Алгебра 8 класс дорофеев квадратные уравнения

ГДЗ по алгебре 8 класс Дорофеев, Суворова Просвещение

Для того, чтобы результат был видим и существенен, необходимо соблюдать простые правила работы с гдз по алгебре за 8 класс Дорофеев, среди которых — ежедневность такой работы и её постоянство. Специалисты рекомендуют уделять подготовке минимум час в день, а если материал вызывает сложности, полтора-два часа. Кроме того, не стоит делать долгосрочных, превышающих 10 дней подряд, перерывов в занятиях. Поскольку длительное отсутствие работы способствует забыванию значительной части пройденного материала. Впоследствии придется изучать его большими блоками, что отрицательно скажется как на запоминание важных правил и порядка их применения, так и на состоянии ученика. Усталость и потеря интереса — частые спутники форсированного обучения, которых стоит избегать.

Приоритетные группы пользователей онлайн сборников готовых решений

В числе тех, кто постоянно или часто использует подробные решения по алгебре за 8 класс Дорофеев, можно встретить:

• восьмиклассников, готовящихся к тематическим предметным конкурсам. Особенно если в классе они изучают дисциплину по другим учебникам и УМК. Ресурс позволит им расширить свои знания, подключив дополнительные источники информации, что положительно скажется на результате;
• подростков, которые по тем или иным причинам (болезнь, посещение сборов и конкурсов, спортивных и творческих), часто пропускают школьные уроки. Чтобы понять тему, научиться грамотно выполнять решения, они прибегают к сборнику;
• школьников, переведенных на дистанционную форму обучения или избравших домашний/семейный формат образования. Для них такой ресурс — прекрасная альтернатива или дополнение к объяснению учителя, которое они не получают в достаточном объеме;
• школьных педагогов, которым нужно проверить большое количество ученических тетрадей за короткий срок. Учитывая, как много работы у современного учителя, в том числе — организационно-плановой, воспитательной, отчетной, материалы станут для них незаменимым подспорьем в их труде;
• родителей восьмиклассников, стремящихся проверить знания и уровень подготовки своего ребенка, не вникая глубоко в суть школьной программы по предмету, но будучи уверенными в качестве результата такой проверки.

Какими достоинствами обладает онлайн справочник по алгебре 8 класс (авторы Дорофеев, Суворова)?

Несмотря на то, что и сегодня есть те, кто недооценивает полезность еуроки ГДЗ, полагая материалы используются исключительно для механического переписывания правильных ответов, многие уже оценили плюсы ресурса:

• возможность организации разноплановой работы, в том числе — для самостоятельного повышения уровня и качества своих знаний;
• его круглосуточную доступность для всех пользователей;
• экономическую выгоду, использование как альтернативы репетиторам, дорогостоящим математическим курсам;
• соответствие информации требованиям Стандартов образования.

Изучив быстрые ответы, научившись ими пользоваться, школьники приобретут полезные навыки работы со справочниками в условиях ограниченного времени на выполнение поставленной задачи.

Технологическая карта урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Разделы: Математика

Тема и номер урока в теме

Решение задач с помощью квадратных уравнений, урок 17 из 20

«Алгебра 8 класс», под редакцией Дорофеева Г.В. Москва. Просвещение. 2015 г.

• Репродуктивный
• Частично-поисковый
• Проблемно-поисковый

Формы организации познавательной деятельности

• Индивидуальная
• Групповая
• Коллективная

Учебник «Алгебра 8 класс», презентация, мобильный класс, кейс

Планируемые результаты обучения

Личностные: рефлексия собственной деятельности

Предметные: совершенствовать навыки составления уравнения по условию задачи, умение проверять соответствие найденного решения условиям задачи при помощи сравнение, обобщения и анализа

• П: уметь добывать и перерабатывать новую информацию, представленную в различных формах, активно применять теоретические знания в реальных жизненных ситуациях, уметь проводить сравнение, обобщение и анализ при составлении уравнения
• К: взаимоконтроль, взаимовыручка, распределение обязанностей в группе, умение выслушивать мнения товарищей, отстаивать свою точку зрения, строить речевые высказывания
• Р: выбор и принятие целей, самоконтроль, самооценка, соотнесение своих знаний с той учебной информацией, которую нужно усвоить, приемы само регуляции

Техники и технологии

Кейс-технология, технология проблемного обучения, обучение в сотрудничестве, критериальное оценивание

Основные этапы урока.

