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin3x-8=2y\\x+y=6\end\), мы получили ответ \((4;2)\). Проверим его, подставив вместо икса \(4\), а вместо игрека \(2\).

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end\)

Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).

Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.

Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).

Урок алгебры в 7 классе по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»
план-конспект урока по алгебре (7 класс)

Урок алгебры в 7 классе по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными». Технологическая карта урока и презентация к уроку.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Технологическая карта урока

Учитель: Игнатьева Вера Аркадьевна, учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ «Гимназия № 36» Авиастроительного района г. Казани

Автор (УМК): Алгебра: Учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 19-е изд – М.: Просвещение, 2018.

Тема урока: Системы линейных уравнений с двумя переменными (2 урока, первый урок)

Тип урока: Урок усвоения новых знаний

Цели урока: Способствовать формированию у обучающихся знаний по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»

– Способствовать формированию у обучающихся знаний по теме » Системы линейных уравнений с двумя переменными»: понятия системы уравнений с двумя переменными, решения системы уравнений с двумя переменными, что значит решить систему уравнений с двумя переменными.

– Сформировать у обучающихся представление о системе линейных уравнений с двумя переменными как математическом аппарате решения практических задач.

— развитие устной и письменной речи обучающихся.

— формирование учебно-познавательного интереса к предмету посредством включения в материал урока задачи из художественного произведения.

Ресурсы: Компьютер; проектор, ноутбуки, документ-камера. Презентация в PowerPoint. УМК «Живая математика». А. П. Чехов. Толстый и тонкий. Рассказы. Карточки с текстом задачи из рассказа «Репетитор».

Содержание учебного материала

Форма организации учебной деятельности

Кто изучил науки, а к делу их не применил, словно тот, кто арык прорыл, а поле не засеял, или засеял, да урожаем не воспользовался.

Проверяет готовность обучающихся к уроку.

Создает эмоциональ-ный настрой на деятельность

Проверяют наличие средств обучения у себя на парте, настраиваются на работу

Р. – нацеливание на успешную деятельность.

Л. – выражение положительного отношения к процессу познания.

К. – формирование умения слушать и слышать

Презентация, слайды 2-4

1. Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя переменными?

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

3. Являются ли уравнения с двумя переменными линейными:

а) 2 x + 3 y = 5; в) 5 x – 4 y = 7;

б) x y = 6; г)

Побуждает к высказыванию своего мнения

Отвечают устно на вопросы

К. – выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью,

– умение слушать, не перебивая

Постановка цели и задач урока

Презентация, слайды 5-7 Карточки с текстом задачи из рассказа «Репетитор».

В рассказе А.П. Чехова «Репетитор» имеется задача.

Задача . Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?

– Знаете ли вы, что такое аршин? (Это старинная русская мера длины, равная 0,7112 м.)

Озвучивает тему и цель урока.

Уточняет понимание учащимися поставленных целей урока.

Отвечают на вопросы учителя

К. – умение слушать, не перебивая

Первичное усвоение новых знаний

Презентация, слайды 8-19, Карточки с текстом задачи из рассказа «Репетитор»

– О чем идет речь в задаче?

– Что в задаче известно?

– Что нужно в задаче найти?

Составим таблицу для занесения данных задачи.

– Как будет выглядеть наша таблица?

– Сколько неизвестных величин в задаче? (Две величины: количество черного и количество синего сукна)

– Как можно обозначить эти величины? (Количество черного сукна – x , количество синего сукна – y )

– Какой же будет стоимость каждого сукна?

– Какие уравнения можно составить?

Мы составили два уравнения с двумя переменными.

Что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос задачи?

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти такие значения переменных, которые обращают в верное равенство каждое из уравнений x + y = 138, 3 x + 5 y = 540, то есть нужно найти общее решение этих уравнений.

Говорят, что требуется решить систему уравнений .

Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.

(1)

В рассказе дан ответ к задаче: 75 и 63.

– Как можно проверить, является ли пара чисел 75 и 63 решением данной системы уравнений с двумя переменными?

Если x = 75, y = 63, то x + y = 75 + 63 =138; 138 = 138.

Если x = 75, y = 63, то 3 x + 5 y = 3 . 75 +5 . 63 = 225 + 315 = 540; 540 =540.

Значит, пара значений переменных x = 75 и y = 63 является решение системы уравнений с двумя переменными.

– Что же называется решением системы уравнений с двумя переменными?

Определение . Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

– А что значит решить систему уравнений?

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Контролирует выполнение работы.

Проводит параллель с ранее изученным материалом.

Подводит обучающихся к выводу определения решения системы уравнений.

