Алгебра видеоурок целое уравнение и его корни

Урок «Целое уравнение и его корни»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Целое уравнение и его корни» дает представление о целом уравнении, видах таких уравнений, приведении уравнения к стандартному виду, решении подобных уравнений. Задача данного видеоурока – облегчить усвоение материала по данной теме, формировать умения решать задания, в которых используются целые уравнения, способствовать запоминанию учебного материала.

Оформление наглядного материала в виде урока дает возможность заменить учителя в части подачи стандартного блока нового материала, освободить учителя для углубления индивидуальной работы. Видеоматериал помогает сконцентрировать внимание учащихся на освоении нового материала, помогает глубже его понять и лучше запомнить.

Видеоурок начинается с представления темы урока. На экране отображается определение целого уравнения, содержащего одну переменную, как уравнения, обе части которого представляют собой целые выражения. Ниже приведены примеры таких уравнений: (х 5 -2) 2 +х 3 =х 10 -3(х-2), х 3 (х 3 -36)=2(х+8)-2. Далее рассматривается преобразование уравнений, при котором все его слагаемые переносятся из правой части в левую, раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые. После этого уравнение принимает вид, в котором левая его часть представляет собой многочлен, а правой части – 0. Отмечается, что в ходе преобразований получается уравнение, равносильное данному. К тому же уравнение, к которому приведено исходное, в общем виде можно записать: Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида.

Рассмотренные примеры подводят к общему выводу о том, что любое целое уравнение, содержащее одну переменную, может быть приведено к виду Р(х)=0, где Р(х) – многочлен, степень которого является степенью данного уравнения. То есть степень некоторого произвольного целого уравнения может быть определена после приведения его к равносильному уравнению вида Р(х)=0 и равна степени многочлена Р(х).

Далее рассматривается уравнение первой степени – такое уравнение, которое приводится к виду ах+b=0 с одной переменной х, числами а и b, при этом а≠0. Корень данного уравнения находится по формулех=-b/a. Отмечается, что такое уравнение имеет один корень.

Также предлагается рассмотреть решение уравнения второй степени, которое приводится к виду ах 2 +bx+c=0, содержащее переменную х, некоторые числа а, b, c, при этом а≠0. Известен способ нахождения корней данного уравнения путем вычисления дискриминанта. На экране отображается формула нахождения дискриминанта для уравнения второй степени: D=b 2 -4ac. В зависимости от значения дискриминанта, может быть два корня уравнения – D>0, один – для D=0, или корни отсутствуют D 3 +bx 2 +cх+d=0 и ах 4 +bx 3 +cх 2 +dх+e=0. В каждом из этих уравнений имеется одна переменная х, коэффициент при старшей степени a≠0, остальные коэффициенты – некоторые числа. Уточняется, что уравнение третьей степени не может иметь более трех корней, а уравнение четвертой степени имеет не более четырех корней. В качестве дополнительной информации ученикам сообщается, что формулы для нахождения корней уравнений третьей и четвертой степени существуют, но они громоздкие и неудобные в применении, а для уравнений пятой степени и выше формул для нахождения корней не существует. Однако решить такие уравнения иногда удается при помощи специальных приемов, которые позволяют упростить выражение и найти корни.

На примере демонстрируется один из способов, как можно найти корни уравнения, не применяя сложных формул нахождения корней.Описывается, каким образом решение некоторых уравнений можно найти с помощью разложения многочлена на множители. Уравнение х 3 -27x 2 -х+27=0 раскладывается на множители, выведя за скобки общий множитель (х-27). В результате преобразований получим произведение (х-27)(х-1)(х+1)=0 Полученное уравнение сводится к нахождению решений трех уравнений х-27, х-1, х+1. Из этих уравнений легко найти корни х₁=27, х₂=1, х₃=-1.

Далее рассматривается еще один способ решения уравнений высокой степени – способ введения новой переменной. Применение способа описывается на примере решения уравнения (х 2 +х-1)(х 2 +х-4)=-2. Сначала все члены уравнения переносятся в левую часть, раскрываются скобки. После данный преобразований получается многочлен стандартного вида 4 степени. Однако, подметив особенность данного уравнения – то, что в исходном уравнении есть одинаковые части х 2 +х, вводим новую переменную для обозначения этого выражения: х 2 +х=у. после подстановки новой переменной в уравнение, получим уравнение вида (у-1)(у-4)=-2. После приведения уравнения к стандартному виду получается обычное квадратное уравнение, корнями которого будут у₁=2, у₂=3. Значение корней у подставим в выражение для определения значения искомых х. Нахождение корней уравнения сводится к решению двух уравнений х 2 +х=2 и х 2 +х=3. В результате вычислений будут найдены корни данных уравнений будут х₁=1, х₂=-2, х₃≈1,3, х₄≈-2,3. Отмечается, что данным способом нередко решают уравнения четвертой степени вида ax 4 +bx 2 +c=0, в которых х является переменной, a, b, c – некоторыми числами, где а≠0. На экране дается определение биквадратного уравнения как уравнения четвертой степени вида ax 4 +bx 2 +c=0са≠0.

Для закрепления полученных знаний о решении уравнений способом введения новых переменных предлагается рассмотреть решение биквадратного уравнения 16х 4 -8х 2 +1=0. Вводится новая переменная у=х 2 . После ее введения образуется квадратное уравнение, имеющее один корень у=0,25. После подстановки значение новой переменной в выражение для ее определения можно найти корни уравнения х₁=0,5 и х₂=-0,5.

