Алгебра и начала анализа в 10-м классе «Решение тригонометрических уравнений»
Разделы: Математика
Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений.
Работа учащихся состоит из нескольких этапов. Чтобы получить оценку “3”, необходимо пройти 4 этапа, чтобы получить оценку “4” — 5 этапов, чтобы получить оценку “5” — 6 этапов. На каждом этапе ученик встретится с указаниями учителя о том, что нужно знать и уметь, или краткими пояснениями к выполнению заданий.
Прочитав указания учителя, ученик выполняет самостоятельные работы данного этапа, проверяет ответы, сверяя с ответами, которые предоставляет учитель. Если допущены ошибки, то ученик их исправляет и решает задания другого варианта, аналогичные тем, где он допустил ошибки. После этого можно переходить к следующему этапу.
1 этап.
Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.
Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений.
(учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 69 – 73)
Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)
1 вариант | 2 вариант |
1) cos x = 1/2 | 1) sin x = -1/2 |
2) sin x = —/2 | 2) cos x = /2 |
3) tg x = 1 | 3) ctg x = -1 |
4) cos (x+) = 0 | 4) sin (x – /3) = 0 |
5) 2 cos x = 1 | 5) 4 sin x = 2 |
6) 3 tg x = 0 | 6) 5 tg x = 0 |
7) sin 4x = 1 | 7) cos 4x = 0 |
2 этап.
Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.
Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.
Пример. 4 – cos 2 x = 4 sin x
Так как cos 2 x = 1 – sin 2 x, то
4 – (1 – sin 2 x) = 4 sin x,
3 + sin 2 x = 4 sin x,
sin 2 x — 4 sin x + 3 = 0,
Пусть y = sin x, получим уравнение
sin x =1 или sin x = 3,
x = /2 + 2 n, n= Z, решений нет.
Ответ: x = /2 + 2 n, n= Z.
Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)
1 вариант | 2 вариант |
1) tg 2 x — 3 tg x + 2 = 0; | 1) 2 + cos 2 x — 3 cos x = 0; |
2) 2 cos 2 x + 5 sin x – 4 = 0; | 2) 4 — 5 cos x — 2 sin 2 x =0; |
3) (1 — cos 2x)/2 + 2 sin x = 3; | 3) (1 — cos 2x)/2 + 2 sin x = 3. |
3 этап.
Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.
Пример. 2 sin 3 x — cos 2x — sin x = 0
Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos 2 x — sin 2 x.
(2sin 3 x — sin x) – (cos 2 x — sin x) = 0,
Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos 2 x = 1 — sin x.
sin x (2sin 2 x – 1) – (1 — 2 sin 2 x) = 0,
sin x (2sin 2 x – 1) + (2 sin 2 x — 1) = 0,
(2 sin 2 x — 1) • ( sin x + 1) = 0.
2 sin 2 x – 1 = 0 | или | sin x + 1 = 0 |
sin 2 x = 1/2, | sin x = — 1 | |
sin x = ±1/v2 |
Ответ: x1 = ± /4 + n, n = Z, x2 = — /2 +2k, k = Z.
Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)
1 вариант | 2 вариант |
1) sin 2 x — sin x = 0, | 1) ctg 2 x — 4 ctg x = 0, |
2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0, | 2) 5 sin 2x — 2 sin x = 0. |
Цель: закрепить навык решения однородных уравнений
Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0,
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0, и т.д., где a, b, c – числа.
Пример 1. 5 sin x — 2 cos x = 0
Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,
что cos x 0 (или sin x 0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x — 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin 2 x + cos 2 x = 1).
Значит, можно делить на cos x:
5 sin x /cos x — 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение
x = arctg 2/5 + n, n = Z.
Ответ: x = arctg 2/5 + n, n = Z.
Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos 2 x (или на sin 2 x).
Пример 2. 12 sin 2 x + 3 sin 2x — 2 cos 2 x = 2.
Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin 2 x + 2cos 2 x.
Приведя подобные члены, получим уравнение
10sin 2 x + 6sin x cos x — 4 cos 2 x = 0.
(Пусть cos x = 0, тогда 10sin 2 x = 0, чего не может быть, т.к. sin 2 x + cos 2 x = 1, значит, cos x 0).
Разделим обе части уравнения на cos 2 x.
10 tg 2 x +6 tg x — 4 = 0,
tg x = -1 или tg x = 2/5,
x = — /4 + n, n = Z, x = arctg 2/5 + k, k = Z.
Ответ: x1 = — /4 + n, n = Z, x2 = arctg 2/5 + k, k = Z.
Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)
1 вариант | 2 вариант |
1) sin x — cos x = 0, | 1) 5sin x +6cos x = 0, |
2) sin 2 x — sin 2x = 3 cos 2 x, | 2) 3sin 2 x — 2sin 2x +5cos 2 x = 2. |
5 этап.
Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.
(Учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 7 — 9)
Выполните письменно самостоятельную работу (20 минут)
1 вариант | 2 вариант |
1) cos 2x -5 sin x – 3 = 0, | 1) cos 2x + 3 sin x = 2, |
2) sin 2x + cos 2x = 0, | 2) sin 2x — cos 2x = 0, |
3) cos 2 x — cos 2x = sin x, | 3) 6 — 10cos 2 x + 4cos 2x = sin 2x, |
4) sin 4x — cos 2x = 0, | 4) cos x cos 2x = 1, |
5) 5 — 5 cos (/2 — x ) = 2 cos 2 ( – x), | 5) cos 2 (/2 + x ) — cos 2 (2 + x) = /2. |
Молодцы! Вы прошли 5 этапов. Целью вашей дальнейшей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Выполните письменно самостоятельную работу
(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).
Решите уравнения:
- sin 6x + cos 6x = 1 — sin 3x,
- 29 — 36 sin 2 (x – 2) — 36 cos (x – 2) = 0,
- 2sin x cos x + – 2 cos x — v3 sin x = 0,
- sin 4x = 2 cos 2 x – 1,
- sin x (sin x + cos x ) = 1,
- 1/(1 + cos 2 x) + 1/(1 + sin 2 x) =16/11.
Подсказки:
- Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.
- Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin 2 y = 1 — cos 2 y.
- Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.
- Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos 2 x – 1 = cos 2x.
- Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.
- Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = 1, сведите уравнение к квадратному.
Оцените свои работы самостоятельно.
Если вы выполнили задания всех этапов, то дома № 163-165 – любое уравнение (учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 333)
Если вы выполнили задания 5 этапов, то дома задания 6 этапа.
Если вы выполнили задания 4 этапов, то дома задания 5 этапа, и т.д.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения
Необходимо запомнить
Вообще, если тригонометрическое уравнение включает в себя синус и косинус одного и того же аргумента, и одна из них содержится в уравнении в четной степени, а другая в нечетной, то в качестве новой переменной целесообразно рассматривать ту переменную, которая в уравнение входит в нечетной степени.
Например, в уравнении $4sin^3(3x)-3cos^2(3x)+6sin(3x)-10=0$
$sin(3x$) входит в первой и в третьей степени, а $cos(3x)$ — во второй.
Поэтому в качестве новой переменной будем рассматривать t=sin(3x).
и уравнение примет вид: $4sin^3(3x)-3(1-sin^2(3x))+6sin(3x)-10=0$
Это уравнение после замены сводится к алгебраическому третьей степени
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:
sin ∠ A = C B A B
cos ∠ A = A C A B
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
sin ∠ B = A C A B
cos ∠ B = B C A B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .
Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .
Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
http://resh.edu.ru/subject/lesson/6314/main/
http://epmat.ru/modul-geometriya/urok-1-trigonometriya/