Организует проверку выполнения упражнения

Записывают краткую запись в виде таблицы, выполняют пошаговую проверку по слайдам 8-15 презентации.

Проверяют, является ли пара чисел 75 и 63 решением системы уравнений (2), проверка правильности решения – слайд 17 презентации

Высказывают свое мнение

П. – умение сравнивать объекты по существенным признакам,

– использование знаковосимво-лических средств.

– волевая саморегуляция в ситуации затруднения.

Л. – выражение положительного отношения к процессу познания.

К. – выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью

Первичная проверка понимания

Презентация, слайд 20.

УМК «Живая математика».

Задание 1. Является ли пара чисел x =7, y = 5 решением системы уравнений

(2)

Как можно решить данную систему уравнений? – Построить график каждого уравнения и найти координаты точки их пересечения.

Задание 2. Решите графически систему уравнений (2) с помощью программы «Живая математика»

обсуждение способов решения. Организует проверку выполнения упражнения

Выполняют в тетрадях задание 1.

Работают на ноутбуках из модульного мобильного класса с программой «Живая математика», выполняя задание 2

П. – выполнение действий по алгоритму.

– волевая саморегуляция в ситуации затруднения.

К. – выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью

Алгебра: Учебник для 7 кл. общео-бразователь-ных учреждений /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского

УМК «Живая математика».

№ 1056; № 1060 (б, г) – выполнить самопроверку с помощью УМК «Живая математика».

№ 1156. Является ли решением системы уравнений пара чисел:

а) x =3, y =1; б) x = 2, y = 2?

№ 1060. Решите графически систему уравнений:

б) г)

ФронтальнаяРабота в парах

Организует проверку выполнения упражнений

Выполняют в тетрадях задание № 1156 и № 1160 (б, г).

Работают в парах на ноутбуках из модульного мобильного класса с программой «Живая математика», проверяя решение задания № 1160 (б, г)

П. – выполнение действий по алгоритму.

Р. способность определить цель учебной деятельности,

– нацеливание на успешную деятельность,

Л. – выражение положительного отношения к процессу познания

К. – достижение договоренностей и согласование общего решения

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Алгебра: Учебник для 7 кл. общео-бразователь-ных учреждений /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского

Задание на дом по выбору:

1) п. 42, № 1058, № 1061 из учебника.

2) п. 42, № 1058(б), № 1061(б).

Задание. В рассказе «Репетитор» нет решения задачи, но говорится о том, что отец Пети решил задачу без знания алгебры. Попробуйте решить задачу известными вам способами.

Дает комментарий к домашнему заданию

Обучащиеся получают инструктаж по выполнению домашнего задания

П. – поиск и выделение необходимой информации.

Р. – нацеливание на успешную деятельность.

Л. – выражение положительного отношения к процессу познания

Рефлексия (подведение итогов занятия)

Задание: Оцените свою деятельность на уроке. Если вы все поняли – поставьте знак «+», если ничего не поняли – поставьте знак » –», если у вас остались какие-то вопросы — поставьте знак «?».

Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на уроке

Формулирова-ние конечного результата своей работы на уроке. Вычленение основных позиций изученного материала и оценка степени его усвоения

Р. –выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения

Л. – самооценка на основе критериев успешности

Урок алгебры в 7 классе «Системы уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Анотация.docx

Урок алгебры в 7 классе по теме «Системы линейных уравнений с двумя неизвестными». (10 урок в теме) Обучение ведётся по учебнику А. Г. Мордковича «Алгебра 7 класс» в двух частях для общеобразовательных учреждений. Москва. Издательство «Мнемозина» 2007г.

Тип урока: урок закрепления и применения знаний, умений.

Формы работы учащихся: сочетание индивидуальной, коллективной, групповой, дифференцированной форм работы.

Выбранный для просмотра документ ОноприенкоЕВ.doc

Урок алгебры в 7 классе по теме «Системы линейных уравнений с двумя неизвестными». (10 урок в теме)

Обучение ведётся по учебнику А. Г. Мордковича «Алгебра 7 класс» в двух частях для общеобразовательных учреждений. Москва. Издательство «Мнемозина» 2007г.

формирование умения ясно, точно и грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, обосновывать суждения, приводить примеры;

формирование умения контролировать процесс и результат учебной деятельности;

формирование коммуникативной компетентности в общении со сверстниками;

формирование ответственного отношения к учению;

формирование логического мышления, мыслительных способностей учащихся, умения действовать в нестандартной

формирование навыков восприятия зрительной и слуховой информации;

формирование умения строить логические суждения, делать выводы;

формирование способности адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи;

формирование общепользовательской компетентности в области использования ИКТ.

