Алгебра и геометрия уравнения задачи

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

• b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Проектная работа по математике «Геометрическое решение алгебраических задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МКОУ «Богучарский лицей»

«Геометрические решения алгебраических задач»

Выполнила: Мануйлова Валентина ученица 10 физико-математического/социально-экономического класса

Руководитель: учитель математики ВКК Кобелева Татьяна Васильевна.

Глава 1 Немного истории

Глава 2. Геометрические методы решения алгебраических задач

2.1. Решение алгебраических задач с помощью теоремы Пифагора

2.2. Применение в решении задач теоремы, обратной теореме Пифагора

2.3. Геометрическое решение текстовых задач

Глава 3. Задачи с практическим компонентом

Глава 4. Геометрическое решение уравнений и систем уравнений

4.1. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки

4.2. Графический способ решения алгебраических систем уравнений и уравнений с модулем.

4.3. Решение некоторых типов тригонометрических задач геометрическим способом

Глава 5. Геометрическое решение некоторых нестандартных задач

«Но когда эти науки (алгебра и геометрия) объединились, они энергично поддержали друг друга и быстро зашагали к совершенству.» (Ж. Л. Лагранж)

В классическую древнюю эпоху геометрия занимала привилегированное положение. Она являлась основной наукой, в которой проявлялось искусство доказательства. Суть геометрического метода состоит в том, что решение задачи и доказательство направляется наглядным представлением. Например, в старинных индийских сочинениях доказательство сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!». У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не « a 2 », а «квадрат на отрезке а», не « ab », а «прямоугольник, содержащийся между отрезками a и b ». Некоторые термины подобного геометрического изложения алгебры сохранились до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом, а третью степень – кубом числа. Решая алгебраические задачи, мы порой не задумываемся, что их можно решить геометрическим способом, может даже более простым, рациональным и наглядным.

Актуальность темы состоит в необходимости связи алгебры и геометрии, как элементов, составляющих одно целое – науку математику, а также в применении знаний геометрии в жизни. Данная тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач. Многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи. Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением.

Цель работы: рассмотреть различные геометрические методы в решении алгебраических задач.

1) показать, что преимущество геометрического решения алгебраических задач в его наглядности, так как геометрический подход допускает изящное решение;

2) рассмотреть применение теоремы Пифагора и обратной ей теоремы для решения алгебраических задач;

3) рассмотреть применение метода линейных и двумерных диаграмм для решения алгебраических задач;

4) продемонстрировать применение геометрического метода для решения текстовых задач.

Глава 1. Немного истории

В наши дни трудно найти человека, у которого геометрия не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: простота, красота и значимость. В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»

о мнению известного немецкого историка математики Кантора, равенство 3 2 +4 2 =5 2 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э. во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). Кантор писал, что гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5 .Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 м (рис. 1). Решим задачу из «Арифметики» Магницкого, по которой начинал свой путь в науку Михайло Ломоносов.

«Случилося некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать»

Решение: Пусть х- расстояние от лестницы до стены (рис. 2).

П

о теореме Пифагора: 117 2 + х 2 =125 2

х 2 =1936; х=44 , так как х>0

Задача из китайской «Математики в девяти книгах». Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

Решение: Пусть х — искомая глубина, тогда х+1 — длина камыша.

По теореме Пифагора: 5 2 +х 2 =(х+1) 2 , х=12

Ответ: глубина воды 12 чи, длина камыша 13 чи.

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу». Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).

Какова высота бамбука после сгибания?

Решение: Пусть х — высота бамбука после сгибания. Тогда 10-х — вершина бамбука, которую согнули.

По теореме Пифагора: (10-х) 2 =х 2 +3 2

Ответ: 4 11 /₂₀ чи — высота бамбука после сгибания.

Задача «О лотосе» из Египта. На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну.

х=

Ответ: на 5 футов.

Задача Бхаскари из Индии.

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

По теореме Пифагора 3 2 +4 2 =5 2

Ответ: высота тополя равна 5 футам.

Глава 2 Геометрические методы решения алгебраических задач

2.1 Решение алгебраических задач с помощью теоремы Пифагора

Теперь решим некоторые алгебраические задачи с помощью теоремы Пифагора.

Задача 1. Решите уравнение .

Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза с равна 13, катет а равен 12, а другой катет х — неизвестен. Тогда алгебраическая задача «Решите уравнение » получает геометрическую интерпретацию: «Найдите катет х прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 13, а другой катет равен 12». В результате получаем |х|=5, а значит, х=±5. Ответ: х=±5.

Задача 2. Решите систему уравнений при условии, что x, y, z и t – положительны:

ешение: Рассмотрим прямоугольные треугольники с гипотенузами 1, 2, 3 и 4 и катетами x, у, z и t соответственно. Расположим эти треугольники на чертеже в виде «цепочки» так, чтобы их катеты были соответственно параллельны (рис. 4 a ). Проведя дополнительные построения, получим треугольник AВС с прямым углом С (рис. 4 b ), у которого катет АС = 8, поскольку сумма длин соответствующих катетов , , , равна 8. Катет ВС = 6, так как x + у + z + t = 6. тогда гипотенуза АВ = =10. Отсюда следует, что гипотенузы рассматриваемых треугольников лежат на одной прямой, потому что в противном случае длина ломаной AFEDB была бы строго больше 10.Точки F, E и D делят гипотенузу АВ на части, которые относятся следующим образом BD:DE:EF:FA = 1:2:3:4. Проведем через эти точки прямые, параллельные катету АС. По теореме о пропорциональных отрезках катет ВС разделился в том же отношении, т.е. x:y:z:t = 1:2:3:4. Следовательно, x = 0,6, y = 1,2, z = 1,8, t = 2,4.

2.2 Применение в решении задач теоремы, обратной теореме Пифагора

Мы знаем, что теорема Пифагора имеет несколько сотен доказательств, и ею очень часто пользуются при решении задач, в то время как обратная ей теорема: «Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный» — не имеет столько доказательств, но является не менее важной. Теорема, обратная теореме Пифагора, помогает в решении некоторых алгебраических задач.

Рассмотрим простую на первый взгляд задачу с неожиданным ответом.

Задача 3. Следует ли из теоремы Пифагора, что треугольник со сторонами 6, 8, 10 прямоугольный?

Решение: Нет. Треугольник со сторонами 6, 8, 10, конечно, прямоугольный, но это следует не из теоремы Пифагора, а из теоремы ей обратной: если а 2 + b 2 =с 2 то, угол С=90°.

Задача 4. Из условий х 2 +у 2 =9, у 2 + z 2 =16 и у 2 =х z для положительных х, у, z , не вычисляя их значений, указать значение выражения ху+у z

Решение: По теореме, обратной теореме

Пифагора, числа х, у и 3 являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника АВ D с прямым углом D . А рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 так же

есть соответственно длины катетов и гипотенузы треугольника ВС D

с прямым углом D . Третье уравнение системы разрешает

тверждать, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z ,

и по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в

прямоугольном треугольнике, угол АВС – прямой (рис. 5). Теперь рассмотрим выражение ху+у z =(х+ z )у= 2 S _{A ВС}=3·4=12.

