Алгебра системы линейных уравнений матрицы комплексные числа

Решение систем линейных уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Комплексные числа
• Высшая математика.
• Линейная алгебра

Линейная алгебра

Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть задана система $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными общего вида

$$ \left\<\begina_<11>x_1+a_<12>x_2+. +a_<1n>x_n=b_1\\a_<21>x_1+a_<22>x_2+. +a_<2n>x_n=b_2\\. \\a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=b_n\end\right. ,\quad\quad (1)$$ или, в матричной форме, $AX=B,$ где

Если $\det A\neq 0, $ то есть матрица $A$ имеет обратную матрицу, то система (1) имеет и притом единственное решение $X=A^<-1>B.$

Примеры:

Следующие системы решить с помощью матричного метода:

3.187. $$\left\<\begin3x-5y=13\\2x+7y=81\end\right.$$ Решение.

Матрица $A=\begin3&-5\\2&7\end$ невырожденная, так как

$\det A=\begin3&-5\\2&7\end=21+10=31\neq 0.$ Таким образом, система имеет единственное решение $X=A^<-1>B.$ Найдем обратную матрицу $A^<-1>:$

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы $A:$

Отсюда находим присоедененную матрицу:

3.190. $$\left\<\begin7x+2y+3z=15\\ 5x-3y+2z=15\\10x-11y+5z=36\end\right.$$

Решение.

Матрица $A=\begin7&2&3\\5&-3&2\\10&-11&5\end$ невырожденная, так как

$\det A=\begin7&2&3\\5&-3&2\\10&-11&5\end=-105-165+40+90+154-50=-36\neq 0.$ Таким образом, система имеет единственное решение

$X=A^<-1>B.$ Найдем обратную матрицу $A^<-1>:$

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы $A:$

Отсюда находим присоедененную матрицу:

Решение.

Матрица $A=\begin1&1&-2\\2&3&-7\\5&2&1\end$ невырожденная, так как

$\det A=\begin1&1&-2\\2&3&-7\\5&2&1\end=3-8-35+30+14-2=2\neq 0.$ Таким образом, система имеет единственное решение

$X=A^<-1>B.$ Найдем обратную матрицу $A^<-1>:$

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы $A:$

Отсюда находим присоедененную матрицу:

Домашнее задание:

Решить системы уравнений матричным методом

Ответ: $x=2; y=3.$

3.193. $\left\<\begin4x_1+4x_2+5x_3+5x_4=0\\ 2x_1+3x_3-x_4=10\\x_1+x_2-5x_3=-10\\3x_2+2x_3=1.\end\right. $

Ответ: $x_1=1; x_2=-1; x_3=2; x_4=-2.$

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть задана система $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными общего вида

Прямой ход метода Гаусса:

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов, расширенная матрица системы (1) может быть приведена к виду

Матрица (2) является расширенной матрицей системы

$$\left\<\begina_<11>‘x_1+a_<12>‘x_2+. +a_<1r>‘x_r+a_<1,r+1>‘x_+. +a_<1n>‘x_n=b_1’\\ \qquad\qquad a_<22>‘x_2+. +a_<2r>‘x_r+a_<2,r+1>‘x_+. +a_<2n>‘x_n=b_2’\\\qquad\qquad\qquad. \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,\, a_‘x_r+a_‘x_+. +a_‘x_n=b_r’\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0=b_‘\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad0=b_‘\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad. \\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0=b_m’\end\right.\qquad (3)$$

которая эквивалентна исходной системе.

Обратный ход метода Гаусса:

Если хотя бы одно из чисел $b’_, . b’_m$ отлично от нуля, то системы (3) и, следовательно, и исходная система (1) несовместны. Если же $b’_=. =b’_m=0,$ то система совместна и из формул (3) можно выразить базисные неизвестные через свободные неизвестные $x_. x_n.$

Примеры:

Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:

3.240.

Решение.

Запишем расширенную матрицу:

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получаем:

Обратный ход метода Гаусса:

Ответ: $x_1=1; x_2=-1; x_3=-1;x_4=1.$

3.241.

