Алгебра контрольная работа 9 системы линейных уравнений

Контрольная работа по алгебре для 7 класса по теме «Системы линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Контрольная работа № 9 по теме:

«Системы линейных уравнений» (7 кл.)

1 часть. Задания с выбором ответа.

(Каждое задание имеет 1 правильный ответ)

А1 Какая из пар чисел является решением

системы уравнений

А2 Выразите х через у в уравнении х – у = – 8

1) х = у – 8 3) х = – 8 – у

2) у = 8 + х 4) у = – 8 – х

А3 Выразите у через х в уравнении – 2х – у = 5

1) 2х = – 5 – у 3) х = (5 + у) : (– 2)

2) у = 5 + 2х 4) у = – 5 – 2х

А4 На какое число надо умножить второе уравнение в системе , чтобы затем с помощью сложения можно было исключить переменную у?

2 часть. Задания с развернутым ответом

(Правильный ответ на задание уровня В – максимум 2 балла)

В1 Решите систему уравнений

В2 Найти точку пересечения графиков уравнений

2х – 5у = 9 и 4х + 2у = 6

В3 Решите систему графическим способом:

(Правильный ответ на задание уровня С – максимум 3 балла)

С1 Прямая у = kx + b проходит через точки А(– 1; – 9)

и В(2; 6). Напишите уравнение этой прямой.

С2 У Иры в копилке есть только двухрублевые и пятирублевые монеты, всего у Иры 17 монет. Сколько из них двухрублевых и сколько пятирублевых, если всего в копилке у Иры 64 рубля?

С3* (Дополнительно) При каких значениях а и b решением системы уравнений является пара чисел (3; 1)?

С4* (Дополнительно) Катер за 3ч по течению и 5ч против течения проходит 76км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6ч по течению катер проходит столько же, сколько за 9ч против течения.

Критерии оценивания: 14 – 16 баллов – отметка «5»

9 – 13 баллов – отметка «4»

6 – 8 баллов – отметка «3»

Безошибочное выполнение к-р – дополнительная бонус-отметка «5»

Верно выполненное задание С3 или С4 (на выбор) – отметка «5»

Контрольная работа № 9 по теме:

«Системы линейных уравнений» (7 кл.)

1 часть. Задания с выбором ответа.

(Каждое задание имеет 1 правильный ответ)

А1 Какая из пар чисел является решением

системы уравнений

А2 Выразите х через у в уравнении х – у = 12

1) х = 12 – 8 3) х = 12 + у

2) у = 12 – х 4) у = х + 12

А3 Выразите у через х в уравнении – 3х – у = 1

1) у = – 1 – 3х 3) х = (1 + у) : (– 3)

2) 3х = – 1 – у 4) у = 1 + 3х

А4 На какое число надо умножить первое уравнение в системе , чтобы затем с помощью сложения можно было исключить переменную х?

2 часть. Задания с развернутым ответом

(Правильный ответ на задание уровня В – максимум 2 балла)

В1 Решите систему уравнений

В2 Найти точку пересечения графиков уравнений

3х – 2у = 8 и 6х + 3у = 9

В3 Решите систему графическим способом:

(Правильный ответ на задание уровня С – максимум 3 балла)

С1 Прямая у = kx + b проходит через точки М(– 4; – 21)

и N (3; 7). Напишите уравнение этой прямой.

С2 У Алеши в копилке есть только двухрублевые и пятирублевые монеты, причем двухрублевых монет на 11 больше, чем пятирублевых. Сколько у Алеши двухрублевых и сколько пятирублевых монет, если всего в копилке 50 рублей?

С3* (Дополнительно) При каких значениях а и b решением системы уравнений является пара чисел (4; 5)?

С4* (Дополнительно) Катер за 3ч по течению и 5ч против течения проходит 92км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 5ч по течению катер проходит на 10км больше, чем за 6 ч против течения.