Задача 5. Решить систему уравнений:

По теореме, обратной теореме Пифагора, из уравнения х 2 + у 2 =3 2 , числа х и у являются катетами АBD ( D – прямой) с гипотенузой АВ = 3. Рассматривая второе уравнение у 2 + z 2 = 16, построим BDC, где у и z – катеты, а ВС = 4 – гипотенуза. Третье уравнение y 2 = xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.

По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках 0 АС = ( х + z ) = = 5, тогда

AB 2 = AD • AC, 9 = х • 5, х =9/5

BC 2 = DC • AC, 16 = z • 5, z = 16/5

BD 2 = y 2 = x • z = 9/5 • 16/5 и BD =12/5 = y.

Однако, такой прием дает потерю корней, легко убедиться, что х = ± 9/5; у = ± 12/5; z = ± 16/5.

2.3 Геометрическое решение текстовых задач

Очень многие текстовые задачи на составление уравнений (или систем уравнений) можно решать графически. К ним относятся задачи на движение и на совместную работу. Решение задачи основывается на точных геометрических соотношениях. Преимущество геометрического решения в его наглядности, так как чертёж помогает глубже понять условия задачи.

Задача 6. В одном элеваторе было зерна в два раза больше, чем в другом. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна, во второй элеватор привезли 350 т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько зерна было первоначально в каждом элеваторе?

Р

ешаем данную задачу с помощью линейной диаграммы (рис. 6). Построенная линейная диаграмма превращает алгебраическую задачу в геометрическую, решение которой основано на использовании свойств длины отрезка, а именно: 1) равные отрезки имеют равные длины; меньший отрезок имеет меньшую длину; 2) если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Решение: AB = 2CD — первоначальное распределение зерна между двумя элеваторами; BK = 750, DE = 350. AK = CE — конечное распределение зерна между элеваторами.

CD=AF=FB (по построению), FB= 350 + 750 = 1100, тогда CD=1100, AB = 1100·2 = 2200.

Ответ: 2200 т, 1100 т.

З

адача 7. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20% . На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня.

Решение: Представим первоначальный выпуск продукции в виде отрезка АВ (рис. 7). Разделим его на 5 равных частей и отметим точку С на расстоянии 1/5 от В. Мы получим отрезок АС, равный 4/5 АВ. Из чертежа видно, что требуется найти какую часть составляет ВС от АС. Решение очевидно. Так как ¼ АС =ВС, тогда требуется увеличить выпуск продукции на ¼ АС, т. е. на 25%. Ответ: на 25%.

Задача 8. Бригада лесорубов ежедневно перевыполняла норму на 16 м 3 , поэтому недельную норму (шесть рабочих дней) она выполнила за четыре дня. Сколько кубометров леса заготовляла бригада в день?

Так как в задаче рассматривается произведение двух величин (A = p·n), то для наглядности представим его в виде двумерной диаграммы. Двумерная диаграмма — это площадь одного или нескольких прямоугольников, стороны которых изображают численные значения рассматриваемых величин (p и n), а площадь прямоугольника изображает их произведение (S = A).

Решение: Пусть S_ABCD определяет недельную норму бригады лесорубов. AB — производительность (м 3 ) бригады в день по плану; AD — количество дней; S_AMNK — объем работы, выполненный бригадой за четыре дня (рис. 8).

S _AMNK = S _ABCD = S; S ₁ = S ₂ , так как S ₁ + S ₃ = S ₂ + S ₃ . S ₁ = 2KE, S ₂ = =16·4 = 64, значит 2KE = 64, тогда KE = 32. AB = KE = 32, AM = AB + BM = 32 + 16 = 48.

Ответ: бригада заготовляла в день 48 м 3 леса.

Итак, метод длин и диаграмм является одним из удобных, интересных и наглядных способов, позволяющих лучше понять условие и решить задачу на этапе чертежа.

Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Читаем с чертежа ответ: 3 часа.

Задача 10. На двух типографских станках, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждом станке в отдельности, если известно, что на первом ее можно сделать на 15 минут быстрее, чем на второй?

Р

ешение: Н а оси абсцисс откладываем время работы станков в минутах. Оба станка сделают работу вместе за 10 минут. ОМ=10. Тогда одной первой понадобится t минут. А второй ( t +15) минут. V — объем работ, который нужно выполнить. ОВ — график работы первого станка, ОС — второго, ОА – вместе (рис. 9). ΔО VB ≅Δ NAB и Δ OP С≅ΔOMK, откуда VO / AN = VB / AB и С P / KM = OP / OM ; покажем, что AN = KM . Так как за 10 минут первый станок выполнит часть работы, соответствующий отрезку NM ( AN — отрезок работы который выполнит второй станок). Но за 10 минут второй станок выполнит часть работы, соответствующую МК. Поэтому А N =КМ. Учитывая это равенство и то, что СР= VO , получаем, VO/AN=CP/KM. Так как VO / AN = VB / AB и С P / KM = OP / OM , то получаем соотношение: VB / AB = OP / OM , значит t /( t -10)=( t +15)/10; t 2 -5 t -150=0; t =15 Таким образом, I станок выполнит работу за 15 минут, а II за 30 минут.

Ответ: 15 минут, 30 минут.

Задача 11. Два велосипедиста выезжают одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Один прибывает в В через 27 минут после встречи, а другой прибывает в А через 12 минут после встречи. За сколько минут проехал каждый велосипедист свой путь?

ешение: Рассмотрим две системы координат tAy и t _’ By _’ (рис. 10). На оси А t откладываем время движения первого велосипедиста, а на оси В t _’ – время движения второго велосипедиста. Оси А t и Bt _’ сонаправлены. Оси пройденного пути противоположно направлены, длина отрезка АВ в каждом случае равна пройденному пути. Отрезок АВ₁ – график движения первого велосипедиста, а отрезок ВА₁ – график движения второго. Точка О соответствует моменту их встречи. Время движения до встречи обозначим t . ΔВ₁ОМ подобен ΔАО N , ΔМОВ подобен ΔNOA₁. Тогда MB ₁/ AN = MO / ON и BM / NA ₁= MO /О N . Из равенства следует: 27/ t = t /12, откуда t =18. Таким образом, первый велосипедист проехал весь путь за 18+12=30 (мин.), а второй за 18+27=45 (мин.).

Ответ: 30 минут, 45 минут.

Задача 12.
На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 мин. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой её можно сделать на 15 мин. быстрее, чем на второй?

Решение: На оси абсцисс откладываем время работы копировальных машин в минутах (рис). Обе машины, работая вместе, сделают копию за 10 мин. (ОМ=10). Тогда одной первой для этого понадобится t мин, а одной второй – (t+15) мин. Положение точки V на оси ординат соответствует объёму работы, которую необходимо выполнить.

Так как объём работы прямо пропорционален затраченному времени, то график работы копировальных машин представляют собой отрезки: ОВ – график работы первой, ОС – график работы второй, ОА – график совместной работы.

Рассмотрим две пары подобных треугольников ОСР и ОКМ
Покажем, что AN=KM. За 10 мин. первая машина выполнит часть работы, соответствующую отрезку NM (AN – отрезок работы, который выполнит вторая машина). Но за 10 мин. Вторая машина выполнит часть работы, соответствующую MK. Поэтому AN=KM. Учитывая это равенство и то, что CP=VO, получаем = . Из пропорций (1) и (2) получаем соотношение: = , из которого легко перейти к уравнению =

Решая это уравнение, находим положительный корень t = 15. Таким образом, первая машина сделает копию пакета документов за 15 мин, а вторая – 30 мин.