иметь представления об уравнениях как математи­ческом аппарате решения разнообразных задач из матема­ тики, смежных областей знаний, практики;

овладеть понятиями «уравнение», по­ нимать смысл терминов «система уравнений», «решение системы уравнений», «совместная» и «несовместная система уравнений»; правильно употреблять термины «уравнение», «система», «корень уравнения», «решение си стемы»; понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задания: «решить уравнение, систему»;

освоить основные приемы решения систем; уметь решать линейные системы уравнений с двумя переменными;

использовать для описания математических ситуаций графический и аналитический языки; применять геоме­ трические представления для решения и исследования систем;

понимать графическую интерпретацию решения систем уравнений;

уметь решать несложные текстовые задачи с помощью составления систем уравнений.

Тип урока: урок закрепления и применения знаний, умений.

Формы работы учащихся: сочетание индивидуальной, коллективной, групповой, дифференцированной форм работы.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, проекционный экран.

Структура и ход урока:

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

(с указанием порядкового номера из Таблицы 2)

(с указанием действий с ЭОР)

1) Слайд 1 из презентации.

Приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку, проверка готовности помещения к уроку, организация внимания, раскрытие общей цели урока.

Воспринимают информацию, сообщаемую учителем.

Проверка домашнего задания.

1) Слайд 2, 3, 4 из презентации.

Демонстрирует слайды презентации с решёнными домашними заданиями.

1)Решите систему уравнений методом подстановки:

2)Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

3) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А(-2;3) и В(2;6).

Ответ.

Взаимопроверка с выставлением баллов в индивидуальный лист учёта (за каждое верное задание — по 1 баллу)

Актуализация знаний учащихся.

1) Слайд 5 из презентации.

Фронтальная работа с использованием мяча.

А знаете ли вы? Учитель задаёт вопросы и принимает ответы, в конце работы называет активных учеников и количество баллов, которые ученики заносят в индивидуальный лист учёта.

— Как вы можете объяснить понятие система линейных уравнений с двумя неизвестными?

— Что называется решением системы уравнений?

— Что значит решить систему?

— Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя неизвестными?

— Какие способы решения систем вы знаете?

Отвечают на вопросы, исправляют ответы товарищей, дополняют, бросают мяч желающим ответить на следующий вопрос.

Закрепление знаний и умений учащихся.

1) Слайд 6 из презентации.

1) Слайд 7, 8 из презентации.

1) Слайд 9, 10 из презентации

1. Индивидуальная работа.

а) Предлагает индивидуальную работу с ЭОР по количеству АРМ (автоматизированных рабочих мест)

б) На доске записана система.

Вызывает 3 ученика. Они решают эту систему графическим способом, способом подстановки и способом сложения.

2. Одновременно с индивидуальной работой у доски идет фронтальная устная работа.

— Система линейных уравнений имеет единственное решение, если …

— Система уравнений не имеет решений, если …

— Система линейных уравнений имеет множество решений, если …

Ну-ка, покажи:

— Укажите номера систем, которые:

имеют множество решений;

имеют единственное решение.

— При каком значении b система имеет бесконечно много решений?

— При каком значении a система не имеет решений?

3. Одна голова хорошо, две – лучше! (Работа в парах с раздаточным материалом)

Учитель предлагает распределить карточки на три столбика в данной таблице: Система имеет единственное решение; Система не имеет решений; Система имеет бесконечное множество решений;

Система неопределённая; Система определённая; Система несовместная;

Коэффициенты при x и y не пропорциональны; Коэффициенты при x и y пропорциональны, а свободные члены не пропорциональны; Коэффициенты при x и y и свободные члены пропорциональны.

4.Одновременно с работой в паре учитель проверяет индивидуальную работу у доски.

— Как проверить правильность решения системы?

— На ваш взгляд, каким способом легче решается данная система?

— Когда нужно отдать предпочтение графическому способу решения системы уравнений? (Этот способ служит геометрической иллюстрацией наличия или отсутствия решения системы уравнений).

— Все эти способы решения систем уравнений знали люди давно. Точной даты не известно, но они имеются в книге Ньютона “Всеобщая арифметика”, которая была издана в 1707 году.

5. Демонстрирует слайды презентации для проверки работы в парах.

Индивидуальная работа в электронных информационных модулях, выставление баллов в индивидуальный лист учёта.

3 ученика работают у доски.

Отвечают на вопросы, исправляют ответы товарищей, дополняют.

Работают на магнитных досках, по просьбе учителя одновременно поднимают ответы, аргументируют свой выбор.

Распределяют и прикрепляют скрепками данные карточки по колонкам, данным в таблице, работая в паре.