Критерии оценивания: 14 – 16 баллов – отметка «5»

9 – 13 баллов – отметка «4»

6 – 8 баллов – отметка «3»

Безошибочное выполнение к-р – дополнительная бонус-отметка «5»

Верно выполненное задание С3 или С4 (на выбор) – отметка «5»

на к-р №9 по теме «Системы линейных уравнений» (7кл.)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 916 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

Глава 6. Системы линейных уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 12.10.2021
• 666
• 6

• 12.10.2021
• 927
• 14

• 12.10.2021
• 115
• 1

• 12.10.2021
• 2758
• 58

• 12.10.2021
• 1883
• 49

• 12.10.2021
• 446
• 6

• 12.10.2021
• 87
• 0

• 12.10.2021
• 96
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.10.2021 284
• DOCX 70 кбайт
• 4 скачивания
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Михалева Татьяна Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 26223
• Всего материалов: 29

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Контрольная работа №9 по алгебре для 7 класса по теме «Системы линейных уравнений»
учебно-методический материал по алгебре (7 класс) на тему

Контрольная работа представлена в 6-ти вариантах в готовом виде для печати (раздаточный материал).

Скачать:

Предварительный просмотр:

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (-3; -1) и В (2; 5).

5. Расстояние между двумя пунктами на реке равно 80 км. Это расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 ч, а против течения – за 5 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

6*. Если числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получится 2. Если же из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится . Найдите эту дробь.

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки C (6; 2) и D (-1; -3).

5. Поезд прошел первый перегон за 2 ч, а второй – за 3 ч. Всего за это время он прошел расстояние 330 км. Найдите скорость поезда на каждом перегоне, если на втором перегоне она была на 10 км/ч больше, чем на первом.

6*. Найдите два числа, если известно, что утроенная разность этих чисел на 6 больше их суммы, а удвоенная разность этих чисел на 9 больше их суммы.

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки M (4; 3) и N (-6; 7).

5. Автобус проходит расстояние в 120 км за время, которое автомобиль тратит на прохождение 180 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 20 км/ч меньше скорости автомобиля.

6*. Среднее арифметическое двух чисел равно 32,5. Найдите эти числа, если известно, что 30% одного из них на 0,25 больше, чем 25% другого.

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки K (-1; 4) и L (2; 3).

5. Из пунктов А и В , расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 20 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. Найдите скорости пешеходов.

6*. Два числа в сумме дают 77. Найдите эти числа, если одного числа составляют другого.

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки P (-5; 9) и Q (2; -5).

5. Катер проходит по течению реки 34 км за то же время, что и 26 км против течения реки. Известно, что собственная скорость катера на 13 км/ч больше скорости течения реки. Найдите скорость течения реки.

6*. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то получится , а если из них вычесть по единице, то получится . Найдите эту дробь.

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки S (-1; -9) и R (1; 3).

5. Два пешехода отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов M и N, расстояние между которыми 38 км. Через 4 ч расстояние между ними сократилось до 2 км, а еще через 3 ч первому пешеходу осталось пройти до пункта N на 7 км меньше, чем второму до пункта M. Найдите скорости пешеходов.

6*. Известно, что 30% числа а на 20 больше, чем 25% числа b , а 30% числа b на 8 больше, чем 20% числа а . Найдите числа а и b .

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (-3; -1) и В (2; 5).

5. Расстояние между двумя пунктами на реке равно 80 км. Это расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 ч, а против течения – за 5 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

6*. Если числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получится 2. Если же из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится . Найдите эту дробь.

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки C (6; 2) и D (-1; -3).

5. Поезд прошел первый перегон за 2 ч, а второй – за 3 ч. Всего за это время он прошел расстояние 330 км. Найдите скорость поезда на каждом перегоне, если на втором перегоне она была на 10 км/ч больше, чем на первом.

6*. Найдите два числа, если известно, что утроенная разность этих чисел на 6 больше их суммы, а удвоенная разность этих чисел на 9 больше их суммы.

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки M (4; 3) и N (-6; 7).