Ответ: 15 мин, 30 мин.

Итак, геометрический метод в решении алгебраических задач отличается быстротой. Мы убедились, что задачи на движение и совместную работу возможно решать с помощью геометрии. И такое решение является неординарным и рациональным, а также позволяет экономить время и быстро находить правильный ответ.

Глава 3 Задачи с практическим компонентом.

Как в прошлом, так и в настоящем для решения практических задач люди использовали знания геометрии. Например, работники некоторой судоверфи часто сталкивались с задачами, которые можно решить с помощью теоремы Пифагора.

Задача 13 Парусное судно стояло на ремонте на судоверфи. Для крепления мачты необходимо было установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватило ли 50 м троса для крепления мачты? (рис. 11)

Решение: По теореме Пифагора 12 2 +5 2 =144+25=169; 13·4=52 (м)

твет: троса не хватило.

В подтверждение возможности использования теоремы Пифагора на практике мы провели небольшой эксперимент, идея которого возникла во время прочтения книги «Занимательная геометрия» Я. И. Перельмана. Гуляя однажды по лесу в ясный солнечный день, мы заметили две сосны одна в 38 м от другой. Мы решили измерить их высоты. Дождавшись момента, когда длина нашей собственной тени стала равной нашему росту и, измерив длину тени деревьев, мы определили их высоты, используя свойство сторон равнобедренного треугольника. А затем составили и решили следующую задачу.

Высота первой сосны равна 29 м, второй – 4 м. Как велико расстояние между их верхушками?

ешение: Искомое расстояние АВ между верхушками сосен (рис. 12) находится по теореме Пифагора: (29-4) 2 +38 2 =25 2 +38 2 ≈45,5 2

Подобные задачи решаются в различных областях: в судостроении, ракетостроении, машиностроении, строительстве и т.д.

Глава 4 Геометрическое решение уравнений и систем уравнений

4.1Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квад­ратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически.

Среднеазиатским ученым Мухаммедом ал-Хорезми (IX в.) были рас­смотрены и решены шесть видов квадратных уравнений, но без какого бы то ни было алгебраического формализма (в геометрической форме), содер­жащих в общих частях только члены с положительными коэффициентами, причем рассматривались только положительные корни. Суть его рассуж­дений видна из рисунка (он рассматривает уравнение х 2 + 10 x= 39 ).

Площадь большого квадрата скла­дывается из площади х 2 + 10x, равной левой части рассматриваемого урав­нения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25.

S_ABCD =х 2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64; отку­да следует, что сторона квадрата ABCD, то есть отрезок АВ= 8, а ис­комая сторона первоначального квадрата равна

Нахождение корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки

Следует упомянуть и о на­хождении корней квадратного уравнения ах 2 + вх + с=О с по­мощью циркуля и линейки.

До­пустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B(x₁;0) и D(x₂;0), где х₁ и х₂ — корни уравнения ах 2 + вх + с =0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0;у) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем

ОВ * OD = О А * ОС, откуда

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд АС и BD, поэтому

координаты точки S

Итак:1)построим точки S; (центр окружности) и A(0;1);

2) проведем окружность радиуса SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являют­ся корнями исходного квадратного уравнения.

При использовании данного метода также возможны три случая (рис. 3):

Уравнения степеней выше второй тоже решали геометрически при помощи кривых — гиперболы, параболы и др.

Нахождение корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки

Задача 15 . Решить квадратное уравнение 7х 2 -6х-1=0.

1) Построим точки S (-b/2a; (a+c)/2a) =S(3/7; 3/7) — центр окружности и А(0;1) на координатной плоскости;

2) Проведем окружность радиуса SA (рис. 4);

3) Окружность пересекает ось абсцисс в точках (-1/7;0) и (1;0)

4) Проверкой убеждаемся, что х₁=−1/7; х₂=1 – корни данного уравнения

4.2 Графический способ решения алгебраических систем уравнений и уравнений с модулем.

Графический способ часто эффективно используется для решения уравнений, систем уравнений и неравенств. На геометрическом языке решить систему уравнений – значит найти все общие точки графиков уравнений, входящих в систему. А решить неравенство — значит найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих его условию. Графический метод изучается в курсе алгебры, но он основан на использовании геометрических представлений функций и связанных с ними законов геометрии.

Задача 16. Решить уравнение: |x-1|+2x-5=0.

Запишем уравнение в виде lx -1=5-2х . Так как |x – 1| ≥ 0 при любых х, то и 5 – 2x ≥ 0 , т. е. x ≤ 2,5. Построим графики функций у₁=|x-1|, y₂=5-2x (рис. 5).

Решением данного уравнения является абсцисса точки пересечения данных графиков.

Задача 17. Сколько корней имеет система

Решение: Преобразуем все три уравнения системы:

Итак, данная система принимает вид:

График первого уравнения – окружность с центром в точке (-4;6) и радиусом 10; график второго – парабола, полученная из параболы х=-у2 путем параллельного переноса в точку (13;3); график третьего уравнения окружность с центром в точке (8;3) и радиусом 5. Построив эти графики, мы находим единственное решение системы (4;0) (рис. 6).

4.3Решение некоторых типов тригонометрических задач геометрическим способом

Известно, что основные тригонометрические тождества и формулы приведения выведены с использованием теорем геометрии: теоремы Пифагора, признаков равенства треугольников, признаков подобия треугольников и других теорем.

В основе идеи применения геометрии при решении тригонометрических задач лежит то обстоятельство, что тригонометрические функции y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x определяются при непосредственном участии геометрии.

Вычисление значений тригонометрических функций по заданному значению одной из них геометрическим способом без применения формул основных тригонометрических тождеств. Такие вычисления можно выполнять для углов любой четверти.

Задача 18. Дано: sin x = , 0°≤ α ≤ 90°

Найти cos α , tg α .

Т. к. α принадлежит I четверти, то cos α > 0.

cos α = = = = = .

tg α = = ÷ = = .

Ответ: cos α = , tg α = .

Т. к. sin α = , то пусть противолежащий углу α катет равен 3а, где а – отрезок единичной длины, тогда гипотенуза равна 4а. По теореме Пифагора найдём второй катет:

АС = = = а.

Значит, cos α = = = ,

tg α = = = = .

Ответ: cos α = , tg α = .

Задача 19 . Дано: cos α = — , 180° α

Найти sin α, tg α , ctg α.

Т. к. α принадлежит III четверти, то sin α tg α > 0, ctg α > 0.

sin α = — = — = — ;

tg α = — ÷ = ;

ctg α = = .

Ответ : sin α = — , tg α = , ctg α = .

Вычислим значение sin α , tg α и ctg α для случая, когда угол α – острый, а знак выражения sinα , tg α , ctg α определим в соответствии с четвертью, которой угол α принадлежит.

Т. к. cos α = , то пусть прилежащий к углу α катет будет равен 3а, где а – отрезок единичной длины, тогда гипотенуза равна 5а. По теореме Пифагора найдём второй катет = = = 4а. Тогдп sin α = = , tg α = = , ctg α = = . С учётом того, что α принадлежит третьей четверти, имеем sin α = — , tg α = , ctg α = .

Ответ: sin α = — , tg α = , ctg α = .

Задача 20 . Решить уравнение cos x – sin x = 1.

cos x – sin x = 1

Разделим левую и правую часть уравнения на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при cos x и sin x , т. е. на = :

× cos x — sin x = .

