«Системы уравнений». 9-й класс
Класс: 9
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (412 кБ)
При помощи учащихся класса были повторены способ подстановки и сложения. Графический – был рассмотрен вместе (слайды показывались на стене): дети рассказывали о функции и схематически изображали её график мелом, затем выцветал правильный и, было видно, прав ли ученик. В этом способе повторили нахождение координат данной точки, их запись.
Далее устно рассматривались решения различных тестовых заданий, где применялся графический способ решения систем уравнений.
В конце урока проводится маленькая самостоятельная работа с аналогичными заданиями.
Цели:
- повторить способы решения систем уравнений;
- акцентировать внимание на возможность решения систем различными способами;
- научить, при решении систем уравнений, записывать верно ответ
- продолжить обучать умению
- планировать самостоятельную работу;
- осваивать информацию и логически ее перерабатывать;
- вырабатывать собственную позицию, обосновывать ее и защищать (обосновывать свой способ решения, свой результат).
Оборудование:
- компьютер,
- мультимедийный проектор,
- карточки.
I этап урока (организационный)
Учитель сообщает тему урока, цели.
II этап урока (повторение)
1. Как вы понимаете выражение – «система уравнений»?
2. Что значит: решить систему уравнений? (Решить систему – это значит найти пару значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.)
3. Какие способы решения систем вы знаете? (Подстановки, сложения и графический.)
Вспомнить эти способы нам помогут …
Предварительно по работе с системами подготовлены и проверены ученики данного класса.
1. Способ подстановки
О решении систем этим способом рассказывает …
Далее вместе с классом решаем систему этим способом на доске и в тетради.
Ответ: (0; 3); (–3; 6)
2. Способ сложения
О решении систем этим способом рассказывает …
Далее вместе с классом решаем систему этим способом на доске и в тетради.
3. Графический способ.
Рассказывает учитель с помощью всех учащихся.
Слайд 5
- Что нужно сделать для решения систем графическим способом? (Построить графики функций и найти координаты точек пересечения графиков. Для этого из каждого уравнения нужно выразить переменную у.)
- Выразим из обоих уравнений переменную у.
- Что можно сказать о первом уравнении? (Это уравнение функции обратной пропорциональности. График – гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях.)
- Как построить гиперболу? (Строим на доске, проверяем с помощью слайда)
- Что можно сказать о втором уравнении? (Это уравнение квадратичной функции. График – парабола, полученная из графика функции путём перемещения на три единицы вверх по оси ординат.)
- Сколько точек пересечения получили? (1)
- Как найти её координаты?
- От чего зависит количество решений системы уравнений? (От количества точек пересечения графиков функций.)
Физминутка
Выполняем несколько заданий из материалов ГИА (по слайдам)
Задание №1. Слайд 6
Задание №2. Слайд 7
Задание №3. Слайд 8
Задание №4 Слайд 9
Задание №5. Слайд 10
Запишем домашнее задание: П 3.5, с 150.
№ 434 (а) – способ сложения;
№ 435 (а) – способ подстановки;
№ 436 (а) – графически.
III этап урока (заключительный)
Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме: «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений»
план-конспект урока по алгебре (9 класс)
1. Разработка технологической карты урока алгебры в 9 классе по теме: » Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений.
2. Технологическая карта урока алгебры в 9 кл. по теме: Решение систем уравнений второй степени. Способ подстановкисистем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений»
3. Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме:: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
Разработка урока алгебры в 9 классе по теме: «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический сп | 114.34 КБ |
Презентация к уроку «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способом | 164.72 КБ |
Технологическая карта урока алгебры в 9 кл. по теме: Решение систем уравнений второй степени. Способ подстановки. | 29.7 КБ |
Презентация к уроку алгебры в 9 кл. по теме: Решение систем уравнений второй степени. Способ подстановки | 29.7 КБ |
Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме:: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. | 26.89 КБ |
Презентация к уроку алгебры в 9 классе по теме:: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. | 1.03 МБ |
Предварительный просмотр:
Технологическая карта урока алгебры в 9 классе
Тема: Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений.
- систематизировать понятие системы уравнений с двумя переменными, ее решения;
- рассмотреть графический способ решения системы уравнений;
- закрепить навыки построения графиков функций;
- развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
- развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач;
- расширение кругозора;
- воспитание познавательного интереса к предмету.
- уметь ориентироваться в своей системе знаний
- добывать новые знания.
- уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;
- проговаривать последовательность действий на уроке;
- работать по составленному плану;
- планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей;
- высказывать свое предположение.
- уметь выражать свои мысли в устной форме;
- слушать и понимать речь других.
- систематизация и оценивание новой информации
1. Орг. момент, мотивация урока.
Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя.
2. Математический диктант.
1. Зависимость переменной у от переменной х называется …
2. Все значения независимой переменной образуют…
3. Неравенство вида > или
4. В каких скобках записывается ответ при решении строгого неравенства?
5. Какие значения может принимать подкоренное выражение?
После того, как диктант закончен, учащиеся обмениваются листочками и самостоятельно проверяют, сверяя свои ответ с правильными ответами, записанными на доске. После чего каждый учащийся выставляет оценку по количеству набранных правильных ответов (за каждый правильный ответ – 1 балл).
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
Какие функции нам знакомы из курса алгебры 7-9 классов?
Линейная. Прямая и обратная пропорциональность. Квадратичная функция. Уравнение окружности.
Рассмотрите графики следующих функций.
Назовите функции, графики которых здесь не представлены.
Для каждого графика выберите формулу, которой задается соответствующая функция
А. у =3х+1. Б. у= — 8/х В. у= х 2 Г. у= 0,5х 3
График уравнения с двумя переменными.
Вы знаете, что иллюстрацией уравнений служат их графики на координатной плоскости. Работа с таблицей.
Выражаем у через х
Данной формулой задается …функция
Графики уравнений с 2 переменными весьма разнообразны.
Обратите внимание на таблицу:
- Если уравнение — первой степени, график всегда — прямая.
- Если второй степени, то получается гипербола или парабола.
- А если обе переменные входят в уравнение во второй степени, то какую линию имеем? Ответ учащихся: уравнение окружности.
3. Изучение нового материала.
Что такое система уравнений?
Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой.
— Что является решением системы уравнений с двумя переменными? (пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство).
— Является ли пара чисел (2;3) решением системы
х+2у=8
Какие способы решения систем уравнений вы знаете?
Какой способ решения изображен на рисунке? (Графический)
Вспомним алгоритм решения систем уравнений графическим способом:
1)Выразить в каждом уравнении у через переменную х,
2)Построить в одной системе координат графики полученных функций,
3)Рассмотреть взаимное расположение графиков.
Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными?
- одно, если прямые пересекаются;
- если прямые параллельны, то нет решения;
- если прямые совпадают, то бесконечное множество решений.
План решения системы уравнений графическим способом
- Выразить переменную у в первом уравнении.
- Выразить переменную у во втором уравнении.
- В одной системе построить графики данных функций.
- Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.
Графический способ не всегда обеспечивает высокую точность результата, не всегда решения являются точными. В основном этот метод применяется для:
— нахождения приближенных решений;
— с помощью этого метода легко выяснить, сколько решений может иметь система уравнений.
Чтобы проверить точность полученных решений, их нужно подставить в уравнения системы!
— Ребята, как определяется степень целого уравнения с одной переменной? (Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения ).
Степень целого уравнения с двумя переменными определяется аналогично. Чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого — многочлен стандартного вида, а правая — нуль.
- На рисунке изображены графики функций
и .
Используя график, решите систему уравнений
2) Решить систему уравнений графическим способом по алгоритму:
— окружность, сначала по часовой стрелке, затем против часовой
— парабола с коэффициентом, а= 5
— парабола с коэффициентом, а= -0,5
5. Закрепление нового материала.
Решить №444(1-3), 448(3, 4).
6. Самостоятельная работа.
1. Определить уравнения второй степени:
а) ху – 2у = 5; б) х 3 – у = 3; в) х 2 + 3у 2 =0
Ответы: 1) а; 2) б, в; 3) в; 4) а, в
2. Пара чисел (1; 0) является решением уравнения:
а) х 2 + у = 1; б) ху + 3 = х; в) у(х + 2 ) =0
Ответы: 1) а; 2) б, в; 3) в; 4) а, в
3. Уравнение окружности:
а) х 2 + у 2 = 4; б) (х –у) 2 + (у + 3) 2 = 9; в) х 2 + (3 –у) 2 =4
Ответы: 1) а, б; 2) б, в; 3) в; 4) а, в,
4.Решением системы уравнений ху + 4 = 0; у = (х – 1) 2 , является:
Ответы: 1) (1;4); 2) (1; — 4); 3) (-1; -4); 4) (-1;4)
Ответы к тесту:1) 4; 2) 4; 3) 4; 4) 4.)
