Алгебра и начала анализа решение показательных уравнений

Показательные уравнения. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Учебник: Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва, «Просвещение», 2014.

Урок проведён в универсальном 10-м классе средней общеобразовательной школы.

Цели урока: изучение способов решения показательных уравнений, тренировка в применении полученных знаний при решении заданий по теме, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, формирование познавательных интересов и мотивов самосовершенствования, воспитание умения работать с имеющейся информацией и культуры труда.

Структура урока

1. Организационный этап. Постановка темы и цели урока

– Прочитайте тему сегодняшнего урока (Приложение 1, слайд № 1)
– «Показательные уравнения».
– Нам это уже известно или это новый вид уравнений?
– Это новый вид уравнений.
– Попробуйте сформулировать цели урока.
– Мы узнаем, какие уравнения называются показательными, изучим способы их решения и будем учиться применять новое знание при решении задач по теме.
Учитель корректирует ответы учащихся.

2. Актуализация знаний. Устная работа (слайд № 3)

1. Подберите корень уравнения 2 х = 32; 3 х = 27; 10 х = 10000
2. Решите уравнение х 2 = 36; х 2 + х = 0; х 2 + 2х + 1 = 0
3. Найдите область значений функции у = π х ; у = (0,5) х ; у = (0,5) |х|
4. Сравните, используя свойства функций, с единицей 2 – 5 ; (0,5) – 3 ; (0,5) 0,5

3. Изучение нового материала (лекция)

Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, считается показательным (слайд № 4). Рассмотрим основные виды показательных уравнений (слайд № 5) (учащиеся записывают названия видов и примеры в тетрадях).

1. Элементарные показательные уравнения. Эти уравнения сводятся к решению уравнений вида а х = а в , где а >0, а ≠ 1. При этом используется свойство степени, которое мы изучали (повторить следствие 2 на стр. 160 учебника). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Пример 1 (слайд № 6).

(0,0016) 0,2 х + 1 = 25;
5 – 4 (0,2 х + 1) = 52;
– 0,8 х – 4 = 2;
– 0,8 х = 6;
х = – 7,5 .

Пример 2 (слайд №7)

36 · 6 х = 1;
6 2 + х = 60;
2 + х = 0;
х = – 2.

Пример 3 (слайд №8)

81 х · 2 4х = 36;
3 4х · 2 4х = 62;
6 4х = 6 2 ;
4х = 2;
х = 0,5.
Ответ: 0,5.

Пример 4 (слайд № 9)

2 х – 3 = 3 х – 3 ;
х – 3 = 0;
х = 3.
Ответ: 3.

2. Вынесение общего множителя за скобки (слайд № 10). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

2 · 3 х + 1 – 6 · 3 х – 1 – 3 х = 9;
3 х (2 · 3 – 6 · 3 – 1 – 1) = 9;
3 х · 3 = 9;
3 х = 3;
х = 3.
Ответ: 3.

Пример 2 (слайд № 11).

5 2х – 7 х – 5 2х · 17 + 7 х · 17 = 0;
5 2х – 5 2х · 17 = 7 х – 7 х · 17;
5 2х (1 – 17) = 7 х (1 – 17);
– 16· 52х = – 16 · 7х;
5 2х = 7 х ;
25 х = 7 х ;
х= 0.
Ответ: 0.

3. Сведение к квадратному уравнению (слайд № 12). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

9 х – 4 · 3 х = 45;
3 2х – 4 · 3 х – 45 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 4 t – 45 = 0;
D = 16 +180 = 196;
t₁ = 9,
t₂ = – 5 – не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 9;
3 х = 32;
х = 2;
Ответ: 2.

4. Закрепление изученного материала

– Продолжаем учиться решать показательные уравнения. (Решение всех последующих уравнений записывается на доске с объяснениями, следует вызвать ученика по желанию). Разберём №680(3), 681(1), 682(3), 684(1), 693(2).

5. Обучающая самостоятельная работа с самопроверкой

– Предлагаю вам самостоятельно решить следующие уравнения (слайд № 13), а затем проверить себя самостоятельно с помощью готовых решений (решение уравнений следует заранее заготовить, например, на слайдах, а затем показать учащимся по окончании работы).

1. (0,3) 5 – 2х = 0,09;
2. 225 · 15 2х + 1 = 1;
3. 3 х + 1 – 3 х = 18;
4. 9 х – 26 · 3 х – 27 = 0

Решение № 1 (слайд № 14)

Решение № 2 (слайд № 15)

15 2 · 15 2х + 1 = 150;
152х + 3 = 150;
2х + 3 = 0;
х = – 1,5.
Ответ: – 1,5.

Решение № 3 (слайд № 16)

3 х · 3 – 3 х = 18;
3 х (3 – 1) = 18;
3 х · 2 = 18;
3 х = 9;
3 х = 3 2 ;
х = 2.
Ответ: х = 2.

Решение № 4 (слайд № 17)

3 2х – 26 · 3 х – 27 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 26 t – 27 = 0;
t₁ = 27,
t₂ = – 1 не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 27; 3 х = 3 3 ; х = 3;
Ответ: 3.