Заметим , что = sin = cos , т . е . sin × cos x — cos × sin x =

sin =

= arcsin 2 πn , n принадлежит Ζ,

= + 2 πn ,

= 2 πk , k принадлежит Ζ.

= π + 2π m , m принадлежит Ζ,

= + 2π m ,

= — + 2 πl , l принадлежит Ζ .

cos x – sin x = 1

ВС = 1 × sin x = sin x,

АС = 1 × cos x = cos x.

Следовательно, АС – ВС = 1. Но в треугольнике АВС каждая сторона больше разности двух других сторон, т. е. АВ > АС – ВС АС – ВС

если АС = 1, а ВС = 0, т.е. = 0 + 2 πk , = 2 πk , k принадлежит Ζ

если АС = 0, а ВС = 1, т.е. = — + 2 πl , l принадлежит Ζ

Ответ: 2 πk ; — + 2 πl , k , l принадлежат Ζ.

Задача21 . Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2 x =

Пусть arcsin x = α, arcsin 2 x = β.

α + β =

sin α = x , sin β = 2 x . Заметим, что x > 0 (иначе arcsin x arcsin 2 x

Пусть АС = 1, АВС D – прямоугольник, тогда ВС = 1 × sin α = sin α = x ,

CD = 1 × sin β = sin β = 2 x

По теореме Пифагора из треугольника АВС:

+ = ,

+ = 1,

5 = 1,

=

x = , x = — — не подходит по условию задачи.

Ответ: .

Задача 22 . Решить уравнение: sin x + cos x = 1.

Воспользуемся формулой sin x + cos x = cos ( x — ).

cos ( x — ) = 1,

cos ( x — ) = ,

— = — +2 πn , n принадлежит Ζ — = + 2 πn ,

= 2 πn , n принадлежит Ζ = + 2 πn , n принадлежит Ζ.

Ответ: 2 πn ; + 2 πn , n принадлежит Ζ.

sin x + cos x = 1.

Из треугольника АВС:

ВС = 1 × sin x = sin x ,

АС = 1× cos x = cos x.

Для любого значения угла x от 0° до 90° в треугольнике АВС АВ πn , = + 2 πn , n принадлежит Ζ.

Ответ: 2 πn ; + 2 πn , n принадлежит Ζ.

Задача 23:_{Вычислить без калькулятора и таблиц sin 18°.}

_{Решение:}

Рассмотрим сектор ОАВ окружности с центром в точке О и радиуса 1, AOB =36 _{º (рис}.10). Тогда ОАВ= = OBA =72°. Проведем хорду АВ, на отрезке ОВ построим точку С так, чтобы АС=АВ, при этом АСВ= = АВС=72°, а САВ=36°. Таким образом, ОАС=36°, следовательно, ОС=АС.

усть АВ=х, тогда ОС=х, СВ=1-х. Поскольку АС — биссектриса треугольника ОАВ, справедлива пропорция , откуда х 2 +х-1=0, (х>0); . По теореме косинусов АВ 2 =ОА 2 +ОВ 2 -2ОА×ОВ× , x 2 =1+1-2 cos 36º, x 2 =2-2 cos 36º, Поэтому . Ответ: .

Глава 5 Геометрическое решение некоторых нестандартных задач

Задачи, встречающиеся на олимпиадах, очень часто требуют нестандартных подходов.

Геометрический метод может помочь в решении таких задач, к которым относятся неравенства, уравнения и системы уравнений с параметрами.

Задача 24. При каком а система уравнений имеет ровно четыре решения?

Решение: Построим линии, определяемые уравнениями системы (рис. 9).

Четыре решения могут быть только в двух случаях, когда a = R₂ =1 или a = r₂ = 1/2 .

Геометрия придает алгебре необыкновенную красоту и изящность. А вместе алгебра и геометрия представляют собой единое целое. Вспомним крылатую фразу французского математика Софии Жермен : «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах» . В ходе работы нам удалось увидеть синтез этих двух великих наук. Мы рассмотрели в работе несколько типов задач, для которых подобрали решение и алгебраическим и геометрическим методами. Сравнили эти решения и попробовали применить данные способы для решения подобных задач. Достигнута цель работы, которая заключается в углубленном изучении математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения задач.

В процессе исследования мы решили много исторических, практических, алгебраических задач геометрическими способами. Решения некоторых из них продемонстрированы в работе. Рассматривая различные источники и анализируя литературу, мы пришли к выводу, что алгебраические задачи, которые можно решить геометрически, встречаются очень часто, как на ЕГЭ, так и в школьных учебниках. Мы убедились, что геометрические подходы часто упрощают решение задач. Таким образом, цель работы достигнута.

Преимущества решения задач геометрическим способом:

Графическая иллюстрация облегчает проведение анализа, составления уравнений, помогает найти несколько способов решения.

Расширяется область использования графиков, повышается графическая культура.

Реализуются внутрипредметные (алгебра и геометрия) и межпредметные (математика и физика) связи.

Мы рассмотрели различные задачи, подобрали для них геометрические способы решения, сравнили алгебраический и геометрический методы решения.

Удобнее и нагляднее всего решать геометрическим методом тригонометрические задачи. Этот метод можно использовать в качестве проверки при решении задач.

Рассмотренные геометрические методы подходят для решения конкурсных нестандартных и олимпиадных задач. Позволяют существенно упростить их решение, сделать его более понятным и наглядным.

Применение геометрических методов позволяет развивать пространственное воображение, которое является основным для освоения материала в старших классах. Позволяет сократить время решения задач (применимо к тестам).

Куликова Л. В. , Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. — Глобус, 2008.

Киселева Ю. С., Методическое пособие по теме: Использование геометрических методов при решении алгебраических задач.

В.А. Филимонов, Геометрия помогает решить задачу – Математика в школе № 2-3, 1992

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев [и др.]; Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2012.

Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2012.

Генкин Г.З. Геометрические решения алгебраических задач// Математика в школе. – 2001. – №7.

Единый государственный экзамен. Математика. 11 класс: 2013. – М.: Просвещение.

Жуков А.В. Элегантная математика. Задачи и решения/ А.В. Жуков, П.И. Самолов, М.В. Аппельбаум. – М.: КомКнига, 2005.

За страницами учебника математики/ авт.-сост. С.А. Литвинова. – М.: Глобус, Волгоград: Панорама, 2008.

Математика. 9-11 классы: проектная деятельность учащихся/ авт.-сост. М.В. Величко. – Волгоград: Учитель, 2007.

Перельман Я. И. Занимательная геометрия. – М.: АСТ, 2007.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Аксенова. – М.: Аванта +, 2007

Электронная энциклопедия «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия».

http://mat.1september.ru/ — Издательский дом «Первое сентября». Учебно-методическая газета «Математика».

http://www.lomonosovo.ru/ — Общественно-информационный сайт «Ломоносово.ру».

Краткое описание документа:

Работа заняла 2 место в Воронежском Государственном Университете на Научно-практической конференции учащихся, секция «Математика» 2014 уч. год.

Актуальность темы состоит в необходимости связи алгебры и геометрии, как элементов, составляющих одно целое – науку математику, а также в применении знаний геометрии в жизни. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи.

Суть геометрического метода состоит в том, что решение задачи и доказательство направляется наглядным представлением.