7. Подведение итогов урока. Рефлексия. Д/з. Выучить п.18. Решить №421
- Составление кластера. Ребята, давайте повторим алгоритм решения систем уравнений второй степени с двумя переменными.
- Сравните 2 темы: решение систем линейных уравнений с двумя переменными и решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
- Что общего? (алгоритм решения).
- Есть различие? (число решений)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными . Графический способ решения систем уравнений . Учитель математики первой квалификационной категории МБОУ «Рочегодская средняя школа» М.Д.Мамонова
«Величие человека в его способности мыслить » Блез Паскаль Цели урока: систематизировать понятие системы уравнений с двумя переменными, ее решения; рассмотреть графический способ решения системы уравнений; закрепить навыки построения графиков функций; развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки; развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач; расширение кругозора; воспитание познавательного интереса к предмету.
Математический диктант. 1. Зависимость переменной у от переменной х называется … 2. Все значения независимой переменной образуют … В каких скобках записывается ответ при решении строгого неравенства? Какие значения может принимать подкоренное выражение? Неравенство вида > или Технологическая карта урока алгебры в 9 классе
Тема: Решение систем уравнений второй степени . Способ подстановки.
- закрепить способ подстановки решения системы уравнений;
- закрепить навыки построения графиков функций;
- развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
- развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач;
- расширение кругозора;
- воспитание познавательного интереса к предмету.
- Личностные – самореализация учащихся на уроке;
- Метапредметные — закрепление коммуникативных и регулятивных навыков; умение работать индивидуально и в парах.
- Предметные — усвоение учебного материала.
1. Орг. момент, мотивация урока.
«Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий
и путь опыта – это путь самый горький».
2. Математический диктант.
1. Функция вида называется…
2. Все значения зависимой переменной образуют…
3. Неравенство вида > или
4. В каких скобках записывается ответ при решении не строгого неравенства?
5. Какие значения не должен принимать знаменатель дроби?
После того, как диктант закончен, учащиеся обмениваются листочками и самостоятельно проверяют, сверяя свои ответ с правильными ответами, записанными на доске. После чего каждый учащийся выставляет оценку по количеству набранных правильных ответов (за каждый правильный ответ – 1 балл).
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
(повторение необходимых теоретических сведений по теме, развитие умений говорить и слушать, работа проходит устно).
1. Что называется решением системы двух уравнений с двумя
2. Что значит решить систему уравнений?
3. Сколько решений может иметь система двух уравнений с двумя
переменными, если она содержит уравнение второй степени?
4. Какие существуют способы решения систем уравнений.
5. Повторите план решения системы графическим способом.
1. Является ли пара чисел (1;0) решением уравнения:
а) x² + y = 1, б) xy +3 = x, в) y(x + 2) = 0.
2. Выразите переменную y через x
а) 5x + y = 7, б) x – y = 2, в) 2x – 2y = 8.
3. Что является графиком уравнения?
4. Имеет ли решения система уравнений?
а) x² + у² = -5,
б) x + y = 2,
4. Изучение нового материала.
Алгоритм решения методом подстановки.
- Выразить у через х (х через у) из первого уравнения системы.
- Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы.
- Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
- Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение у через х , полученное на первом шаге.
- Записать ответ в виде пары значений (х;у) , которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.)
- Решить систему уравнений способом подстановки по алгоритму:
.
- Выразим в уравнении первой степени х-5у=-2 одну переменную через другую х=-2+5у.
- Подставим полученное выражение (-2+5у) в уравнение второй степени (-2+5у)-у 2 =16.
- Приведем уравнение к уравнению с одной переменной
-2+5у-у 2 =-16, -у 2 +5у-2+16=0, -у 2 +5у+14=0 ·(-1), у 2 -5у-14=0.
- Решим квадратное уравнение
у 2 -5у-14=0, а=1; в=-5; с=-14, D=в 2 -4ас=(-5) 2 -4·1·(-14)=25+56=81=9 2 0 – два корня.
У 1;2 = У 1 = У 2 =
- Найдем значение второй переменной
Если У 1 =7, то х 1 =-2+5·7=33;
Если У 2 = -2, то х 2 =-2+5·(-2)=-2-10=-12.