Решение.

Запишем расширенную матрицу:

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получаем:

Обратный ход метода Гаусса:

$x_4+x_5=-1 \Rightarrow x_4=-1-x_5=-1-c;$

Ответ: $x_1=6-c; x_2=-5+c; x_3=3; x_4=1-c; x_5=c.$

Метод Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений.

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов, расширенная матрица системы (1) может быть приведена к виду

Матрица (4) является расширенной матрицей системы

$$\left\<\beginx_1\qquad\qquad\quad+a_<1,r+1>‘x_+. +a_<1n>‘x_n=b_1’\\ \qquad x_2\qquad\quad+a_<2,r+1>‘x_+. +a_<2n>‘x_n=b_2’\\\qquad\qquad. \\ \qquad\qquad\quad x_r+a_‘x_+. +a_‘x_n=b_r’\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0=b_‘\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad0=b_‘\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad. \\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0=b_m’\end\right.\qquad (5)$$ которая эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел $b’_. b’_m$ отлично от нуля, то системы (5) и, следовательно, и исходная система (1) несовместны. Если же $b’_=. =b’_m=0,$ то система совместна и формулы (5) дают явное выражение для базисных неизвестных через свободные неизвестные $x_. x_n.$

Примеры:

Методом Жордана-Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:

3.240.

Решение.

Запишем расширенную матрицу:

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получаем:

Отсюда сразу получаем ответ

3.241.

Решение.

Запишем расширенную матрицу:

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получаем:

$x_4+x_5=-1 \Rightarrow x_4=-1-x_5=-1-c;$

Ответ: $x_1=6-c; x_2=-5+c; x_3=3; x_4=1-c; x_5=c.$

Домашнее задание.

1. Методом Гаусса и Жордана-Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующей системы: $$\left\<\beginx_1-2x_2+3x_3=6\\ 2x_1+3x_2-4x_3=18\\3x_1-2x_2+5x_3=6\end\right.$$

3.242. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующей системы:

Ответ: Система несовместна.

3.243. Методом Жордана-Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующей системы:

Ответ: $x_1=\frac<5><2>-\frac<3><2>c_1; x_2=c_1; x_3=0; x_4=0; x_5=\frac<11><5>-\frac<6><5>c_2; x_6=c_2.$

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Миноры, алгебраические дополнения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Квадратная таблица $$A=\begina_<11>&a_<12>\\a_<21>&a_<22>\end$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begina_<11>&a_<12>\\a_<21>&a_<22>\end=a_<11>a_<22>-a_<12>a_<21>.$$

— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

Эту формулу называют «правило треугольника»: одно из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком «+», есть произведение элементов главной диагонали матрицы, каждое из двух других — произведение элементов лежащих на параллели к этой диагонали и элемента из противоположного угла матрицы, а слагаемые, входящие в со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали.

Примеры.

Вычислить определители второго порядка:

Решение.

Ответ: 18.

Решение.

Ответ: $4ab.$

3.8. Решить уравнение:

Решение.

Осталось решить квадратное уравнение $x^2+5x+4=0:$

Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$

Решение.

Ответ: $0.$

3.16. $\begin\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end.$

Решение.

Ответ: $\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).$

1) Если матрицу транспонировать, то определитель не изменится: $\det A^T=\det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begina_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end=$ $-2x\begina_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end.$

Доказательство.

$=\begina_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end-$ $\begina_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end+$ $\beginb_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end-$ $\beginb_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end=$

$-\begina_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end+$ $\beginb_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end=$ $-\begina_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end-$ $\begina_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end=$

Что и требовалось доказать.

3.31. Проверить, что определитель $\begin1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end$ делится на $x-y, y-z$ и $z-x.$

Проверка.

1) Пользуясь 6-м свойством определителей от первого столбца отнимаем второй, а затем используем 2-е свойство и выносим общий множетель за определитель.