Цель работы: рассмотреть различные геометрические методы в решении алгебраических задач.

Задачи работы:

1) показать, что преимущество геометрического решения алгебраических задач в его наглядности, так как геометрический подход допускает изящное решение;

2) рассмотреть применение теоремы Пифагора и обратной ей теоремы для решения алгебраических задач;

3) рассмотреть применение метода линейных и двумерных диаграмм для решения алгебраических задач;

4) продемонстрировать применение геометрического метода для решения текстовых задач.

В реферате рассмотрены:

1) исторические задачи, решенные геометрическим способом;

2) задачи на движение с использованием чертежа и подобия треугольников;

3) решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки;

4) г рафический способ решения алгебраических систем уравнений и уравнений с модулем;

5) р ешение некоторых типов тригонометрических задач геометрическим способом;

6) решение задач с параметром геометрическим способом .

Геометрия придает алгебре необыкновенную красоту и изящность. А вместе алгебра и геометрия представляют собой единое целое. Вспомним крылатую фразу французского математика Софии Жермен : «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах» . В ходе работы нам удалось увидеть синтез этих двух великих наук. Мы рассмотрели в работе несколько типов задач, для которых подобрали решение и алгебраическим и геометрическим методами. Сравнили эти решения и попробовали применить данные способы для решения подобных задач. Достигнута цель работы, которая заключается в углубленном изучении математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения задач.
В процессе исследования мы решили много исторических, практических, алгебраических задач геометрическими способами. Решения некоторых из них продемонстрированы в работе. Рассматривая различные источники и анализируя литературу, мы пришли к выводу, что алгебраические задачи, которые можно решить геометрически, встречаются очень часто, как на ЕГЭ, так и в школьных учебниках. Мы убедились, что геометрические подходы часто упрощают решение задач. Таким образом, цель работы достигнута.

Преимущества решения задач геометрическим способом:

• Графическая иллюстрация облегчает проведение анализа, составления уравнений, помогает найти несколько способов решения.
• Расширяется область использования графиков, повышается графическая культура.
• Реализуются внутрипредметные (алгебра и геометрия) и межпредметные (математика и физика) связи.

Выводы

1. Мы рассмотрели различные задачи, подобрали для них геометрические способы решения, сравнили алгебраический и геометрический методы решения.
2. Удобнее и нагляднее всего решать геометрическим методом тригонометрические задачи. Этот метод можно использовать в качестве проверки при решении задач.
3. Рассмотренные геометрические методы подходят для решения конкурсных нестандартных и олимпиадных задач. Позволяют существенно упростить их решение, сделать его более понятным и наглядным.
4. Применение геометрических методов позволяет развивать пространственное воображение, которое является основным для освоения материала в старших классах. Позволяет сократить время решения задач (применимо к тестам).

Высшая математика — задачи с решением и примерами

Прежде чем изучать готовые решения задач по высшей математике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила лекции по предмету «высшая математика», в которых подробно решены задачи.

Я собрала весь курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики, это самый полный курс лекций на сегодняшний день в интернете! Он подходит для школьников и студентов всех курсов и специальностей обучения. Курс лекций содержит, правила, теоремы, примеры решения.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Высшая математика

Высшая математика — это совокупность математических дисциплин, преподаваемых в высших учебных заведениях (ВУЗах). В разных университетах могут преподаваться разные наборы математических дисциплин.

В технических университетах и институтах, например, курс высшей математики может включать следующие разделы:

• аналитическая геометрия и линейная алгебра;
• математический анализ в объёме дифференцирования и интегрирования функции одной переменной и функции нескольких переменных;
• теория кратных интегралов и векторное поле;
• обыкновенные дифференциальные уравнения;
• числовые и функциональные ряды;
• теория функции комплексного переменного;
• преобразование Лапласа и операционное исчисление;
• гармонический анализ и теория рядов Фурье;
• уравнения математической физики; вариационное исчисление.

В высших учебных заведениях с гуманитарной и экономической направленностью курс по высшей математике может существенно отличаться от соответствующего курса в техническом университете. Скорее всего, экономисты и гуманитарии изучают только основы линейной алгебры и математического анализа.

Во многих высших учебных заведениях курс высшей математики включает такие разделы, как дискретная математика: математическая логика; теория графов и др.

Высшая математика считается самым сложным предметом в университете.

Элементы линейной алгебры

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения[⇨], системы линейных уравнений[⇨], среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы[⇨], сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы[⇨], тензоры[⇨] и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Матрицы

Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк одинаковой длины (или столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

или, сокращенно, , где (т. е. ) — номер строки, (т. е. ) — номер столбца.

Матрицу называют матрицей размера и пишут . Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют гласную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.

, если , где , .

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей -го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой .

Пример №1.1.

— единичная матрица 3-го порядка.

— единичная матрица -го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой . Имеет вид

В матричном исчислении матрицы и играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрица размера , состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е. есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается .

Так, если , то , если , то .

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Определители

Основные понятия

Квадратной матрице порядка можно сопоставить число (или , или ), называемое ее определителем, следующим образом:

Определитель матрицы также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (с. 23, свойство 7). При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Пример №2.1.

Найти определители матриц

и .

Решение:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

Лекции и примеры решения к этой теме:

Системы линейных уравнений

Основные понятия

Системой линейных, алгебраических уравнений, содержащей уравнений и неизвестных, называется система вида

где числа , называются коэффициентами системы, числа — свободными членами. Подлежат нахождению числа .

Такую систему удобно записывать в компактной матричной
форме

Здесь — матрица коэффициентов системы, называемая основной
матрицей:

— вектор-столбец из неизвестных ,

— вектор-столбец из свободных членов .

Произведение матриц определено, так как в матрице столбцов столько же, сколько строк в матрице ( штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется значений неизвестных при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется оборш решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две; системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Элементы векторной алгебры

Векторная алгебра — это раздел математики, отвечающий за изучение систем линейных уравнений, векторов, матриц, векторных пространств и их линейных преобразований.

Векторная алгебра в высшей математике распределена по разделам:

• раздел векторного исчисления, изучающий линейные операции с векторами и их геометрические свойства;
• часть линейной алгебры, занимающаяся векторными пространствами;
• различные векторные алгебры XIX века (например, кватернионов, бикватернионов, сплит-кватернионов).

Векторы

Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если — начало вектора, а — его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор (у него начало в точке , а конец в точке ) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается —.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство , но . Векторы и — противоположные, .

Равные векторы называют также свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хота бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Аналитическая геометрия на плоскости

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике.

В высшей математике аналитическая геометрия является также основой для других разделов геометрии — например, дифференциальной, алгебраической, комбинаторной и вычислительной геометрии.

Система координат на плоскости

Основные понятия

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной
из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения — началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью ), другую — осью ординат (осью ) (рис. 23).

На рисунках ось абсцисс, обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат — вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области — четверти (или квадранты).

Единичные векторы осей обозначают и .

Систему координат обозначают (или ), а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку плоскости . Вектор называется радиусом-вектором точки .

Координатами точки в системе координат () называются координаты радиуса-вектора . Если , то координаты точки записывают так: , число называется абсциссой точки , — ординатой точки .

Эти два числа и полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел и соответствует единственная точка плоскости, и наоборот.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой , называемой полюсом, лучом , называемым полярной осью, и единичным’ вектором того же направления, что и луч .