(33;7); (-12; -2) – решения системы
x² + 2у = 6,
Упражнения для глаз с использованием геометрических фигур, расположенных на доске.
6. Закрепление нового материала.
7. Самостоятельная работа.
Решить в парах № 431
8. Подведение итогов урока. Рефлексия. Д/з. №433
- Сегодня на уроке я научился…
- Сегодня на уроке мне понравилось…
- Сегодня на уроке я повторил…
- Сегодня на уроке я закрепил…
- Сегодня на уроке я поставил себе оценку …
- Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…
- В каких знаниях уверен…
- Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…
- Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…
- Насколько результативным был урок сегодня…
Деятельность за урок
Предварительный просмотр:
Технологическая карта урока алгебры в 9 классе
Тема: Решение систем уравнений второй степени . Способ подстановки.
- закрепить способ подстановки решения системы уравнений;
- закрепить навыки построения графиков функций;
- развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
- развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач;
- расширение кругозора;
- воспитание познавательного интереса к предмету.
- Личностные – самореализация учащихся на уроке;
- Метапредметные — закрепление коммуникативных и регулятивных навыков; умение работать индивидуально и в парах.
- Предметные — усвоение учебного материала.
1. Орг. момент, мотивация урока.
«Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий
и путь опыта – это путь самый горький».
2. Математический диктант.
1. Функция вида называется…
2. Все значения зависимой переменной образуют…
3. Неравенство вида > или
4. В каких скобках записывается ответ при решении не строгого неравенства?
5. Какие значения не должен принимать знаменатель дроби?
После того, как диктант закончен, учащиеся обмениваются листочками и самостоятельно проверяют, сверяя свои ответ с правильными ответами, записанными на доске. После чего каждый учащийся выставляет оценку по количеству набранных правильных ответов (за каждый правильный ответ – 1 балл).
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
(повторение необходимых теоретических сведений по теме, развитие умений говорить и слушать, работа проходит устно).
1. Что называется решением системы двух уравнений с двумя
2. Что значит решить систему уравнений?
3. Сколько решений может иметь система двух уравнений с двумя
переменными, если она содержит уравнение второй степени?
4. Какие существуют способы решения систем уравнений.
5. Повторите план решения системы графическим способом.
1. Является ли пара чисел (1;0) решением уравнения:
а) x² + y = 1, б) xy +3 = x, в) y(x + 2) = 0.
2. Выразите переменную y через x
а) 5x + y = 7, б) x – y = 2, в) 2x – 2y = 8.
3. Что является графиком уравнения?
4. Имеет ли решения система уравнений?
а) x² + у² = -5,
б) x + y = 2,
4. Изучение нового материала.
Алгоритм решения методом подстановки.
- Выразить у через х (х через у) из первого уравнения системы.
- Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы.
- Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
- Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение у через х , полученное на первом шаге.
- Записать ответ в виде пары значений (х;у) , которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.)
- Решить систему уравнений способом подстановки по алгоритму:
.
- Выразим в уравнении первой степени х-5у=-2 одну переменную через другую х=-2+5у.
- Подставим полученное выражение (-2+5у) в уравнение второй степени (-2+5у)-у 2 =16.
- Приведем уравнение к уравнению с одной переменной
-2+5у-у 2 =-16, -у 2 +5у-2+16=0, -у 2 +5у+14=0 ·(-1), у 2 -5у-14=0.
- Решим квадратное уравнение
у 2 -5у-14=0, а=1; в=-5; с=-14, D=в 2 -4ас=(-5) 2 -4·1·(-14)=25+56=81=9 2 0 – два корня.
У 1;2 = У 1 = У 2 =
- Найдем значение второй переменной
Если У 1 =7, то х 1 =-2+5·7=33;
Если У 2 = -2, то х 2 =-2+5·(-2)=-2-10=-12.
(33;7); (-12; -2) – решения системы
x² + 2у = 6,
Упражнения для глаз с использованием геометрических фигур, расположенных на доске.
6. Закрепление нового материала.
7. Самостоятельная работа.
Решить в парах № 431
8. Подведение итогов урока. Рефлексия. Д/з. №433
- Сегодня на уроке я научился…
- Сегодня на уроке мне понравилось…
- Сегодня на уроке я повторил…
- Сегодня на уроке я закрепил…
- Сегодня на уроке я поставил себе оценку …
- Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…
- В каких знаниях уверен…
- Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…
- Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…
- Насколько результативным был урок сегодня…
Деятельность за урок
Предварительный просмотр:
Технологическая карта урока алгебры в 9 классе
Тема: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.