• Организационная деятельность, слово учителя, знакомство с ходом урока.
• Актуализация знаний учащихся, проверка домашнего задания.
• Блиц-опрос.
• Изучение нового материала.
• Работа с кейсом, анализ.
• Рефлексия.
• Домашнее задание.
• Итог урока.

Раздаточный материал:

• кейс с задачами – (приложение №4) — на каждую группу
• Рене – Декарт (исторический материал – приложение №2) – на каждую группу
• листы оценивания (приложение № 3) – для каждого ученика
• блиц-опрос (приложение 1)

Методическая разработка по теме «Квадратные уравнения» (8 класс). Учебник Дорофеева Г.В.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ТЕМЫ: «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Тема «Квадратные уравнения » изучается в 8 классе в объеме 20 часов по учебнику Математика под редакцией Г.В.Дорофеева. Дрофа. Москва. 2013г.

Обучение решению квадратных уравнений

Обучение составлению уравнений

Обучение решению квадратных уравнений с параметром

Обучение самоанализу и самоконтролю результатов деятельности.

Уметь решать квадратные уравнения всех видов.

Уметь решать уравнения, сводящиеся к квадратному уравнению методом замены переменной.

Уметь решать уравнения вида f ( x ) ∙ ( ax 2 +в x + c )=0.

Уметь решать квадратные уравнения с параметром.

Урок-лекция 1.

Цель урока-лекции. Ввести определение квадратного уравнения. Рассмотреть неполные квадратные уравнения и вспомнить способы их решения. Решить квадратное уравнение различными способами.

Определение 1. Квадратным уравнением называется уравнение вида

где коэффициент а, в, с – любые действительные числа, причем а≠0.

Коэффициенты а, в, с различают по названиям: а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член.

Определение 2. Если первый коэффициент равен 1, то квадратное уравнение называют приведенным. Квадратное уравнение называют не приведенным, если первый коэффициент отличен от 1.

Например: 3х 2 – 5х + 7 = 0 – неприведенное квадратное уравнение,

х 2 – 5х + 6 = 0 – приведенное квадратное уравнение.

Кроме неприведенных и приведенных квадратных уравнений различают полные и неполные уравнения. Определение 3. Полное квадратное уравнение – это уравнение, в котором в ≠ 0 и с ≠ 0, т.е. присутствуют все три слагаемые.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором либо в=0, либо с=0. Таким образом, все сказанное можно представить схематично:

Устная работа на закрепление материала:

Является ли квадратным уравнение:

Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

Какие из следующих уравнений являются приведенными?

Если уравнение неприведенное, то выполните преобразования, чтобы оно стало приведенным.

Определение 4. Корнем квадратного уравнения ах 2 +вх+с=0 называют такое значение х, при подстановке которого в уравнение, уравнение обращается в верное числовое равенство 0=0.

Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Вспомним способы решения неполных квадратных уравнений.

2х 2 -5х=0; х∙(2х-5)=0, значит либо х=0, либо 2х-5=0, откуда х = -2,5. Итак, х ₁ =0, х ₂ =-2,5.

х 2 -16=0, х 2 =16. Значит х _1,2 =4, х ₂ =-4, или х _1,2 =±4.

2х 2 +4=0, 2х 2 =-4, х 2 =-2, так как выражение х 2 ≥0, т.е. неотрицательно, то уравнение 2х 2 +4=0 не имеет корней.

3х 2 =0, то х 2 =0, х=0 – единственный корень уравнения. Представим решение схематично:

Неполное квадратное уравнение может иметь один корень, два корня, ни одного корня.

То же самое можно сказать и о полном квадратном уравнении. Почему?