Видеоурок«Целое уравнение и его корни» подробно и наглядно представляет учащимся материал по данной теме, поэтому может быть использован учителем не только на уроке в школе, но также при дистанционном обучении, рекомендуется для самостоятельного освоения темы.

Видеоурок «Целое уравнение и его корни», алгебра, 9 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Краткое описание документа:

В данном уроке мы продолжаем углубляться в тему «Уравнение с одной переменной». Напомним, что для того, чтобы решить абсолютно любое уравнение, необходимо найти все подходящие значения аргументов, которые делают уравнение верным равенством. Подходящее значение или значение неизвестных или корни уравнения – всё это синонимы, и необходимо их найти или же доказать, что корней в уравнении нет.

Правда теперь стоит поговорить о том, что такое «целое уравнение» и какое количество корней у него. Поэтому необходимо рассмотреть следующие два примера.

Квадрат разности «х» куб и «х» в пятой степени равняется «х» в шестой степени минус два, умноженное на разность «х» и одного.

Во втором уравнении «х» в четвёртой степени минус один, делённое на четыре, минус «х» в квадрате плюс один, делённое на два, равняется три «х» квадрат.

Если посмотреть внимательно, то обе части этих уравнений самостоятельно являются целыми выражениями. Это и есть целое уравнение. Теперь стоит дать чёткое определение целому уравнению с одной переменной (это такое уравнение, где обе части являются целыми выражениями).

Что если мы упростим примеры? В первом уравнении для начала раскроем скобки, а после этого перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые. Все сделанные преобразования позволяют найти значение: «х» в пятой степени минус два «х» в кубе плюс два «х» минус один равняется нулю. Во втором уравнении повторяем проделанные операции по преобразованию. Однако изначально избавляемся от знаменателя, умножая уравнение на четыре. В итоге мы получаем, что «х» в четвёртой степени минус четырнадцать «х» в квадрате минус три равняется нулю. Мы сделали ряд трансформаций в первом и втором уравнениях, но они не изменили значения, а лишь привели к равносильным уравнениям.

Напомним, что равносильные уравнения также называют эквивалентными. Эквивалентность создаёт дополнительные свойства уравнения: симметрия (когда первое уравнение равносильно второму, то значит и второе равносильно первому) и транзитивность (если у нас есть три уравнения, где первое равносильно второму, а второе равносильно третьему, то это значит, что первое равносильно третьему в том числе). Удобность равносильности уравнений заключается в том, что над ними можно производить ряд упрощений, которые помогают сделать решение более простым.

В итоге мы видим уравнение следующего вида: «Р» от «х» равно нулю, где «Р» от «х» является многочленом стандартного вида. Абсолютно любое целое уравнение заменятся с помощью равносильного, где одна часть выступает многочленом стандартного вида, а вторая – нулем. Уравнение может иметь формат записи, где «Р» от «х» выступают многочленом стандартного вида. В данном виде степенью уравнения выступает степень многочлена. Если же взять произвольное целое уравнение, то его степенью выступает степень равносильного уравнения, которое имеет вид «Р» от «х» равно нуль. Здесь «Р» от «х» является многочленом стандартного вида. То есть мы получаем, что первое уравнение — уравнение пятой степени, а второе – уравнение четвёртой степени.

Если говорить об элементарном примере, где уравнение имеет одну переменную первой степени, то оно имеет следующий формат: сумма «ах» и «b» равняется нулю. Неизвестной переменной выступает «х», а «а» и «b» являются некоторыми числами. Более того, «а» не может равняться нулю, потому что является коэффициентом при переменной «х» и в ином случае переменная исчезает. Когда сделаем необходимые преобразования, то видим, чему равняется «х» (минус «b», поделённое на «а»). Это и выступает корнем уравнения или его значением (также говорят, что корень удовлетворяет данному уравнению). Может возникнуть вопрос: зачем вообще узнавать, сколько корней у уравнения? Ответ прост: так мы будем понимать, сколько решений оно имеет. Например, преимуществом уравнения первой степени в том, что оно имеет только одно решение (корень).

До того, как мы перейдём к более сложным примерам, необходимо вспомнить, какие операции можно осуществить по преобразованию уравнений. Среди них:

• Раскрытие скобок в любой части уравнения;
• Приведение подобных в любой части уравнения;
• Перенос любого члена в другую часть, предварительно изменив его знак на противоположный;
• Прибавление одинакового выражения к обеим частям уравнения;
• Вычитание одинакового выражения у обеих частей уравнений;
• Умножение и деление на число, не являющееся нулем, обеих частей уравнения. Однако данное свойство может добавить новые корни или избавить от них.

Проведя ряд таких преобразований, мы получаем равносильное уравнение.

Теперь рассмотрим уравнение второй степени. Его можно привести к виду суммы «ах» в квадрате, «bx» и «с», равное нулю. Здесь мы видим переменную «х», а также некоторые числа (в особенности «а» не может быть равно нулю, ведь тогда уравнение второй степени превратиться в уравнение первой степени). Для того чтобы понять, какое число корней имеет уравнение, необходимо найти значение дискриминанта «D», формулой которого является разница «b» в квадрате и четырёх «ас». Когда мы нашли дискриминант, мы понимает, что уравнение может иметь два решения (если дискриминант больше нуля), может иметь один корень (если равен нулю) и не иметь корней (если меньше нуля). Уравнение второй степени не может иметь больше двух корней. В тех случаях, когда есть два решения, доступна формула корня, где «х» равно минус «b» плюс корень из дискриминанта, поделённое на два «а».

Уравнение второй степени или же квадратное уравнение имеет корень, которое обращает трёхчлен в значение нуля или так называемое тождество. Если говорить о коэффициентах, которые используют в квадратном уравнении, то каждый имеет определённое название: «а» выступает старшим коэффициентом, «b» — коэффициент при «х» или второй коэффициент, а «с» — свободный член уравнения. Есть примеры, когда старший коэффициент равен единице, в таком случае квадратное уравнение называется приведённым. Уравнение второй степени может быть полным и неполным. Неполное квадратное уравнение – такое, в котором второй коэффициент или свободный член равен нулю. Что является графиком уравнения второй степени? Совершенно верно, это парабола, которая симметрична относительно оси ординат, и может иметь значение функции от нуля до плюс бесконечности или же от нуля до минус бесконечности. Вспомним по графику, какое количество пересечений парабола может иметь, ведь именно от этого зависит количество корней или решений. Когда пересечение происходит в одной точке, то есть при вершине, то получаем один корень или, как говорят, два совпадающих корня. Когда же парабола встречается с осью абсцисс дважды, то значит у нас два корня или два решений. По ряду принципов можно определить направленность параболы. Положительность основного коэффициента говорит о направлении ветвей вверх. Схожесть старшего и второго коэффициентов говорит о том, что график расположен в левой полуплоскости относительно оси ординат. Различие этих коэффициентов говорит о том, что фигура находится в правой части.

Если говорить об уравнениях более высокой степени, то их также можно привести к основному виду. Например, уравнение третей степени выглядит как сумма произведения «а» и «х» в кубе, «b» и «х» в квадрате, «сх» и d, всё равное нулю. Кубическое уравнение также имеет график функций, который на декартовой системе представлен в виде кубической параболы. Что по поводу уравнения четвёртой степени: сумма произведения «а» и «х» в четвёртой степени, «b» и «х» в кубе, «с» и «х» в квадрате, «dх» и «е». Уравнение четвёртой степени выступает наивысшим, потому что только до четвёртой степени возможно решение в радикалах или при различных значениях коэффициентов. Во всех случаях «а» не может равняться нулю по тому, что уравнение станет более низкой степени. Отметим, что уравнение с n-ой степенью не может иметь более n-ого количества корней. Можно вывести формулы корней для уравнений третей и четвёртой степени, однако они будут очень сложны, и запомнить их будет невозможно для учащегося. Если говорить об уравнениях пятой степени и выше, то там даже формулы корней не выведены. Как тогда можно решить уравнения третей степени и выше?

В данном случае необходимо использовать приёмы, которые помогут упростить решение. Первая подсказка – разложить многочлены на множители. Попробуем применить данный приём на практике, решая пример «х» куб минус восемь «х» квадрат минус «х» плюс восемь равно нулю. Когда сделаем необходимые преобразования (вынесем «х» квадрат за скобки, далее разность «х» и восемь вынести за скобки, напоследок разложим получившуюся формулу). В результате мы видим, что разность «х» и восемь равна нулю, разность «х» и один равна нулю и произведение «х» и один равна нулю. Так мы и доказали, что изначальное уравнение имеет три корня или три значения (восемь, один и минус один).

При решении уравнения выше второй степени, можно порой использовать приём введения новой переменны. Например, есть уравнение, где произведение «х» квадрат минус пять «х» плюс четыре и «х» квадрат минус пять «х» плюс шесть, оно равняется сто двадцати. В данном примере для того чтобы найти решение, необходимо всё перенести в левую часть и раскрыть скобки, сделав необходимые преобразования. Получаем «х» в четвёртой степени минус десять «х» в кубе плюс тридцать пять «х» в кубе минус пятьдесят «х» минус девяносто десть равно нулю. Даже если мы приведём подобные, то уравнение всё равно получится очень сложное, а решить его будет абсолютно невозможно. Поэтому посмотрим внимательнее на формулу и увидим, что разность «х» в квадрате и пять «х» повторяется в обеих скобках. Что если мы введём новую переменную «у» вместо данной части? Тогда мы получаем произведение суммы «у» и четыре и суммы «у» и шести, равное сто двадцати. Упростив, мы получаем квадратное уравнение с корнями минус шестнадцать и шесть. Теперь вместо «у» мы можем подставить разность «х» квадрат и пять «х». Уравнение «х» квадрат минус пять «х» равно минус шестнадцать не имеет корней, потому что дискриминант отрицательный. А второе квадратное уравнение имеет дискриминант выше нуля, поэтому получаем два корня: минус один и шесть.

Метод введения новой переменной позволяет легко решить уравнения четвёртой степени, которые имеют следующий вид: произведение «а» и «х» в четвёртой степени плюс произведение «b» и «х» во второй степени плюс «с» равняется нулю. В данном случае «а» не может равняться нулю. Это пример биквадратного уравнения, потому что уравнение является квадратным относительно «х» в квадрате. Применим теорию на практике, решив уравнение девять «х» в четвёртой степени минус десять «х» во второй степени плюс один равно нулю. Вместо «х» квадрат введём новую переменную «у», тогда выйдет квадратное уравнение с «у», где дискриминант выше нуля, поэтому получаем два корня: одна девятая и один. Теперь подставляем «х» в квадрате и получаем четыре значения корня «х»: минус одна третья, одна третья, минус один и один. Получается, что исходное биквадратное уравнение имеет четыре решения.

В результате урока нам удалось обобщить и создать систему по знаниям в теме “Уравнения”. Теперь учащиеся смогут логически решать сложные примеры, применяя новые приёмы, и анализирую процесс решения. Если осталось дополнительное время, то стоит провести небольшой опрос среди учащихся. Начните с того, чтобы вам дали определение, что такое уравнение с одной переменной. Далее попросите рассказать о процессе решения, и что такое корень, какое количество корней может иметь уравнение. Следующая важная часть знаний – равносильные или эквивалентные уравнения, поэтому необходимо, чтобы учащиеся разложили по полочкам характерные таким уравнениям свойства.

Алгебра

План урока:

Целое уравнение и его степень

Ранее мы уже изучали понятие целого выражения. Так называют любое выражение с переменной, в котором могут использоваться любые арифметические операции, а также возведение в степень. Однако есть важное ограничение – в целом выражении переменная НЕ может находиться в знаменателе какой-нибудь дроби или быть частью делителя. Также переменная не может находиться под знаком корня. Для наглядности приведем примеры целых выражений:

(n 3 + 7)/5 (в знаменателе находится только число, без переменной);

А вот примеры нецелых выражений:

Отличительной особенностью целых выражений является то, что в них переменная может принимать любое значение. В нецелых же выражениях возникают ограничения на значения переменной, ведь знаменатель дроби не должен равняться нулю, в выражение под знаком корня не должно быть отрицательным.

Введем понятие целого уравнения.

Приведем примеры целых ур-ний:

0,75х 7 + 0,53х 6 – 45х = 18

Напомним, что в математике существует понятие равносильных уравнений.

Когда мы решаем ур-ния, мы в каждой новой строчке записываем ур-ние, равносильное предыдущему. Для этого используются равносильные преобразования (перенос слагаемых через знак «=» с противоположным знаком, деление обоих частей равенства на одинаковые числа и т. д.).

Можно доказать (мы этого делать не будем), что любое целое ур-ние можно возможно преобразовать так, чтобы получилось иное, равносильное ему ур-ние, где в левой части будет находиться многочлен, а справа – ноль. Для этого надо лишь раскрыть скобки и умножить ур-ние на какое-нибудь число, чтобы избавиться от дробей.

Пример. Преобразуйте целое ур-ние

так, чтобы слева стоял многочлен, а справа – ноль.

Решение. В ур-нии есть дроби со знаменателями 5 и 4. Если умножить обе части на 20 (это наименьшее общее кратное чисел 5 и 4), то дроби исчезнут:

Теперь раскроем скобки:

4(5х 3 – 3х 4 + 45х – 27х 2 ) – 40 = 10х 2 + 5х + 35

20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 = 10х 2 + 5х + 35

Осталось перенести все слагаемые влево и привести подобные слагаемые:

20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 – 10х 2 – 5х – 35 = 0

– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0

Получили ур-ние в той форме, которую и надо было найти по условию.

Ответ:– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0

В математике любой полином можно обозначить как Р(х). Если ур-ние привели к тому виду, когда в одной части многочлен, а в другой ноль, то говорят, что получили ур-ние вида Р(х) = 0.

Получается, что решение целого уравнения всегда можно свести к решению равносильного ему ур-ния Р(х) = 0. Именно поэтому многочлены играют такую большую роль в математике

Напомним, что степенью многочлена называется максимальная степень входящего в его состав одночлена. Это же число является и степенью целого уравнения Р(х) = 0, а также степенью любого равносильного ему целого ур-ния.

Пример. Определите степень ур-ния

(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9

Решение. Приведем ур-ние к виду Р(х) = 0. Для этого раскроем скобки:

(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9

2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 = 2х 4 + 9

Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:

2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 – 2х 4 – 9 = 0

7х 3 – 10х – 44 = 0

Получили в левой части многочлен 3-ей степени. Следовательно, и исходное ур-ние имело такую же степень

Приведем примеры ур-ний первой степени:

5,4568у + 0,0002145 = 0

Все они являются линейными ур-ниями, метод их решения изучался ранее. Они имеют 1 корень.

Приведем примеры ур-ний второй степени:

6t 2 + 98t – 52 = 0

Это квадратные ур-ния. У них не более двух действительных корней. Для их нахождения в общем случае надо вычислить дискриминант и использовать формулу

Квадратные и линейные ур-ния умели решать ещё в Древнем Вавилоне 4 тысячи лет назад! А вот с ур-ния 3-ей степени (их ещё называют кубическими уравнениями) оказались значительно сложнее. Приведем их примеры:

2х 3 + 4х 2 – 19х + 17 = 0

Лишь в 1545 году итальянец Джералимо Кардано опубликовал книгу, в которой описывался общий алгоритм решения кубических ур-ний. Он достаточно сложный и не входит в школьный курс математики. Его ученик, Лодовико Феррари, предложил метод решения ур-ний четвертой степени. В качестве примера такого ур-ния можно привести:

5х 4 + 6х 3 – 2х 2 – 10х + 1 = 0

Лишь в XIX веке было доказано, что для ур-ний более высоких степеней (5-ой, 6-ой и т. д.) не существует универсальных формул, с помощью которых можно было бы найти их корни.

Отметим, что если степень целого ур-ния равна n, то у него не более n корней (но их число может быть и меньше). Так, количество корней кубического уравнения не превышает трех, а у ур-ния 4-ой степени их не более 4.

Чтобы доказать это утверждение, сначала покажем способ составления уравнения Р(х) = 0, имеющего заранее заданные корни. Пусть требуется составить ур-ние, имеющее корни k₁, k₂,k₃,…k_n. Приравняем к нулю следующее произведение скобок:

Составленное ур-ние имеет все требуемые корни и никаких других корней. Действительно, произведение множителей может равняться нулю только в случае, если хотя бы один из множителей нулевой. Поэтому для решения ур-ния

надо каждую скобку приравнять к нулю:

х – k₁ = 0 или х – k₂ = 0 или х – k₃ = 0 или…х – k_n = 0

Перенесем второе слагаемое вправо в каждом равенстве и получим:

Чтобы вместо произведения скобок слева стоял многочлен, надо просто раскрыть скобки.

Пример. Составьте уравнение в виде Р(х) = 0, имеющее корни 1, 2, 3 и 4.

Запишем целое ур-ние, имеющее требуемые корни:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 0

Будем поочередно раскрывать скобки, умножая 1-ую скобку на 2-ую, полученный результат на 3-ю и т.д.:

(х 2 – 3х + 2)(х – 3)(х – 4) = 0

(х 3 – 6х 2 + 11х – 6)(х – 4) = 0

х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0

Получили ур-ние вида Р(х) = 0. Для проверки вычислений можно подставить в него числа 1, 2, 3 и 4 и убедиться, что они обращают ур-ние в верное равенство.

Ответ: х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0

Заметим, что в рассмотренном примере, когда мы перемножали многочлены, мы получали новый полином, чья степень увеличивалась на единицу. Мы перемножили 4 скобки (х – k₁), а потому получили полином 4 степени. Если бы мы перемножали, скажем, 10 таких скобок, то и многочлен бы получился 10-ой степени. Именно поэтому ур-ние n-ой степени не более n корней.

Действительно, предположим, что какое-то ур-ние n-ой степени имеет хотя бы (n + 1) корень. Обозначим эти корни как k₁, k₂,k₃,…k_n, k_n+1 и запишем уравнение:

Оно, по определению, равносильно исходному ур-нию, ведь оно имеет тот же набор корней. Слева записаны (n + 1) скобок, поэтому при их раскрытии мы получим полином степени (n + 1). Значит, и исходное ур-ние на самом деле имеет степень n + 1, а не n. Получили противоречие, которое означает, что на самом деле у уравнения n-ой степени не более n корней.

Особо акцентируем внимание на том факте, что если корнями уравнения являются некоторые числа k₁, k₂,k₃,…k_n, то этому ур-нию равносильна запись (х – k₁)(х – k₂)(х – k₃)…(х – k_n) = 0

Этот факт будет использован далее при решении ур-ний.

Решение уравнений методом подбора корня

Необязательно преобразовывать ур-ние, чтобы найти его корни. Одним из приемов решения целых уравнений является метод подбора корня. Ведь если надо доказать, что какое-то число – это корень ур-ния, достаточно просто подставить это число в ур-ние и получить справедливое равенство!

Пример. Докажите, что корнями ур-ния

х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0

являются только числа (– 1), 1 и 2.

Решение. Подставим в ур-ние каждую из предполагаемых корней и получим справедливое равенство. При х = – 1 имеем:

(– 1) 3 – 2(– 1) 2 – (– 1) + 2 = 0

При х = 1 получаем:

1 3 – 2•1 2 – 1 + 2 = 0

Наконец, рассмотрим случай, когда х = 2

2 3 – 2•2 2 – 2 + 2 = 0

Исходное ур-ние имеет 3-ю степень, поэтому у него не более 3 корней. То есть других корней, кроме (– 1), 1 и 2 , у него нет.

Конечно, просто так подобрать корни довольно тяжело. Однако есть некоторые правила, которые помогают в этом. Для начала введем понятие коэффициентов уравнения.

Понятно, что ур-ние Р(х) = 0 в общем виде можно записать так:

Числа а₀, а₁, а₂,…а_nи называют коэффициентами уравнений.

Например, для уравнения

5х 4 – 7х 3 + 9х 2 – х + 12 = 0

Если одна из слагаемых «пропущено» в уравнении, то считают, что коэффициент перед ним равен нулю. Например, в ур-нии

нет слагаемого с буквенной частью х 2 . Можно считать, что ур-ние равносильно записи

х 3 + 0х 2 + 2х – 15 = 0

где слагаемое х 2 есть, но перед ним стоит ноль. Тогда коэффициент а₁ = 0.

Для обозначения первого коэффициента а₀ может использоваться термин старший коэффициент, а для последнего коэффициента а_n – термин «свободный член» или «свободный коэффициент».

Изучение коэффициентов ур-ния помогает быстрее подобрать корень. Существует следующая теорема:

Докажем это утверждение. Пусть m – это целый корень уравнения с целыми коэффициентами

Тогда можно подставить туда число m и получить верное равенство:

Поделим обе его части на m и получим

Справа – целое число (ноль), значит, и сумма чисел слева также целая. Все числа а₀m n –1 , a₁m n –2 , а_n–1, очевидно, целые (так как и целыми являются и m, и все коэффициенты). Значит, и число а_n/m должно быть целым. Но это возможно лишь в том случае, если m является делителем числа а_n.

Из доказанной теоремы следует, что при подборе корней ур-ния достаточно рассматривать только те из них, которые являются делителями свободного члена. При этом следует учитывать и отрицательные делители.

Пример. Найдите целые корни уравнения

2х 4 – х 3 – 9х 2 + 4х + 4 = 0

Решение. Все коэффициенты ур-ния – целые, а потому целый корень должен быть делителем свободного члена, то есть числа 4. Делителями четверки являются 1 и (– 1), 2 и (– 2), 4 и (– 4). Подставляя каждое из этих чисел в ур-ние, получим верные равенства только для чисел 1, 2 и (– 2):

2•1 4 – 1 3 – 9•1 2 + 4•1 + 4 = 2 – 1 – 9 + 4 + 4 = 0

2•2 4 – 2 3 – 9•2 2 + 4•2 + 4 = 32 – 8 – 36 + 8 + 4 = 0

2•(– 2) 4 – (– 2) 3 – 9•(– 2) 2 + 4(– 2) + 4 = 32 + 8 – 36 – 8 + 4 = 0

Таким образом, только эти числа и могут быть целыми корнями ур-ния. Так как мы рассматриваем ур-ние 4 степени, то, возможно, у него помимо 3 целых корней есть ещё один дробный.

Пример. Решите ур-ние

0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0

Решение. У ур-ния дробные коэффициенты. Умножим обе части равенства на 2 и получим ур-ние с целыми коэффициентами:

0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0

(0,5х 3 + 0,5х + 5)•2 = 0•2

Попытаемся подобрать целый корень ур-ния. Он должен быть делителем свободного члена, то есть десятки. Возможными кандидатами являются числа 1 и (– 1), 2 и (– 2), 5 и (– 5), 10 и (– 10). Подходит только корень х = – 2:

(– 2) 3 + (– 2) + 10 = – 8 – 2 + 10 = 0

Обратим внимание, что в левой части ур-ния стоит сумма функций, возрастающих на всей числовой прямой: у = х 3 и у = х + 10. Значит, и вся левая часть х 3 + х + 10 монотонно возрастает. Это значит, что у ур-ния есть только один корень, и мы его нашли ранее подбором.

Ещё быстрее можно узнать, является ли единица корнем уравнения.

Докажем это. Подставим в ур-ние

значение х = 1. Так как единица в любой степени равна самой единице, то получим:

Получили равенство, в котором слева стоит сумма коэффициентов, в справа – ноль. Если сумма коэффициентов действительно равна нулю, то равенство верное, а, значит, единица является корнем ур-ния.

Пример. Укажите хотя бы 1 корень ур-ния

499х 10 – 9990х 7 + 501х 6 – 10х 5 + 10000х 4 – 1000 = 0

Решение. Заметим, что при сложении коэффициентов ур-ния получается 0:

499 – 9990 + 501 – 10 + 10000 – 1000 = (499 + 501 – 1000) + (10000 – 9990 – 10) = 0 + 0 = 0

Следовательно, единица является его корнем.

Решение уравнений с помощью разложения многочлена на множители

Если в уравнении вида P(x) = 0в левой части удается выполнить разложение многочлена на множители, то дальше каждый из множителей можно отдельно приравнять к нулю.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Степень х 4 можно представить как (х 2 ) 2 , а 16 – как 4 2 . Получается, что слева стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители по известной формуле:

(х 2 – 4)(х 2 + 4) = 0

Приравняем каждую скобку к нулю и получим два квадратных ур-ния:

х 2 – 4 = 0 или х 2 + 4 = 0

х 2 = 4 или х 2 = – 4

Первое ур-ние имеет два противоположных корня: 2 и (– 2). Второе ур-ние корней не имеет.

Предположим, что у ур-ния 3-ей степени есть 3 корня, и подбором мы нашли один из них. Как найти оставшиеся корни? Здесь помогает процедура, известная как «деление многочленов в столбик». Продемонстрируем ее на примере. Пусть надо решить ур-ние

100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0

Можно заметить, сумма всех коэффициентов ур-ния равна нулю:

100 – 210 + 134 – 24 = 0

Следовательно, первый корень – это 1.

Предположим, что у исходного ур-нияР(х) = 0 есть 3 корня, k₁, k₂и k₃. Тогда ему равносильно другое ур-ние

Мы нашли, что первый корень k₁ = 1, то есть

Обозначим как P₁(x) = 0 ещё одно ур-ние, корнями которого будут только числа k₂ и k₃. Очевидно, что корнями ур-ния

Будут числа 1, k₂ и k₃. Его корни совпадают с корнями исходного ур-ния, а потому запишем

(х – 1)•P₁(x) = 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24

Поделим обе части на (х – 1):

Итак, если «поделить» исходное ур-ние на х – 1, то получим какой-то многочлен Р₁(х), причем решением уравнения P₁(x) = 0 будут оставшиеся два корня, k₂и k₃. Деление можно выполнить в столбик. Для этого сначала запишем «делимое» и «делитель», как и при делении чисел:

Смотрим на первое слагаемое делимого. Это 100х 3 . На какой одночлен нужно умножить делитель (х – 1), чтобы получился полином со слагаемым 100х 3 ? Это 100х 2 . Действительно, (х – 1)100х 2 = 100х 3 – 100х 2 . Запишем слагаемое 100х 2 в результат деления, а результат его умножения на делитель, то есть 100х 3 – 100х 2 , вычтем из делимого:

Теперь вычтем из делимого то выражение, которое мы записали под ним. Слагаемые 100х 3 , естественно, сократятся:

(100х 3 – 210х 2 ) – (100х 3 – 100х 2 ) = 100х 3 – 210х 2 – 100х 3 + 100х 2 = – 110х 2

Далее снесем слагаемое 134х вниз:

На какое слагаемое нужно умножить (х – 1), что получился полином со слагаемым (– 110х 2 ). Очевидно, на (– 110х):

(х – 1)(– 110х 2 ) = –110х 2 + 110х

Запишем в поле «ответа» слагаемое (– 110х 2 ), а под делимый многочлен – результат его умножения на (х – 1):

При вычитании из (–110х 2 + 134х) полинома (–110х 2 + 110х) остается 24х. Далее сносим последнее слагаемое делимого многочлена вниз:

Выражение х – 1 нужно умножить на 24, чтобы получить 24х – 24. Запишем в поле «ответа» число 24, а в столбике произведение 24(х –1) = 24х – 24:

В результате в остатке получился ноль. Значит, всё сделано правильно. С помощью деления столбиком мы смогли разложить полином 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 на множители:

100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = (х – 1)(100х 2 – 110х + 24)

Теперь перепишем исходное ур-ние с учетом этого разложения:

100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0

(х – 1)(100х 2 – 110х + 24) = 0

Теперь каждую отдельную скобку можно приравнять нулю. Получим ур-ние х – 1 = 0, корень которого, равный единице, мы уже нашли подбором. Приравняв к нулю вторую скобку, получим квадратное ур-ние:

100х 2 – 110х + 24 = 0

D =b 2 – 4ас = (– 110) 2 – 4•100•24 = 12100 – 9600 = 2500

Итак, мы нашли три корня ур-ния: 1; 0,3 и 0,8.

В данном случае мы воспользовались следующим правилом:

Пример. Решите уравнение

2х 3 – 8х 2 + 16 = 0

Решение. Все коэффициенты целые, а потому, если у уравнения есть целый корень, то он должен быть делителем 16. Перечислим эти делители: 1, – 1, 2, – 2, 4, – 4, 8, – 8, 16, – 16. Из всех них подходит только двойка:

2•2 3 – 8•2 2 + 16 = 16 – 32 + 16 = 0

Итак, первый корень равен 2. Это значит, что исходный многочлен можно разложить на множители, один из которых – это (х – 2). Второй множитель найдем делением в столбик. Так как в многочлене 2х 3 – 8х 2 + 16 нет слагаемого с буквенной часть х, то искусственно добавим её:

2х 3 – 8х 2 + 16 = 2х 3 – 8х 2 + 0х + 16

Теперь возможно деление:

Получили, что 2х 3 – 8х 2 + 16 = (х – 2)(2х – 4х – 8)

С учетом этого перепишем исходное ур-ние:

2х 3 – 8х 2 + 16 = 0

(х – 2)(2х – 4х – 8) = 0

х – 2 = 0 или 2х – 4х – 8 = 0

Решим квадратное ур-ние

D =b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•2•(– 8) = 16 + 64 = 80

В 8 классе мы узнали, что если у квадратного ур-ния ах 2 + bx + c = 0 есть два корня, то многочлен ах 2 + bx + c можно разложить на множители по формуле

где k₁ и k₂– корни квадратного ур-ния. Оказывается, такое же действие можно выполнять с многочленами и более высоких степеней. В частности, если у кубического ур-ния есть 3 корня k₁, k₂ и k₃, то его можно разложить на множители по формуле

Пример. Разложите на множители многочлен 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4.

Решение. Целые корни этого многочлена (если они есть), должны быть делителем четверки. Из всех таких делителей подходят три: 1, (– 1) и 2:

2•1 3 – 4•1 2 – 2•1 + 4 = 2 – 4 – 2 + 4 = 0

2•(– 1) 3 – 4•(– 1) 2 – 2•(– 1) + 4 = – 2 – 4 + 2 + 4 = 0

2•2 3 – 4•2 2 – 2•2 + 4 = 16 – 16 – 4 + 4 = 0

Значит, многочлен можно разложить на множители:

2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)

Возникает вопрос – почему перед скобками нужна двойка? Попробуем сначала перемножить скобки без ее использования:

(х + 1)(х – 1)(х – 2) = (х 2 – 1)(х – 2) = х 3 – 2х 2 – х + 2

Получили не тот многочлен, который стоит в условии. Однако ур-ние

х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0

имеет те же корни (1, 2 и (– 1)), что и ур-ние

2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0

Дело в том, что это равносильные ур-ния, причем второе получено умножением первого на два:

2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4

Надо понимать, что хотя ур-ния 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0 и х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0, по сути, одинаковы, многочлены в их левой части различны. Заметим, что при перемножении скобок (х – k₁), (х – k₂), (х – k₃) и т.д. всегда будет получаться полином, у которого старший коэффициент равен единице. Поэтому, чтобы учесть этот самый коэффициент, надо домножить произведение скобок на него:

2х 3 – 4х 2 – 2х + 4= 2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)

Ответ: 2(х + 1)(х – 1)(х – 2).

Графический метод решения уравнений

Любое ур-ние с одной переменной можно представить в виде равенства

где у(х) и g(x) – некоторые функции от аргумента х.

Построив графики этих функций, можно примерно найти точки их пересечений. Они и будут соответствовать корням уравнения.

Пример. Решите графически уравнение

Решение. Строить график уравнения х 3 – х 2 – 1 = 0 довольно сложно, поэтому перенесем слагаемое (– х 2 – 1) вправо:

Построим графики у = х 3 и у = х 2 + 1 (второй можно получить переносом параболы у = х 2 на единицу вверх):

Видно, они пересекаются в точке, примерно соответствующей значению х ≈ 1,4. Если построить графики уравнения более точно (с помощью компьютера), то можно найти, что х ≈ 1,46557.

Ответ: х ≈ 1,46557

Конечно, графический метод решения уравнений не является абсолютно точным, однако он помогает быстро найти примерное положение корня. Также с его помощью можно определить количество корней уравнения. В рассмотренном примере был только 1 корень.

Пример. Определите количество корней уравнений

б) х 3 – 2х + 0,5 = 0

Решение. Перенесем два последних слагаемых вправо в каждом ур-нии:

Построим графики функций у = х 3 , у = х + 3 и у = 2х – 0,5:

Видно, что прямая у = х + 3 пересекает график у = х 3 в одной точке, поэтому у первого ур-ния будет 1 решение.Прямая у = 2х – 0,5 пересекает кубическую параболу в трех точках, а потому у второго ур-ния 3 корня.

Ответ: а) один корень; б) три корня.

Решение дробно-рациональных уравнений

До этого мы рассматривали только целые ур-ния, где переменная НЕ находится в знаменателе какого-нибудь выражения. Однако, если в ур-нии есть выр-ние, содержащее переменную в знаменателе, или присутствует деление на выр-ние с переменной, то его называют дробно-рациональным уравнением.

Приведем несколько примеров ур-ний, считающихся дробно-рациональными:

С помощью равносильных преобразований любое дробно-рациональное ур-ние возможно записать в виде отношения двух полиномов:

Дробь равна нулю лишь тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – не равен. Таким образом, нужно сначала решить ур-ние Р(х) = 0 и потом проверить, что полученные корни не обращают полином Q(x) в ноль.

Обычно для решения дробно-рациональных уравнений используют такой алгоритм:

1) Приводят все дроби к единому знаменателю, умножают на него ур-ние и получают целое ур-ние.

2) Решают полученное целое ур-ние.

3) Исключают из числа корней те, которые обращают знаменатель хотя бы одной из дробей в ноль.

Пример. Решите ур-ние

Умножим обе части равенства на знаменатель 1-ой дроби:

2х 2 – 3х – 2 = х 2 (х – 2)

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

2х 2 – 3х – 2 = х 3 – 2х 2

х 3 – 2х 2 – 2х 2 + 3х + 2 = 0

х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = 0

У ур-ния могут быть только те целые корни, которые являются делителями двойки. Из кандидатов 1, – 1, 2 и – 2 подходит только двойка:

2 3 – 4•2 2 + 3•2 + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0

Нашли один корень, а потому исходный многочлен можно поделить в столбик на (х – 2):

Получили, что х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = (х – 2)(х 2 – 2х – 1)

Тогда ур-ние примет вид:

(х – 2)(х 2 – 2х – 1) = 0

х – 2 = 0 или х 2 – 2х – 1 = 0

Решим квадратное ур-ние:

D =b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 1) = 4 + 4 = 8

Мы нашли все 3 корня кубического ур-ния. Теперь надо проверить, не обращают ли какие-нибудь из них знаменатели дроби в исходном ур-нии

в ноль. Очевидно, что при х = 2 знаменатель (х – 2) превратится в ноль:

Это значит, что этот корень надо исключить из списка решений. Такой корень называют посторонним корнем ур-ния.

Также ясно, что два остальных корня не обращают знаменатель в ноль, а потому они НЕ должны быть исключены из ответа:

Пример. Найдите все корни ур-ния

Решение. Если сразу привести выражение слева к общему знаменателю 4(х 2 + х – 2)(х 2 + х – 20), то получится очень длинное и неудобное выражение. Однако знаменатели довольно схожи, поэтому можно провести замену. Обозначим х 2 + х как у:

Тогда уравнение примет вид

Приведем дроби к общему знаменателю 4(у – 2)(у – 20):

Знаменатель должен равняться нулю:

4(у – 20) + 28(у – 2) + (у – 2)(у – 20) = 0

4у – 80 + 28у – 56 + у 2 – 20у – 2у + 40 = 0

у 2 + 10у – 96 = 0

Решаем квадратное ур-ние:

D =b 2 – 4ас = (10) 2 – 4•1•(– 96) = 100 + 384 = 484

Получили, что у₁ = – 16, а у₂ = 6. Произведем обратную замену:

х 2 + х = – 16 или х 2 + х = 6

х 2 + х + 16 = 0 или х 2 + х – 6 = 0

Дискриминант 1-ого ур-ния отрицателен:

D =b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(16) = 1– 64 = – 63

А потому оно не имеет решений. Решим 2-ое ур-ние:

D = b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(– 6) = 1+ 24 = 25

Нашли два корня: 2 и (– 3). Осталось проверить, не обращают ли они знаменатели дробей в ур-нии

в ноль. Подстановкой можно убедиться, что не обращают.

При решении дробно-рациональных ур-ний может использоваться и графический метод.

Пример. Сколько корней имеет уравнение

Решение. Построим графики функций у = х 2 – 4 и у = 2/х:

Видно, что графики пересекаются в 3 точках, поэтому ур-ние имеет 3 корня.