Таким образом, мы доказали, что определитель делится на $x-y.$ Совершенно аналогично доказываются и два других случая:

Минором $M_$ элемента $a_$ матрицы $A$ $n-$ го порядка называется определитель $n-1-$ го порядка, полученного из исходного определителя вычеркиванием $i-$й строки и $j-$го столбца:

Алгебраическим дополнением $A_$ элемента $a_$ матрицы $A$ $n-$ го порядка называется число равное произведению минора $M_$ на $(-1)^:$ $A_=(-1)^M_.$

Определители $n-$го порядка вычисляются с помощью метода понижения порядка — по формуле $\det A=\sum\limits_^na_A_$ ($i$ фиксированно) — разложение по $i-$й строке.

Из этой формулы и второго свойства определителей — $\det A^T=\det A,$ следует, что верна также формула разложения по $j$ столбцу $\det A=\sum\limits_^na_A_$ ($j$ фиксированно).

Метод приведения к треугольному виду заключается в преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из ее диагоналей, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов.

Примеры.

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

Решение.

Решение.

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

3.61. Вычислить определитель: $\begin2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end.$

Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$\begin2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два

$=\begin1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end=$ $\frac<1><2>\begin1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac<3><2>:$ $=\frac<1><2>\begin1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end=$ $\frac<1><2>\frac<2><3>\begin1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac<4><3>:$ $=\frac<1><3>\begin1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end=$ $\frac<1><3>\frac<3><4>\begin1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac<182><3>\end=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac<1><4>\begin1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac<197><3>\end=$ $=\frac<1><4>\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac<197><3>=394.$

Ответ: $394.$

Домашнее задание:

Вычислить определители второго порядка:

3.3. $\begin\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end.$

Ответ: $1.$

Ответ: $1.$

3.9. $\begin\cos 8x&-\sin 5x\\\sin 8x&\cos 5x\end=0.$

Ответ: $x=\frac<\pi><6>+\frac<\pi k><3>,$ $k\in Z.$

Вычислить определители 3-го порядка:

Ответ: $0.$

3.15. $\begin\alpha^2+1&\alpha\beta&\alpha\gamma\\\alpha\beta&\beta^2+1&\beta\gamma\\\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2+1\end.$

Ответ: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+1.$

3.25. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begina_1+b_1x&a_1x+b_1&c_1\\a_2+b_2x&a_2x+b_2&c_2\\a_3+b_3x&a_3x+b_3&c_3\end=$ $(1-x^2)\begina_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end.$

3.32. Проверить, что определитель $\beginx&y&x+y\\y&x+y&x\\x+y&x&y\end$ делится на $x+y$ и $x^2-xy+y^2.$

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

Ответ: $-14.$

Ответ: $4.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

3.62. Вычислить определитель: $\begin5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end.$

Ответ: $665.$

Матрицы. Действия с матрицами.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Матрицей размера $m\times n$ называется прямоугольная таблица из чисел $a_,\, i=1, 2, . m,$ $j=1, 2, . n$,

состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов.

Суммой $A+B$ матриц размера $m\times n$ $A=\\>$ и $B=\\>$ называется матрица $C=\\>$ того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц $A$ и $B:$

Произведением $\alpha A$ матрицы $A=\\>$ на число $\alpha$ (действительное или комплексное) называется матрица $B=\\>$, каждый элемент которой равен произведению числа $\alpha$ на соответствующий элемент матрицы $A:$

$$\alpha A=\alpha\left(\begin<> a_<11>&a_<12>&. &a_<1n>\\ a_<21>&a_<22>&. &a_<2n>\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_&a_&. &a_\end\right)=\left(\begin<>\alpha a_<11>&\alpha a_<12>&. &\alpha a_<1n>\\ \alpha a_<21>&\alpha a_<22>&. &\alpha a_<2n>\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha a_&\alpha a_&. &\alpha a_ \end\right). $$