5. Автобус проходит расстояние в 120 км за время, которое автомобиль тратит на прохождение 180 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 20 км/ч меньше скорости автомобиля.

6*. Среднее арифметическое двух чисел равно 32,5. Найдите эти числа, если известно, что 30% одного из них на 0,25 больше, чем 25% другого.

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки K (-1; 4) и L (2; 3).

5. Из пунктов А и В , расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 20 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. Найдите скорости пешеходов.

6*. Два числа в сумме дают 77. Найдите эти числа, если одного числа составляют другого.

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки P (-5; 9) и Q (2; -5).

5. Катер проходит по течению реки 34 км за то же время, что и 26 км против течения реки. Известно, что собственная скорость катера на 13 км/ч больше скорости течения реки. Найдите скорость течения реки.

6*. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то получится , а если из них вычесть по единице, то получится . Найдите эту дробь.

1.Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки S (-1; -9) и R (1; 3).

5. Два пешехода отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов M и N, расстояние между которыми 38 км. Через 4 ч расстояние между ними сократилось до 2 км, а еще через 3 ч первому пешеходу осталось пройти до пункта N на 7 км меньше, чем второму до пункта M. Найдите скорости пешеходов.

6*. Известно, что 30% числа а на 20 больше, чем 25% числа b , а 30% числа b на 8 больше, чем 20% числа а . Найдите числа а и b .

Контрольная работа № 9 по теме Системы линейных уравнений — РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ — СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.

Тип урока: урок контроля, опенки и коррекции знаний.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Общая характеристика контрольной работы

Контрольная работа составлена в шести вариантах (варианты 1, 2 — самые простые, варианты 3, 4 — средней сложности, варианты 5, 6 — самые сложные). Степень сложности меняется не слишком резко, поэтому можно рекомендовать следующий критерий оценки: при выполнении вариантов 1, 2 оценка “3” ставится за любые три решенные задачи, оценка “4” — за четыре задачи и оценка “5” — за пять задач. Одна задача дает учащимся некоторую свободу выбора. При тех же критериях оценки за решение задач вариантов 3, 4 к набранным баллам добавляются дополнительно 0,5 балла, за решение задач вариантов 5, 6 — дополнительно 1 балл (т. е. оценка “5” выставляется уже за четыре задачи). Все задачи в варианте примерно равноценны. Возможно, несколько труднее для учеников задачи 5, 6.

Перед проведением контрольной работы учащихся целесообразно ознакомить с критериями оценки и разной сложностью вариантов. Выбор вариантов может быть осуществлен учителем или предоставлен ученикам (в этом случае предполагается наличие копировальной техники в школе и избыточное количество заданий). При наличии такой техники в классе на стенде (после контрольной) может быть вывешено решение всех задач шести вариантов.

Контрольная работа рассчитана на один урок.

III. Контрольная работа

1. Из пар чисел (-2; 1), (2; -1), (1; 2) выберите решение системы линейных уравнений

2. Решите систему линейных уравнений графическим способом.

3. Решите систему уравнений способом подстановки.

4. Решите систему уравнений способом сложения.

5. Прямая у = kx + b проходит через точки А (2; 7) и В (-1; -2). Найдите величины k и b.

6. Пять досок и шесть брусьев весят 107 кг. Четыре доски тяжелее двух брусьев на 4 кг. Сколько весит одна доска и один брус?

1. Из пар чисел (-2; 1), (-1; 2), (1; 2) выберите решение системы линейных уравнений

2. Решите систему линейных уравнений графическим способом.

3. Решите систему уравнений способом подстановки.

4. Решите систему уравнений способом сложения.

5. Прямая у = kх + b проходит через точки А (2; 7) и В (-1; 1). Найдите величины k и b.

6. Семь досок и три кирпича вместе весят 71 кг. Три доски тяжелее двух кирпичей на 14 кг. Сколько весит одна доска и один кирпич?

