Алгебра и начала анализа показательные уравнения

Показательные уравнения. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Учебник: Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва, «Просвещение», 2014.

Урок проведён в универсальном 10-м классе средней общеобразовательной школы.

Цели урока: изучение способов решения показательных уравнений, тренировка в применении полученных знаний при решении заданий по теме, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, формирование познавательных интересов и мотивов самосовершенствования, воспитание умения работать с имеющейся информацией и культуры труда.

Структура урока

1. Организационный этап. Постановка темы и цели урока

– Прочитайте тему сегодняшнего урока (Приложение 1, слайд № 1)
– «Показательные уравнения».
– Нам это уже известно или это новый вид уравнений?
– Это новый вид уравнений.
– Попробуйте сформулировать цели урока.
– Мы узнаем, какие уравнения называются показательными, изучим способы их решения и будем учиться применять новое знание при решении задач по теме.
Учитель корректирует ответы учащихся.

2. Актуализация знаний. Устная работа (слайд № 3)

1. Подберите корень уравнения 2 х = 32; 3 х = 27; 10 х = 10000
2. Решите уравнение х 2 = 36; х 2 + х = 0; х 2 + 2х + 1 = 0
3. Найдите область значений функции у = π х ; у = (0,5) х ; у = (0,5) |х|
4. Сравните, используя свойства функций, с единицей 2 – 5 ; (0,5) – 3 ; (0,5) 0,5

3. Изучение нового материала (лекция)

Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, считается показательным (слайд № 4). Рассмотрим основные виды показательных уравнений (слайд № 5) (учащиеся записывают названия видов и примеры в тетрадях).

1. Элементарные показательные уравнения. Эти уравнения сводятся к решению уравнений вида а х = а в , где а >0, а ≠ 1. При этом используется свойство степени, которое мы изучали (повторить следствие 2 на стр. 160 учебника). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Пример 1 (слайд № 6).

(0,0016) 0,2 х + 1 = 25;
5 – 4 (0,2 х + 1) = 52;
– 0,8 х – 4 = 2;
– 0,8 х = 6;
х = – 7,5 .

Пример 2 (слайд №7)

36 · 6 х = 1;
6 2 + х = 60;
2 + х = 0;
х = – 2.

Пример 3 (слайд №8)

81 х · 2 4х = 36;
3 4х · 2 4х = 62;
6 4х = 6 2 ;
4х = 2;
х = 0,5.
Ответ: 0,5.

Пример 4 (слайд № 9)

2 х – 3 = 3 х – 3 ;
х – 3 = 0;
х = 3.
Ответ: 3.

2. Вынесение общего множителя за скобки (слайд № 10). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

2 · 3 х + 1 – 6 · 3 х – 1 – 3 х = 9;
3 х (2 · 3 – 6 · 3 – 1 – 1) = 9;
3 х · 3 = 9;
3 х = 3;
х = 3.
Ответ: 3.

Пример 2 (слайд № 11).

5 2х – 7 х – 5 2х · 17 + 7 х · 17 = 0;
5 2х – 5 2х · 17 = 7 х – 7 х · 17;
5 2х (1 – 17) = 7 х (1 – 17);
– 16· 52х = – 16 · 7х;
5 2х = 7 х ;
25 х = 7 х ;
х= 0.
Ответ: 0.

3. Сведение к квадратному уравнению (слайд № 12). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

9 х – 4 · 3 х = 45;
3 2х – 4 · 3 х – 45 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 4 t – 45 = 0;
D = 16 +180 = 196;
t₁ = 9,
t₂ = – 5 – не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 9;
3 х = 32;
х = 2;
Ответ: 2.

4. Закрепление изученного материала

– Продолжаем учиться решать показательные уравнения. (Решение всех последующих уравнений записывается на доске с объяснениями, следует вызвать ученика по желанию). Разберём №680(3), 681(1), 682(3), 684(1), 693(2).

5. Обучающая самостоятельная работа с самопроверкой

– Предлагаю вам самостоятельно решить следующие уравнения (слайд № 13), а затем проверить себя самостоятельно с помощью готовых решений (решение уравнений следует заранее заготовить, например, на слайдах, а затем показать учащимся по окончании работы).

1. (0,3) 5 – 2х = 0,09;
2. 225 · 15 2х + 1 = 1;
3. 3 х + 1 – 3 х = 18;
4. 9 х – 26 · 3 х – 27 = 0

Решение № 1 (слайд № 14)

Решение № 2 (слайд № 15)

15 2 · 15 2х + 1 = 150;
152х + 3 = 150;
2х + 3 = 0;
х = – 1,5.
Ответ: – 1,5.

Решение № 3 (слайд № 16)

3 х · 3 – 3 х = 18;
3 х (3 – 1) = 18;
3 х · 2 = 18;
3 х = 9;
3 х = 3 2 ;
х = 2.
Ответ: х = 2.

Решение № 4 (слайд № 17)

3 2х – 26 · 3 х – 27 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 26 t – 27 = 0;
t₁ = 27,
t₂ = – 1 не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 27; 3 х = 3 3 ; х = 3;
Ответ: 3.

6. Подведение итога урока. Рефлексия

– Итак, подведём итоги проделанной работы. Что нового вы узнали?
– С какими видами показательных уравнений мы познакомились?

7. Домашнее задание (слайд № 18)

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе на тему «Показательные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока по алгебре и началам анализа для учащихся 10 класса

Тема урока: «Показательные уравнения».

Цель урока: Образовательная: показать виды и способы решения показательных уравнений.

Развивающая: развитие познавательных процессов учащихся; зрительной и слуховой памяти, логического и математического мышления, воображения, устойчивости, гибкости и способности к распределению внимания.