Возьмем на плоскости точку , не совпадающую с . Положение точки определяется двумя числами: ее расстоянием от полюса и углом , образованным отрезком с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24).

Числа и называются полярными координатами точки , пишут (;), при этом называют полярным радиусом, — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол ограничить промежутком (или ), а полярный радиус — . В этом случае каждой точке плоскости (кроме ) соответствует единственная пара чисел и , и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс с началом координат системы , а полярную ось — с положительной полуосью . Пусть и — прямоугольные координаты точки , а и — ее полярные координаты.

Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

Полярные же координаты точки выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

Определяя величину , следует установить (по знакам и ) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .

Пример №9.1.

Дана точка . Найти полярные координаты точки .

Решение:

Находим и :

Отсюда . Но так как точка лежит в 3-й четверти, то и . Итак, полярные координаты точки есть , т. е. .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Преобразование системы координат

Основные понятия

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы, координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Линии второго порядка на плоскости

Основные понятия

Рассмотрим .пинии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел или отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором с помощью алгебры исследуются геометрические фигуры и их свойства. Этот метод основан на так называемом координатном методе, впервые примененном Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Этот метод «алгебры» геометрических свойств доказал свою многогранность и плодотворно применяется во многих естественных науках и техниках.

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Лекции и примеры решения к этой теме:

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

По заданному уравнению поверхности второго порядка (т. е. поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Введение в математический анализ

Математический анализ — это совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное[⇨] и интегральное[⇨] исчисления.

Множество чисел

Лекции и примеры решения к этой теме:

Понятие функции

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества и . Соответствие , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается , или . Говорят еще, что функция отображает множество на множество .

Например, соответствия и , изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу соответствует элемент . В случае г не соблюдается условие однозначности.

Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество всех называется множеством значений функции и обозначается .

Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Пусть задана функция .

Если элементами множеств и являются действительные числа (т. е. и ), то функцию называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать .

Переменная называется при этом аргументом или независимой переменной, a — функцией или зависимой переменной (от ). Относительно самих величин и говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость от пишут в виде , не вводя новой буквы () для обозначения зависимости.

Частное значение функции при записывают так: .
Например, если , то .

Графиком функции называется множество всех точек плоскости , для каждой из которых является значением аргумента, а — соответствующим значением функции.

Например, графиком функции является верхняя полуокружность радиуса с центром в (см. рис. 99).

Чтобы задать функцию , необходимо указать правило, позволяющее, зная , находить соответствующее значение .

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию .

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции , соответствующие тем или иным значениям аргумента , непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Основные характеристики функции

1. Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняются условия и ; нечетной, если выполняются условия и .

График четной функции симметричен относительно оси , а нечетной — относительно начала координат.

Например, — четные функции; а — нечетные функции; — функции общею вида, т. е. не четные и не нечетные.

2. Пусть функция определена на множестве и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства неравенство: , то функция называется возрастающей на множестве , то функция называется неубывающей на множестве , то функция называется убывающей на множестве ; , то функция называется невозрастающей на множестве .

Например, функция, заданная графиком (см. рис. 100), убывает на интервале (—2; 1), не убывает на интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5).

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на (—2; 1) и (3; 5); монотонна на (1;3).

3. Функцию , определенную на множестве , называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство (короткая запись: , называется ограниченной на , если . Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми и (см. рис. 101).

4. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом значение . При этом число называется периодом функции. Если — период функции, то ее периодами будут также числа, где Так, для периодами будут числа Основной период (наименьший положительный) — это период . Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Предел функции

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, являющихся образами точек такой последовательности элементов области определения функции, которая сходится к точке, в которой рассматривается предел. Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Эквивалентные бесконечно малые функции

Быстрым способом нахождения пределов функций имеющих особенности вида ноль на ноль является применение эквивалентных бесконечно малых функций. Они крайне необходимы если нужно находить границы без применения правила Лопиталя. Эквивалентности заключаются в замене функции ее разложением в ряд Маклорена. Как правило при вычислении предела используют не более двух членов разложения.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Непрерывность функций

Непрерывная функция — это функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Производная функции

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Задачи, приводящие к понятию производной

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Производные высших порядков

Если функция y=f(x) имеет производную в каждой точке x своей области определения, то ее производная f′(x) есть функция от x. Функция y=f′(x), в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго (высшего) порядка функции y=f(x) (или второй производной) и обозначают символом f′′(x).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Дифференциал функции

Дифференциал — это линейная часть приращения функции.

Понятие дифференциала функции

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем :

Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной , т. е. дифференциал функции .

Так как , то, согласно формуле (24.1), имеем , т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Пример №24.1.

Найти дифференциал функции

Решение:

По формуле находим

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции в точке касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки (см. рис. 138). На рисунке . Из прямоугольного треугольника имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем , т. е. дифференциал функции в точке ранен приращению ординаты, касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение .

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: .

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть и две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию . По теореме о производной сложной функции можно написать

Умножив обе части этого равенства на , получаем . Но и . Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

Сравнивая формулы и , видим, что первый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула по внешнему виду совпадает с формулой , но между ними есть принципиальное отличий: в первой формуле — независимая переменная, следовательно, , во второй формуле и есть функция от , поэтому, вообще говоря, .

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например, .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Исследование функций при помощи производных

В заданиях ЕГЭ по математике обязательно встретиться исследование функции с помощью производной. Исследование функций при помощи производных – не самая простая в мире вещь. Но в КИМах не встречается такого, с чем бы не справился ученик средней школы, если он приложил достаточно стараний к учебе.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Комплексные числа

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.

Понятие и представления комплексных чисел

Основные понятия

Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а — так называемая мнимая единица, .

Если , то число называется чисто мнимым; если , то число отождествляется с действительным числом , а это означает, что множество всех действительных чисел является подмножеством множества всех комплексных чисел, т. е. .

Число называется действительной частью комплексного числа и обозначается , а — мнимой частью , .

Два комплексных числа и называются равными () тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: . В частности, комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда: . Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию , зная ее производную (или дифференциал). Искомую функцию называют первообразной функции .

Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство

(или ).

Например, первообразной функции , является функция , так как

Очевидно, что.первообразными будут также любые функции

где — постоянная, поскольку

Теорема 29.1. Если функция является первообразной функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где — постоянное число.

Функция является первообразной . Действительно, .

Пусть — некоторая другая, отличная от , первообразная функции , т. е. . Тогда для любого имеем

А это означает (см. следствие 25.1), что

где — постоянное число. Следовательно, .

Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Таким образом, по определению

Здесь называется подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением, — переменной интегрирования, — знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых (каждому числовому значению соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 165). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?

Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на функция имеет на этом промежутке первообразную», а следовательно, и неопределенный интеграл.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Основные методы интегрирования

Лекции и примеры решения к этой теме:

Интегрирование рациональных функций

Лекции к этой теме:

Интегрирование тригонометрических функций

Лекции и примеры решения к этой теме:

Интегрирование иррациональных функций

Лекции и примеры решения к этой теме:

Определенный интеграл

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨]. В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Несобственные интегралы

Определенный интеграл , где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция непрерывна на отрезке , называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Геометрические и физические приложения определенного интеграла

Лекции и примеры решения к этой теме:

Механические приложения определенного интеграла

Лекции и примеры решения к этой теме:

Приближенное вычисление определенного интеграла

Лекция и примеры решения к этой теме:

Функции нескольких переменных

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Лекции и примеры решения к этой теме:

Экстремум функции двух переменных

Основные понятия

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция определена в некоторой области точка .