1. Из пар чисел (-2; 1), (3; -1), (2; -2) выберите решение системы нелинейных уравнений

2. Решите систему нелинейных уравнений графическим способом.

3. Решите систему уравнений способом подстановки.

4. Прямая у = kх + b проходит через точки А (-1; -5) и В (2; 4). Найдите величины k и b.

5. При всех значениях параметра а определите число решений системы уравнений

6. Решите уравнение 4х 2 — 12ху + 9у 2 + 5|х — 2у + 3| = 0.

1. Из пар чисел (-2; 1), (3; -2), (2; -2) выберите решение системы нелинейных уравнений

2. Решите систему нелинейных уравнении графическим способом.

3. Решите систему уравнений способом подстановки.

4.Прямая у = kх + b проходит через точки А (-2; 4) и В (1; -5). Найдите величины k и b.

5. При всех значениях параметра а определите число решений системы уравнений

6. Решите уравнение 9х 2 + 12ху + 4у 2 + 5|3х – у — 6| = 0.

1. Система уравнений имеет решение (2; 1). Найдите числа a и b.

2. Решите систему уравнений

3. Решите систему уравнений графическим способом.

4. Прямые у = 3 — х, у = 2х, у = ах — 2 пересекаются в одной точке. Найдите коэффициент а.

5. Катер прошел путь по течению реки от пункта А до пункта В за 6 ч, а обратный путь — за 8 ч. За сколько часов плот преодолеет путь от пункта А до пункта В?

6. При всех значениях параметра а определите число решений системы

1. Система уравнений имеет решение (1; 2). Найдите числа а и b.

2. Решите систему уравнений

3. Решите систему уравнений графическим способом.

4. Прямые пересекаются в одной точке. Найдите коэффициент а.

5. Катер прошел путь по течению реки от пункта А до пункта В за 4 ч, а обратный путь — за 6 ч. За сколько часов плот преодолеет путь от пункта А до пункта В?

6. При всех значениях параметра а определите число решений системы

IV. Подведение итогов контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результаты решения. Удобно данные заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

+ — число решивших задачу правильно или почти правильно;

± — число решивших задачу со значительными погрешностями;

— — число не решивших задачу;

Ø — число не решавших задачу.

Варианты 1, 2 — 8 учащихся.

2. Типичные ошибки при решении задач.

3. Задачи, вызвавшие наибольшие трудности.

V. Разбор задач (ответы и решения)

6. Масса доски 7 кг, бруса — 12 кг.

6. Масса доски 8 кг, кирпича — 5 кг.

5. При а ≠ 2,5 единственное решение, при а = 2,5 решений нет.

5. При а ≠ 1,5 единственное решение, при а = 1,5 бесконечно много решений.

1. Подставим данное решение (2; 1) в систему уравнений и получим систему линейных уравнений для определения величин а и b: или

Решим эту систему способом подстановки. Из первого уравнения выразим b = 11 — 2а и подставим это выражение во второе уравнение. Получаем линейное уравнение с одним неизвестным: -а + 2(11 — 2а) = 7, или -а + 22 — 4а = 7, или -5а = -15, откуда а = 3. Используя формулу b = 11 — 2а, найдем b = 11 – 2 ∙ 3 = 11 — 6 = 5.

(Ответ: а = 3, b = 5.)

2. Систему уравнений запишем в виде

Построим графики функций у = |х + 1| (ломаная 1) и у = 1 — |х| (ломаная II). Видно, что графики совпадают по отрезку АВ. Следовательно, данная система имеет бесконечно много решений. Запишем их. Отрезок АВ расположен на прямой у = х + 1, при этом абсцисса любой точки отрезка АВ удовлетворяет условию -1 ≤ х ≤ 0. Поэтому решением данной системы будут пары чисел (х; у), в которых -1 ≤ х ≤ 0 и у = х + 1.

(Ответ: -1 ≤ х ≤ 0, у = х + 1.)