Произведением $AB$ матрицы $A=\\>$ размера $m\times n$, на матрицу $B=\\>$ размера $n\times k$ называется матрица $C=\\>$ размера $m\times k,$ элемент которой, стоящий в $i$-й строке и $j$-м столбце равен сумме произведений соответствующих элементов $i$-й строки матрицы $A$ и $j$-го столбца матрицы $B:$

Матрица $A^T$ называется транспонированной к матрице $A,$ если выполняется условие $a_^T=a_$ для всех $i, j$, где $a_,$ $a_^T$— элементы матриц $A$ и $A^T$ соответственно:

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: \( -2<,>34 \)

Ввод: -1,15
Результат: \( -1<,>15 \)

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -\frac<2> <3>$$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5\frac<8> <3>$$
Помните, что на ноль делить нельзя!

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Немного теории.

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
\( \left\< \begin a_<11>x_1 + a_<12>x_2 + \cdots + a_<1n>x_n = b_1 \\ a_<21>x_1 + a_<22>x_2 + \cdots + a_<2n>x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_x_1 + a_x_2 + \cdots + a_x_n = b_m \end \right. \tag <1>\)

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от \(n\) переменных \( x_1 , \ldots x_n \), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа \(a_ \in \mathbb \) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения \(i\) и номером неизвестного \(j\). Действительные числа \( b_1 , \ldots b_m \) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если \( b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 \). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных \( x_1^\circ, \ldots , x_n^\circ \), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При \(m=n\), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты \(a_\) СЛАУ при одном неизвестном \(x_j\) как элементы столбца, а \(x_j\) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
\( \begin a_ <11>\\ a_ <21>\\ \vdots \\ a_ \end x_1 + \begin a_ <12>\\ a_ <22>\\ \vdots \\ a_ \end x_2 + \ldots + \begin a_ <1n>\\ a_ <2n>\\ \vdots \\ a_ \end x_n = \begin b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end \)
или, обозначая столбцы соответственно \( a_1 , \ldots , a_n , b \),
\( x_1 a_1 + x_2 a_2 + \ldots + x_n a_n = b \tag <2>\)

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
\( A = \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end \)
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
\( (A|B) = \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>& b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & b_m \end \right) \)
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ \(AX=B\) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы \(A\) был равен рангу её расширенной матрицы \( (A|B) \).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = \frac<\Delta_i> <|A|>\;,\quad i=\overline <1,n>\tag <3>$$
где \(\Delta_i\) — определитель матрицы, получающейся из матрицы \(A\) заменой \(i\)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Теорема. Если столбцы \( X^<(1)>, X^<(2)>, \ldots , X^ <(s)>\) — решения однородной СЛАУ \(AX=0\), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(s)>\) системы \(AX=0\), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице \(A\) однородной СЛАУ \(AX=0\) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ \(AX=0\) с \(n\) неизвестными и \( \textA = r \). Тогда существует набор из \(k=n-r\) решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ <(1)>+ \ldots + c_kX^ <(k)>$$
где постоянные \( c_i \;, \quad i=\overline <1,k>\), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ \(AX=B\). Заменив столбец \(B\) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ \(AX=0\), соответствующую неоднородной СЛАУ \(AX=B\). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец \(X^\circ\) — некоторое решение СЛАУ \(AX=B\). Произвольный столбец \(X\) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление \(X = X^\circ + Y \), где \(Y\) — решение соответствующей однородной СЛАУ \(AY=0\).

Следствие. Пусть \(X’\) и \(X»\) — решения неоднородной системы \(AX=B\). Тогда их разность \( Y = X’ — X» \) является решением соответствующей однородной системы \(AY=0\).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение \(X^\circ\) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть \(X^\circ\) — частное решение СЛАУ \(AX=B\) и известна фундаментальная система решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) соответствующей однородной системы \(AX=0\). Тогда любое решение СЛАУ \(AX=B\) можно представить в виде $$ X = X^\circ + c_1 X^ <(1)>+ c_2 X^ <(2)>+ \ldots + c_k X^ <(k)>$$
где \( c_i \in \mathbb \;, \quad i=\overline <1,k>\).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.