Графиком функции у = ах 2 + вх + с служит парабола. Корнями квадратного уравнения

ах 2 + вх + с = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Парабола по отношению к оси абсцисс может располагаться только одним из следующих способов.

Т.е. парабола может пересекать ось ОХ в двух точках (два корня), может касаться оси ОХ, т.е. иметь одну общую точку (один корень), может вообще не пересекаться с осью Х (в этом случае уравнение не имеет корней).

Итак, перед нами стоит проблема: как же научиться находить корни полного квадратного уравнения?

Рассмотрим примеры. Решить квадратное уравнение:

1) х 2 – 4х + 3 = 0.

Корни уравнения можно угадать: х ₁ = 1, х ₂ = 3.

Левую часть уравнения можно разложить на множители: х 2 -4х+3=х 2 -х-3х+3=(х 2 -х)-(3х — 3) = = х∙(х-1)-3∙(х-1) = (х-1)∙(х-3), тогда

(х-1)∙(х-3)=0, значит либо х-1=0, либо х-3=0. Откуда х ₁ =1, х ₂ = 3.

В левой части уравнения можно выделить полный квадрат двучлена: х 2 -4х+3=(х 2 -2∙х∙2+2 2 ) – 2 2 +3= (х-2) 2 -1. Итак, (х-2) 2 -1=0; воспользуемся формулой разности квадратов двух чисел:

(х-2-1)∙(х-2+1)=0, или (х-3)∙(х-1)=0, откуда х ₁ =3; х ₂ =1. Ответ: 1; 3.

2) Решите уравнение 6х 2 -13х-5=0. Самостоятельно. Кто быстрее сделает это? (Быстро решит уравнение учитель). Итак, корни уравнения: х ₁ =,х ₂ =.

Методы, позволившие легко решить уравнение х 2 -4х+3=0, не оказались удобными при решении уравнения 6х 2 – 13х–5 = 0. Однако ответ найден быстро. Что же такое я знаю?

Итак, цель нашего следующего занятия найти универсальный способ решения квадратного уравнения.

Домашнее задание: Учить схемы по тетради. Выполнить решение №402, 405(а-в), 471, 473.

Цель урока-лекции. Вывести формулу корней полного квадратного уравнения.

Устная работа с классом:

Назовите коэффициенты квадратного уравнения. Укажите приведенные и неприведенные уравнения; укажите полные и неполные уравнения.

В тетрадях для письменного опроса восстановите схему неполных квадратных уравнений. Решите неполные квадратные уравнения:

С этого момента учащиеся начинают строить график собственного продвижения по данной теме.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена. ах 2 +вх+с=а

Выражение в 2 -4ас называют дискриминантом квадратного уравнения: Д = в 2 — 4ас, тогда

ах 2 + вх + с =и уравнение можно записать так:

Из последнего уравнения видно: если Д‹0, то квадратное уравнение им имеет корней. Если Д=0, то х =- — единственный корень уравнения. Если Д›0, то квадратное уравнение имеет два корня:

Итак корни квадратного уравнения

Схема решения квадратного уравнения:

Эту схему можно применить и к решению неполных уравнений, но обычно это не делают, так как предыдущие способы практичнее.

Решение ключевых задач первого уровня.

Итак, ключевыми задачами первого уровня будут стандартные задачи по отысканию корней квадратного уравнения.

Задача 1. ах 2 + с = 0, х 2 = -, — корней нет, n >0, х = ±.

Задача 2. ах 2 + вх = 0, х∙(ах+в)=0, х₁ = 0,

Задача 3. ах 2 + вх + с = 0. Д = в 2 – 4ас, Д‹0, корней нет. Д = 0, х₁ = — , Д›0, х_1,2 =.

Система упражнения для работы в классе: №412( II ),413( II ),414( II ),416( II ),417( II ),423(в.г) 429( II ), 430( II ).

Система упражнений для работы дома: №412 ( I ), 413( I ), 414( I ), 416( I ), 417( I ), 423(а,б), 429( I ), 430( I ).

Система упражнений для работы на факультативе:

Вывести вторую формулу корней квадратного уравнения при четном значении в.