3. Система уравнений нелинейная. Однако при ее решении также можно использовать способ сложения. Для этого перед слагаемыми, зависящими от у, коэффициенты сделаем противоположными. Умножим первое уравнение почленно на число 3, второе уравнение — на число 2. Получаем систему уравнений

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы и получим уравнение с одним неизвестным: или

Тогда знаменатель дроби х — 2 = 1, откуда х = 3. Подставим это значение, например, в первое уравнение и получим или или

Тогда знаменатель дроби у + 5 = 1, откуда у = -4. Итак, система имеет единственное решение (3; -4).

4. Пусть данные прямые пересекаются в точке А (х₀; у₀). Тогда координаты этой точки удовлетворяют уравнениям прямых. Получаем систему уравнений с параметром а:

Первые два уравнения не содержат параметра а. Поэтому сначала решим систему, образованную этими уравнениями:

Для ее решения используем еще один способ — способ сравнения. Так как в этих уравнениях равны левые части, то можно приравнять и правые. Получаем линейное уравнение с одним неизвестным: 3 — x₀ = 2x₀ или 3 = 3х₀, откуда x₀ = 1.

Из первого уравнения этой системы находим у₀ = 3 — 1 = 2.

Итак, первые две прямые пересекаются в точке А (1; 2). Подставим найденные значения х₀ и у₀ в третье уравнение данной системы и получим 2 = а ∙ 1 — 2 или 2 = а — 2, откуда а = 4.

5. Пусть расстояние между пунктами А и В равно S км, собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна х км/ч, а скорость течения реки — у км/ч. При движении по течению реки скорость катера увеличивается и равна х + у км/ч. За 6 ч катер, двигаясь с такой скоростью, проходит расстояние (х + у) ∙ 6, равное S. Получаем первое уравнение: 6(х + у) = S. При движении против течения реки скорость катера уменьшается и равна х — у км/ч. За 8 ч катер, двигаясь с такой скоростью, проходит расстояние (х — у) ∙ 8, равное S. Имеем второе уравнение: 8(х — у) = S.

Получим систему уравнений или

Особенность этой системы в том, что в нее входят три неизвестных и два уравнения и найти эти неизвестные нельзя. Плот может двигаться только со скоростью реки у км/ч. Поэтому способом сложения исключим из данной системы переменную х. Для этого умножим почленно первое уравнение на число 4, второе уравнение — на число -3. Получаем равносильную систему уравнений

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы и получим 24у + 24у = 4S – 3S или 48у = S.

Плот пройдет расстояние S со скоростью у за время

6. Для системы уравнений запишем условие единственности решения: или а 2 – 1 ≠ 0, или (а — 1)(а + 1) ≠ 0, откуда а ≠ 1 и а ≠ -1. При а ≠ ±1 система имеет единственное решение. Определим число решений системы при а = -1 и а = 1. Подставим значение а = -1 в данную систему и получим или

Умножим первое уравнение почленно на число -1. Получаем равносильную систему уравнений

Очевидно, что такая система решений не имеет, так как одна и та же величина х — у из первого уравнения равна 1, из второго уравнения — равна -1.

Подставим значение а = 1 в данную систему и получим или

Такая система уравнений имеет бесконечно много решений, так как уравнения системы одинаковы.

(Ответ: при а ≠ ±1 единственное решение, при а = -1 решений нет, при а = 1 бесконечно много решений.)

1. Подставим данное решение (1; 2) в систему уравнений и получим систему линейных уравнений для определения величин а и b: или

Решим эту систему способом подстановки. Из первого уравнения выразим а = 7 – 2b и подставим это выражение во второе уравнение. Получаем линейное уравнение с одним неизвестным: 6(7 – 2b) + 2b = 22, или 42 — 12b + 2b = 22, или -10b = -20, откуда b = 2. Используя формулу а = 7 – 2b, найдем а = 7 — 2 ∙ 2 = 7 — 4 = 3.

(Ответ: а = 3, b = 2.)