6. Подведение итога урока. Рефлексия

– Итак, подведём итоги проделанной работы. Что нового вы узнали?
– С какими видами показательных уравнений мы познакомились?

7. Домашнее задание (слайд № 18)

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Урок алгебры и начал анализа в 10 классе по теме: «Решение показательных уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Урок разработан в соответствии с психолого-педагогическими характеристиками, состоянием развития общеучебных умений, индивидуальными особенностями учащихся способных осваивать учебный материал школьной программы по алгебре и началам анализа на разном уровне.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок алгебры и начал анализа в 10 классе по теме:

«Решение показательных уравнений»

• Судникова Наталья Владимировна, учитель математики

Цель: повторить основные методы решения показательных уравнений.

• Создать условия для открытия новых знаний: применение комплекса методов при решении более сложных показательных уравнений, подготовить к восприятию нового понятия — логарифма.
• Способствовать развитию моторной и смысловой памяти, умений анализировать, сравнивать, умений отбирать ключевые задачи по теме и методы их решения.
• Способствовать становлению коммуникативной компетентности (работать в группе, оценивать себя и товарищей), информационной (работать с учебником, справочником, дополнительной литературой, выступать перед аудиторией).

— образовательная: продолжить работу над формированием алгоритмов решения показательных уравнений; обеспечить повторение свойств степени, показательной функции, необходимых для решения уравнений;

— развивающая: способствовать формированию умений применять различные приёмы: сравнение, выделение главного, переноса знаний в новую ситуацию, также развитию математического кругозора, логического мышления, устной речи и внимания.

— воспитательная: содействовать развитию мотиваций и самосовершенствования личности учащегося.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

мультимедиа проектор; экран; таблица «Показательная функция y = а x », раздаточный материал: карточки-консультанты, самостоятельная и проверочная работа, бланк ответов, справочники, учебник, медиаресурсы по решению показательных уравнений.

Основные формы работы учащихся во время урока: индивидуальная, групповая.

Подготовка к уроку:

• Заранее учащимися готовятся сообщения: о показательных функциях, как о моделях реальных ситуаций, показывается межпредметная связь (связь математики с физикой, биологией) и историческая справка по изучаемой теме.
• Класс разбит на две группы по 4 человека, распределены обязанности между всеми членами в каждой группе.
• Приготовлены таблицы, учебник, справочники.
• Составлена самостоятельная работа.
• Приготовлены карточки — консультанты, разноуровневые задания по решению показательных уравнений.

2) Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний.

3) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности

4) Первичное закрепление

— в знакомой ситуации (типовые)

— в измененной ситуации (конструктивные)

5) Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (проблемные задания)

6)Закрепление материала в ходе выполнения дифференцированной проверочной работы

7)Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

8) Подведение итогов занятия

1. Организационный момент.

Подготовка учащихся к работе на уроке.

Здравствуйте, ребята, садитесь. Скажите, пожалуйста, какую тему мы с вами изучаем? Совершенно верно, именно решению показательных уравнений была посвящена ваша домашняя работа .

2. Актуализация знаний. Систематизация знаний, умений и навыков по теме: “Показательная функция”, «Решение показательных уравнений».

Подготовка учащихся к открытию новых для них знаний, к активному и осознанному изучению нового материала.

Проверка домашнего задания . Какие возникли вопросы? Ребята, вам было дано дополнительное задание, кто выполнил? (Сообщение о показательных функциях, как моделях реальных ситуаций, показывается межпредметная связь (связь математики с физикой, биологией) и историческая справка по изучаемой теме).

1. Ученик . Современные обозначения степени с натуральным показателем ввел в XVII веке Декарт. Первым систематически стал использовать рациональный показатель Ньютон. Немецкий математик М. Штиффель (1487 – 1567) дал определение = 1, при ≠0 и ввёл название «показатель» (буквенный перевод с нем. Exponent).
2. Показательные функции открывают доступ ко многим исследованиям в различных областях науки

Итак, тема урока «Решение показательных уравнений». Открыли тетради, записали число, классная работа. Посмотрите, какие раздаточные материалы вы получили.

1. Давайте вспомним определение показательной функции y= , a>0, a 1.
2. Какова область определения показательной функции?
3. Какова область значений показательной функции?
4. При каком значении х значение показательной функции равно 1?

1. Представьте в виде степени с основанием 2 числа 16, 32, 64, 1, 128, 256.
2. Представьте в виде степени с основанием 5 числа 5, 125, 1, 625, , , , 0,2 0,04?
3. Представьте число 1 в виде степени с основанием 4; 2; .

Самостоятельная работа на повторение.

1 .Какие из данных функций являются показательными (указать букву):

a) y = 2x, б ) y = x 2 , в ) y = 3 x , г ) y = (5,1) x , д ) y = x ,

е ) y = (x-2) 3 , ж) y = x, з) y = 3 -x .

2 . Какие из перечисленных показательных функций, являются возрастающими и какие убывающими?

3. Решить: a) =0,4; б ) = ; в ) = ; г ) = 8;

4. Соотнесите уравнения и методы их решения