Алгебра 9 класс решение биквадратных уравнений

Урок по алгебре «Биквадратные уравнения» (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок по математике в 9 классе.

Учебник Алгебра 9 (Макарычев Ю. Н.)

Тема: «Биквадратное уравнение»

Тип урока: изучение новых знаний.

познакомить учащихся с новым видом уравнения с одной переменной;

изучить и закрепить способ решения биквадратных уравнений;

развивать умения работать с книгой, самостоятельно добывать знания ;

развивать логическое мышление, математическую речь;

воспитывать аккуратность, самостоятельность, интерес к предмету.

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

II. Актуализация опорных знаний.

Учитель: (открывает первый слайд презентации )

— Сегодня на уроке мы закрепим ваши знания по решению квадратных уравнений; познакомимся с новым видом уравнения, приводимого к квадратному, поэтому повторим изученное, вспомнив основные определения, формулы и теоремы.

— Итак, ребята, скажите, какое уравнение называется квадратным?

(Ответ: Квадратным уравнением называется уравнение вида ,

где ).

— Что называется дискриминантом квадратного уравнения?

(Ответ: Число ).

— Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

(Ответ: неполные квадратные уравнения; приведенные квадратные уравнения).

— Какое квадратное уравнение называется неполным?

(Ответ: Квадратное уравнение называется неполным, если у него хотя бы один из коэффициентов (кроме старшего) равен 0:

).

-Какое уравнение называется приведенным? Какой формулой оно задается?

(Ответ: Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1: ).

— Ребята, давайте вспомним, по каким же формулам находятся корни квадратных уравнений различных видов.

— По каким формулам находятся корни уравнения квадратного уравнения стандартного вида: ?

(Ответ: ; при D >0; при D =0; действительных корней нет при D

— Ребята, кто из вас может сказать, как звучит теорема Виета?

(Ответ: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

— Как же будет звучать обратная теорема ? Сформулируйте.

(Ответ: Если числа m и n таковы, что их сумма равна – p , а произведение равно q , то эти числа являются корнями уравнения х 2 + p х + q =0).

Вопросы к учащимся:

Устно решите уравнения, назовите корни этих уравнений, если они есть:
(Демонстрирует карточки с условиями уравнений).

Учитель акцентирует внимание учащихся на том, что они должны уметь решать неполные и полные квадратные уравнения на “ отлично ” для успешного усвоения новой темы.

III. Мотивация обучения. (3 мин, кроссворды лежат на партах у всех учащихся)

Учитель: Нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, который научимся решать на уроке. Работаем по цепочке. Учащиеся читают вопрос вслух по цепочке, допускаются хоровые ответы. Записывает ответ учащийся I варианта, учащиеся II варианта — читают вопрос вслух.
Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “ биквадратные”. ( смотри приложение 1)

IV. Изучение темы «Биквадратные уравнения».

Запишем тему урока в тетрадях. ( Учитель пишет тему на доске и открывает второй слайд презентации, учащиеся пишут тему в тетрадях).

— Ребята, мы с вами повторили квадратные уравнения. Это нам понадобится при изучении алгебраических уравнений высших порядков. Биквадратные уравнения являются представителем класса алгебраических уравнений высших порядков.

— Определение: Биквадратным уравнением называется уравнение вида . Биквадратное уравнение решается с помощью замены переменной z = x 2 . Если вместо х 2 подставляем z , то вместо х 4 будет z 2 . Тогда мы получаем квадратное уравнение: az 2 + bz + c =0. Запишите определение биквадратного уравнения в тетрадь.

— Сейчас мы с вами разберем примеры решения таких уравнений.

Давайте посмотрим ролик с объяснением решения биквадратного уравнения.

Решим биквадратное уравнение: .

Произведем замену переменной z = x 2 . При подстановке новой переменной в уравнение, мы получим квадратное уравнение: z 2 -13 z +36=0. Решаем данное квадратное уравнение по известным нам формулам: D = b 2 -4 c = =169-144=25, D >0, 2 корня: . Мы с вами получили два корня квадратного уравнения z ₁ и z ₂ . Нам нужно найти х. Теперь мы возвратимся к замене: z = x 2 .

Так как z ₁ =9, то х 2 =9, следовательно, х _1,2 = , х ₁ =3 и х ₂ = -3. Так и z ₂ =4, то х 2 =4, x _3,4 = , x ₃ =2 и х ₄ = -2.

Итак, мы получили корни биквадратного уравнения. Это х ₁ =3; х ₂ = -3; x ₃ =2 и х ₄ = -2.

(третий слайд презентации)

— Я хочу обратить ваше внимание на то обстоятельство, что мы получили 4 корня – это максимальное число корней биквадратного уравнения. Но возможно и так, что корней может быть меньше или вообще биквадратное уравнение не имеет решений. Дальше мы рассмотрим такой пример.

— Теперь запишите решение рассмотренного биквадратного уравнения. У кого какие вопросы есть по данному решению?

(четвёртый и пятый слайды презентации)

V. Формирование навыков решения биквадратного уравнения.

Во время самостоятельной работы учитель помогает в случае необходимости учащемуся индивидуально, контролирует ход работы, оценивает отдельных учащихся за работу на уроке по новой теме.
По мере решения уравнений, после проверки учителем работы ученика, ученики записывают результат, заполняя таблицу. 15 минут класс работает самостоятельно (смотри приложение 2).

После окончания работы появляется шестой слайд презентации и обучающиеся проверяют свои работы.

Учитель: Подведем итоги самостоятельной работы над новыми уравнениями.

Ученики: (анализируют данные таблицы) — фронтальный метод .

Учитель: Оцените, достигли ли вы намеченных целей и задач урока?

Ученики читают вопросы на слайде и отвечают на них.
Учитель:

Какие же уравнения называются биквадратными? (Определение)

Алгоритм решения биквадратного уравнения?

От чего зависит число решений биквадратного уравнения?

VII. Домашнее задания.

Запишите домашнее задание к следующему уроку: п.12, стр. 75, № 278 (б, д), № 282 (б ),
Вы должны знать алгоритм и уметь применять прием решения биквадратного уравнения.
Дополнительно 281*(а).

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — уравнение, которое можно привести к виду:

Для решения биквадратных уравнений x 2 заменяется на любую другую букву, например, на y, то есть:

Следовательно, относительно y, уравнение является квадратным и решается по формуле корней квадратного уравнения, а затем вычисляются корни биквадратного уравнения, если они есть.

Пример. Решить уравнение:

Решение: Заменяем x 2 на y, чтобы получить квадратное уравнение:

D = b 2 — 4ac = (-10) 2 — 4 · 1 · 9 = 100 — 36 = 64, D > 0.