2. Систему уравнений запишем в виде

Построим графики функций у = |х — 1| (ломаная I) и у = |х| — 1 (ломаная II). Видно, что графики совпадают по лучу АВ. Следовательно, данная система имеет бесконечно много решений. Запишем их. Луч АВ расположен на прямой у = х — 1, при этом абсцисса любой точки луча АВ удовлетворяет условию х ≥ 1. Поэтому решением данной системы будут пары чисел (х, у), в которых х ≥ 1 и у = х — 1.

(Ответ: х ≥ 1, у = х — 1.)

3. Система уравнений нелинейная. Однако при ее решении также можно использовать способ сложения. Для этого перед слагаемыми, зависящими от у, коэффициенты сделаем противоположными. Умножим первое уравнение почленно на число 2, второе уравнение — на число 3. Получаем систему уравнении

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы и получим уравнение с одним неизвестным: или

Тогда знаменатель дроби х — 1 = 1, откуда х = 2. Подставим это значение, например, в первое уравнение: или или

Тогда знаменатель дроби у + 2 = 1, откуда у = -1. Итак, система имеет единственное решение (2; -1).

4. Пусть данные прямые пересекаются в точке А (х₀; у₀). Тогда координаты этой точки удовлетворяют уравнениям прямых. Получаем систему уравнений с параметром а:

Первые два уравнения не содержат параметра а. Поэтому сначала решим систему, образованную этими уравнениями:

Для ее решения используем еще один способ — способ сравнения. Так как в этих уравнениях равны левые части, то можно приравнять и правые. Получаем линейное уравнение с одним неизвестным: или 6х₀ — 10 = х₀, откуда х₀ = 2.

Из первого уравнения этой системы находим у₀ = 3 ∙ 2 — 5 = 6 — 5 = 1.

Итак, первые две прямые пересекаются в точке А (2; 1). Подставим найденные значения х₀ и у₀ в третье уравнение данной системы и получим 1 = а ∙ 2 — 3 или 1 = 2а — 3, откуда а = 2.

5. Пусть расстояние между пунктами А и В равно S км, собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна х км/ч, а скорость течения реки — у км/ч. При движении по течению реки скорость катера увеличивается и равна х + у км/ч. За 4 ч катер, двигаясь с такой скоростью, проходит расстояние (х + у) ∙ 4, равное S. Получаем первое уравнение: 4(х + у) = S. При движении против течения реки скорость катера уменьшается и равна х — у км/ч. За 6 ч катер, двигаясь с такой скоростью, проходит расстояние (х — у) ∙ 6, равное S. Имеем второе уравнение: 6(х — у) = S.

Получим систему уравнении или

Особенность этой системы в том, что в нее входят три неизвестных и два уравнения и найти эти неизвестные нельзя. Плот может двигаться только со скоростью реки у км/ч. Поэтому способом сложения исключим из этой системы переменную х. Для этого умножим почленно первое уравнение на число 3, второе уравнение — на число -2. Получаем равносильную систему уравнений:

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы и получим 12у + 12у = 3S – 2S или 24у = S. Плот пройдет расстояние S со скоростью у за время

6. Для системы уравнений запишем условие единственности решения: или 1 ≠ а 2 , или 0 ≠ а 2 — 1, или 0 ≠ (а — 1)(а + 1), откуда а ≠ 1 и а ≠ -1. При а ≠ ±1 система имеет единственное решение. Определим число решений системы при а = -1 и а = 1. Подставим значение а = -1 в данную систему и получим или

Умножим второе уравнение почленно на число -1. Получаем равносильную систему уравнении

Очевидно, что такая система решений не имеет, так как одна и та же величина х — у из первого уравнения равна 1, из второго уравнения — равна -1.

Подставим значение а = 1 в данную систему и получим или

Такая система уравнений имеет бесконечно много решений, так как уравнения системы одинаковы.

(Ответ: при а ≠ ±1 единственное решение, при а = -1 решений нет, при а = 1 бесконечно много решений.)

VI. Подведение итогов урока

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2022 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.