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство .

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек , отличных от , из -окрестности точки выполняется неравенство: .

На рисунке 209: — точка максимума, а — точка минимума функции .

Значение функции в точке максимума (минимума) называется
максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к . В области функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение — уравнение, в которое входят производные функции и могут входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Основные понятия

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения является функция — первообразная для функции .

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ).

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае — ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение — обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение — первого порядка; — ДУ в частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ — интегральной кривой.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

Уравнение связывает независимую переменную , искомую функцию и ее производную . Если уравнение (48.1) можно разрешить относительно , то его записывают в виде

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.

Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости . Таково геометрическое истолкование ДУ первого по рядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить , т. е. .

Пример №48.1.

С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения .

Решение:

Уравнение изоклин этого ДУ будет , т. е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси . В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью один и тот же угол , тангенс которого равен .

Так, при имеем , поэтому ;

при уравнение изоклины , поэтому и ;

при

при и т. д.

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси под определенным углом (см. рис. 213), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

где и — известные функции. Уравнение (48.3) удобно тем, что переменные и в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами). Легко догадаться, что решением уравнения является функция , а также , и вообще где .

Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при функция должна быть равна заданному числу , т. е. называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде

или

Общим решением ДУ первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1. Функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении .
2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной .

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде уравнения , то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых на плоскости , частное решение — одна кривая из этого семейства, проходящая через точку .

Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетворяющего заданному начальному условию (48.4), называется задачей Коши.

Теорема 48.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (48.2) функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области , содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку .

Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка определенного типа.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

Будем в основном рассматривать уравнение вида (49.2): от него всегда, можно перейти к (49.1).

Решением ДУ (49.2) называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ (49.2) называется функция , где и — не зависящие от произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. является решением ДУ для каждого фиксированного значения и .

2. Каковы бы ни были начальные условия

существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения (49.2) и удовлетворяет начальным условиям (49.3).

Всякое решение уравнения (49.2), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных , , называется частным решением.

Решения ДУ (49.2), записанные в виде

называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ (49.2) представляет собой множество интегральных кривых; частное решение — одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом .

Переписав ДУ (49.1) в виде

видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координатами точки интегральной кривой, угловым коэффициентом касательной к ней и кривизной в точке . В этом состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (49.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (49.3), называется задачей Коши.

Теорема 49.1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (49.2) функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области изменения переменных , и , то для всякой точки существует единственное решение уравнения (49.2), удовлетворяющее начальным условиям (49.3).

Примем теорему без доказательства.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ -го порядка, которое в общем виде записывается как

если его можно разрешить относительно старшей производной.

Начальные условия для ДУ (49.4) имеют вид

Общее решение ДУ -го порядка является функцией вида

содержащей произвольных, не зависящих от постоянных.

Решение ДУ (49.4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением.

Задача Коши для ДУ -го порядка: найти решение ДУ (49.4), удовлетворяющее начальным условиям (49.5).

Проинтегрировать (решить) ДУ -го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Задача нахождения решения ДУ -го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям.

где — заданные функции (от ), называется линейным ДУ -го порядка.

Оно содержит искомую функцию и все ее производные дашь в первой степени. Функции называются коэффициентами уравнения (49.11), а функция — его свободным членом.

Если свободный член , то уравнение (49.11) называется линейным однородным уравнением; если , то уравнение (49.11) называется неоднородным.

Разделив уравнение (49.11) на и обозначив

запишем уравнение (49.11) в виде приведенного:

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (49.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (49.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале ). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (49.12) (см. теорему 49.1).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Лекции и примеры решения к этой теме:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)

Лекции и примеры решения к этой теме:

Системы дифференциальных уравнений

Основные понятия

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий ноля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей искомых функций , следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида

называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (52.1).

Так, система трех ДУ второго порядка

описывающая движение тонки в пространстве, путем введения новых переменных: , приводится к нормальной системе ДУ:

Уравнение третьего порядка путем замены сводится к нормальной системе ДУ

Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением системы (52.1) называется совокупность из функций , удовлетворяющих каждому из уравнений этой
системы.

Начальные условия для системы (52.1) имеют вид

Задача Коши для системы (52.1) ставится следующим образом: найти решение системы (52.1), удовлетворяющее начальным условиям (52.2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.

Теорема 52.1 (Коши). Если в системе (52.1) все функции

непрерывны вместе со всеми своими частными производными по в некоторой области (-мерного пространства), то в каждой точке этой области существует, и притом единственное, решение системы, удовлетворяющее начальным условиям (52.2).

Меняя в области точку (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от произвольных постоянных:

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (52.2) можно однозначно определить постоянные из системы уравнений

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных , называется частным решением системы (52.1).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Двойные и тройные интегралы

Двойной интеграл — это обобщение понятия определенного интеграла на двумерный случай.

Тройной интеграл — это аналог двойного интеграла для функции трёх переменных, заданной как f(M) = f(x, y, z).

Двойной интеграл

Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области плоскости задана непрерывная функция . Разобьем область на «элементарных областей» площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через (а рис. 214).

В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений:

(53.1) Эта сумма называется интегральной суммой функции в области .

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается или .

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция называется интегрируемой в области ; — область интегрирования; и — переменные интегрирования; (или ) — элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема 53.1 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область на площадки
   прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом , равенство (53.2) можно записать в виде

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу, по ссылкам:

Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. п. 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

Если в области имеет место неравенство , то и . Если в области функции и удовлетворяют неравенству , то и

, так как .

Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то , где и — соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что . Величину

называют средним значением функции в области .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Тройной интеграл

Основные понятия

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл».

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.

Пусть в замкнутой области пространства задана непрерывная функция . Разбив область сеткой поверхностей на частей и выбрав в каждой из них произвольную точку , составим интегральную сумму для функции по области (здесь — объем элементарной области ).

Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа таким образом, что каждая «элементарная область» стягивается в точку (т. е. диаметр области стремится к пулю, т. е. ), то его называют тройным интегралом от функции по области и обозначают

Таким образом, по определению, имеем:

Здесь — элемент объема.

Теорема 54.1 (существования). Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то предел интегральной суммы (54.1) при и существует и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

, если , а пересечение и состоит из границы, их разделяющей.

, если в области функция .

Если в области интегрирования , то и

, так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.

Оценка тройного интеграла:

где и — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области .

Теорема о среднем значении: если функция непрерывна в замкнутой области , то в этой области существует такая точка , что

где — объем тела.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Криволинейные и поверхностные интегралы

Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криво линейный интеграл.

Криволинейный интеграл I рода

Основные понятия

Пусть на плоскости задана непрерывная кривая (или ) длины . Рассмотрим непрерывную функцию , определенную и точках дуги . Разобьем кривую точками на произвольных дуг с длинами (см. рис. 233). Выберем на каждой дуге произвольную точку и составим сумму

Ее называют интегральной суммой, для функции по кривой .

