Уравнение с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by = c , где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.
Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $\frac<1><2>$ x-8y = 7
Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y.
Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары
x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.
Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Свойства уравнения с двумя переменными
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.
Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:
- если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 \iff y = -0,4x+1,2$
Примеры
Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:
Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10
1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10
2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).
Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 \iff 3x = -4y+10 \iff x = -1 \frac<1> <3>y+3 \frac<1><3>$
Алгебра. 7 класс
Уравнения первой степени с двумя неизвестными
Математические термины
Стандартный вид
Стандартный вид
Определение
Значение переменной
Необходимо запомнить
Уравнение вида $ax + by =c$, где $x$ и $y$ – неизвестные и свободный член c – любые действительные числа, называется линейным уравнением с двумя неизвестными.
$ax + by =c$ – нормальный вид такого уравнения.
Каждая пара значений x и y, удовлетворяющая уравнению с двумя неизвестными, называется решением этого уравнения.
Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно имеет бесконечное множество решений и поэтому называется неопределенным уравнением.
Если в уравнении первой степени с двумя неизвестными коэффициент при y равен нулю, то получим уравнение с одним неизвестным ($x$). Например:
Графиком последнего уравнения, а поэтому и двух других равносильных ему уравнений, является прямая, параллельная оси ординат.
Итак, графиком уравнения $ax + by = c$, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, является прямая линия. Ее обычно строят по точкам пересечения с осями координат. Если $a = 0$ и $b = 0$, то возможны два случая:
1) $0x + 0y =17$ или $0 = 17$ – уравнение не имеет ни одного решения и ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости;
2) $0x + 0y = 0$ или $0 = 0$ – уравнение имеет бесчисленное множество решений (причём значения $x$ и $y$ здесь даже не зависят друг от друга) и ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости.
Задача на составление неопределенного уравнения
Трёхногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось $15$. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?
Необходимо ввести две переменные: $x$ – число инопланетян, $y$ – число питомцев, тогда получим уравнение $3x + 2y = 15$.
Давайте же узнаем сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.
$3x + 2y = 15$. Выразим y через $x$: $y=\frac<15-3x><2>$, далее воспользуемся методом перебора: при $x = 1$, $y = 6$, при $x = 2$, $y\: \notin \: N$ , при $x = 3$, $y = 3$.
Ответ: $1$ инопланетянин и $6$ питомцев; $3$ инопланетянина и $3$ питомца.
Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.
Урок алгебры по теме «Линейные уравнения с двумя переменными», 7 класс
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Дата проведения __________
Тема урока. Линейное уравнение с двумя переменными
Цель урока: сформировать представление об уравнении с двумя переменными и его решения; осознать содержание понятия «график уравнения с двумя переменными»; выработать умения: отбирать проверкой решение уравнения с двумя переменными; работать с готовым графиком уравнения с двумя переменными; преобразовывать уравнения вида у= f ( x ) и вычислять решение уравнения с двумя переменными.
Тип урока: усвоение новых знаний.
І. Организационный момент
ІІ. Актуализация опорных знаний
Выполнение устных упражнений:
1. Что значит «решить уравнение»?
3. Составить уравнения по условию задачи:
1) длина прямоугольника х , ширина 3 м, а периметр 20 м;
2) ширина прямоугольника х , длина на 4 м больше, а периметр 20 м;
3) ширина прямоугольника х , длина у м, а периметр 20 м.
Если можно, решите уравнения, найдите длины сторон прямоугольника.
4. Принадлежит ли графику функции у=3х+2 точки А (1;-5), В(3;11), С(0;2)? Почему?
І II . Формулирование цели и задач урока
После повторения основных понятий, изученных в теме «Линейные уравнения с одной переменной», и выполнения устных упражнений, составления уравнений вместе с учащимися формулируем цели: познакомиться с тем новым видом уравнения, что встретился нам во время решения одной из задач.
IV . Изучение нового материала
Новое понятие уравнения с двумя переменными вводится на примерах (так же, как и уравнения с одной переменной), а затем формулируется определение уравнения с двумя переменными и определение решения такого уравнения, как упорядоченной пары чисел — значений переменных, обращающие уравнение в верное равенство, так же, как и корень уравнения с одной переменной. Понятие равносильных уравнений с двумя переменными строится на известных учащимся понятий равносильных уравнений и свойств равносильных уравнений.
Записи в тетрадях учащихся могут иметь вид сравнительной таблицы, в которой выделены ключевые слова.
Уравнение с одной переменной
Уравнение с двумя переменными
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (переменная)
Равенство, содержащее два неизвестных числа, обозначенных буквой (переменные)
Корень уравнения с первой переменной-значение переменной, превращающей уравнение в правильное равенство
Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел (х;у), при которых уравнение превращается на верное равенство
уравнения с одной переменной — имеют одинаковые корни или вообще не имеют корней
уравнения с двумя переменными — имеют одни и те же решения или оба не имеют решений
Свойства равносильных уравнений
Фигура, которая состоит из точек (х;у) , таких, что их координаты — решения уравнения
V . Закрепление материала. Выработка умений
І. Выполнение устных упражнений:
1. Является ли решением уравнения х−2у=6 пара чисел (0; 0); (2; –2); (0; 3); (6; 0)?
2. Точки А(…;0), В(0;…), С(1;…), D (…;−3) принадлежат графику уравнения 3х–у=6. Найти пропущенные координаты.
3. Выразить переменную у через переменную х (представить уравнение в виде у= f ( x ) ) путем выполнения тождественных преобразований: х+у=3 ; 3х+3у=0 ; х−у=4.
Используя полученную формулу, найдите два каких-либо решения каждого уравнения.
ІІ. Выполнение письменных упражнений:
1. Пары значений х и у внесены в таблицу. Какие из них являются решениями уравнений: 1) х 2 +у 2 =25; 2) х 2 −у 2 =7?
http://resh.edu.ru/subject/lesson/7273/main/
http://infourok.ru/urok-algebry-po-teme-linejnye-uravneniya-s-dvumya-peremennymi-7-klass-5123514.html