Система упражнений для устного счета

Методика устного счета: в начале урока учащиеся 5-7 минут решают по таблице, на одной стороне которой задания, а на другой стороне ответы.

После окончания решения учащиеся выполняют работу по самооценке умения решать квадратные уравнения, фиксируют свой результат на графике самооценки.

Решите уравнения:

Обратная сторона (ответы)

УРОК РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ

Цель урока: Рассмотреть ключевые задачи второго уровня.

Содержание урока

Рассмотрим решение уравнений вида ах 2 n + вх n + с = 0, где n =1, 2, 3, 4.

Уравнение такого вида легко решить методом введения новой переменной. Пусть х n = t , тогда уравнение примет вид at 2 +в c + c =0 – это квадратное уравнение и решить его не представляет труда.

Решить уравнение: х 4 – 13х 2 + 36 = 0.

Решение: (х 2 ) 2 – 13х 2 +36=0. Пусть х 2 = t , где t ≥0. Тогда уравнение примет вид: t 2 -13 t +36=0. Д = 169-144=25. t _1.2 =, t ₁ =9, t ₂ =4.

Вернемся к переменной х:

Х 2 =9, откуда х =±3

Х 2 =4, откуда х = ±2. Ответ: -3; -2; 2; 3.

Решение. Пусть х 2 = t , t ≥0.

t ₁ =-1, не удовлетворяет условию t ≥0,

t ₂ = — 4, не удовлетворяет условию t ≥0.

Следовательно, уравнение х 4 +5х 2 +4=0 не имеет решений. Ответ: решений нет.

Решение. Пусть = t , t ≥0, тогда t 2 + t -6=0, t ₁ =-3 (не удовлетворяет условию), t ₂ = 2,

значит =2, откуда следует, что х = 4.

Решение. Пусть х 3 = t , t — любое число, тогда t 2 -7 t -8=0, t ₁ =-8, t ₂ =1, откуда х 3 =-8, х=-2,

х 3 =1, х =1. Ответ: -2; 1.

Решение. Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысл.

Проверим не теряет ли смысл первый множитель:

Х=3, , выражения смысла не теряют.

б), значит 16-х 2 = 0, х 2 =16, х= ± 4.

Итак, уравнение имеет четыре решения:

Решение. Аналогично предыдущему уравнению

х 2 -5х+6=0; х ₁ =2, х ₂ =3, но при данных значениях х множитель не имеет смысла, следовательно уравнение не имеет решения.

Ответ: решений нет.

(х 2 +4х) 2 -4(х 2 +4х)-5=0.

Решение. Введением новой переменной уравнение сводится к квадратному уравнению: х 2 +4х= t ,

t – любое число, тогда t 2 -4 t -5=0; t ₁ =5, t ₂ =-1, значит а) х 2 +4х=5, х 2 +4х-5=0, откуда

б) х 2 +4х=-1, х 2 +4х+1=0, х _1,2 =-2 ±. Итак, уравнение имеет четыре корня: -5; 1; -2- ; -2+.

Система упражнений для самостоятельной работы: №435, 437, 438, 439.

Урок решения ключевых задач

Цель урока: Рассмотреть ключевые задачи третьего уровня.

К ключевым задачам третьего уровня отнесем квадратные уравнения с параметром и уравнения решаемые как квадратные относительно параметра.

1. При каких значениях параметра а уравнение является неполным квадратным уравнением? Решить уравнение при найденных значениях параметра. 6х 2 +(а-1)х+2-4а=0.

Решение. Уравнение является неполным квадратным при а-1 =0 или 2-4а=0. Откуда а=1 или а=. Если а=1, то уравнение имеет вид 6х 2 -2=0, значит х 2 =, х=. Если а=, то уравнение имеет вид 6х 2 -х=0, 12х 2 -х=0, х(12х-1)=0, х ₁ =0, х ₂ =.

2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +ах+24=0 имеет корень 6?

Решение. Если х=6 – корень уравнения, то при подстановке уравнение обращается в верное равенство: 36+6а+24=0, откуда 6а=-60, а=-10.