- познакомить учащихся с применением систем уравнений второй степени при решении задач; обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами применения систем уравнений при решении задач; формирование умения переносить знания в новую ситуацию;
- развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
- формирование умения работать в группе.
Личностные: осознание математической составляющей окружающего мира.
Регулятивные: осознание возникшей проблемы, определение последовательности и составление плана и последовательности действий для решения возникшей проблемы, внесение необходимых дополнений и коррективов в план и способ действий в случае расхождения эталона.
Познавательные: моделирование ситуации из жизни, постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи, умение работать индивидуально.
1. Орг. момент, мотивация урока.
Математике должны учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни.
2. Математический диктант.
Составьте уравнение с двумя переменными, если:
- Сумма двух натуральных чисел равна 16.
- Периметр прямоугольника равен 12 см.
- Одна сторона прямоугольника на 8 см больше другой.
- Произведение двух натуральных чисел равно 28.
- Диагональ прямоугольника равна 5 см.
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
Сформулируйте теорему Пифагора
Назовите формулы площади и периметра прямоугольника со сторонам a и b.
Назовите формулы площади и периметра квадрата со стороной а
Какие способы решения систем уравнений вам известны?
4. Изучение нового материала.
-Где же применяются системы уравнений? Сегодня мы начнем рассматривать задачи, решить которые можно с помощью систем уравнений второй степени с двумя переменными.
Этапы решения задач:
1. Составление математической модели (система уравнений).
2. Работа с составленной моделью.
3. Ответ на вопрос задачи.
Диагональ прямоугольника равна 10см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.
Что нам неизвестно?
Как обозначим эти неизвестные величины?
Как найти периметр нашего прямоугольника?
Составьте 1 уравнение системы: 2(х+у)=28
Как нам связать стороны с диагональю?
По теореме Пифагора получаем х 2 +у 2 =10 2 это второе уравнение системы
х+у=14
Алгоритм решения задач
— Выделения двух ситуаций
— Установление зависимости между данными задачи и неизвестными
— Решение системы уравнений
5 . Закрепление нового материала.
— «Волна»: пальцы сцеплены в замок, поочередно открывая и закрывая ладони, учащиеся имитируют движения волн.
— «Встреча с братом»: поочередно касаемся подушечками 2-5 пальцев руки с большим пальцем.
— «Кулачки»: сжимаем и разжимаем кулачки.
7. Самостоятельная работа.
- Вариант
- Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.
- Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого.
- вариант
- Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.
- Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 4 см меньше другого.
Задания для повторения
Выполни тест и угадай слово.
М) 576; К) 57, 6; А) 5,76; Т) свой ответ.
2. Произведение чисел 3,8 и 15 равно:
О) 57; М) 570; Н) 5,70; А) свой ответ.
3. Произведение чисел 0,735 и 1 равно:
О) 1; Д) 0; Л) 0,735; Ц) свой ответ.
4 . Если первый множитель 1,9, а второй множитель 2,1, то произведение равно:
М) 399; Д) 39,9 О) 3,99; Ц) свой ответ.
5 . Произведение чисел 2,5 и 0,4 равно:
М) 10; Н) 0,1; Д) 1; Ц) свой ответ.
6. Корень уравнения х : 0,04=2,4 равен:
М) 2,44; Д) 0,96 Е) 0,096; Ц) свой ответ.
7 .Если длина комнаты 7,6 м, а ширина 5,4 м, то ее площадь равна:
М) 41,04 м; Ц) 41,04 м²; О) 26 м²; Д) свой ответ.
Вот и получили слово: МОЛОДЕЦ!
8 . Подведение итогов урока. Д/з решить №465
Учащимся предлагается рисунок (у каждого на парте приготовлена заготовка), на котором нужно отметить свое местоположение для данного урока, т.е.:
- Если мало чего понятного и придется разбираться ещё раз с этим материалом, то вы у подножья горы;
- Если все предельно понятно, но вы не уверены в своих силах, то вы на пути к вершине;
- Если нет никаких вопросов и вы чувствуете власть над данной темой, то вы на пике.