Воспитательная: воспитание у учащихся аккуратности и точности при выполнении заданий у доски и ведения тетрадей, умения работать в коллективе, коммуникабельности, дисциплинированности на уроке, ответственности за свои действия, самостоятельности, воспитание интереса к предмету.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: Репродуктивный, объяснительно-иллюстративный.

Оборудование: Компьютер, мультимедиа проектор, презентация.

1. Организационный момент (1 мин)

2. Актуализация знаний (5 мин)

3. Изучение и закрепление нового материала (35 мин)

4. Подведение итогов урока (3 мин)

5. Домашнее задание (1 мин)

Организационный момент : Приветствие учеников, проверка посещаемости, проверка готовности классной комнаты и учащихся к уроку.

Учитель: Сегодня на уроке мы изучим новую тему: Показательные уравнения. Но сначала ответьте на вопросы. Функция какого вида называется показательной?

Ученик : Функция вида у = а х , где а > 0, a ≠ 1 – основание, конкретное заданное число, а х – переменная, называется показательной функцией.

Учитель: От чего зависят свойства показательной функции?

Ученик : От основания показательной функции.

Учитель: Перечислите основные свойства показательной функции.

Ученик : Показательная функция обладает следующими свойствами:

1 0 . Область определения показательной функции у = а х – множество действительных чисел.

2 0 . Множество значений показательной функции у = а х – множество положительных чисел.

3 0 . Показательная функция у = а х возрастает при а > 1 и убывает при 0

4 0 . Функция общего вида.

5 0 . Не ограничена.

Учитель: Вспомните свойства степеней с действительным показателем.

(Запись на доске)

1. ;2. ;3. ;4. ;5.

3. Изучение и закрепление нового материал

Учитель: Запишите число, классная работа, тема урока: Показательные уравнения

Учитель: Посмотрите на уравнение . Уравнения такого вида называются показательными уравнениями Уравнение — простейшее показательное уравнение. Т.к. в левой части уравнения находится степень, то какое условие необходимо поставить?

Учитель: А учитывая, что область значений показательной функции множество положительных действительных чисел, то какое условие надо поставить для b?

Учитель : Запишите определение, представленное на слайде.

(Запись в тетрадях)

Показательным уравнением называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Учитель: Рассмотрим пример . Представим 25 в виде 25=5², получим .

По свойству: Степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели, получаем .

(Запись на доске и в тетрадях)

. ; . Ответ: .

Учитель: Рассмотрим пример . Будет ли данное уравнение иметь решение?

(Запись на доске и в тетрадях)

, т.к. -25

Ответ: корней нет.

Учитель: Рассмотрим пример . Данное уравнение решается методом приведения к одному основанию обеих частей уравнения, т.е. к виду . Что необходимо для этого сделать?

Ученики: Корень третьей степени из 49 можно представить в виде степени с основанием 7:

. Тогда , по свойству равенства степеней с одним основанием , .

(Запись на доске и в тетрадях)

. ; ; . Ответ: .

Учитель: . Данное уравнение решается методом приведения к одному основанию обеих частей уравнения, т.е. к виду . Как это можно сделать?

Ученики : Заметим, что дробь можно представить в виде степени с основанием пять:

. Тогда , используя свойство первое, получим , отсюда , .

(Запись на доске и в тетрадях) ; ; ;

; .

Ответ: .

Учитель: Рассмотрим следующий пример . Данное уравнение решается тем же методом можно представить как по пятому свойству, записанному на доске. 576=24², тогда . Что нам это дает?

Ученики : Используя свойство третье, получим , отсюда x=2.

(Запись на доске и в тетрадях)

. ; ; x=2. Ответ: x=2.

Учитель: Рассмотрим пример .

(Один из учеников у доски)

Ученик : Данное уравнение решается тем же методом можно представить как по пятому свойству, записанному на доске. 784=28², тогда . Используя свойство третье, получим , отсюда x=2.

(Запись на доске и в тетрадях)

x=2. Ответ: x=2.

Учитель: Рассмотрим пример . Данное уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки. Чаще всего выносят за скобки степень с наименьшим показателем. Вынесем за скобки . Что получим?

Ученики : , , , , x-1=0, x=1.

(Запись на доске и в тетрадях)

; ; ; ; x-1=0, x=1.

Учитель: Рассмотрим пример .

(Один из учеников у доски)

Ученик : Данное уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки. Чаще всего выносят за скобки степень с наименьшим показателем. Вынесем за скобки и получим

(Запись на доске и в тетрадях)

Ответ: y=3.

Учитель: Рассмотрим пример . Данное уравнение имеет вид . Решается делением обеих частей уравнения на степень стоящую в левой или в правой части уравнения. Поделим обе части уравнения на , получим . Воспользуемся свойством четвертым и представим 1 в виде , , x=0.

(Запись на доске и в тетрадях)

. ; ; x=0. Ответ: x=0.

Учитель: Рассмотрим пример . Заметим, что . Исходное уравнение примет вид . Уравнение какого вида мы получили?

(Один из учеников у доски)

Ученик : Данное уравнение имеет вид . Решается делением обеих частей уравнения на степень стоящую в левой или в правой части уравнения. Поделим обе части уравнения на , получим ,x-3=0, x=3.

(Запись на доске и в тетрадях)

4. Подведение итогов.

Учитель : Давайте вспомним, что называется показательным уравнением?

Ученик : Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Учитель : К какому виду приводятся все показательные уравнения?

Ученик : Часто показательные уравнения сводятся к а х = а с , где b = а с , т.е. к простейшим показательным уравнениям.

5. Домашнее задание.

Учитель : Домашнее задание: знать определение, что называют показательным уравнением и методы их решения. Примеры для решения будут размещены в электронном журнале. Спасибо за урок.