3. При каком значении параметра а уравнение ах 2 +х+1=0 имеет единственный корень?

Если а=0, то уравнение примет вид: х+1=0. Это линейное уравнение имеет единственный корень, поэтому а=0, удовлетворяет требованию задачи.

Если а ≠ 0, то уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет единственное решение в том случае, когда его дискриминант равен 0. Д=0, значит 1-4а=0, откуда а=. Ответ: а=0, а=.

Решение следующего уравнения лучше рассмотреть на факультативе.

4. Решить уравнение: х 3 —

Решение. Введем параметр сами. Пусть , тогда уравнение примет вид:

Х 3 -(а+1)х 2 +а 2 =0

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно параметра а. а 2 -х 2 ∙ а+х 3 -х 2 =0, где первый коэффициент равен 1, второй коэффициент равен х 2 . Свободный член равен х 3 -х 2 . Найдем дискриминант квадратного уравнения:

Д=(х 2 ) 2 -4 ∙ (х 3 -х 2 )=х 4 -4х 3 +4х 2 =(х 2 -2х) 2 ,

а _1,2 =; так как а=, получим уравнения: а) х 2 -х=, х 2 -х-=0, откуда

Система упражнений для самостоятельной работы

1. При каких значениях параметра а уравнение является неполным квадратным уравнением? Решить уравнение при найденных значениях параметра.

2. При каких значениях параметра а уравнение:

А) 2х 2 +ах+68=0 имеет корень, равный 17?

Б) 3х 2 +ах-54=0 имеет корень, равный 9?

В) х 2 +ах-35=0 имеет корень, равный 7?

3. Решите уравнение с параметром:

А) х 2 — 4 mx +4 m 2 -1=0

В) ( n -4) x 2 +(2 n -4) x + n =0

На данном уроке ответить на вопросы учащихся. Разобрать решение уравнения с параметром р:

Решение. Если р=0, уравнение примет вид 2р+3=0, р=-. Если р ≠ 0, найдем дискриминант квадратного уравнения:

Д=(р+1) 2 -р(р+3)=р 2 +2р+1-р 2 -3р=1-р.

Если 1-р > 0, р 1, то х _1,2 =.

Если 1-р 0, р > 1, то корней нет.

1. Подготовить сообщения:

1) История квадратных уравнений

2) Целые корни уравнения с целыми коэффициентами

3) Параметр в квадратном уравнении.

4) Провести самоанализ личной подготовки по теме «Квадратные уравнения».

Зачет и рейтинговая контрольная работа.

Цель зачета: проверить алгоритмический и преобразующий уровень учащихся. Оказать необходимую помощь.

I . Проверка усвоения теоретического материала.

1. Какое уравнение называется квадратным? Приведите примеры. Назовите коэффициенты а,в,с этого уравнения.

2. Запишите формулу корней квадратного уравнения ах 2 +вх+с=0.

3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это зависит от дискриминанта? Определите, сколько корней имеет уравнение:

4. Запишите формулу корней квадратного уравнения с четным коэффициентом.

Приведите пример неполного квадратного уравнения вида ах 2 +вх=0. Покажите, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней имеет уравнение вида ах 2 +вх=0?

Приведите пример неполного квадратного уравнения вида ах 2 +с=0. Покажите, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней имеет уравнение вида ах 2 +с=0.

Приведите пример ключевого квадратного уравнения второго уровня. Каким методом решаются такие уравнения?

3) Решить уравнения с параметром р:

4) При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 462 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.

Глава 3. Квадратные уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 19.10.2018
• 2495
• 39

• 18.10.2018
• 271
• 1

• 18.10.2018
• 1497
• 118

• 17.10.2018
• 1363
• 72

• 14.06.2018
• 777
• 5

• 26.05.2018
• 531
• 0

• 05.05.2018
• 1415
• 2

• 25.04.2018
• 301
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 19.10.2018 2242
• DOCX 203.2 кбайт
• 42 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лущикова Алевтина Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 3804
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.