Говорят, что математика – гимнастика ума, я надеюсь, что сегодняшний урок был для вас хорошей тренировкой, которая позволила стать более внимательными, собранными, сообразительными, заставила думать и творить что-то новое.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Решение задач с помощью систем уравнений второй степени Математике должны учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни. И.Л. Лобачевский Учитель математики первой квалификационной категории МБОУ «Рочегодская средняя школа» М.Д . Мамонова
Математический диктант Составьте уравнение с двумя переменными, если: Сумма двух натуральных чисел равна 16. Периметр прямоугольника равен 12 см. Одна сторона прямоугольника на 8 см больше другой. Произведение двух натуральных чисел равно 28. Диагональ прямоугольника равна 5 см. Сформулируйте теорему Пифагора Назовите формулы площади и периметра прямоугольника со сторонам a и b. Назовите формулы площади и периметра квадрата со стороной а Какие способы решения систем уравнений вам известны? Устный опрос:
Этапы решения задач: 1. Составление математической модели (система уравнений). 2. Работа с составленной моделью. 3. Ответ на вопрос задачи. Диагональ прямоугольника равна 10см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника. Что нам неизвестно? Как обозначим эти неизвестные величины? Как найти периметр нашего прямоугольника? Составьте 1 уравнение системы: 2( х+у )=28 Как нам связать стороны с диагональю? По теореме Пифагора получаем х 2 +у 2 =10 2 это второе уравнение системы х+у =14 х 2 +у 2 =100 Ответ: 6 и 8 см.
Алгоритм решения задач — Анализ условия — Выделения двух ситуаций — Введение неизвестных — Установление зависимости между данными задачи и неизвестными — Составление уравнений — Решение системы уравнений — Запись ответа Закрепление нового материала. Решить № 455,458 Физкультминутка . — «Волна»: пальцы сцеплены в замок, поочередно открывая и закрывая ладони, учащиеся имитируют движения волн. — «Встреча с братом»: поочередно касаемся подушечками 2-5 пальцев руки с большим пальцем. — «Кулачки»: сжимаем и разжимаем кулачки.
Самостоятельная работа. Вариант 1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого. 2. Вариант 1 . Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 4 см меньше другого.
Задания для повторения Выполни тест и угадай слово. 1. 5, 76*100 =… М) 576; К) 57, 6; А) 5,76; Т) свой ответ. 2. Произведение чисел 3,8 и 15 равно: О) 57; М) 570; Н) 5,70; А) свой ответ. 3. Произведение чисел 0,735 и 1 равно: О) 1; Д) 0; Л) 0,735; Ц) свой ответ. 4 . Если первый множитель 1,9, а второй множитель 2,1, то произведение равно: М) 399; Д) 39,9 О) 3,99; Ц) свой ответ. 5 . Произведение чисел 2,5 и 0,4 равно: М) 10; Н) 0,1; Д) 1; Ц) свой ответ. 6. Корень уравнения х : 0,04=2,4 равен: М) 2,44; Д) 0,96 Е) 0,096; Ц) свой ответ. 7 .Если длина комнаты 7,6 м, а ширина 5,4 м, то ее площадь равна: М) 41,04 м; Ц) 41,04 м²; О) 26 м²; Д) свой ответ. Вот и получили слово: МОЛОДЕЦ!
Подведение итогов урока. Д/з решить №465 Рефлексия: отметьте свое местоположение для данного урока • Если мало чего понятного и придется разбираться ещё раз с этим материалом, то вы у подножья горы; •Если все предельно понятно, но вы не уверены в своих силах, то вы на пути к вершине; •Если нет никаких вопросов и вы чувствуете власть над данной темой, то вы на пике.
Как решать систему уравнений
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
Решите систему уравнений:
x − y = 4
x + 2y = 10
Выразим x из первого уравнения:
x − y = 4
x = 4 + y
Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10
Решим второе уравнение относительно переменной y:
4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2
Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
Решите систему линейных уравнений:
x + 5y = 7
3x = 4 + 2y
Сначала выразим переменную x из первого уравнения:
x + 5y = 7
x = 7 − 5y
Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:
3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
Решим второе линейное уравнение в системе:
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1
Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
Решите систему линейных уравнений:
x − 2y = 3
5x + y = 4
Из первого уравнения выразим x:
x − 2y = 3
x = 3 + 2y
Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:
5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1
Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:
x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Выразить у из первого уравнения:
Подставить полученное выражение во второе уравнение:
Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
- Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
- Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
- Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
- Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2021/05/05/tehnologicheskaya-karta-uroka-algebry-v-9-klasse-po-teme-reshenie
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-sistem-uravnenij