Пусть — наибольшая из длин дуг деления. Если при (тогда ) существует конечный предел интегральных сумм (55.1), то его называют криволинейным интегралом от функции по длине кривой (или I рода) и обозначают (или ).

Таким образом, по определению,

Условие существования криволинейного интеграла 1 рода (существования предела интегральной суммы (55.1) при ()) представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.

Теорема 55.1. Если функция непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла от функции по пространственной кривой .

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (I рода).

1. , т. е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

2.

3.

4. , если путь интегрирования разбит на части и такие, что и и имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой выполнено неравенство , то .

6. , где — длина кривой .

7. Если функция непрерывна на кривой , то на этой кривой найдется точка такая, что (теорема о среднем).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Криволинейный интеграл II рода

Основные понятия

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл II рода определяется почти так же, как и интеграл I рода.

Пусть в плоскости задана непрерывная кривая (или ) и функция , определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую точками в направлении от точки к точке на дуг с длинами .

На каждой «элементарной дуге» возьмем точку и составим сумму вида

где — проекция дуги на ось (см. рис. 237).

Сумму (56.1) называют интегральной суммой для функции по переменной . Таких сумм можно составить бесчисленное множество. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно.)

Если при интегральная сумма (56.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой , ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом по координате (или II рода) от функции по кривой и обозначают или .

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции по координате :

где — проекция дуги на ось .

Криволинейный интеграл II рода общего вида

Криволинейный интеграл по пространственной кривой определяется аналогично.

Теорема 56.1. Если кривая гладкая, а функции и непрерывные на кривой , то криволинейный интеграл II рода существует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т. е.

(проекция дуги на оси и меняют знаки с изменением направления).

2. Если кривая точкой разбита на две части и , то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.

3. Если кривая лежит в плоскости, перпендикулярной оси , то

(все );

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси :

(все ).

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается ) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

(см. рис. 238). С другой стороны,

Лекции и примеры решения к этой теме:

Поверхностный интеграл I рода

Основные понятия

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности , с площадью , пространства определена непрерывная функция . Разобьем поверхность на частей , площади которых обозначим через (см. рис. 246), а диаметры — через , . В каждой части возьмем произвольную точку и составим сумму

Она называется интегральной для функции по поверхности .

Если при интегральная сумма (57.1) имеет предел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции по поверхности и обозначается .

Таким образом, по определению,

Отметим, что «если поверхность гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

1. , где — число.

2.

3. Если поверхность разбить на части и такие, что , а пересечение и состоит лишь из границы, их разделяющей, то

4. Если на поверхности выполнено неравенство , то .

5. , где — площадь поверхности .

6. .

7. Если непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует точка такая, что

(теорема о среднем значении).

Лекции и примеры решения к этой теме:

Поверхностный интеграл II рода

Основные понятия

Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнением , где , и — функции, непрерывные в некоторой области плоскости и т. д.). После обхода такой поверхности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон и прямоугольника так, что точка совмещается с точкой , а — с (см. рис. 251).

Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности в пространстве определена непрерывная функция . Выбранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части , где , и проектируем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самое, если нормаль к выбранной стороне поверхности составляет с осью острый угол (см. рис. 252, в), т. е. ; со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или ) (см. рис. 252, б). В этом случае интегральная сумма имеет вид

где — площадь проекции на плоскость . Ее отличие от интегральной суммы (57.1) очевидно.

Предел интегральной суммы (58.1) при , если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности на части и от выбора точек , называется поверхностным интегралом II рода (по координатам) от функции по переменным и по выбранной стороне поверхности и обозначается

Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным и и и :

Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл

где — непрерывные функции, определенные в точках двусторонней поверхности .

Отметим, что если — замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается , по внутренней .

Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие его свойства:

1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.
3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.
4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям и (аддитивное свойство), если и пересекаются лишь по границе, их разделяющей.
5. Если — цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям , то

Лекции и примеры решения к этой теме:

Числовые ряды

Основные понятия

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

где — действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, — общим членом ряда.

Ряд (59.1) считается заданным, если известен общий член рада , выраженный как функция его номера .

Сумма первых членов ряда (59.1) называется -й частичной суммой ряда и обозначается через , т. е. .

Рассмотрим частичные суммы

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (59.1), то этот предел называют суммой ряда (59.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: .

Если не существует или , то ряд (59.1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

1. Ряд нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5 + 8 +… — можно: его общий член задастся формулой .
2. Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + … сходится, его сумма равна 0.
3. Ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 + … расходится, при .
4. Ряд 1—1+1—1+1—1+… расходится, так как последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,0,… не имеет предела.
5. Ряд сходится. Действительно,

т. e. ряд сходится, его сумма равна 1.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд (59.1) сходится и его сумма равна , то ряд

где — произвольное число, также сходится и его сумма равна . Если же ряд (59.1) расходится и , то и ряд (59.2) расходится.

Обозначим -ю частичную сумму ряда (59.2) через . Тогда

т.е. ряд (59.2) сходится и имеет сумму .

Покажем теперь, что если ряд (59.1) расходится, , то и ряд (59.2) расходится. Допустим противное: ряд (59.2) сходится и имеет сумму . Тогда

т. e. ряд (59.1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (59.1).

Свойство 2. Если сходится ряд (59.1) и сходится ряд

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

причем сумма каждого равна соответственно .

Обозначим -е частичные суммы рядов (59.1), (59.3) и (59.4) через и соответственно. Тогда

т. e. каждый из рядов (59.4) сходится, и сумма его равна соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (59.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (59.1) сходятся или расходятся одновременно.

Обозначим через сумму отброшенных членов, через — наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (59.1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при будет выполняться равенство , где — это -я частичная сумма ряда, полученного из ряда (59.1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому . Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (59.1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

называется -м остатком ряда (59.1). Он получается из ряда (59.1) отбрасыванием первых его членов. Ряд (59.1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (59.1) и его остаток (59.5) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (59.1) сходится, то его остаток стремится к нулю при , т. е. .

Лекции и примеры решения к этой теме:

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Лекции и примеры решения к этой теме:

Степенные ряды

Лекции и примеры решения к этой теме:

Разложение функций в степенные ряды

Лекции и примеры решения к этой теме:

Ряды Фурье. Интеграл Фурье

Лекции и примеры решения к этой теме:

Элементы теории поля

Основные понятия теории поля

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке этой области соответствует определенное число , говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция вместе с ее областью определения. Если же каждой точке области пространства соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т. д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное папе, папе плотности электрического тока и т. д.

Если функция ) не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное пале температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные паля.

Если — область трехмерного пространства, то скалярное поле можно рассматривать как функцию трех переменных (координат точки ):

(Наряду с обозначениями , , используют запись , где — радиус-вектор точки .)

Если скалярная функция зависит только от двух переменных, например и , то соответствующее скалярное поле называют плоским.

Аналогично: вектор , определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов , и : (или ).

Вектор можно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

где , — проекции вектора на оси координат. Если в выбранной системе координат одна из проекций вектора равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, .

Векторное поле называется однородным, если — постоянный вектор, т. е. и — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь , — ускорение силы тяжести, — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции ( — определяющая скалярное поле, и — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример №69.1.

Функция определяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом ; скалярное поле определено во всем пространстве, за исключением точек оси (на ней ).

Скалярное поле

Лекции и примеры решения к этой теме:

Векторное поле

Лекции и примеры решения к этой теме: