Контрольные работы по алгебре 9 класс учебник Алимов
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Контрольная работа №1
«Алгебраические уравнения.
Системы нелинейных уравнений»
Цели: проверить уровень усвоения знаний, умений и навыков по теме.
1. Выполнить деление многочленов:
2. Найти действительные корни уравнения:
2 х 4 + 3 х 3 – 10 х 2 – 5 х – 6 = 0.
3. Решить уравнение:
.
4. Решить систему уравнений:
5. Решить задачу.
Площадь прямоугольного треугольника равна 15 см 2 , а сумма его катетов равна 11 см. Найти катеты.
1. Выполнить деление многочленов:
2. Найти действительные корни уравнения:
3 х 4 + 3 х 3 – 8 х 2 – 2 х + 4 = 0.
3. Решить уравнение:
.
4. Решить систему уравнений:
5. Решить задачу.
Сумма диагоналей ромба равна 49 см. Площадь этого ромба равна 294 см 2 . Найти диагонали ромба.
Контрольная работа №2
Тема : СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Цель: проверить уровень знаний и умений учащихся по теме.
а) 2 2 –3 ; б) 
; в) 
.
2. Найдите значение выражения:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3. Решите уравнение:
а) х 4 = 80; б) х 6 = –18;
в) 2 х 3 – 128 = 0; г) х 5 + 32 = 0.
.
5. Найдите значение произведения:
.
а) 5 5 –2 ; б) 
; в) 
.
2. Найдите значение выражения:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3. Решите уравнение:
а) х 4 = 20; б) х 8 = –36;
в) 64 х 3 = 1; г) х 3 + 8 = 0.
.
5. Найдите значение произведения:
.
Контрольная работа №3
Тема : СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Цель: проверить уровень усвоения знаний и умений учащихся
по теме.
1. Постройте график функции 
.
а) найдите область определения функции;
б) какие значения принимает функция?
в) является ли функция четной или нечетной?
г) укажите промежутки возрастания (убывания) функции; промежутки, в которых функция принимает положительные (отрицательные) значения.
2. Найдите область определения функции:
а) 
; б) 
.
3. Не выполняя построения графиков функций 
и 
, найдите координаты точек их пересечения.
4. Решите иррациональное уравнение:
а) 
; б) 
.
1. Постройте график функции 
;
а) найдите область определения функции;
б) какие значения принимает функция?
в) является ли функция четной или нечетной?
г) укажите промежутки возрастания (убывания) функции; промежутки, в которых функция принимает положительные (отрицательные) значения.
2. Найдите область определения функции:
а) 
; б) 
.
3. Не выполняя построения графиков функций 
и 
, найдите координаты точек их пересечения.
4. Решите иррациональное уравнение:
а) 
; б) 
Алгебра 9 класс Учебник Алимов
-4х^-6х + 2 2х^ + Зх-1 х^-2 а-2 Остаток должен равняться нулю, поэтому а = 2. 1 на многочлен (д;) степени k > 1, k 1. Каждый корень уравнения (2) называют также нулём (или корнем) многочлена Р„ (х). Так же как и в задаче 1, доказывается, что если Xj — корень уравнения (2), то многочлен Р„ (х) делится на (х — Xj), т. е. уравнение (2) можно записать так: Л^п-1 W (д:-д;1) = 0, где многочлен М„ _ j (х) степени л — 1 является частным от деления многочлена Р„ (х) на (х — Xj). Таким образом, решение уравнения (2) степени п сводится к решению уравнения М„ _ j (х) = 0 степени л — 1. Этот процесс можно продолжить: если л ^ 2 и известен корень Xg уравнения М„ _ j (х) = 0, то М„ _ J (х) = М„ _ 2 (х) (х — Xg), и уравнение (2) можно записать так: М„ _ 2 (х) (х — Xi) (х — Х2> = о, где М„ _ 2 (х) — многочлен степени л — 2, т. е. решение уравнения (2) степени л сводится к решению уравнения М„ _ g (х) = 0 степени л — 2 и т. д. Решить уравнение X* + Зх^ — 13×2 — 9х -I- 30 = о. (3) 1) Можно убедиться в том, что Xj = 2 — корень уравнения (3), а как он обнаружен, будет рассказано чуть позже. 2) Разделив многочлен (х), стоящий в левой части уравнения (3), на (х — 2), получаем Р^ (х) = = Мд (х) (X — 2), где Mg (х) = X® -и 5×2 _sx
15. 11 Ответ Поэтому уравнение (3) запишется так; (дг® + 5x^ -Зх- 15) (х-2) = О. Задача о решении уравнения (3) четвёртой степени свелась к решению уравнения третьей степени: + 5х^ — Зд: — 15 = 0. (4) 3) Подставляя JCg = -5 в уравнение (4), убеждаемся, что это число — корень уравнения (4). 4) Разделив многочлен М3 (д:) на (д: -I- 5), получим Мз (д:) = (х^ -3)(х + 5). В результате исходное уравнение (3) запишется так: (х^ -3)(х + 5) (д: — 2) = 0. Решая уравнение д:^ — 3 = 0, находим д^з 4 = ±-/з. Xi = 2, Х2 = -5, 4 = ±-/3. /2). Итак, исходное уравнение (6) имеет пять действительных корней. Ответ Задача 4 Ч, 2 = ±1, Xg = -2, л: 4, 5 = |(1±V2). /з. Ответ Xj 2 = 3 ±2л/2, Дз 4 = -2 ± V^. 4-L_,27-. ■ Х-1 х-2 х^-Зх + 2 2) 3) х-2 хЗ х + 2 .3 3x^-1 х + 1 6×3 хЗ-х-2 2хЗ(х-2) Зх3 + 19х + 6 2х“ X 4) —— + х-3 хЗ-х-6 3 8хЗ-7х + 2 х+2 х-1 хЗ + X — 2 Выяснить, при каких действительных значениях а уравнение хЗ+2(а-1)х + а* — а х-2 = 0 24 имеет два действительных различных корня. Выяснить, при каких действительных значениях а уравнение X® — 2ахЗ — аЗх + 2а® • = 0 X + 3 имеет три различных действительных корня. 22 Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными В 8 классе рассматривались простейшие системы уравнений, содержащие уравнения второй степени. Продолжим рассмотрение таких систем. Задача 1 Решить систему уравнений [х^ + у^ = М, \х-у = 2. Ответ Задача 2 Ответ Задача 3 ► Решим эту систему способом подстановки, выразив у через X из второго уравнения системы: у = X — 2. Подставляя это значение у в первое уравнение, получаем х^ + (х — 2’f = 34, откуда х^ — 2х — 15 = О, = 5, Х2 = -3. По формуле у = X — 2 находим у^ = Ъ, у^ = —5. (5; 3), (-3; -5). X 9 9 или — = —, откуда X = — у. у 4 4 Подставляя это выражение х в первое уравнение о 5 системы, получаем -у-у = Ъ, -у = 5, у = 4. По-4 4 этому X = 9. Так как мы возводили в квадрат заведомо поло- Ответ жительные числа (9; 4). /289-240 _17±7 1/1 = 4, 1/2 = 1- Помня, что хну — цифры искомого числа, берём только значение г/ = 4, откуда л: = 2. Итак, искомое число — это число 24. Действительно, произведение его цифр 2 • 4 = 8 в три раза меньше самого числа. Прибавляя к 24 число 18, получаем число 42, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. 24. т и а ^ 0. Если п т, но и при п 0; 3) А . ‘ 13 J из (4)(4)^ 4) 17-5 . 173 . 17 2) (0,2)2 . (0,2)-2; «(|Г(Г“ Возвести степень в степень: 1) (а2)-5; 2) (Ь-2)-4. 3) (^-3)7. 4) (^,7)-4 Возвести в степень произведение: 1) (afe-2)2; 2) (a2fc-i) 56 / ч -52 3) |Ц| :|^| ; 4) (йР( 19 ч 56 / ч -52 23 I I М I 2lj ‘Ulj 84 Вычислить на микрокалькуляторе и записать результат в стандартном виде: 1) (786-Y : (786*)-®; 2) (923®)-® • (923®)-*; 3) (1,76)2.352. 4) 473 . (2,5)®. 85 С помощью микрокалькулятора вычислить объём куба, длина ребра которого равна: 1) 1,54 • 10-^ мм; 2) 3,18 • 10* км. 86 Упростить: 1) (а»® -I- г>-®) • (а-2 — Ь-2)-1 • (а-2 — 2) <а
^) • (а-® + + б»®)»*. 42 I Арифметический корень натуральной степени — I. I. I. I. I. I. I. I. I • Задача 1 Решить уравнение х* = 81. Запишем уравнение в виде х-» — 81 = О или — 9) (х^ + 9) = 0. Так как + 9 0, то — 9 = 0, откуда Xj = 3, Х2 = -3. 2 из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, п-я степень которого равна а. Арифметический корень п-тл степени из числа а обозначается так: Va. Число а называется подкоренным выражением. Если л = 2, то вместо >/а пишут у[а. Арифметический корень второй степени называют также квадратным корнем, а корень третьей степени — кубическим корнем. В тех случаях, когда ясно, что речь идёт об арифметическом корне л-й степени, кратко говорят: «Корень л-й степени». 43 Чтобы, используя определение, доказать, что Va равен Ъ, нужно показать, что: 1) Ь > 0; 2) Ь» = а. Например, = 4, так как 4 > 0 и 4^ = 64. Из определения арифметического корня следует, что если а > о, то а— о. а» = а. Например, (^)® = 7, ^1^ = 13. Действие, посредством которого отыскивается корень п-й степени, называется извлечением корня п-й степени. Это действие является обратным к возведению в п-ю степень. Задача 2 Решить уравнение = -8. !> Это уравнение можно записать так: -х^ = 8 или (-х)^ = 8. Обозначим -X = у, тогда = 8. Это уравнение имеет один положительный корень у = у[8 =2. Отрицательных корней уравнение у^ = 8 не имеет, так как у^ 2; б) д: 3. Сколько имеется натуральных чисел п, таких, что 1987 0, Ь>0и71, т — натуральные числа, причём п > 2, то > 2, то 1. V^ = VaVb 3. (Va)’^ = ‘\fa^ 2. 4. ‘V^=»‘V^ В свойстве 1 число Ь может также быть равным О, в свойстве 3 число то может быть любым целым, если а > 0. Докажем, например, что УаЬ = Va Vb. • Воспользуемся определением арифметического корня: 1) «Va»Vb>0 , так как а > 0 и Ь > 0. 2) =аЬ, так как (‘\/а «у/Ь)» = = C’fa)’’C’Ib)»=ab. О 46 Задача Аналогично доказываются и остальные свойства. Приведём примеры применения свойств арифметического корня. 1) V27 V3=V27-3=V^=V3^ = 3; 94,/^.,[4 J256.4 _ ^ _4. V62H- 3) ^(5^)3 =(^>/5^)3=53 = 125; 4) VV4096 =‘^4096=^^2^^ = 2; 5) (V9)-3 = V^ = 4^ = |. Упростить выражение , где a > О, ft > 0. ► Используя свойства арифметического корня, получаем; » аЗ^з аЗ^з = afe. /45):V5; 6) (^/б^-^):^5. 105 Упростить выражение: 1) 2) ^81х*у : 3) з[^ : 4) 4/1^ : 4/Ii ‘^у2 -уэ^г’ •’ УдЗ ^86′ 86^ Вычислить (106—107). 106 1) (^)2; 2) (^9)-3; 3) 4) (^)»‘. 107 1) V^/t29; 2) VVl024; 3) 4) V^/ls-V^. 108 Упростить выражение: 1) (®л/^)®; 2) (VT»)’; 3) (V^-^)6; 4) (3>/^.V^)12; 5) |VV^ j ; 6) ^VV27a3 Вычислить (109- -110). 109 2) 3) : ill-. 5) (V7i^]“; 6) (Vvif]’. no 1) n, VM-Vm. ’ V5 ■ 4) 3j^+Vi8-^-VVlIe; 5) ^nWs^-Vll+Ts?; 6) V17-V33-Vl7 + V33. 48 Упростить выражение (111—113). Ill 1) 3 a^b. Л ’ 3) Va^b^c • \la^b^c^ ^yj2a*b • \l4ab 5) (^)® -(V^)3; 112 1) V2^-V4o^-V27b; ’ ^ 4) 2bVo4^ 6) (ifo4^)* : 2) Mabc -ija^b^c ■ijb^c’^; 113 1) VV^ + |V^j : 2) |VVP^j +2(^VV^j ; 3) 2VV^-[^V^]’; 4) 5) 6) ||^VaVa j -Va : 114 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 1) л/7-Л4:>/3; 2) • л/0,37. 115 Вычислить: 1, 4#^; 2) 3) (V4-Vl0+V25)(V2+fe V3 ^V7 4) (^9+^+^)(^3-^). 116 Доказать, что 4+2-JS — -^4-2^3 = 2. 117 Упростить выражение: — -Уь Уа^ + Va 2, т — целое число и частное — является целым числом, п то при а > О справедливо равенство = ап. (1) # По условию——целое число, т. е. при делении т п на л в результате получается целое число k. Тогда из равенства — = k следует, что т = кп. Применяя п свойства степени и арифметического корня, получаем: Ч[а^ = = а’’= ап . О Если же частное — не является целым числом, то степень а » , где а > О, определяют так, чтобы осталась верной формула (1), т. е. и в этом случае считают, что ап = Va»*. (2) Таким образом, формула (2) справедлива для любого целого числа т, любого натурального числа га > 2 и а > 0. 50 Например, 16 0, то выражение Va»* имеет смысл п не только при а > О, но и при а = О, причём Vo^ = 0. Поэтому считают, что при г > 0 выполняется равенство 0’^ = 0. Пользуясь формулами (1) и (2), степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот. 51 Отметим, что из формулы (2) и свойств корня следует равенство m mk а п = а , где а > О, т — целое и га, ft — натуральные числа. 3 6^ Например, 7* = 7® = 712. Можно показать, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием. А именно для любых рациональных чисел р и q и любых а > О и Ь > О верны равенства: 1. аРаЧ = аР*ч 4. 2. аР-.аЧ = аР-ч 5. 3. <аР)ч = аРЧ (аЬ)Р = аРЬР р а Ь дР ЬР Эти свойства вытекают из свойств корней. Докажем, например, свойство а’^аР = а>’*’>. /Л k • Пусть p = —,q = — , где птл1 — натуральные числа, п I тик — целые числа. Нужно доказать, что а»a^ = а » I (3) Приведя дроби — и — к общему знаменателю, за-п I пишем левую часть равенства (3) в виде т * ^ а ^ = а а . Используя определение степени с рациональным показателем, свойства корня и степени с целым показателем, получаем: m А т£ biL I— а» •а‘ =■a^^^ — а»‘ =Ыа»“ ■ yia»» = = _ д ml . ml-^kn щ п1 = а л I. о Аналогично доказываются остальные свойства степени с рациональным показателем. Приведём примеры применения свойств степени. 1 3 1^3 1) 74 . 74 = 7“ 4 = 7; 52 2 i 2 1 1 2) 93 : 96 = 93″б = 92 = V9 = 3; 19 IE 3 3 ^3 3) (163)4 =1бз’4 =164 =(2“)4 =2 4 =23=8; 2 2 2 2 _____________ 4) 243 = (23.3)3 = 2®’з . 33 = 4^3^ = 4^9; 5) 1 ( 8 83 I27J „1 (23)3 273 (З3)3 1 3 Задача 2 1 1 Вычислить 256 • 1255. ^ 255 ■ 1255 = (25- 125)5 = (5®)5 = 5. ; 4) X -2/2 128 1) 3) 2 ^ а 3 + дЗ 3 _1 ц4 +а 4 5 _1 дЗ 6″1 — д6 3 129 Вычислить: 1) 2) 4) Ь5(Ч^-Ч^), ЬЗ(Чь-Ч^) 1 1 дЗ Чь + ЬЗ Ча Ч^+ 41 /2 + 1 ‘5 1 5 1’ 23 . 3 3 -33 . 2’з ■Чб; 2) ‘ 1 3 1 3 ‘ 54 ; 24 -24 : 54 V / ^ / VlOOO; 3) (2^)’^ + (3’^ + 1)^-1; 4) (0,5)5 -(4-0.3) 3 55 130 Упростить выражение: 1 ____ f _____________ I \ 1) аэ^а^: 2) Vafe-2 + (а6)»б ^fa^; \ / — Г 2 2 3) bi2^feVfc; 4) (^ + ^) аЗ +Ьз \ ■/а — Vb 131 Сократить дробь: 1) 3) х-у . 1 i ’ х2 + у2 1 I m2 + п2 _ m + 2-Jmn + п 2) 4) 1 1 ’ а*-Ь* 1^ с-2с2 +1 л/с -1 Упростить выражение (132—134). ■Ja — а 2Ь ^ ^д2 — а 3^ 1-^ь ■у/о^ + Vb л/ь — у[а Zxy-y^ _ Уу[у______________ ^
У л[х-у[у ^fx + ^ 3) 134 1) 2) 3) 31— ЗГТ 2 2 a?-V^+b3 4) а» а — Ь 2 2 дЗ + + ьз а — Ь а + Ь I i дЗ + ЬЗ а + Ь а — Ь 2 11^ 2 2 2’ q3 — а2 Ь2 + Ь2 g3+a3ft3+i>3 2 2 11 дЗ + ьз 1 4) £1л^ + 1 а-Ь 1 I ‘ а + Ь аЗ — уз 135 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 2 i i 2 g 3 — g 3 ьз + ьз 1) V3+V4; 2) фТЩо; 3) 5»’^; 4) (^2)’^; 5) 56 £ Возведение в степень ‘.I числового неравенства Задача 1 В курсе алгебры VIII класса было доказано, что при умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака. Отсюда следует, что если а > Ь > О и п — натуральное число, то а» > Ь». Ф По условию а > о, Ь > 0. Перемножая п одинаковых неравенств а > Ь, получаем а» > b’^. „ \5 Сравнить числа (0,43)® “(f) О ► Так как -«0,428 с точностью до 0,001, то ^ — л5 0,43 > ^. Поэтому (0,43)® > f] Неравенство, у которого левая и правая части положительны, можно возводить в отличную от нуля рациональную степень: если а > Ь > о, г > о, то o'» > Ь'»; (1) если а > Ь > о, г о, Ь > о. По условию а > Ь. Нужно до-_1^ _1 казать, что а» >Ь». Предположим, что это невер- j_ \ но, т. е. а» Но тогда, возводя это неравенство в натуральную степень п, получим а Ь. Итак, из а > Ь > о следует, что а » >Ь». 57 2) Пусть r = —, где тип — натургшьные числа. п Тогда по доказанному из условия а > Ь > О следу-ет, что а» >Ь». Возведя это неравенство в нату- ( 1 Y ( 1_\ m, получаем ап > Ьп 1 ) \ ) т. е. а » >Ь . О Например, 5^ > 3^, так как 5 > 3 и — > 0. Теперь докажем свойство (2). # Если г 0. По свойству (1) из условия а > Ь > о следует, что а”» > Умножая обе части этого неравенства на положительное число а»Ь», получаем fc'» > o'», т. е. o’” 0,6, а -8 j , так как — > -, а л/2 > 0, 9 8 -Л -Л , так как ^ f, а -^fз или или и и 1, то ^ Возведя это 18 17 18 17 неравенство в отрицательную степень лучаем з)’ по- 2) Сравним основания степени. Так как ^=0,857. то ^ о, то Ю»‘ > 1*, и, следовательно, уравнение не имеет положительных корней. Если X о, а 5* 1, имеет единственный корень х = 0. Равенство а* = а«, (3) где а > о, а ^ 1, верно только при х = у. • Умножая равенство (3) на а»*’, получаем = 1, откуда X = у. О Задача 4 Решить уравнение З^-‘» * = 9. ^ 32^-1 = 32, откуда 2х — 1 = 2, X = 1,5. Ответ х = 1,5. 0, a?tl,6>0. Можно доказать, что это уравнение имеет единственный корень Xq. Число Xq называют логарифмом числа Ь по основанию а и обозначают log^ Ь. Например, корнем уравнения З-‘ = 9 является число 2, 59 Задача 5 т. е. logg 9 = 2. Точно так же log2 16 = 4, так как 2’* = 16; logs i = -l, так как 5″* = i; log,27=-3, 5 5 — / \-3 3 так как I i 1 =27. Логарифм числа Ь по основанию 10 называют десятичным логарифмом и обозначают Ig Ь. Например, Ig 100 = 2, так как 10^ = 100; Ig 0,001 = -3, так как 10”® = 0,001. С помощью микрокалькулятора решить уравнение 10^* = 5 (с точностью до 0,1). ► Зд: + 1 = Ig 5, откуда х = i(lg5 — 1). О Вычисления проведём по программе: Ответ sQgll —0,1. /3)*; » _ „ 1 3) 93* + -* л/з = 143 Вычислить: 1) logy 49; 2) log2 64; 3) log, 4; 4) logg 2 144 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1: 1) lg23; 2) lgl31; 3) 401g2; 4) 571g3. 145 С помощью микрокалькулятора найти с точностью до 0,01 корень уравнения: 1) 102*^ 7; 2) 10‘-з* = 6. 61 146 Вычислить; 1) (0,175)“+ (0,36Г2-13; 1 1 3) || 27 + 4-379“; 147 Вычислить: 1) 9,3 • 10-“ : (3,1 • 10-“); 3) 8,1 • 10‘“ • 2 • 10-1^; ■ИЧ|Г- 2) 1-“ -‘“-(0,008)’з + (15,1)“; 4) (0,125)»3 + [^|j -(1,85)“. 2) 1,7 • 10-« • 3 • 10^; 4) 6,4 • 10“ : (1,6 • 10^); 6) 3-10-1-|8“-|1 148 Найти значение выражения: 1) л-2 хЗ -лгб 1^ хб при л: = д; 2) 1 Л [3 .дЭ а 9 при а = 0,1. 149 Упростить выражение: 1) (^125а: -^/8х)-(^27д: -^64х); 2) (Vx+Vl6x) + (V8lx — V625X); 3 3) 4) 3 ijl+ а ) -J1+ a -X). 150 Решить уравнение: 1) 7“*-* = 49; V Зх + 3 3) I i 1 =72*- 2) (0,2)1-* = 0,04; (^) 4) 3 5x — 7 _ I 1 2x 62 Проверь себя! 1 Вычислить: 1) 3-® : 3-^ — 2-2 • 2“ + 2 3 §г Ч ‘ / 3 2 2 2 3) 252 .25-1 + (53)3 : 5® — 48з : 6з. Записать числа 8600 и 0,0078 в стандартном виде и найти их произведение и частное. Упростить выражение: 3^-9 . 2х^ 1) 2) (X 5 аЗ Упростить выражение 01 у[а^ • а* ние при а = 81. Сравнить числа: 2 2 11 (0,78)3 и (0,67)3; (3,09)’з и (3,08) з. и наити его числовое значе- 151 Вычислить: Ч-0.75 1) (й + 10 000023 15 32 1 2 2) (0,001)‘з — 2-2.643 — 8’ 3; 1 3) 273 _ (-2)-2 + (^§Г^ 4) (-0,5)-^-625- 2i .-1-112 4) ijx^-5x + 6; 5) ^х^-х; V 152 При каких значениях х имеет смысл выражение: 1) ijx^-4; 2) V^^-5x + 6; 3)6 х-2 х + 3 6) ^х^-5х^ + 6х7 153 Упростить выражение: 1 7 4 1) 1 3 ’ а* — а * 2) дЗ — а 3 _ 1 2 ’ аЗ — а 3 63 3) 5) 5 I Л Ь4 + 2b^ + b ^ 3 b^ + Vab
^b 4) 6) -i _i a 3 b
^b 3 _5 31 a 3 b“2 _ j, 3 Д-2 i -i _i i o4b 4 — g 4^4 i _i _i i ’ a4ft»4 + a»^b* 7) 8) 1 + ^ \la^b — У ab^ \-2 Vb — -/a a + b _____ V^-V^ V^-V^»V^-2V^ + V^ ега-ть). 154 Сравнить ребро куба объёмом 100 см® с радиусом шара такого же объёма. (Объём шара радиуса Д вычисляется по формуле К = — лД®.) 3 155 С помощью микрокалькулятора вычислить период колеба- Т ний маятника длиной 18,5 см по формуле Т = 2п /-, где У 8 I — длина маятника (в метрах), g
9,8 м/с®, Т — период колебаний маятника (в секундах). Ill Степенная функция Область определения функции • I. I. I • Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у (л:). При этом X называют независимой переменной или аргументом, & у — зависимой переменной или функцией. Вы знакомы с линейной функцией у = kx + Ь и квадратичной функцией у = ах^ -k- Ьх с. Для этих функций значение аргумента может быть любым действительным числом. Рассмотрим теперь функцию, которая каждому неотрицательному числу х сопоставляет число -Ух, т. е. функцию у = -ix. Для этой функции аргумент может принимать только неотрицательные значения: X > 0. В этом случае говорят, что функция определена на множестве всех неотрицательных чисел, и это множество называют областью определения функции у = Sx. Вообще областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать её аргумент. Например, функция, заданная формулой у = — , X определена при х ^0, т. е. область определения этой функции — множество всех действительных чисел, отличных от нуля. 3 Алгебра, 9 кл. 65 Если функция задана формулой, то принято считать, что она определена при всех тех значениях аргумента, при которых эта формула имеет смысл, т. е. выполнимы все действия, указанные в выражении, стоящем в правой части формулы. Найти область определения функции, заданной формулой, — это значит найти все значения аргумента, при которых формула имеет смысл. Задача 1 Найти область определения функции:^________ 1) у <х) = 2х^ + + Ъ\ 2) y(x) = -Jx - 1; 1 Ответ Ответ Ответ -2 Рис. 1 3) у(х) = - 4) у(х) ч X + 2 X + 2' . \j X - 2 1) Так как выражение 2х^ + Зд: + 5 имеет смысл при любом X, то функция определена при всех х. X — любое число. 2) Выражение -\Jх-1 имеет смысл при х - 1 >О, т. е. функция определена при х > 1. х> 1. 1 3) Выражение имеет смысл при х + 2 ^0, X + 2 т. е. функция определена при х * -2 X Ф -2. тш 4) Выражение 4 X + 2 4^ V Х-; имеет смысл при Ответ > 0. Решая это неравенство, полу- X — 2 чаем (рис. 1): х 2, т. е. функция определена при х 2. X 2. а Напомним, что графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты — соответствующим значениям функции. Задача 2 Построить график функции I/ = | х |. ^ Известно, что IX1= I X, если х>0, если х О, то |л:|= дг, и поэтому при х > О графиком является биссектриса первого координатного угла (рис. 2, а). Если л: ATi, выполняется неравенство у <х2) >y(Xi). Функция у(х) называется убывающей на промежутке, если для любых JCj, Х2 из этого промежутка, таких, что дг. У(Х2) Хи выполняется неравенство Например, функция у = х возрастает на всей числовой оси. Функция у = х^ возрастает на промежутке д: > О, убывает на промежутке д: о, то степенная функция у = х» возрастает на промежутке д > 0. • Пусть Х2> Xi > 0. Возводя неравенство Да > Д1 в положительную степень г, получаем д^ > х^, т. е. У (Х2) > у (Д1). О 69 Рис. 5 Например, функции у = ку = х^ возрастают на промежутке х > Q. Графики этих функций изображены на рисунке 4, из которого видно, что график функции у = -/х на промежутке О 1 — ниже этого графика. Таким же свойством обладает график функции у = л;'», 3 если О \ — выше графика функции у = X. Таким же свойством обладает график функции у = х», если г > 1. Рассмотрим теперь случай, когда г 0. # Пусть х^> х^> 0. Возводя неравенство х^> в отрицательную степень г, по свойству неравенств, у которых левая и правая части положительны, получаем х^ 0. График этой функции изображён на рисунке 5. 3 Задача 1 Решить уравнение х* = 27. 3 ► Функция у = х* определена при х>0. Поэтому данное уравнение может иметь только неотрица- 4 тельные корни. Один такой корень: дс = 27з =3’* = 70 Рис. 6 = 81. Других корней нет, так как функция у = х* возрастает при х > О, тл поэтому если х > 81, то 3 3 X* >27, а если х О, всегда имеет положительный ко- рень х = Ь’’, причём только один. Следовательно, функция у = х’’, где г > О, при х > О принимает все положительные значения. Например, несмотря на медленное возрастание 3 функции у = х* (см. рис. 6), её график как угодно далеко удалится от оси Ох и пересечёт прямую у = Ь, каким бы ни было положительное число Ь. Заметим, что промежутки х^ а, х > а, х ^ а, х Xj > 1. Покажем, что yixz) > у <х^). Рассмотрим разность у (Xg) - у (Xj) = Х2 + — — V J ^1^2 Так как Xj >Xj, Xj >1, Хз > 1, то Хз — Xj > 0; так как Х1Х2 > 1, то Х1Х3 — 1 > 0; Х1Х3 > 0. Поэтому y(.X2)-y(Xi) > о, т. е. г/(Хз) > J/(Xi). 0: 3 2 _з _2 1) y = x2; 2) У = дг3; 3) у = Х 2; 4) у = Х 3. 167 Найти положительный корень уравнения: 1 1 _1 4 1) д:2=3; 2) х*=2; 3) л: *=2\ 4) х 5=81. 168 Построить на миллиметровой бумаге график функции y=ifx. Найти по графику приближённо: 1) значения х, при которых у = 0,5; 1; 4; 2,5; 2) значения ^1,5; V2; ^2,5; л/з. 169 Найти абсциссу точки пересечения графиков функций: 1 ^ 1) у = хз и у = 625; 2) у = х^ иу = 64; 3 I 3) у = дс2 и у = 216; 4) у = х^ и у = 128. 170 Доказать, что функция: 1) у = х + — убывает на интервале (0; 1); X 2) у = —— убывает на промежутке [0; +оо) и возрастает на + 1 промежутке (-оо; 0]; 3) у = х^ — Зх возрастает на промежутках (-с»; -1] и [1; -t-oo), убывает на отрезке [-1; 1]; 4) у = X — 2^[х возрастает на промежутке [1; -ноо) и убывает на отрезке [0; 1]. 171 Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функции: _ jx + 2, если д: -1; ^ |2-х^, если д: > 1. 72 Чётность и нечётность функции . • ■ Функция у(х) называется чётной, если область её определения симметрична относительно начала координат и у <-х) = у(х) для любого X из области определения этой функции. Например, чётными являются функции у = х^ и у = \х\. Графики этих функций симметричны относительно оси ординат (рис. 7 и 8). Задача 1 Построить график функции у = л:®. ► 1) Область определения функции у = х^ — множество всех действительных чисел. 2) Значения функции у = х^ положительны при >0; отрицательны при д: О, а затем отразить его симметрично относительно начала координат. 4) Функция у = х^ возрастает на всей области определения. Это следует из свойства возрастания степенной функции с положительным показателем при х > О и симметрии графика относительно начала координат. 5) Составив таблицу значений функции у = х^ для некоторых значений х > О (например, для я: = О, 1, 2, 3), построим часть графика при х > О и затем с помощью симметрии — ту его часть, которая соответствует отрицательным значениям X (рис. 9). О функция возрастает по свойству возрастания степенной функции с положительным 1 показателем, так как Ух = д;з при х> 0. 4) При д: > О значения j/ > 0; у(0) = 0. 5) Найдя несколько точек, принадлежащих графику, построим часть графика для значений д: > 0 и затем с помощью симметрии для значений д: 0. Упражнения Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или ни чётной, ни нечётной (172—173). 172 1)1/ = 2х*\ 2) у = Зд:®; Ъ) у = х^ + Z-, А) у = х^ — 2. 173 1) у = х-*-, 2) у = х-^ 4) у = д:® + д:®; Ъ) у = х’^ — х + 6) i/ = — 3) у = х* + д;2; 1 д +1 75 174 175 176 Построить эскиз графика функции: \) у = х*\ 2) у = х^\ 3)i/ = -x^ + 3; А) у = Чх. Показать, что функция не является чётной и не является нечётной: х-\ 1) У = X + 2 , х-З’ 2) у = — X + 4 177 178 179 180 181 182 183 Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или ни чётной, ни нечётной: 1) у = X* + 2х^ + 3; 2) I/ = X® + 2х + 1; 3) y = -^ + V^; 4)у = х* + \х\. Используя симметрию, построить график чётной функции: 1) j/ = x2-2|x| + 1; 2) у = х^-2\х\. Используя симметрию, построить график нечётной функции: 1)у = х\х\-2х; 2)у = х\х\ + 2х. Выяснить свойства функции и построить её график: 1) г/ = л/х-5; 2) I/=-/х-ь3; 3) у = х* + 2-, А) у = \ — х*\ 5) у = (х + 1)®; 6) у = х^-2. Построить график функции: _ |х^, если х>0, 2\ _ jjc®. если х>0, ^ |х®, если х О, если: 1) у = х\ 2) у = х^-, 3) у = х^ + Х-, А) у = х^ — X. Достроить график каждой из функций для х ) по свойству степенной функции с отрицательным показателем, так как — = X 4) При X > о функция принимает положительные значения. 5) Найдя несколько точек, принадле- жащих графику, например точки 2^, (1; 1), 1^2; | j, построим (!-)• часть гра- Задача 2 фика для значений х > 0 и затем с помощью симметрии — его часть для значений л: О, и во втором и четвёртом квадрантах, если А 0, обладает такими же X свойствами, что и функция у = ^, а именно эта функция: 1) определена при д: 0; 2) принимает все действительные значения, кроме нуля; 3) нечётная; 4) принимает положительные значения при х > 0 и отрицательные — при дг 0; 5) возрастает на промежутках (-оо; 0) и (0; -юо). 78 Задача 3 Говорят, что функция у = — при k> о выражает обратную пропорциональную зависимость между д: и у. Такая зависимость между величинами часто встречается в физике, технике и т. д. Например, при равномерном движении по окружности с постоянной скоростью V тело движется с центрюстремительным ускорением а, равным —, г где г — радиус окружности, т. е. в этом случае ускорение обратно пропорционально радиусу окружности. Вычислить центростремительное ускорение Луны, которая движется вокруг Земли на расстоянии 3,84 • 10® м, совершая один оборот за 27,3 сут. J.2 ► Вычислим ускорение а по формуле а — —, где v = ^,C = 2лг, t = 27,3 • 24 • 3600 с, г = 3,84 • 10®. Используя микрокалькулятор, получим: 4-п^ •3.84-10® Ответ Задача 4 2,72 (1 = — (27,3-24-3600)2 10″® м/с®. 1: 2) J/(x) = -i; 4) 1. 185 На одной координатной плоскости построить графики функций у = — и у = X. Выяснить, при каких значениях х: 1) графики этих функций пересекаются; 2) график первой функции лежит выше (ниже) графика второй. 186 Не строя графики функций, найти координаты точек их пе- ресечения: 1) У = ^. У = 3х; 3) y = у = х-1-. 2) у = —
, у = -2х; 4) у = 6 х + 1 , у = х + 2. 187 Построив графики функций, найти приближённые значения координат точек их пересечения: 1) z/ = ^, у = х+1; X 3) у =
, у = х^ + 2; X 2) У = —’ у=1 — х; 4) У = ^> У = х^ + 4х. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ = 3. 80 188 В цилиндре под поршнем при постоянной температуре находится газ. Объём V (в литрах) газа при давлении р (в ат- 12 мосферах) вычисляется по формуле V = —. Р 1) Найти объём, занимаемый газом при 4 атм; 5 атм; 10 атм. 2) Вычислить, при каком давлении газ имеет объём 3 л, 5 л, 15 л. 3) Построить график зависимости объёма газа от его давления. 189 Сила тока в реостате I (в амперах) вычисляется по формуле I = — , где и — напряжение (в вольтах), R — сопротивле-R ние (в омах). 1) Построить график зависимости I (R) при 17 = 6. 2) По графику приближённо найти: а) силу тока при сопротивлении, равном 6; 12; 20 Ом; б) сопротивление реостата при силе тока, равной 10; 5; 1,2 А. 190 Построить график функции; 1) У = —2; X 3) у- х + 2 -1; 2) (/ = ^ + 1; X 4) у = ^ + 1. \ — X 191 Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 150 м со скоростью 60 км/ч. Найти центростремительное ускорение автомобиля. Увеличится или уменьшится центростремительное ускорение, если скорость автомобиля останется прежней, а радиус закругления дороги увеличится? 81 Неравенства и уравнения, содержащие степень Задача 1 Ответ Задача 2 Ответ Свойства степенной функции используются при решении различных уравнений и неравенств. Решить неравенство > 32. Функция у = определена и возрастает при всех действительных значениях х. Так как у (2) = 32, то у <х) >32 при д: > 2 и у(х) 2. 0. Уравнение дг’* = 81 имеет два действительных корня = -3, ДГ2 = 3. Поэтому неравенство X* о — решения О 0. При дг > 0 это уравне- X ние имеет один корень, равный абсциссе точки пересечения графиков этих функций. Из рисунка 15 видно, что
1,2. Других положительных корней уравнение не имеет, так как при х > х^ функ- Q ция у = — убывает, а функция у = х^ + 1 возрастает, и, следовательно, графики функций при х > х^ не пересекаются. По той же причине они не пересекаются при о т. е. при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) 83 появляется так называемый посторонний корень. Это произошло потому, что при л: = -1 уравнение (1) обращается в неверное равенство 1=-1, а при возведении обеих частей этого неверного равенства в квадрат получается верное равенство 12 = (-1)2. Таким образом, при возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни. При решении уравнения возведением в квадрат обеих его частей необходимо делать проверку. Уравнение (1) — пример иррационального уравнения. Приведём ещё примеры иррациональных уравнений: V3 — 2х = 1- х; ■>! X X -Z. Рассмотрим решение нескольких иррациональных уравнений. Задача 5 Решить уравнение -Jb-2x = \- х. ► Возведя обе части уравнения в квадрат, получим: 5 — 2л: = ^2 — 2д: -I- 1, или х^ = 4, откуда Xj = 2, Х2 = —2. Проверим, являются ли найденные числа корнями исходного уравнения. При X = 2 левая часть исходного уравнения равна .^5 — 2 — 2 = 1, правая часть равна 1-2=-1. Так как 1 -1, то X = 2 не является корнем исходного уравнения. При X = -2 левая часть уравнения равна у/5 — 2(-2) = 3, правая часть равна 1 — (-2) = 3. Следовательно, х = -2 — корень исходного уравнения. Ответ X = —2. 1; 2) х^ 64; 4) уЗ 625. 193 1) Какой может быть сторона квадрата, если его площадь больше 361 см^? 2) Каким может быть ребро куба, если его объём больше 343 дм3? 194 (Устно.) Показать, что число 7 является корнем уравнения: 1) л/л:-3 = 2; 2) д/хЗ-13-л/2х-5 = 3. 195 (Устно.) Решить уравнение: 1) V^=3; 2) л/^=7; 3) у/2х-1 = 0; 4) V3x-1-2 = 0. Решить уравнение (196—199). 196 1) ^Jx + l = 2■, 2) л/л:-1 = 3; 3) Vl-2x = 4; 4) >/2x-l = 3. 197 1) ^Jx + l = ^|2x-3; 2) Ух — 2 = л/Зх — 6; 3) х^ + 24 = ^Jllx; 4) -yjx^ + 4х х. 85 198 1) ■sj X + 2 = х; 2) л/Зх -1- 4 = х; 3) V20-x2 = 2х; 4) ■^0,4- х^ = Зх 199 1) х-8 = X -2; 2) + X -6 = X 200 Решить неравенство: 1) (X — 1)3 > 1; 2) (X -1- 5)3 > 8; 3) (2х — 3)^ > 1; 4) (Зх — 5)^ 256; 6) (4 — х) 81. 201 Объяснить, почему не имеет корней уравнение: 1) Vx=-8; 2) >Ax+Vx^^ = -3; 3) у1-2-х^ =12; 4) = 5. Решить уравнение (202—204). 202 I) ,[х^^^4хТ9 =2х-5; 3) 2х = 1 + ^х^ + 5; 203 1) -Jx + 12 =2 + -Лс-, 204 1) V2x + 1+V3x + 4 = 3; 3) л/л:-7 ->/л: + 17 = -4; 205 2) д/лг^ + Зх + б = Зд: + 8; 4) j: + л/13 — 4л: = 4. 2) >>А+х + = 4. 2) -J4x -3 + Лх + 4 = 4; 4) — 1 = 1. При каких значениях х принимают одинаковые значения функции: 1) у = >/4+Vx, I/ = yjl9-2^c; 2) у = ^7 + л/х , I/ = -Jll-yfx ? 206 Решить неравенство: 1) Л-2>3; 2) л/лг-2 х; 4) V2 — X x + 3; 6) л/л: + 3 32; 3) лг® > 64; 4) 215 Решить уравнение: 1) л/З-л; = 2; 2) л13х + 1 = 7; 3) V3-11X = 2х-, 4) ^J5x-l + Зx^ =3х; 5) -J2x -1 = X — 2; 6) ■j2-2x = л: + 3. 4) л:5 О, У(х) 2) г/ = 4-: 3) У = 3—^
; 4) у = х‘ (х-1)® Решить неравенство (220—221). 1) (Зх -ь 1)’‘ > 625; 2) (Зх® + 5х)® ; 2) а„ = 2 (л — 10); / \л +2 4) «. = 7.(1) . 91 Арифметическая прогрессия Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно 365- су- 4 ток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам. Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным. Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016. В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями. Определение. Числовая последовательность fli, Пз, Пз, . о„, . называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство an*i = an + d, где d — некоторое число. Из этой формулы следует, что a„ + i — а„ = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии. Примеры 1) Натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4, . п, . является арифметической прогрессией. Разность этой прогрессии d = 1. 2) Последовательность целых отрицательных чисел -1, -2, -3, . -п, . — арифметическая прогрессия с разностью d = -1. 3) Последовательность 3, 3, 3, . 3, . — арифметическая прогрессия с разностью d = 0. 92 Задача 1 Доказать, что последовательность, заданная формулой а„ = 1,5 + Зл, является арифметической прогрессией. ► Требуется доказать, что разность а„ + j — а„ одна и та же для всех п (не зависит от л). Запишем (л + 1)-й член данной последовательности: а„^, = 1,5 + 3(л + 1). Поэтому 1 — а„ = 1,5 -I- 3 (л -t- 1) — (1,5 + Зл) = 3. Следовательно, разность а„ +1 — а„ не зависит от л. 1. Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия. Отметим, что если и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле + j = а„ -ь d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например, для Oioo уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула л-го члена. По определению арифметической прогрессии ^2 Л| ^ df аз = 0-2 + d = + 2d, + d = + 3d и т. д. Вообще, а„ = а1 + (л-1)й. (1) так как л-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (л — 1) раз числа d. Формулу (1) называют формулой п-го члена арифметической прогрессии. 93 Задача 2 Найти сотый член арифметической прогрессии, если Oj = -6 и d = 4. ► По формуле (1) имеем ajoo = -6 + (ЮО-1) • 4 = = 390. Задача 3 Число 99 является членом арифметической прогрессии 3, 5, 7, 9, . . Найти номер этого члена. ► Пусть п — искомый номер. Так как Cj = 3 и d = 2, то по формуле о„ = Oj и-(га — 1) d имеем 99 = 3-1—I- (га — 1) • 2. Поэтому 99 = 3 -f 2га — 2; 98 = 2га, га = 49. 1). Поэтому ваниями а„_ 1 и ния равна а„ а. Рис. 16 а„ = •f а П + 1 94 Отсюда 2a„ = a„_i+а„^.„ или a„^i
a„ = a„- — а л — 1* Так как разность между каждым членом последовательности и предшествующим ему членом одна и та же, то эта последовательность — арифметическая прогрессия. 1. Найти Ojo + ^5, если Пу + Og = 30. 251 Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо равенство а =■ •■л + А + а л — А , п> k. Найти 020, если а,о + а^о = 120. I Сумма п первых членов арифметической прогрессии Ш •. I. I. I. I. I • • I. I. I. I • Задача 1 Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. ► Запишем эту сумму двумя способами: S = l + 2 + 3 + . + 99 + 100, S= 100 + 99 + 98 + . + 2 + 1. Сложим почленно эти равенства: 2S = 101 + 101 + 101 + . + 101 + 101. 100 слагаемых Следовательно, 2S = 101 • 100, откуда S = 101 • 50 = 5050. Si2 = 3 (5g — 54). 100 г еометрическая прогрессия Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника (рис. 18). По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения, получим треугольники со сторонами 1, i, i см и т. д. Запишем последовательность длин сторон этих треугольников: 4, 2, 1, 1 1 4’ 8. В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число Определение. Числовая последовательность bj, (?2, &з, . . называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство +1
где О, 9 — некоторое число, не равное нулю. Из этой формулы следует, что + 1 = q. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Примеры 1) 2, 8, 32, 128, . — геометрическая прогрессия со знаменателем g = 4; 101 Задача 1 2 4 8 2) 1, —, —, . — геометрическая прогрессия со 3 9 2Т знаменателем 9 = |: 3) 1, -12, 144, . — геометрическая прогрессия со знаменателем q = -12; 4) 7, 7, 7, 7, . — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1. Доказать, что последовательность, заданная формулой Ь„ = 7^», является геометрической прогрессией. ► Отметим, что Ь„ = 7^» * О при всех п. Требуется до- казать, что частное ■’п + Х — ОДНО и то же число для всех п (не зависит от п). Получаем ■’п +1 j2
^ + + 1) = х’‘-1. где га — натуральное число, большее 1. В геометрической прогрессии найти: 1) 5j и q, если ftj = 135, S3 = 195; 2) q тл &з, если fcj = 12, S3 = 372. В геометрической прогрессии найти: 1) q, если bi = 1 и Ь^ + Ь^ = 90; 2) q, если &2 = 6 и Ь^ + Ь^ = 60; 3) Sjo, если bj — 5з= 15 и &2 “ ^4 = 30; 4) S5, если Ьз — = 24 и Ь^- Ь^ = 624. 109 i Упражнения к главе IV
, га = 10; 3) = 10, q = 1, п = 6; 4) = 5, ? = -1, га = 9. 306 Найти сумму га первых членов геометрической прогрессии: 1) 128, 64, 32, . га = 6; о\ 2 13 __ р., 3’ 2’ 8’ •••’ ^ 5) -|, -i, -2, . га = 4; 2) 162, 54, 18, . га = 5; 4) . га = 4; 6) -4, 8, -16, . га = 5. Проверь себя! 1 Вычислить первые три члена последовательности, которая — -п задана формулой га-го члена а„ = —-—. 2 В арифметической прогрессии Oj = 2, d = -3. Найти и сумму первых десяти её членов. 3 В геометрической прогрессии ftj = 4, g = i. Найти bg и сумму первых шести её членов. 4 Доказать, что последовательность 1, i, . является геометрической прогрессией, и найти сумму первых пяти её членов. 111 307 Числовая последовательность задана рекуррентной форму- а„ + а лои а„+2 = Л + 1 и условиями aj=-l, 02 = 3. Вычис- 308 309 310 311 312 313 314 315 316 лить пятый член последовательности. Найти разность арифметической прогрессии, если а^ = 2^ 1 2 и Оо = 23 ® 2 Записать первые 5 членов арифметической прогрессии, если: 1) Oj — 5, Од — 15: 2) Од — 8, СЕд — 2. Между числами -10 и 5 вставить число так, чтобы получились 3 последовательных члена арифметической прогрессии. Найти девятнадцатый и первый члены арифметической прогрессии, если: 1) ®13
При каком значении х являются последовательными членами арифметической прогрессии числа: 2) Зх^, 2, Их? 1) Зх, 2х — 1; Сколько нужно взять последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с 5, чтобы их сумма была равна 252? Найти а„ и d арифметической прогрессии, у которой: 1) Oj = 40, п = 20, Sgo = -40; 2) ai = |, п=16, Si6=-10|. Для геометрической прогрессии вычислить: 1) Ьд, если fei = 4 и g = -1; 2) Ьд, если fej = 1 и q = -Js. Найти пятый член геометрической прогрессии, если: 2) Ьд = —3, feg = —81; 1) &2 = |.г»7 = 16; 3) г>2 = 4, = 1; 4) Ь. = —
, Ь. = — — . ’ * 5 ® 125 317 318 Между числами 4 и 9 вставить положительное число так, чтобы получилось 3 последовательных члена геометрической прогрессии. Отдыхающий, следуя совету врача, загорал в первый день 5 мин, а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 40 мин, если он начал загорать в среду? 112 320 321 322 323 324 325 319 Настенные русские часы с кукушкой устроены так, что кукушка кукует 1 раз, когда часы показывают половину очередного часа, и каждый час столько раз, каково время от 1 до 12. Сколько раз прокукует кукушка за сутки? Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если aj -I- 02 -н Пз = 15 и Oj • П2 • Сз = 80. Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если Oj + 02 -I- Оз = О и Oj -I- о| -I- о| = 50. Доказать, что для геометрической прогрессии справедливо равенство + где п> k. Вычислить &7, если Ь^Ьц = 225. Доказать, что для геометрической прогрессии справедливо равенство где fe > L Вычислить bibi, если Ьз&5 = 72. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после десятикратного их деления, если первоначально было а клеток? Из пункта А в пункт В одновременно с постоянными скоростями отправились пешеход и велосипедист. Велосипедист, прибыв в пункт В, повернул назад и встретил пешехода через 1 ч после начала движения из пункта А. После встречи с пешеходом велосипедист снова поехал в пункт В, а по прибытии туда повернул обратно и встретился с пешеходом через ^ ч после первой встречи. После второй встречи велосипедист опять поехал в пункт В, а доехав, повернул обратно и т. д. Найти время, за которое пешеход пройдёт путь АВ. 326 Музыкальная октава делится на 12 равных интервалов-полутонов. Частота каждого последующего звука приблизительно в 1,059 раза больше частоты предыдущего. Во сколько раз нота соль выше ноты до той же октавы (вычисления провести на микрокалькуляторе)? V глава Случайные события События • I. I. I. I. I. I. I. I. I. I • 1. Невозможные, достоверные и случайные события В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний (опытов), наблюдений и измерений, производимых людьми. Все события можно подразделить на невозможные, достоверные и случайные. Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может. Приведём примеры невозможных событий: 1) вода в реке замёрзла при температуре -t-25 °С; 2) при бросании игральной кости (т. е. кубика, на гранях которого отмечены очки от 1 до 6) появилось 7 очков. Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдёт. Например, достоверными являются события: 1) после четверга наступила пятница; 2) при бросании игральной кости выпало число очков, меньшее семи. Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти. 114 Случайными являются, например, следующие события: 1) при телефонном звонке абонент оказался занят; 2) при бросании игральной кости выпало 2 очка. 2. Совместные и несовместные события Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, — несовместными. Например, события «пошёл дождь» и «наступило утро* являются совместными, а события «наступило утро» и «наступила ночь» — несовместными. Рассмотрим события, связанные с одним бросанием игральной кости: 1) выпало 2 очка; 2) выпало 5 очков; 3) выпало более 2 очков; 4) выпало число очков, кратное двум. Среди них совместными будут три пары: 1-е и 4-е (число 2 чётное); 2-е и 3-е (5 очков больше, чем 2); 3-е и 4-е (например, 4 очка). Несовместными будут события: 1-е и 2-е (одновременно не могут выпасть 2 разных числа); 1-е и 3-е (более 2 очков, т. е, 3, 4, 5 или 6 одновременно с 2 очкгпии появиться не могут); 2-е и 4-е (число 5 не кратно 2). Орёл 3. Равновозможные события Рассмотрим группы событий: 1) «появление орла» и «появление решки» при одном бросании монеты (рис. 20); 2) «появление 1 очка», «появление 2 очков», . «появление 6 очков» при одном бросании игральной кости; 3) «падение бутерброда маслом вверх» и «падение бутерброда маслом вниз»; 4) «изъятие из полного набора домино дубля» и «изъятие из полного набора домино костяшки с разными очками». В примерах 1 и 2 нет оснований полагать, что в наступлении одного из событий есть какое-то преимущество (если монета и кубик правильные). Такие события называются равновозможными. Часто равновозможность событий удаётся установить из соображений симметрии. 115 Примеры 3 и 4 демонстрируют образцы неравновозможных событий. Действительно, бутерброд чаще падает маслом вниз (из-за того, что после намазывания хлеба маслом центр тяжести бутерброда смещается из центра его симметрии в сторону слоя масла). При изъятии одной костяшки из полного набора домино, скорее всего, появится костяшка с разными очками (так как дублей в наборе домино всего 7, а остальных костяшек 21). Упражнения В упражнениях 327—331 описаны условия и происходящие в них события. Для каждого из этих событий (устно) определить, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным. 327 Из 25 учащихся класса: 1) двое справляют день рождения 30 января; 2) все справляют день рождения 30 января. 328 Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы К; 2) с буквы Ь. 329 Из списка журнала IX класса (в котором есть и девочки, и мальчики) случайным образом выбран один ученик: 1) это мальчик; 2) выбранному ученику 14 лет; 3) выбранному ученику 15 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет. 330 Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) у жительницы Сочи вода в кастрюле закипела при t = 80 °С; 2) когда температура воздуха упала до -5 °С, вода в луже замёрзла. 331 Бросают две игральные кости: 1) на первой кости выпало 3 очка, а на второй — 5 очков; 2) сумма выпавших на двух костях очков равна 1; 3) сумма выпавших на двух костях очков равна 13; 4) на обеих костях выпало по 3 очка; 5) сумма очков на двух костях меньше 15. В упражнениях 332—334 среди данных пар событий указать, какие являются совместными, а какие — несовместными. 332 В сыгранной Катей и Славой партии в шахматы: 1) Катя выиграла; Слава проиграл; 2) Катя проиграла; Слава проиграл. 333 Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось: 1) 6 очков; 5 очков; 2) 6 очков; чётное число очков. 334 Из набора домино (рис. 21) вынута одна костяшка, на ней: 1) одно число очков больше 3, другое число 5; 2) одно чис- 116 Рис. 21 ло не меньше 6, другое число не больше 6; 3) одно число 2, сумма обоих чисел равна 9; 4) оба числа больше 3, сумма чисел равна 7. 335 Из событий: 1) «идёт дождь»; 2) «на небе нет ни облачка»; 3) «наступило лето» — составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий. 336 Из событий: 1) «наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 6 уроков»; 3) «сегодня первое января»; 4) «температура воздуха в Салехарде -н20 °С» — составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий. 337 Имеется правильная треугольная пирамида — тетраэдр (рис. 22). Одна из её граней серая, а 3 другие белые. Тетраэдр бросают на стол и наблюдают за гранью, которой он соприкасается со столом. Являются ли равновозможными события «тетраэдр упал на серую грань» и «тетраэдр упал на белую грань»? Тетраэдр Развёртка тетраэдра 338 Бросается игральный кубик, у которого: 1) 2 грани; 2) 3 грани — окрашены в красный цвет, а остальные — в жёлтый. Являются ли равновозможными события «выпала жёлтая грань» и «выпала красная грань»? 117 ♦ 6 ♦ 7 ♦ 9 ♦ 10 ♦ В ♦ д к ♦ т «к* 6 V- 8 В Д су» к ф 6 ф 7 Ф 8 Ф 9 Ф 10 Ф В ф Д Ф к ф т ф 6 ф 7 Ф 8 Ф 9 Ф 10 Ф В ф Д Ф к ф т Рис. 23 339 340 Из полной колоды в 36 карт (рис. 23) наугад вынимается одна карта. Являются ли равновозможными события: 1) «вынута карта красной масти» и «вынута карта чёрной масти»; 2) «вынут король» и «вынута дама»; 3) «вынута карта бубновой масти» и «вынута карта червовой масти»; 4) «вынута карта пиковой масти» и «вынута карта красной масти»; 5) «вынута шестёрка треф» и «вынута дама пик»? Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются совместными или несовместными события: 1) «вынута карта красной масти» и «вынут валет»; 2) «вынут король» и «вынут туз». Вероятность события • • • I.I.I.I..I..I. I • Встречаясь в жизни с различными событиями, мы часто даём оценку степени их достоверности. При этом произносим, например, такие слова: 118 «Это невероятно!* — говорим о невозможном событии, например, о том, что вода в холодильнике закипела. «Маловероятно, что сегодня будет дождь», — говорим, глядя на безоблачное небо летним утром. «Наверняка это случится!», «Я уверен, что это произойдёт!» — говорим, например, о предполагаемой двойке за контрольную работу, если изучаемая тема не была усвоена. «Шансы равны», «Один к одному» или «Шансы пятьдесят на пятьдесят» — говорим, например, о возможности победы в соревнованиях двух одинаково подготовленных спортсменов или когда делаем ставку на орла или решку при подбрасывании монеты. Вопрос о возможности измерения степени достоверности наступления какого-либо события задавали себе ещё в XVII в. французские учёные Блез Паскаль (1623—1662) и Пьер Ферма (1601 —1665). Наблюдая за игрой в кости, Паскаль высказал идею измерения степени уверенности в выигрыше (шансы выигрыша) некоторым числом. Действительно, рассуждал Паскаль, когда игрок бросает игральную кость, он не знает, какое число очков выпадет. Но он знает, что каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6 имеет одинаковую долю успеха (равные шансы) в своём появлении. Игрок также знает, что появление одного из этих чисел в каждом испытании (броске) — событие достоверное. Если принять возможность насту пления достоверного события за 1, то возможность появления, например, шестёрки (равно как и любого другого числа очков) в 6 раз меньше, 1 т. е. равна -. 6 Долю успеха того или иного события математики стали называть вероятностью этого события и обозначать буквой Р (по первой букве латинского слова probabilitas — вероятность). Если буквой А обозначить событие «выпало 6 очков» при одном бросании игральной кости, то вероятность события А обозначают Р (А) и записывают P(A) = i (читается: «Пэ от А равно одной 6 шестой» или «Вероятность события А равна одной шестой»). 119 Задача 1 Ответ Поверхность рулетки (её вид сверху изображён на рисунке 24) разделена диаметрами на 4 равные части. Найти вероятность того, что раскрученная стрелка рулетки остановится на секторе 3. ► Так как площади секторов поверхности рулетки одинаковы, то в одном испытании с раскручиванием стрелки существуют 4 равновозможных события <исхода испытания); стрелка остановится: 1) на секторе 1; 2) на секторе 2; 3) на секторе 3; 4) на секторе 4. Достоверное событие — «стрелка остановится на каком-либо из секторов». Вероятность наступления достоверного события равна 1, а вероятность события А — «стрелка остановится на секторе 3», в 4 раза меньше, т. е. P(A) = i. 4 1. § в § Э " я ,5 Об 3 о 5^ н я et Изучаемое событие А , о я о «о g и Э 1 « S о 1 9 5 |g S Б м м О Я 7* U \о л ^^ § SI е g g I § 3 ^ PQ O'-. ' 1 Подбрасывание игрального кубика Выпавшее число очков нечётно 2 Подбрасывание игрального кубика Выпавшее число очков кратно трём 3 Изъятие из полного набора домино одной костяшки Изъята костяшка с очками 2 и 6 4 Изъятие из полного набора домино одной костяшки Изъят дубль 5 Раскручивание стрелки рулетки, разделённой на 8 равных секторов, занумерованных числами от 1 до 8 Остановка стрелки на секторе с номером, кратным 4 6 Раскручивание стрелки рулетки, разделённой на 8 равных секторов, занумерованных числами от 1 до 8 Остановка стрелки на секторе, номер которого не больше 6 343 В ящике находятся 2 белых и 3 чёрных шара. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) чёрный; 3) зелёный; 4) белый или чёрный? 122 344 В ящике находятся 2 белых, 3 чёрных, 4 красных шара. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар: 1) белый; 2) чёрный; 3) красный; 4) не белый; 5) не чёрный; 6) не красный? 345 На одинаковых карточках написаны числа от 1 до 10 (на каждой карточке — одно число). Карточки положили на стол, перевернули числами вниз и перемешали. Какова вероятность того, что на вынутой карточке окажется число: 1) 7; 2) чётное; 3) кратное 3; 4) кратное 4; 5) делящееся на 5; 6) простое? 346 Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой? 347 В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет: 1) выигрышный; 2) невыигрышный? 348 Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет? 349 Допустим, что 5 раз подбрасывалась монета и каждый раз выпадал орёл. Какова вероятность того, что при новом броске выпадет орёл? 350 Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта: 1) шестёрка треф; 2) семёрка; 3) король красной масти; 4) карта бубновой масти с числом; 5) карта червовой масти с чётным числом? 351 Деревянный окрашенный кубик 3x3x3 распилили на 27 одинаковых кубиков 1x1x1 (рис. 26). Кубики перемешали и выбрали наугад один из них. Найти вероятность события: 1) А — окрашены ровно 3 грани кубика; 2) В — окрашены ровно 2 грани; 3) С — окрашена только одна грань; 4) D — нет ни одной окрашенной грани. =71 Рис. 26 123 Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики Задача 1 Брошены две монеты. Какова вероятность того, что появятся: 1) два орла; 2) орёл и решка? ► Составим таблицу вариантов, позволяющую определить все возможные исходы в результате бросания двух монет. Появление орла в таблице обозначено буквой О, а появление решки — буквой Р. 1-я монета 2-я монета 0 Р 0 ОО ОР Р РО РР Ответ Из таблицы видно, что число возможных исходов в испытании п = 2 • 2 = 4. 1) Событию А — появлению двух орлов благоприятствует один исход (00), т. е. т = 1, поэтому P(A) = ^ = i. п 4 2) Событию В — появлению орла и решки благоприятствуют 2 исхода (ОР и РО), т. е. т = 2. Тогда Р(В) = - = - = -. п 4 2 2) Напомним правило произведения, сформулированное при изучении элементов комбинаторики в VII классе. Если существует п вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора второго элемента, то существует п ■ т различных пар с выбранными первым и вторым элементами. 124 Задача 2 Ответ Задача 3 Брошены две игральные кости: одна белого, другая красного цвета. Какова вероятность того, что: 1) на белой кости выпадет 6 очков, а на красной — нечётное число очков; 2) на одной кости выпадет 6 очков, а на другой — нечётное число очков? Согласно правилу произведения число возможных исходов п = 6 • 6 = 36. Составим таблицу возможных исходов бросания двух игральных костей. Белая КОСТЬ Красная кость 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66 1) Исходы, благоприятствующие событию А — появлению на белой кости 6 очков, на красной — нечётного числа очков, выделены в последней строке таблицы. Их 3, т. е. т = 3. Таким об- разом,Р(А) = ^ = ± = ^. 2) Исходы, благоприятствующие событию В — появлению на одной кости 6 очков, а на другой — нечётного числа очков, выделены в таблице исходов (к трём исходам, рассмотренным в предыдущем задании, добавляются ещё три за счёт появления 6 очков на второй кости и нечётного числа очков на первой). Таким образом, m = 6, и, следовательно, Р (В) = — = = п 36 6 1) 2) 1. *• » 4^ i ! 1 t i ♦ *: 1 : 'ir f ■t f ? 1 ! i i 1 j 1 i 1 j i i I i ; : ! 1 1 ! I ! 1 : 1 1 1 I ; i 11 1 : i i I 1 i i i i i i ! 1 1 j i тт i 1 i i 10 20 30 40 50 N том — подсчёт с помощью микрокалькулятора для каждого значения N (числа испытаний) относительной частоты — (с точностью до одной десяти-N тысячной). После этой работы мальчики на рисунке 38 отметили точками результаты математической обработки проведённых испытаний. Один из друзей, глядя на рисунок, сказал, что он похож на график затухающих колебаний. Придя в класс, друзья предложили всем 20 одноклассникам проделать аналогичные опыты с подбрасыванием монеты: каждый ученик бросал монету 50 раз и считал появление орла. После этого друзья составили сводную таблицу результатов испытаний (с. 135), суммируя в первом столбце число N проводимых учащимися испытаний, во втором — количество появлений орла М и находя в третьем столбце для каждой серии испытаний относительные частоты события W. Друзья заметили, что после значительного числа испытаний относительная частота появления орла всё меньше отличается от 0,5, т. е. от величины вероятности этого события в классическом понимании. Под статистической вероятностью понимают число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний. 134 N М N N М N 50 25 0,5 550 21 & 0,5018 100 48 0,48 600 302 0,5033 150 74 0,4933 650 328 0,5046 200 101 0,505 700 347 0,4957 250 126 0,504 750 372 0,496 300 145 0,4833 800 398 0,4975 350 169 0,4829 850 427 0,5024 400 196 0,49 900 448 0,4978 450 222 0,4933 950 477 0,5021 500 253 0,506 1000 502 0,502 Описанный в исследовании факт подтверждают и дошедшие до нас исторические сведения. Известно, что в XVIII в. французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк де Бюффон (1707—1788) провёл 4040 испытаний с подбрасыванием монеты. В результате чего наблюдал появление орла 2048 раз. Таким образом, Бюффон получил относительную частоту появления орла, 2048 равную 0,5069. В начале XX в. английский 4040 учёный Карл Пирсон (1857—1936) провёл с помощью своих учеников 24 000 аналогичных испытаний и наблюдал 12 012 появлений орла. Относительная частота события у Пирсона оказалась „ 12012 равной = 0,5005. 24000 Аналогичные исследования с большим числом испытаний проводились различными людьми в разные годы. В связи с этим и ему подобными явлениями швейцарский математик Якоб Бернулли (1654—1705) обосновал так называемый закон больших чисел: Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота события W (А) практически не отличается от его вероятности Р (А), т. е. Р (А)
W (А) при большом числе испытаний. 135 Задача 2 Родильный дом некоторого города вёл по годам подсчёт рождения мальчиков и девочек. Результаты заносились в таблицу. Год Число родившихся детей Девочки Мальчики 1998 802 823 1999 629 665 2000 714 769 2001 756 798 2002 783 811 Найти относительную частоту рождения мальчиков в рассматриваемые годы. Число родившихся мальчиков: М = 823 + 665 + -I-769-t-798-и 811 = 3866. Число родившихся девочек: 802 + 629 + 714 -I- 756 + 783 = 3684. Общее число родившихся детей N = 3866 + 3684 = 7550. Относительная частота появления в рассматриваемом родильном доме мальчиков равна 0,5121. М 3866 Ответ W
■ Так как Хд > Х„, можно говорить, что за один и тот же промежуток времени девочки класса в среднем читают больше книг, чем мальчики. На соревнованиях по фигурному катанию 2 фигуристки получили (по шестибалльной шкале) оценки судей, представленные в таблице: Номер фигуристки Номер судьи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4,8 5,6 4.9 5,2 4,7 4,9 4,9 4,8 4,7 2 5,1 4,2 5,0 4,9 5,0 5,1 5,0 5,1 5,0 Которая из фигуристок выступила лучше? ► Запишем в таблицы распределение по частотам оценок X и У, выставленных соответственно первой и второй фигуристкам: X 4,7 4,8 4,9 5,2 5,6 М 2 2 3 1 1 У 4,2 4,9 5,0 5,1 М 1 1 4 3 Zm = N = 9 Им = N = 9 Найдём среднее значение оценок каждой из фигуристок: ^ 4,7-2 + 4,8-2 + 4,9-3 + 5,21+5,61 44,5 . _ . X =——————————= ——
4,94, ^_4,2-1 + 4,91+5,0-4 + 5,1-3_44,4 . __ У————-^————-^-4,93. 159 Получаем X > У, хотя очевидно, что у второй фигуристки почти все оценки больше 5,0, а у первой — меньше 5,0. При этом сравнение в пользу второй фигуристки выглядит несправедливым. Такой результат получен, скорее всего, из-за необъективности 2-го судьи, завысившего по сравнению с остальными судьями оценку первой фигуристке и занизившего оценку второй фигуристке. Для большей объективности сравнения результатов на соревнованиях из совокупности баллов каждого фигуриста отбрасывают наибольшее и наименьшее значения. После отбрасывания наибольшего и наименьшего значений из совокупности баллов каждой фигуристки имеем: 4,7-1+ 4,8-2 + 4,9-3+ 5,2-1_ 34,2 Л. — ‘ ■ ■■ — .. ■ 7 7 4,9-1 + 5,0-4+ 5,1-2 _ 35,1 _ g 4,89, Так как X ‘ О можно записать в виде (-оо; 2) U (3; +оо). Решить уравнение (х^ + х- 2) (х2 — 4) = 0. (2) Уравнение х’^ + х — 2 = 0 имеет корни -1 и 2, а уравнение — 4 = 0 — корни -2 и 2. Множество С корней уравнения (2) — объединение множеств <-1; 2>и <-2; 2>, т. е. С = <-1; 2>U <-2; 2>= = <-2; -1; 2>. д:1 = -2, Х2 = -1, Хз = 2. 7» (ложное утверждение). Из каждого высказывания v можно получить новое высказывание, отрицая его, т. е. утверждая, что высказывание v не выполняется. Такое высказывание будет либо истинным, либо ложным. Его называют отрицанием высказывания о и обозначают и (читается «не о» или «и с чертой»). Например, для высказывания у: «число 7 чётное», высказывание и можно сформулировать следующим образом: «число 7 нечётное» или «число 7 не является чётным*. Заметим, что здесь высказывание и — ложно, а высказывание и — истинно. И в других случаях, если одно из высказываний V или V истинно, то другое — ложно. 170 в таблице приведены примеры высказываний v и их отрицаний V, запись которых использует математическую символику. V V 4 + 6 = 10 (истинно) 4 -1- 6 ^ 10 (ложно) 2 > 3 (ложно) 2^3 (истинно) -10 6 Z (истинно) -10 е Z (ложно) Z 0; 2) X е N. Очевидно, что для одних значений х в этих примерах сформулированные утверждения истинны, а для других ложны. Утверждения подобного рода называют предложениями с переменной х и обозначают р (л:), а в случае зависимости от двух переменных х и у предложения обычно обозначают р (х; у). Для каждого предложения принято указывать, на каком множестве X оно задано. Если же понятно, о каком множестве идёт речь, то его обычно не указывают. Например, предложение р (л:): Зх^ -)- 5х — 2 = О является уравнением, корень которого предполагается искать на множестве действительных чисел (его корнями являются = ^, Х2 = -2). Если бы требовалось, например, найти только целочисленные корни этого уравнения, то задача была бы сформулирована следующим образом: Зх^ -i-5x-2 = 0, xeZ (рещением этого уравнения является X = —2). Множество X, на котором задано предложение р (л:), можно разбить на два подмножества: одно содержит те элементы X, для которых предложение р (х) истинно (его называют множеством истинности), другое — для которых р (х) ложно. Если первое из подмнож^тв обозначить А, то второе будет мно;^ством А. Ясно, что каждое из множеств А и А, является дополнением другого до множества X. 171 Рис. 57 Например, множеством истинности А неравенства — 1 1, то (Зх) р (х) — истинное высказывание, так как, например, при д: = 2 предложение р (д:) истинно: 2^ > 1; высказывание же (Vx) р (х) ложно, так как, например, при х = 0,5 предложение р (х) ложно. Отметим, что для опровержения высказывания вида (Vx) р (х) достаточно привести контрпример, т. е. пример невыполнения высказывания р (х) хотя бы для одного X £ X. 4. Прямая и обратная теоремы Многие теоремы в математике формулируются по следующей схеме: «Для любого элемента х е X из предложения р (х) следует предложение q (х)» или коротко: (Vx) р (х) => 9 (х), X € X, (1) где знак следования => заменяет слова «откуда следует*, «тогда*, «если. то. *. Часто запись (1) заменяют более короткой: р (х) => g (х). (2) Предложение р (х) в утверждении (1) называется условием теоремы, а предложение q (х) — заключением теоремы. Рассмотрим несколько примеров. 1) В теореме Пифагора условие р (х) можно сформулировать так: «X — прямоугольный треугольник*; заключение q (х): «В треугольнике х сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны*. Используя терминологию логики, теорему Пифагора можно сформулировать, например, так: «Если некоторый треугольник прямоугольный, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны*. 2) Теорема «Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке* является краткой (удобной для заучивания) формулировкой теоремы «Если фигура X — треугольник, то биссектрисы его углов пересекаются в одной точке*. Здесь условием теоремы является предложение: «Фигура х — треугольник (любой треугольник)», а заключени- 173 ем является предложение: «Биссектрисы углов фигуры X пересекаются в одной точке». 3) В теореме Виета «Если Xi я Х2 — корни уравнения х^ + рх + q = О, то справедливы формулы х^ + Х2 = -р, х^ • Х2 = д» условием является предложение «Xi и Х2 — корни квадратного уравнения х^ + рх + д = Оо. Заключение теоремы есть предложение «Xj + ЛГ2 = -р, л:1 • Х2 = д»-Теоремы р (х) => д (х) и д (х) р (х) называются взаимно обратными теоремами. Иногда одну из этих теорем называют прямой, а другую — обратной. Ясно, что любую из двух взаимно обратных теорем можно принять за прямую. Из определения взаимно обратных теорем следует, что если в формулировке прямой теоремы поменять местами условие и заключение, то получится формулировка обратной теоремы. Например: 1) теорему, обратную теореме Пифагора, можно сформулировать так: «Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то этот треугольник прямоугольный»; 2) в теореме Виета, поменяв местами условие и заключение, имеем условие «Xi + X2 = -p, х-^Х2 = = д* и заключение «^i и дгз корни квадратного уравнения х^ + рх + д = О*. Традиционно теорема, обратная теореме Виета, формулируется так: «Если числа х^, Х2, р я д таковы, что Xi + Х2 = -р я лг,Х2 = д, то числа х^ я Xg являются корнями уравнения х^ + рх + д = О*. Важно знать, что среди пар взаимно обратных теорем обе могут быть верными (как, например, для теорем Виета и Пифагора); обе могут быть неверными; одна из них может быть верной, а другая — неверной. Например: 1) теоремы прямая «Если натуральное число оканчивается цифрой О, то оно делится на 10» и ей обратная «Если натуральное число делится на 10, то оно оканчивается цифрой 0» верны (истинны) обе; 2) неверными являются и прямая теорема «Если многоугольник X — треугольник, то сумма его углов равна 360°» и ей обратная «Если сумма углов многоугольника х равна 360°, то этот многоугольник — треугольник»; 174 3) теорема «Диагонали любого ромба взаимно перпендикулярны* верна; обратная же ей теорема «Если диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то этот четырёхугольник является ромбом» неверна, так как можно привести пример четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями, не являющегося ромбом (рис. 58). 5*. Необходимые и достаточные условия Если теорема р (лг) => q (д:) верна, то её условие р (х) называют достаточным условием для заключения q (х), а заключение q (д:) называют необходимым условием для р (дг). Например, теорема «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» верна, значит, её условие р (д:) «Четырёхугольник х — ромб* является достаточным условием для заключения q (д:) «Диагонали четырёхугольника д: взаимно перпендикулярны». Таким образом, для того чтобы диагонали четырёхугольника были перпендикулярны, достаточно, чтобы этот четырёхугольник был ромбом. Заключение этой теоремы q (дг) является необходимым для условия этой теоремы р (д:). Можно сказать, что, для того чтобы четырёхугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были перпендикулярны. Если верна не только теорема р (дг) => q (д:), но и ей обратная q (д:) р (дс), то р (дг) является необходимым и достаточным условием для q (д:), а q (д:) является необходимым и достаточным условием для р (д:). Например, верными являются как теорема Пифагора, так и ей обратная, поэтому сформулировать её можно так: «Для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов двух его сторон была равна квадрату третьей». Заметим, что слова «необходимо и достаточно» в формулировках теорем часто заменяют словами «тогда и только тогда», «в том и только в том случае», «те и только те». 175 6*. Противоположные теоремы Теоремы р (д:) q (д:) называются g (дс) и р (д:) взаимно противоположными. Например, для теоремы «Сумма (внутренних) углов треугольника равна 180°» противоположной будет теорема, в которой вместо условия и заключения будут сформулированы их отрицания: «У многоугольника, не являющегося треугольником, сумма (внутренних) углов отлична от 180°». Обе эти теоремы верны. Бывают случаи, когда одна из взаимно противоположных теорем верна, а другая нет. Например, для теоремы о перпендикулярности диагоналей ромба противоположная ей теорема не верна. Если теорема g (дс) => р (дс) обратная для теоремы р (дд) => g (д:), то теорема g (дс) => р (дг) называется противоположной обратной. Можно показать, что пары теорем: 1) р (д:) => g (х) и g (д;) р (д:) (прямая и противоположная обратной); 2) g (д:) => р (х) и р (д:) => g (х) (обратная и противоположная) — всегда одновременно истинны или ложны. Например: — прямая теорема «Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке» истинна; — обратная ей теорема «Если биссектрисы внутренних углов многоугольника пересекаются в одной точке, то этот многоугольник является треугольником» ложна (например, у ромба, являющегося четырёхугольником, биссектрисы внутренних углов пересекаются в одной точке); — противоположная теорема «Если многоугольник не является треугольником, то биссектрисы его внутренних углов не пересекаются в одной точке» ложна (контрпример — ромб); — теорема, противоположная обратной «Если биссектрисы внутренних углов многоугольника не пересекаются в одной точке, то этот многоугольник не является треугольником», истинна. Нерюдко доказательство прямой теоремы бывает затруднительно (в этом учащиеся убедились в курсе планиметрии). Тогда прибегают к доказательству методом от противного, которое заключается в доказательстве вместо прямой теоремы р (х) => g (х) теоремы, противоположной обратной д <х) ^ р (х). 176 Упражнения 437 438 Сформулировать высказывание V, если известно высказывание v: 1) 7 = 7; 2) 45 >3; 3) любое натуральное число является целым числом; 4) у Земли только один естественный спутник. Найти множество истинности предложения: 1) га — натуральный делитель числа 42; 2) k — натуральное число, кратное числу 5, но меньшее, чем 30; 3) -5 0. 439 440 441 442 443 Найти множество истинности для предложения р (х), если дано предложение р (х): 1) -4 -3; 3) д:^-н 8 = 0; 4) д:^ — 7 > 0 определить, истинным или ложным является высказывание (Уд:) р (дс); (Здс) р (х). Определить, истинным или ложным является высказывание (Уд:) р (дс); (Здс) р (д:) для каждого из предложений р (х): 1) треугольник х — равнобедренный; 2) параллелограмм х является квадратом; 3) вписанный угол х равен половине дуги, на которую он опирается; 4) сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Выделить условие и заключение теоремы; сформулировать теорему, обратную данной: 1) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3; 2) каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов. Сформулировать теорему, обратную теореме: 1) сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180°; 2) если две параллельные прямые пересечены секущей, то образовавшиеся накрест лежащие углы равны; 3) около любого прямоугольника можно описать окружность; 177 4) диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Установить, истинной или ложной является каждая из этих теорем. 444 Привести контрпример, опровергающий утверждение: 1) в любой четырёхугольник можно вписать окружность; 2) для любого треугольника сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны; 3) сумма чисел с разными знаками есть число отрицательное; 4) в равнобедренном треугольнике один угол тупой. 445 Доказать или опровергнуть высказывание: 1) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число чётное; 2) сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3. 446 Заменить многоточие словами «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно» таким образом, чтобы полученное утверждение было истинным: 1) для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, . чтобы числа были чётными; 2) для того чтобы число делилось на 9, . чтобы сумма его цифр делилась на 9; 3) для того чтобы числа Xj и лгз были корнями уравнения + рх + q = О, . чтобы ХуХ2 = q. Уравнение окружности 1. Расстояние между двумя точками Пусть на координатной плоскости заданы две точки А (дгр i/i) и В <Х2, Уг) тл Х2, г/i ^ Уг- Найдем расстояние между точками А и В (т. е. найдём длину отрезка АВ). Проведём через точки А и В прямые, перпендикулярные осям абсцисс и ординат. Точки пере- 178 1 A(xi:yi) Аз(0; Ух) “1 \ В(Х2\ У2) В2(0; У2) с л 0 Ai(xi: 0) Вх(х2\ 0) Рис. 59 Задача 1 Ответ Задача 2 сечения этих прямых с осями обозначим Aj (Хр 0), Bj (Хг; 0) и Аг (0; В2<0\ i/j) соответст- венно (рис. 59). Точка С при данном расположении точек А и В — точка пересечения прямых AAj и ВВ2. Тогда ВС = BjAj = | Х2 - Xj |, а АС = А2В2 = I 1/2 “ ™ = I У2 “ У1 !• Этот же результат даёт и формула (1'): АВ = д/0^ +<У2 -yxf =\У2 -уА- Найти расстояние между точками А (-2; 3) и В (-5; -1). По условию Xj=-2, 1/1 = 3, Х2 =-5, У2 = “1' гласно формуле (1') имеем Ответ АВ = д/(Х2 -Х,)2 -1-(У2 -У1>^ = = л/(-5 — (-2))^ + (-1 — 3)2 =>/9 + 16=5. АВ = 5. /2. х^. Координаты этих точек удовлетворяют уравнению (4), т. е. у^ = kx^ + I w. у^ = кх^ + I. Вычитая почленно из второго равенства первое, получим У2
У1 = к <Х2 - х^), откуда к = —- Если У2 = У1, то прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней и к = 0. Если У2 >yj (рис. 62, а), то к = Если У2 0. -(г/1 -Уг) = -tga О, а сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, фигура, заданная уравнением (1), может быть задана и системой уравнений |i/-l = 0, [х +3у = 0. (2) Системе (2), а значит, и уравнению (1) удовлетворяет единственная пара чисел х = -3, у = 1, определяющая точку (-3; 1) на координатной плоскости. Точка с координатами х = -3, у = 1. А задана часть плоскости, являющаяся дополнением круга с центром в начале координат и радиусом 2 до всей координатной плоскости (рис. 65, в). Если фигура задана уравнением F (х; у) = 0 1л является линией, разбивающей плоскость на две части, то в одной из частей будет выполняться неравенство F (д:; у)> о, а в другой — неравенство F (дг; у) У2 (см. рис. 67), то для любой точки А верхней полуплоскости выполняется неравенство у > kx + I, а для любой точки (дс; у), лежащей ниже прямой у = = kx + I, — неравенство у 2х — 4.. I; 1) Неравенству у ^ 2 — х удовлетворяют координаты всех точек полуплоскости, лежащих ниже прямой у = 2 — X (на рисунке 68, а эта полуплоскость отмечена штриховкой), и точек самой этой прямой. 2) Неравенству у > 2д: — 4 удовлетворяют координаты точек полуплоскости, лежащих выше пря- 189 Рис. 68 Ответ мой г/ = 2лг — 4 (эта полуплоскость отмечена штриховкой на рисунке 68, б). (Сама прямая в это множество не входит.) 1) Рис. 68, а; 2) рис. 68, б. 2х-4. На координатной плоскости (рис. 69) отметим штриховкой множества точек плоскости, удовлетворяющих каждому из неравенств системы (см. решение задачи 4). Точки координатной плоскости, удовлетворяющие как первому, так и второму неравенствам системы (точки той части плоскости, где штриховки пересекаются, и точки прямой у = 2 — х), удовлетворяют заданной системе. Рис. 69 Ответ Рисунок 69. -2; 5) л: 0; 7) X : >-2; 8) х + 1; 2) У \ 478 1) х2 + г/2 ^ 9; 2) Х2 + !/» 25; 4) X2 + у2 > 36; 5) (X + 3)2 + (у -3)2 25; 7)
, п = 12; 4) = d = |, n=18. 534 Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, если aj = 2, а„ = 120 и л = 20. 535 Доказать, что последовательность, заданная формулой 1-2п , а„ =——, является арифметической прогрессией. 3 536 Для геометрической прогрессии найти: 1) &4, если i>i = 5 и 9 =-10; 2) fej, если = -5000 и д = -10. 537 Вычислить п-й член геометрической прогрессии и сумму п первых членов, если: 1) bj = 3, 5 = 2, л = 5; 2) bj = 1, g = 5, л = 4; 3) Ь. = 8, qr = i, л = 4; 4) bi = 1, 9 = -3, п = 5. 4 538 Найти сумму л первых членов геометрической прогрессии, если bj = i,^ = 2, л = 6. 539 Используя микрокалькулятор, вычислить первую космическую скорость у поверхности Луны по формуле v = л[аК, где ускорение силы тяжести на Луне а
1,623 м/с^ и радиус Луны R
1737 км. 540 С помощью микрокалькулятора найти длину катета прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 2,45 м, а другой катет 1,78 м. 541 Делится ли нацело многочлен М (х) на многочлен Р (л:), если: 1) М(х) = Зх^ — 6x’^ -t + 3, Р(х) = х^ — X — 1; 2) М(х) = 2л:® -н 4х* + Зх^ 2х^ + 4, Р (х) = + х + 1. 542 Решить уравнение: 1) д:® — 9х* + 25х^ — 15х^ — 26л: -I- 24 = 0; 2) X® -I- Зх“ — 5×3 _ + 4л: -I- 12 = 0. 543 Решить систему уравнений: 1) Зх + 2у — ху = 7, 2х + 3у + ху = 3; 2) х^ + 2у^ + 3ху = 28, 2х^ + у^ + 3ху = 20. 199 544 Упростить выражение: л1(а — bf 1) 3) а — Ь где а > Ь; V(a — bf 2) ^—, где Ь > а\ а — Ь + ДГ + 1 , где д: > 0; 4) 1 1 1 1 + — + — + JC + 1 , где д: /з = 2-л/з ИЛИ V7-4V3 = V3-2? Выяснить, возрастает или убывает функция у = на про-межутке (0; +оо). Найти область определения функции: 1) 1/= 7(д-2)(д-3): 2) у = ^ ^ д2-2л/2д + 2’ 4) 1/ = V д + 5 Q) У = 2у1зх-х^+з’ д2_9 548 —2х Построить график функции и по графику установить её основные свойства: 1) У = 4) 1/ = х + 1 3-х 2) у = 3) у = д + 2. 2-д 5) у=^х-3; 6) (/ = ^2-д. 549 550 551 552 553 554 Решить уравнение: 1) л/л:-2 = 4; 2) л/дТз = 8; 3) л/2д-И= л/лг-1; 4) *Jx^+12 = x; 5) Убх — х^ = д; 6) л/з — д = Vl + Зд. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты 5700 м? В арифметической прогрессии aj-i-ag = — , . Найти 3 72 сумму семнадцати первых членов прогрессии. Найти первые 4 члена геометрической прогрессии, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560. В геометрической прогрессии q = 3, S^= 1820. Найти fej и &j. Сумма трёх чисел, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии, равна 39. Если из первого 200 555 числа вычесть 4, из второго 5, а из третьего 2, то полученные числа будут тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Найти эти числа. С помощью микрокалькулятора по формуле — = — -I—I- найти сопротивление R участка цепи, состоящего ^^2 R3 ИЗ трёх параллельно соединённых сопротивлений i?i =24 Ом, i?2 = 12 Ом, i?3 = 32 Ом. Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01 значения функции у (д:) при х = 0,5; 1,5; 2,5; 3,5, если: 1) г/(дс) = X® — бл:^-I-Идс — 4; 2) у (дс) = дс^ — 9дс® -I- 26дс^ — 24дс; о\ I \ Дс^-4д:-1-13 3) у <х)=--------- X -I-1 556 ■; 4) I/ (дс) = -\J9 + 4х - х^ . 557 Упростить выражение (557—558). 1) Vs + V^; 2) V4+V7. 558 1) У5 4(а +1) + (»V^ - 1)= - ( + № где о а a-fl. а +1 ( ху у 1. Зу (^х»-!/» 2х-2у) x»-t/» (2а+1 2a-l' 10а-5 2а -1 2а -t-1 4а Упростить выражение и найти его числовое значение: 6 а -I- 3 1) а»-1 2) а -1 Ь+5 3 Ь + 2 Ь»-4 204 а 1 ft-fl 6-2 при а = -9; при 6 = —8; 3) 4) g -2 a -3 C „2 a - 6a + 10 ^ 2 V g^ - 9 g + 3 при a = ft + 1.1 b + 9 b-4 1б2_1б ft + 4 при b= 4i. 3 584 Вычислить: 1) l^i] - 3-2 : 3-®; 2) (-6)° • 81-2.27З. 585 Сократить дробь: 1) g + Vi, g2-3 2) X-Vi, x2-2 ’ 3) 586 Вычислить: 1) (6-Зл/5)(6 + з75); 3) (Зл/5-2V20)V5; 587 Упростить выражение: 1) 4V3-V3(Vl6-л/З); 3) V^-V27-|Vl2; 5) (V2+3)2-3V^; 588 Вычислить: 1) (-/4+V7 +V4-V7)2; 3) ---- 5-V5 5+V5 589 Упростить: 1) у-9у2 1 1/^ + 3 4) X + x-1 2) (V5-1)(V5 + 1); 4) (1-V3)2 + (1 + V3)2. 2) 6V2-V2(V2 + V36); 4) V5O-V32-|Vl8; О 6) (2-V3)2 + 2Vl2. 2) (V3-V5-V3 + VS)2; 1 1 4) 1 +. 1 3) 3-V2 3 + Vi’ 3-V2 3 + V2. 3 + V2 3-V2’ 2) 4) 7 + 4V3 7-4V3' 1 5-Vi 5 + Vi’ 3 3 Vi-Vi Vi+Vi’ 590 Представить число в стандартном виде: 1) 0,00051; 591 Вычислить: 500’ 3) 250 000; 4) 2500 1) (0,25)® • 8® ^ 16 •4-2+ 4 2) Л-2 2 чЗу ч2, 592 Вычислить: 1) ^8,752 + 8,752 -7,25; 2) 0,625-6,752 -3.252 -0,625 73,52 +7.2,75+2,752 205 593 Упростить при х >О, у > 0: 1) 2) 4 3) ; 4) 4 594 Упростить выражение: 1) 2) 4) 11 i 1 д2 -Ь2 2д2»2 1 1 а-Ь \ 1_____g2 1 i g2+g g2+l m + 2m^ + 1 1 2m2 1^ 1 g-2g2 62 + b_ g + 6 j. g2 1 ’ g2 -1 1 1 2m2 4m2 1 m2 -1 m -1 3) 1 л:2 1+ 1^ x2 1^ 1 l-x2 x2-x 595 596 597 598 Лекарственное растение ромашка при сушке теряет 84% массы. Сколько ромашки должны собрать школьники, если они обязались высушить и сдать 16 кг этого растения? Завод дважды в течение года увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод выпускал 1200 изделий, а в конце года стал выпускать 1452 изделия. Два сплава состоят из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цинка в обоих сплавах одинаково. Из 300 кг первого сплава и 500 кг второго получен новый сплав, содержащий 30% цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве. Автомобиль «Москвич 2140* в соответствии с паспортными данными расходовал 8,8 л бензина АИ-93 на 100 км пути при скорости 80 км/ч; 1 л бензина стоил 4 р. При движении со скоростями выше рекомендованных расход топлива в среднем повышался на 25%. На сколько дороже обходилась поездка на расстояние 500 км по автостраде при езде с повышенными скоростями? 599 Записать выражение в виде многочлена стандартного вида: ^ ч2 1) (5д2-н За — 1) (2а2 — 4а-(-2); 3) (Зт^ — 6т + 7) (-2т^ + 5т — 1); 2) <-т^--п 1,3 4 4) (а2б-3&2)2. 206 600 601 602 603 1) 4x«-8V; 3)
х — 2‘\j3 + X; 6) •УЗх + 1 + л/Зх + 1 = л/5х + 9. 211 635 636 Решить уравнение относительно х: 1) — 5ах — 6а^ = 0; 2) х^ — 7ах + 10а^ = 0; 3) х^ — бах + 9а^ — = 0; 4) х^ — 4ах — + 4а^ = 0. Решить уравнение <аФ 0, Ь Ф 0): 1) х'^ - ах = 0; 2) ах^ - д: = 0; 3) ах^ + Ьх = 0; 4) ^ + £ = 0; 5) ^ + д:=0; 6) о -- = 0. Решить систему уравнений (637—638). 637 1) 2у-3х = 1, 3л + 5у = 34; 2) |Юл -Зу = 38, |бл + 5у = 50; 6л-15г/=12, 4л-9г/ = 10; 4) \l4y-9x = 5, [12х + 21у = 33. 638 х^-5у^ = -1, Зху + 7у^ = 1; "1 Зу2_2л1/ = 160, у^-Зху-2x^ = 3-, 3) 1 + 1 = 3 X у 2’ J- + ± = l- Д.2 yZ 4’ 4) • 1 + 1 = 1, X у 3 J L-4 у2 3 5) \2х^ + + Ъху = 62, \у^- ху-2х^ = 0\ 7) \2Чх^-у^ = 2б, [9х^ + 3ху + у^=13; 6) \х^-2у^ + 4ху =-45, у^ - ху-6x^ = 0; 8) (х^ + 8у^ = 12ху, \х + 2у = 6. 639 Показать, что система не имеет решений: 1) Jx-y = 3, 2) (Зх-2у = 7, -2х+2у = -10; \-9х + 6у = 21. 640 641 3. Неравенства Решить неравенство (640—641). 1) Зх - 7 |(9x-l); 3) 1,5 (X - 4) + 2,5х 9 + х. л + 4 1) 3 2 3) ^^ + ^^>7; 2 3 5) л: + ^^>3; 6 212 2) х-1 >1; 2л- 5 3-2Л/1 —— 4 5 с, , л + 2 ^ о 6) л Ч—- 5х-3, 2) (х + 5>5х-3, 2) \2х + 3>0, |2д:-5 10-д:, |-0,5д: l; Найти все решения неравенства, являющиеся натуральными числами: 1, X — 2 1)———-X : х-8 2) 644 645 Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств: 1) \2(х + 1) х-7, 4) 1-4X-I-7 >-5; 3i/ + 2y_13 >2 ^ 11 ^_3^ Найти все решения системы неравенств, являющиеся целыми отрицательными числами: ‘Зх-2 ^ р1 ^2х-1 Зх + 2 2х — 5 _ Зх -1 ^ X — 3 6 2х-1 646 Решить квадратное неравенство: 1) х2 — Зх + 2 > 0; 2) х^ — 2х — 3 0; 4) -х^ -н Зх — 1 > 0; 5) 3 -I- 4х 8×2 0; 7) 2×2 — X — 1 0. 647 Решить неравенство: 1)\х\>^; 2) |х-1| 3; 4) |х — 11 0; 2) (X -(- 4)(х — 2) 0; 4) х (х — 8) (х — 7) > 0; 6) (х + 3)| 5)(x-l)[^x2-ij>0; 213 649 Сравнить числа: 1) 5^^2 и 7; 2) 9 и 4>/5; 3) loVTl и Ил/ТО; 4) 5у[б и 6^5; 5) 3^3 и 2^10; 6)2^3и>/2-У5. 650 Найти наибольшее целое отрицательное число, являющееся решением системы неравенств: £_£ + £>v + «s |(;c+2) -32; 4) X® 1; >2,5; 2) |3х — 2| > 10; 4) |2 5х| l. 2) х^ 81; 5) Х-® > 27; 6) Х-® 0; 2) аЬ; 3) + а
^ > 2, если а Ф 0; 2) 1 + ^> 4^, если й > 0; 4) а® -н а»® > 2, если а > 0. 214 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 4. Задачи на составление уравнений Сумма двух чисел равна 120, а их разность равна 5. Найти эти числа. На путь по течению реки катер затратил 3 ч, а на обратный путь 4,5 ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера относительно воды 25 км/ч? Моторная лодка пропзла путь от А до В по течению реки за 2,4 ч, а обратный путь за 4 ч. Найти скорость течения реки, если известно, что скорость лодки относительно воды 16 км/ч. Катер проплыл 15 км вниз по течению реки за 1 ч и вернулся на ту же пристань, потратив на обратный путь 1,5 ч. Найти скорость катера относительно воды и скорость течения реки. Периметр равнобедренного треугольника равен 5,4 дм. Боковая сторона в 13 раз длиннее основания. Найти длины сторон треугольника. Скорость рейсового трамвая новой конструкции на 5 км/ч больше, чем скорость прежнего трамвая, поэтому он проходит маршрут в 20 км на 12 мин быстрее, чем трамвай старой конструкции. За какое время новый трамвай проходит этот маршрут? Некоторую часть дня автобус работает в режиме экспресса. При этом его рейсовая скорость увеличивается на 8 км/ч, а время, затраченное на маршрут в 16 км, сокращается на 4 мин. За какое время проходит этот маршрут автобус в режиме экспресса? Одно звено собрало со своего участка 875 ц пшеницы, а другое звено с участка, меньшего на 2 га, — 920 ц пшеницы. Сколько центнеров пшеницы собрало каждое звено с 1 га, если известно, что с 1 га во втором звене собрали на 5 ц пшеницы больше, чем в первом? При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за 2 ч 55 мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каждый насос, работая отдельно, если один из них может эту работу выполнить на 2 ч быстрее другого? Отец старше дочери в 4 раза. Пять лет назад он был старше её в 9 раз. Сколько лет сейчас отцу и дочери? Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость движения и за 25 мин достигает скорости 60 км/ч. Найти ускорение поезда. 215 668 Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость и за 10 мин достигает 30 км/ч. Какое расстояние пройдёт поезд за это время? 669 Тело брошено с начальной скоростью Oq
^ м/с вертикально вниз и движется равноускоренно с ускорением g = = 9,8 м/с^. Найти время, за которое тело пройдёт расстояние S = 137,5 м. 670 Пешеход и велосипедист отправились одновременно навстречу друг другу из разных городов, расстояние между которыми 40 км. Велосипедист проехал мимо пешехода через 2 ч после отправления и на весь путь затратил на 7,5 ч меньше, чем пешеход. Найти скорость движения каждого, считая, что пешеход и велосипедист двигались всё время с постоянными скоростями. 671 Водитель междугородного автобуса вынужден был по дороге заправить автобус горючим, затратив на это 12 мин. Чтобы прибыть в конечный пункт вовремя, он увеличил скорость автобуса на 15 км/ч и ликвидировал опоздание на перегоне в 60 км. С какой скоростью двигался автобус на этом перегоне? 672 Поезд прошёл мимо неподвижно стоящего на платформе человека за 6 с, а мимо платформы длиной 150 м за 15 с. Найти скорость движения поезда и его длину. 5. Функции и графики 673 Выяснить, принадлежит ли точка А графику данной функции; найти координаты точек пересечения графика этой функции с осями координат и значение функции при X = -2: 1) у = г-0,Ъх, А (4; 1); 2) у = 1х-4, А(6;-1); 3) у = 2,5х-5, А (1,5;-1,25); 4) у = -1,5х + 6, А (4,5;-0,5). 674 Построить графики функций (в одной координатной плоскости): 1) у = 3х,у = -Зх; 2) У = \х^ 3) у = X — 2, у = X + 2-, 4) у = -х — 2, у = 2 — X. 216 675 Построить график функции: 676 1) у = х^ + 2^, 3) у = (х + 2,5)2 _ 1. 4 5) у = х^ + 2х — Ъ\ 2) У=\^-^ 4) у = д:2 — 4л: + 5; 6) у = -х^ — Зд: + 4. Найти координаты вершины параболы: 1) у = х^ — 8х + 16; 2) у = л-2 _ Юд: + 15; 3) у = х^ + 4х — 3; 4) у = 2х^ — 5л: + 3. Найти наибольшее или наименьшее значение функции: 1) у = х^-7х- 10; 2) у = -д:2 + 8л: + 7; 3) у = х^ — X — 6; 4) у = 4 — Зл: — л:2. Построить в одной координатной плоскости графики двух данных функций и определить, при каких значениях аргумента равны значения этих функций: 1) у = л:2 — 4 и у = Зл:; 2) у = (л: + 3)2 -I- 1 и у = -х; 3) у = (х+1)(х + 3) и у = -л — 3; 4) у = л2 + 1 и у = л: + 1. 679 Построить эскиз графика и перечислить свойства функции: 677 678 1) У = х\ 2) у = л®; 3) у = -^; 4) у = — 680 681 Сравнить значения выражений: 1) и fl; 2) и fl. 682 683 Построить график функции и найти значения х, при которых у = о, у > О, у 1, 1) У=\х бл:, если х . если X 10. 221 Вариант 3 722 Вычислить 3,75 + 2- 2,75-1- 2 2 2^-1,875 si+ 1,5 3 8 •12 ‘ ll‘ 723 Сократить дробь л:’‘+ 2ЛГ-15 х^-9 724 Решить систему уравнений 1+х 2х-у 5 2 Ьу-2 4х-5 = Зу-1, = 8-2х. 725 Построить график функции у = — и указать промежутки, X на которых эта функция возрастает. 726 Найти сумму первых 15 членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен -20, а разность равна 12. Вариант 4 727 Решить уравнение л/Зл: — 4• -Jx -2 = 4. 728 Решить неравенство IiLll + 5x •••> если Ь2
Ьу = 18, Ь^- bi = 42. 731 Решить уравнение лг»* = 6 — х^. 222 Вариант 5 732 Вычислить 733 Решить уравнение Зх-2 X + 4 2х + 5 лг-10 734 Из двух городов, находящихся на расстоянии 700 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость движения одного из них на 20 км/ч больше скорости другого. Найти скорость движения каждого поезда, если известно, что они двигались без остановок и встретились через 5 ч после начала движения. 735 Решить уравнение yj3x^-2 = x. 736 Указать, в каком квадранте расположена вершина параболы у = х^ + 7х + 10. Вариант 6 737 Решить систему неравенств ^+2> ^^-1, 10 х-3> 738 Упростить выражение X — 4 / ах -Ь \ Ьх + а Г а + Ь Ь-а \ [ х2-1 х-1 ) 739 Вычислить (V20 — л/45-I-2л/^ + Зл/т) • л/5. 740 Построить график функции у = -х^ — 8х + 12 и определить, на каком промежутке эта функция возрастает. 741 Решить уравнение (x-2)2 + 5(16-3x) = 0. 223 Вариант 7 742 Разложить многочлен 5у^ — Юг/ — yz + 2z на множители. 743 Выполнить действия: 744 Решить уравнение \ ь) X + 1 . X-1 5 X — 1 X +1 2 (а + Ь). 745 Найти наибольшее значение функции у = -2х^ + 5х — 3. 746 Вычислить 5/ ^(0,00032)-2 . Вариант 8 747 Найти значение выражения 1 + х + • 1-х 1 + — l-x-^ при х =—. 5 748 Найти область определения функции . _ / х-3 ^ \2x-l’ 749 Решить систему уравнений 1х + 3у = 4, [0,5л: + г/ = 1,5. 750 Найти р и д, если известно, что вершина параболы у = х^+рх + д имеет координаты (-1; 2). Построить график этой функции. 751 Вычислить (1 + >/?) (4 — л/7) • 3 V? + 9л/7. 224 Вариант 9 752 Решить систему уравнений х + у х-у _7 2 3 б’ = l 4 3 4 ■ 753 Сократить дробь 2а^ + 5а — 3 + а — 6 754 Найти р и q, если парабола у = + рх + q пересекает ось абсцисс в точке д: = 2, а ось ординат в точке у = -2. Определить координаты вершины параболы и выяснить, при каких значениях х парабола расположена ниже оси абсцисс. 755 В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 6, а разность между первым и третьим членами равна 3. Найти сумму первых шести членов прогрессии. Вариант 10 756 Найти целые решения системы неравенств 2х-3 , Зд:-2 ^ 1
I ^ « 4 3 12 5д: + 1 8х-1 /2; 4) 2у1х^-2х + 4-^х^-2х+9=1. 785 Найти действительные корни уравнения: 1) л: (X + 1) (X + 2) (X + 3) = 24; 2) х^ + (х + 1)^ + (х + 2)® = (х + 3)^. 786 Найти действительные решения системы уравнений: 1) Ux^ + y^)(x-y)=13, 2) |4(х® + г/3) = 9х2у2. ху <х-у) = 6; 4(х^ + у^) = 9х^у^-Зху. 787 Решить систему уравнений: 1) jx2-i/2 = 61(x-i/), 1(х + 1)(1/ + 1)=12; 3) \2х^у^-Зу'^ + Ъху -& = 0, уЗх^у^ - 4у^ + 3ху -2 = 0-, 5) Х®у+ Х1/2=:^(Х + 1/)2, x*y + xy'^ = ^(x + yf\ 2) 4) 6) £i + ^ = 12, г/ l + i = i- х^у 3’ ^ + ^ЩУ = 2, х + 2у ху ху^ ^ х-2у _ х-2у ху х(у^ + 1) 3 х2+у2 5’ у(х2-1) 4 5’ х2+ у2 228 \х+у + z = 0, 788 Доказать, что система уравнений j 1 ^ 1 ^ 1 _ ^ [х у г не имеет действительных решений. 789 Решить систему уравнений: 1) j|x-l|+|i/-5| = l, 2) у5у-х +х = 3, [i/ = 5+|a:-1|; |^2i/ — х + х + у-3; 3) Uy + 7x +yjy + 2x=5, \у1у + 2х -у + х = 1; 4) |л/25-л:2 -д/25-1/2 = Vs, \л125-х^ + д/25-1/2 = ^16 + ix+yf . 790 791 792 793 794 795 796 Найти все действительные значения г, при которых уравнение -и (4 + 2г) д: -и 5 -I- 4г = О имеет: 1) действительные и равные корни; 2) действительные корни, равные по модулю, но противоположные по знаку. Найти все действительные значения а, при которых корни уравнения ах^ -ь2(а-1-3)дг-1-а-1-2 = 0 неотрицательны. Найти все значения а, при которых уравнение д:^ -1- ад: -н + а = О имеет действительные корни и Х2, удовлетворяющие условиям Х^ 0; 2) 5х^ - 4ху + г/2 - 16л: + 6у + 13 >0. 799 Доказать, что для любых чисел а, Ь, с справедливо неравенство: 1) + Ь^ + -2а +4Ь-6с+14> 0; 2) <а + Ъ + cY >3 (аЬ + Ьс + са); 3) (а и- Ь — с)^ + (fc + с — а)^ -I- (а + с — Ь)^ > аЬ + Ьс + са. 800 Доказать, что при любом натуральном числе п > 2 справедливо неравенство: 1) —+ ^—+ + 2) Л + 1 л + 2 2л 2 (‘4) ЗаЬс; 2) (а -н Ь -ь с) (аЬ + Ьс + са) > 9аЬс, 3) (а + Ь)(Ь + с) (с + а) > 8аЬс; 4) (а и- 6 — с) (Ь -(- с — а) (с -(- а — Ь) 4^ + 4^• Пусть а, Ь, с — положительные числа, такие, что аЬс = 1. Доказать, что (1 -(• а) (1 + Ь) (1 + с) > 8. Доказать, что при всех действительных значениях х справедливо неравенство — л:® -н дг»* — л: -t- 1 > 0. Представить многочлен х^ + х* + 1 в виде произведения трёх многочленов с целыми коэффициентами. 807 Сократить дробь: ^ а® — 2а^ и-5а-I-26 ’ а^-5а^ + Па-1з’ 230 2) 2а* -I- а® + 4а^ -i- а -I- 2 2а® — а® -ь а — 2 808 811 812 Построить график функции: 1) у = \х — 2\ + \х + А\\ 2) i/ = |x-3|-|x-l|; 3) у = + 4х+ 4 + -^х^-6х + 9; 4) у = fjx^ + 10х + 25 — yjx^ -2х + 1; 2\х\-1 6) г/ = — х\-4 7) у = х^ — X — 2 5) у = 8) У = Зх-2, 1 Решить неравенство (809—810). 809 1) 3) 17-42д: 5х^-7х + 2 х*-Зх^-4 >6; >0; 810 x‘^ + 8x^-9 5) 1^2 — 4х| 2-/4^Гд^; 4) 2-Зд: -1. X -1 3 813 814 Три числа, сумма которых равна 24, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 2 и 7, то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найти эти числа. Три числа, сумма которых равна 28, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии. Если из этих чисел вычесть соответственно 1, 3 и 9, то полученные числа будут последовательными членами арифметической прогрессии. Найти сумму первых 10 членов геометрической прогрессии. Найти четыре числа, первые три из которых являются последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних чисел равна 18. Доказать, что если положительные числа а, Ь, с являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа 1 1 1 •fb + ^ \fc + -Га у[а + -Jb также являются последовательными членами арифметической прогрессии. 231 815 816 Доказать, что если положительные числа Oj, Oj, а„ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то ____I____+______I____+ . + _____I_____= -. 7^ + ./^ + д/а„ Пусть числа Oj, Og, . о„, . являются последовательными членами арифметической прогрессии, S„ — сумма п первых членов этой прогрессии. Доказать, что; 1) если = S„, то = 0; 2) если—^ = ——, то Дщ _ 2т -1. а„ 2л-1’ 3) S„,3 = 3S„,2-3S„,i + S„; 4) S3„ = 3 (8з„ — SJ. 817 818 819 820 821 822 823 824 825 Пусть S„ — сумма п первых членов геометрической прогрессии. Доказать, что: 1) S„ , , — S„ = 2) S„ = (5з„ — S„)2. Найти сумму S„ = 1 -(- 2л: -I- Зл:^ + 4x^ + . -н (л -I- 1) x». Найти сумму 6 -I- 66 -t- 666 -I- . -f- 666. 6, где последнее слагаемое есть л-значное число. Последовательность определяется рекуррентной формулой jc„ = ал:„_1 + Ь, где а, Ь, х, — заданные числа. Найти формулу л-го члена х„ и формулу суммы л первых членов S„. Последовательность лгр лгз» . х„, . удовлетворяет при всяком л > 1 условию +1 — 2л:„ -I- д:„ _ j = 1. Выразить х„ через л. Х2 и л. Пусть а, = Лз = Лз = 1, Л4 = -1 и а„ = _ 4 • а„ _з при л > 4. Найти Лзооо- Последовательность определяется при л > 2 рекуррентной формулой = (а и- Р) д:„ _ 1 — аРд:„ _ 3. где а, Р, х^, Х2 — заданные числа, такие, что аР 0, а р. Найти формулу л-го члена л„. Катер затрачивает на путь от Л до В по течению реки л часов, а на обратный путь Ь часов. Сколько часов будет плыть плот от А до В? Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта А выехал велосипедист, а ещё через 30 мин — мотоциклист. В некоторое время все трое оказались на одинаковом расстоянии от пункта А. Пешеход прибыл в пункт В на 1 ч позже мотоциклиста. На сколько минут раньше пешехода прибыл в В велосипедист? 232 826 Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили j содержащейся в нём меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Сколько весил сплав первоначально? 827 Из пункта А вышел пешеход, а из пункта В навстречу ему одновременно выехал велосипедист. После их встречи пешеход продолжал идти в В, а велосипедист повернул назад и поехал в В. Известно, что пешеход пришёл в В на 2 ч позже велосипедиста, а скорость его в 3 раза меньше скорости велосипедиста. Сколько времени прошло от начала движения до встречи пешехода и велосипедиста? 828 Пловец плывёт против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения ещё t минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в s метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. 829 Дорога из пункта А в пункт В длиной 11,5 км идёт сначала в гору, затем по равнине и, наконец, под гору. Пешеход на путь от А до В и обратно от В до А затратил 6 ч. Скорость его ходьбы в гору была 3 км/ч, на равнине — 4 км/ч, а под гору — 5 км/ч. Сколько километров составляет та часть дороги, которая идёт по равнине? 830 Два пешехода вышли одновременно из пункта А. Первый из них встретился с туристом, идущим в пункт А, через 20 мин после выхода из А, а второй встретил туриста на 5 мин позже, чем первый. Через 10 мин после второй встречи турист пришёл в А. Скорости пешеходов и туриста были постоянными. Найти отношение скоростей пешеходов. 233 831 Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу: первый — из пункта А, второй — из пункта В. До встречи первый пешеход прошёл на 1 км больше, чем второй. Через 45 мин после встречи первый пешеход пришёл в пункт В. Второй пешеход прибыл в пункт А через 1 ч 20 мин после встречи. Найти расстояние от А до В. 832 Дорога из пункта А до пункта В идёт на подъём, а от пункта В до пункта С имеет спуск. Пешеход затрачивает t часов на путь от А до С и ^ часа на обратный путь. Найти скорость пешехода на подъёме, если его скорость на спуске на а километров в час больше, чем на подъёме, а расстояние от А до С равно S километрам. 833 Из пункта А выехали три велосипедиста, первый — на 1 ч раньше двух других, стартовавших одновременно. Скорость каждого велосипедиста постоянна. Через некоторое время третий велосипедист догнал первого, а второй догнал первого на 2 ч позже, чем третий. Определить отношение скоростей первого и третьего велосипедистов, если 2 отношение скорости второго к скорости третьего равно -. О 834 В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают i часть раствора и выпаривают до тех 5 пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 3%. Определить исходное процентное содержание соли. 835 Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за несколько дней 216 м^ древесины. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготавливала 8 м® сверх плана. Поэтому за день до срока было заготовлено 232 м^ древесины. Сколько кубических метров древесины в день должна была бригада заготавливать по плану? 836 По расписанию поезд должен пройти перегон в 120 км с одной и той же скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд вынужден был остановиться на 5 мин. Чтобы вовремя прибыть в конечный пункт перегона, машинисту на второй половине перегона пришлось увеличить скорость поезда на 10 км/ч. Определить скорость поезда по расписанию. 837 Катер по реке и автобус по дороге, идущей вдоль берега реки, отправляются одновременно из пункта А в пункт В 234 и совершают безостановочное движение между А а В. Первая встреча их произошла, когда автобус прошёл — всего расстояния от А до В, а вторая встреча — когда автобус после первого захода в В проехал i всего расстояния от В до А. Первый раз в пункт В автобус прибыл на 16 мин позже катера. Через сколько часов после начала движения автобус и катер первый раз окажутся одновременно в пункте А? 838 Из пункта А по шоссе в одном направлении одновременно выехали два автомобиля, а спустя некоторое время из того же пункта вслед за ними выехал третий автомобиль. Через час после своего старта третий автомобиль был в 3 раза ближе к первому автомобилю, чем ко второму, а ещё через треть часа — на равном расстоянии от них. Определить, через какое время вслед за первыми двумя автомобилями вы- 7 ехал третий, если он догнал первый автомобиль через — ч 4 после старта первых двух автомобилей. 839 Дорога проходит через пункты А и В. Велосипедист выехал из А по направлению к В. Одновременно с ним из пункта В вышли с равными скоростями два пешехода: первый — в пункт А, второй — в противоположном направлении. Велосипедист проехал путь от А до В за 0,5 ч и, продолжая движение, догнал второго пешехода. Это произошло через 1,2 ч после встречи велосипедиста с первым пешеходом. Определить время движения велосипедиста от начала движения до встречи с первым пешеходом. 840 Дорога проходит через пункты А и В. Одновременно и в одном направлении выехали: из А — мотоциклист (в направлении к В), из В — велосипедист. Мотоциклист догнал велосипедиста на расстоянии а километров от В. Если бы мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из А в В, то в момент прибытия мотоциклиста в В велосипедист отставал бы от него на Ь километров. Определить расстояние между пунктами А и В. 841 Автобус из пункта А и автомобиль из пункта В отправляются одновременно и осуществляют безостановочное движение с постоянными скоростями между А и В. Первая встреча их произошла через 42 мин после начала движения, а через 2 ч 34 мин после начала движения автомобиль первый раз обогнал автобус. Через какое время после начала движения автобус и автомобиль первый раз окажутся одновременно в пункте А? 235 842 Вдоль реки расположены пункты А, В, С (В между А и С). Буксир прошёл путь от А до С за 4 ч. На каждом из участков АВ и ВС собственная скорость буксира (скорость отно- 2 сительно воды) была постоянна, причём на участке ВС в 1- О раза больше, чем на участке АВ. Обратный путь от С до А буксир прошёл также за 4 ч, и на всём пути его собственная скорость была в 2 раза больше, чем при движении из А в В. Если бы на обратном пути собственная скорость буксира была такой же, как и при движении из В в С, то участок от С до В он прошёл бы за 3 ч. Сколько времени буксир шёл от А до В? 843 Катер и пароход, отправляясь одновременно из пункта А в пункт В по направлению течения реки, осуществляют безостановочное движение между А и В. За один рабочий день катер делает 5 рейсов, а пароход — 9 рейсов (рейс — движение от А до В и обратно). Через 20 мин после начала движения, когда катер прошёл ^ всего расстояния от А до 6 В, происходит их первая встреча. Определить продолжительность рабочего дня. Краткие теоретические сведения по курсу алгебры VII—IX классов I. I. I. I • ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 1. Число. Множество натуральных чисел: 1; 2; 3; . . Множество целых чисел: 0; ±1; ±2; ±3; . . Множество рациональных чисел — числа вида —, где т — це- п лые, п — натуральные числа. Например, рациональными явля- 3 2 о 2 ются числа — = 2; 5 1 7 Рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, f = 0,4; -i = -0,333. = -0,(3). 5 3 Множество иррациональных чисел — бесконечные непериодические десятичные дроби. Например, 0,1001000100001. — иррациональное число. Иррациональными числами являются числа V2, >/з, л и др. Множество действительных чисел — рациональные и иррациональные числа. Множество комплексных чисел — числа вида а + Ы, где а и Ь — действительные числа, = -1. 2. Числовые промежутки — отрезки, интервалы и полуинтервалы. Отрезок [а; 6] — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а а, X а, X О, если а О, причём I а I = О только при а = 0. Неравенству | х | О, удовлетворяют числа х из отрезка [-а; а], т. е. такие числа х, что -а О, удовлетворяют все числа х из интервала (-а; а), т. е. такие числа х, что -а а, где а > О, удовлетворяют все числа X а. Неравенству |х|>а, где а > О, удовлетворяют все числа X а. 4. Числовое выражение образуется из чисел с помощью знаков действий и скобок. Например, 1,2 • (-3) — 9 : (0,5 + 1,5) — числовое выражение. Значение числового выражения — число, полученное в результате выполнения действий, указанных в этом выражении. Например, число -21,6 — значение выражения 1,2 • (-3) — 9 : 0,5. 5. Порядок выполнения действий. Действия первой ступени — сложение и вычитание. Действия второй ступени — умножение и деление. Действие третьей ступени — возведение в степень. 1) Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняют действия третьей ступени, затем действия второй ступени и, наконец, действия первой ступени; при этом действия одной и той же ступени выполняются в том порядке, в котором они записаны. 2) Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все действия над числами, заключёнными в скобках, а затем все остальные действия; при этом выполнение действий над числами в скобках и вне скобок производится в порядке, указанном в п. 1. 238 3) Если вычисляется значение дробного выражения, то выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе и первый результат делится на второй. 4) Если выражение содержит скобки, заключённые внутри других скобок, то сначала выполняют действия во внутренних скобках. 6. Стандартный вид числа — запись числа в виде а • 10″, где 1 J Ь» ‘ 244 19. Квадратный корень из числа а — такое число, квадрат которого равен а. Например, 6 — квадратный корень из числа 36; число -6 также квадратный корень из числа 36. Извлечение квадратного корня — действие нахождения квадратного корня. Извлечь квадратный корень можно только из неотрицательного числа. Арифметический квадратный корень из числа а — неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это число обозначается так: 4а. Например, лЛГб = 4, Vl44 = 12. Выражение 4а имеет смысл только для а > О, при этом 4а>0, (4а)^ = а. Свойства квадратных корней: 1) 4аЬ = 4а • 4ъ, если а > О, Ь > 0. Например, ^144-196 = Vl44• >/196 = 12 • 14 = 168. 2) если а > О, Ь > 0. V Ь у/ь Лб9 15 ■ Например, /^= —_ V225 = а», если а > О, п — натуральное число. Например, 4^ = 3® = 27. Эти свойства используются при преобразовании выражений, содержащих квадратные корни. Основные из этих преобразований — вынесение множителя из-под знака корня: •Ja^b = а4ь, если а > О, Ь > О, и внесение множителя под знак корня: а4ь = если а > О, Ь > 0. 20. Степень с рациональным показателем. Степень с целым отрицательным показателем определяется равенством а“»= где афО, п — натуральное число, а» Например, -у = i. 3^ у Степень с нулевым показателем определяется равенством = 1, где а ^ о. Например, 4° = 1, (-0,2)® = 1. Корень натуральной степени из числа а — число, п-я степень которого равна а. Например, числа 2 и (-2) — корни четвёртой степени из 16, число (-3) — корень третьей степени (корень кубический) из числа -27. Арифметический корень п-й степени из числа а (обозначается ‘4а, п > 2) — неотрицательное число, п-я степень которого равна а. Например, Vl6 = 2, 4^ = 3. 245 УРАВНЕНИЯ 21. Уравнение с одним неизвестным — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Пример уравнения: 2д: -I- 3 = Зд: -и 2, где д; — неизвестное число, которое нужно найти. Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 3 является корнем уравнения х + 1 = 7 — х, так как 3 1 = 7 — 3. Решить уравнение — это значит найти все его корни или установить, что их нет. Основные свойства уравнений: 1) Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. 2) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. 22. Квадратное уравнение — уравнение вида ах^ + Ьх + с = О, где а, Ь и с — заданные числа, а ^ О, х — неизвестное число. Коэффициенты квадратного уравнения называют так: а — первый или старший коэффициент, Ь — второй коэффициент, с — свободный член. Примеры квадратных уравнений: 2д:2 — д: — 1 = О, Зд:^ -|- 7д: = 0. Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение ах^ + бдг + с = о, у которого хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю. Примеры неполных квадратных уравнений: дг2 = 0, 5д:2 + 4 = о, Ъх^ + х = 0. Формула корней квадратного уравнения: -Ь ± -^Ь^-4ас •^1, 2 2 а ■, где D = b^ — 4ас — дискриминант. Например, уравнение Зд:^ + 5д: — 2 = 0 имеет два корня: -5 ± л/25 + 24 -5 ± 7 1 „ дг1,2 =———-= —^,т. е. Xj = -,X2 = -2; уравнение х^ — 6х +13 = 0 имеет два корня: _6±л/36-52 _6±4t 2 2 Приведённое квадратное уравнение — уравнение вида х»^ + рх + q = 0. 246 ^1,2
■ = 3±2t. Формула корней приведённого квадратного уравнения’. X —Р+ Ie^-o 1-2″ 2 V 4 Например, корни уравнения — 6х 7 = О таковы: ^1,2 = 3 ± л/9 + 7 = 3 ± 4, т. е. = 7, Хг = -1. Теорема Виета. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, и их произведение равно свободному члену. Таким образом, если Xj и Хз — корни уравнения х^ + рх + q = = О, то Xj + Хз = -р, Xj • Хз = q. Теорема, обратная теореме Виета. Если числа р, q, х^, Х3 таковы, что Xi + Хз = -р, Х1Х3 = q, то Xj и Хз — корни уравнения х^ + рх + q = 0. 23. Система двух уравнений с двумя неизвестными — два уравнения с двумя неизвестными х и у, рассматриваемые совместно. Примеры систем уравнений с двумя неизвестными: -2у = 1, 4у2 = -35. |Зх-г/ = 5, |х-2 \2х+у = 7′, |х2-‘ Решение системы — пара чисел х, у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство. Решить систему — это значит найти все её решения или установить, что их нет. При решении систем линейных уравнений с двумя неизвестными применяются следующие способы: 1) Способ подстановки. Из какого-нибудь уравнения одно из неизвестных выражают через другое и подставляют в другое уравнение системы. 2) Способ алгебраического сложения. Уравняв модули коэффициентов при одном из неизвестных системы a^x+b^y = Ci, U2X +Ь2У=С2, почленным сложением или вычитанием уравнений системы исключают это неизвестное. 3) Графический способ. В одной системе координат строят графики уравнений системы; по взаимному расположению графиков определяют число решений системы; находят координаты общих точек графиков (если они есть). 247 НЕРАВЕНСТВА 24. Числовые неравенства. Неравенство а > Ь означает, что разность а — Ь положительна. Неравенство а Ь, то Ь или 7 — 5; 2а -t- Ь Ь, а = Ь, а Ь н Ь > с, то а > с. 2) Если прибавить к обеим частям неравенства или вычесть из них одно и то же число, то знак неравенства не изменится: если а>Ь, то а + с>Ь + сиа — с>Ь-с для любого числа с. Любое число можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак переносимого числа на противоположный. 3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, тогда, если это число положительно, знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный: если а > 6, то ас > Ьс и -> — при с > О, ас Ькс> d, то a + c>b + d. Например: 4 > 3,5 -2 >-5 2 >-1,5 2,3 Ь, с > d и а, Ь, с, d — положительные числа, то ас > bd. Например: 2,4 > 2,1 4 > 3 X 1,7 6,3 3,4 Ь и а, Ь — положительные числа, то а^ > Ь’^, а^ > Ь^ и вообще при любом натуральном п выполняется неравенство а» > Ь». Например, 6^ > 5^, 6® > 5®, 6*^ > 5*^. Строгие неравенства — неравенства со знаками > (больше) и 3, л: (больше или равно) и 2аЬ, д: Ь означает, что а > Ь или а = Ь. Свойства нестрогих неравенств такие же, как и свойства строгих неравенств. При этом в свойствах строгих неравенств противоположными считаются знаки > и и О, Ь > О, то 25. Неравенство с одним неизвестным — это неравенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Примеры неравенств первой степени с одним неизвестным: Зх-1-4 > 2 — X, так как 3 -(- 1 >2-3. Решить неравенство — это значит найти все его решения или установить, что их нет. Основные свойства неравенств с одним неизвестным: 1) Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при этом знак неравенства не меняется. 2) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный. Система неравенств с одним неизвестным — это несколько неравенств, содержащих одно и то же неизвестное число и рассматриваемых совместно. Примеры систем неравенств с одним неизвестным: X + 2 3, Зх 4> 1- х; 3(х-1)>4, х-4 3, так как 3-2-4 3. Вообще, решениями этой системы являются все числа х, такие, что 1 0, 2х^ — Зх — А 0. Для решения квадратного неравенства нужно: 1) определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента квадратичной функции; 2) найти корни соответствующего квадратного уравнения (если они есть); 3) построить эскиз графика и по нему определить промежутки, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. Например, решая неравенство 2х^ -I- Зх — 2 0; 2) корни уравнения 2х^ -I- Зх — 2 = 0 таковы: Xj = 0,5, Х2 = -2; 3) по эскизу графика функции у = 2х^ -I- Зх — 2 устанавливаем, что у 3. На каждом из интервалов левая часть неравенства сохраняет знак, и при переходе к соседнему интервалу знак левой части меняется на противоположный. Так как при X > 3 левая часть неравенства положительна, то его решениями являются значения х из интервалов х 2. Функция у (;с) называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. для любых ЛГ), Х2, принадлежащих этому промежутку, из неравенства Х2 > следует неравенство у(х2) > y(Xi). Например, функция у = х^ возрастает на всей числовой прямой; функция у = х^ возрастает на промежутке [0; -1-00). Функция у (х) называется убывающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. для любых Xj, Х2, принадлежащих этому промежутку, из неравенства Х2 > х, следует неравенство «/(лгг) Например, функция у = —2х убывает на всей числовой прямой; функция у = х^ убывает на промежутке (-оо; 0], функция у = — убывает на промежутках (-оо; 0) и (0; -1-оо). График функции у (д:) — множество всех точек координатной плоскости с координатами <х\ у (jc)). Пусть область определения функции у (хг) симметрична относительно начала координат. Тогда функция у (дс) называется чётной, если выполняется равенство у<-х) = у(х), и нечётной, если у(-х) = -у<х). Например, у = х* — чётная функция, а у = х^ — нечётная функция. График чётной функции симметричен относительно оси ординат. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. 29. Линейная функция — функция вида у = kx Ь, где к и Ь — заданные числа. График линейной функции у = кх + Ь — прямая. При ft = О функция принимает вид у = кх, её график проходит через начало координат. 30. Прямая пропорциональная зависимость — зависимость, выражаемая формулой у = кх, где к >О, х > 0. Обратная пропорциональная зависимость — зависимость, и выражаемая формулой у = —, где А > О, д: > 0. 31. Функция У = ^ <к^О) определена при дс О, принимает все действительные значения, кроме нуля. Если fe >О, то функция у = —\ например, у = — , у = — : д: X 2х) а) принимает положительные значения при дг > О и отрицательные при д: 0; б) возрастает на промежутках (-оо; 0) и (0; н-оо). График функции у = — называется гиперболой. Она имеет две X ветви, расположенные симметрично относительно начала координат. При к > о график расположен в первом и третьем квадрантах, а при к 0 ветви параболы направлены вверх, при а 0; б) принимает наибольшее значение, равное у^ при х = если а ДГ2 = 2, «^3
2» ^4,5“^ Xj = 1, Х2 = -2, Хз,4 = ±У2, Xj 6 = ±VS; 4) х,_2 = ±1. л;з = -|. 15. а = 1, 6 = 6, О Хз = 3. 18. 1) х = -3; 2) Xj = 2, хз =-3, X3_4 = ±i; 3) Xj = 1, Хз = ^, 2 3 X3 = -i; 4) X = 2. 19. 1) Xj = 2, -*^2 = ^з = 3, ^4=^! 2) Xi 2 = 2±t/3, 255 Лз.4 = -3± 2^2. 20. l)xi = l, Х2 = -2, Хз = 3; 2) Xj = 1, Х2.з = 1±л/3; 3) xi = 2, X2 = -i; 4) x = i. 21. 1) xj_2 = ±l, X3,4 = 2±V5; 2) Xj = 2, 3 2 X2 = -i, Хз 4 = 3±-у/1о. 22. 1) X = 4; 2) действительных корней нет; 3) X, =-1, X2 = -i; 4) x = i. 23. а -28. 17 625 73. 2) 4) 74. 2) 4) -64x-^^y^z-^. 75. 2) у. 76. 2) 2,7 ■ Ю-Ч; 4) 1,25 • Ю». 77. 2) 5,086 • 10-®; 4) 1,6 ■ Ю’®. 78. 0,003. 79. Ю-ч. 80. 0,0001 мм. 81. 2) а^, —. 82. 2) 0. 83. 2) 0,43; 32 4) 1,44. 84. 2) 8,51929 • 10^ 4) 6,644672 • Ю^. 85. 2) 3,25 • км». 86. 2) 6-а. 88. 4) 15. 89. 2) 81; 4) J-. 90. 2) -1; 4) -4; 6) -8. 81 91. 2) x = -i; 4) jCj=-2, Х2 = 2. 92. 2) дг — любое число; 4) — /б. 95. 1) д: — 2; 2) (3 — д:)® 30 при д: 3. 96. 3974. 97. 2) 48; 4) 20. 98. 2) 33; 4) 7. 99. 2) 0,2; 4) 2. 100. 2) 50; 4) 16. 101. 2) а®<>3; 4) a^b^. 102. 2) Заб; 4) 103. 2) 4) 5. 104. 2) -; 4) 2; 6) 4. 105. 2) Зд:; 4) 106. 2) i; 5 3 2 5 а 3 4) 1. 107. 2) 4; 4) 5. 108. 2) >/2; 4) 6) За. 109. 2) 4) 5; 6) 4. 4 2 2 110. 2) 6; 4) i; 6) 4. 111. 2) 4) £; 6) а^б. 112. 2) аб^с; 4) 2ху. 2 Ь Ь 113. 2) Зд:; 4) О. 114. 2) 7,55. 115. 2) 7; 4) 1. 117. 3) 2ifb; 4) 1. 120. 2) 3; 4) 27; 6) —. 121. 2) 5; 4) i; 6) i. 122. 2) 49; 4) 125. 27 2 2 123. 2) 121; 4) 150. 124. 2) 3; 4) 2,7. 125. 2) fei; 4) а^; 6) i/». 126. 2) 3; 1 — — i 4)i. 127. 2)а8б; 4) д;*. 128.2)1; 4)а353. 129.2)3; 4)6. 130. 3) 52; 5 i i “
4) a+ 5. 131. 2) a4 + 54;4) >/c-L 132. 2) 4) 2,/5. 133. 2) 2y; аЗ + fL2l 133 2) x = 3; 4) д: = 2; ll2j I12J I13J 139. . 140. 2. I 4),.5. 141. 2) д: = 2,6; 4) x = 4. 142. 2) x = -i; 4) x=l. 143. 2) 6; 4) -3. 3 144. 2) 2,1; 4) 27,2. 145. 2) 0,074. 146. 2) -3; 4) 147. 2) 51; 16 4) 0,04; 6) -0,1. 148. 2) 1000. 149. 2) ifx; 4) —. 150. 2) x = -l; 4) x=l. 151. 2) 4) -609-^. 152. 2) x — любое число; 4) x 3; 6)0 3. 153. 2) a + 1; 4)a3+63; 6)а2_г,2; 9 Алгебра, 9 кл. 257 1 1 8) аб+6б. 154. R 5; 2 3 4) -2 4; 6) х > 0. 162. 2) Да; 4) да. 167. 2) х=16; 3) x = J-; 4) х = ^. 169. 2) х = 32; 4) х = 8. 16 243 172. 2) Нечётная; 4) не является ни чётной, ни нечётной. 173. 2) Нечётная; 4) нечётная; 6) не является чётной и не является нечётной. 182. 2) X = 0. 183. 2) (-1; 0). 184. 2) У
^ х =-4; 4) I/ 2. 186. 2) (-2; 4) и (2; -4); 4) (-4; -2) и (1; 3). 192. 2) X 5. 193. 2) Ребро куба больше 7 дм. 196. 2) X = 10; 4) х = 5. 197. 2) х = 2; 4) х = 2, х = -7. 198. 2) х = 4; 4) х = 0,2. 199. 2) х =
. 200. 2) х >-3; 4) х 7. 202. 2) х = -2; 4) Xj = 1, Хг = 3. 203. 2) х=2,25. 204. 2) X = 1; 4) X = 5. 205. 2) х = 4. 206. 2) 2 1. 207. Не меньше 6,24 м. 208. 2) х 4) х — любое число. 213. 2) —L; -V2 л/2 ±-,Г2 V2 4) (-1; -1), (1; 1). 214. 2) х > 2; 4) X 3. 217. 2) Убывает; 4) убывает. 218. 2) Нечётная; 4) не является чётной и не является нечётной. 220. 2) -2 4. 222. 2) х, = -1, 3 Х2=7; 4) Xi = 3, Х2 = 7. 224. 2) Oj = 4, Пг = 7, Дз = 10; 4) Oj = -i, О2 = 0, 3 аз = 1;6) ai=-l, 02 = -8, Пз = -27. 226. 2) Да; 4) да. 227. 2) 2, 1, 3,-1. 3 =
7. 228. 2) 9. 229. 256, 16, 4, 2. 230. 2) 1, 7^, 231. а. 3 3 9 9 27 / \л+3 / \л+4 / \л+7 232. 2) 2(л-9), 2(п-8), 2(л-5); 4) 7-U l 2 234. 2) -3, -1, 1, 3, 5. 236. 2) 79; 4) -42. 237. 2) а„ = 29 — 4л; 4) а„ = 6-5л. 238. 12. 239. Да. 240. л =11, нет. 241. 2) 0,5. 242. 2) -13. 243. 2) -100. 244. 2) а„ = 5л — 17. 245. л > 9. 246. л „=3- -1 . 273. 2) 5; 16 81 1^3 J \ 3j 4) 8. 274. 2) 1; 4) -1. 275. 1) bg = 4374; 2) л = 5. 276. Ь7 = 3л/3, g = —. 2 5 73 277. bs = 6, bi = 30- или b5 = -6, bi=-3ol 278.33708 р. 279. 0,25 см2. 8 8 280. 5. 282. 2) -51; 4) -Ий; 6) -400. 283. 2) 2186. 284. 2) 6i=-l, 8 81 58= 128. 285. 2) л = 7; 4) л = 5. 286. 2) л = 9, 5д = 2048; 4) л = 5, д= 7. 287. 2) 364; 4) 305. 288. 2) bj = 4802, 84 = 800. 289. -l5i. 32 291. 2) g = 5, bg = 300 или g = -6, bg — 432. 292. 2) g = 2 или g — -2; 4) 85 = 78! или 85 = 521. 293. 2) 4, 16, 64; 4) V2, ^/5, VlO. 294. 2) aio=l, ago = —; 4) Лю = 0, Ogg = 0. 295. —. 296. 2) d = -l, 59 16 2 04 = 2, 05 = 1!; 4) d = -3, 04 = 72-9, 05 = 72-12. 298.-51. 299. 2)-1080. 2 3 300. 2) 143; 4) 280,5. 301. 2) -22. 302. 2) g = -i, b4 = -—, b5 = —; 2 32 64 4) g = -T2, b4 = -1072, b5 = 20. 303. 2) b„ =-0,5 (-2)» “ 304. 2) 54 = 155. 8 305. 2) 810 = 1 — ; 4) 8g = 5. 306. 2) 242; 4) 307. 2. 308. d = 3 65 256 36 309. 2) 14,11,8,5,2.310. -5.311. 2) O19 = 0, Oj =-108. 312. 2) Xi = i, 2 3 Xg=-4. 313. 14. 314. 2) Oie = -l5, d = -—. 315. 2) 27. 316. 2) -27; 3 15 4) ± -i-. 317. 6. 318. В среду. 319. 180 раз. 320. Oi = 8, d = -3 или Oi = 2, 25 d = 3. 321. Oi = 5, d = -5 или Oj = -5, d = 5. 323. 72. 324. 1024o. 325. 3 4. 327. 1) Случайное; 2) случайное. 328. 1) Случайное; 2) невозможное. 329. 1) Случайное; 2) случайное; 3) невозможное; 4) достоверное. 330. 1) Невозможное; 2) достоверное. 331. 1) Случайное; 2) невозможное; 3) невозможное; 4) случайное; 5) достоверное. 332. 1) Совместные; 2) несовместные. 333. 1) Несовместные; 2) совместные. 334. 1) Совместные; 2) совместные; 3) несовместные; 4) несовместные. 337. Не являются. 338. 1) Не являются; 2) являются. 339. 1) Являются; 2) являются; 3) являются; 4) не являются; 5) являются. 340. 1) Являются; 2) не являются. 343. 1) 5; 2) 5; 3) 0; 4) 1. 344. 1) 5; 2) 1; 3) 1; 4) I; 5) 5; 6) 5. 345. 1) 2) 1; 3) 9 12 50′ 10 5 5 1. 2’ — ; 4) 1; 5) 1; 6) 5. 346. J-. 347. 1) -1-; 10 5 5 5 10 50 . 24 349 25 1 2’ 350. 1) -1-36 ; 2) 1; 3) 2-; 4) А; 9 18 36 27 _ 4 9 ; Р(С) = |; Р(£)) = А. 352. 1) 1; 27 4 2)| 2) 1. 354. 4 1) —; 2) 5-; 36 18 3) 4) i; 5) 1; 6) |; 6 2 4 6 ^>1 259 8) J-; 9) 10) 11) 12) 1. 355. 1) i-; 2) 3) 4) i. 18 12 18 12 6 18 12 18 9 356. 1) i; 2) 1. 357. 1) —; 2) —. 358. 1) —; 2) i. 359. 1) i; 6 6 24 24 216 72 3 2) i. 360. i. 361. 1) i; 2) i. 362. 1) i; 2) -. 363. 1) 2) 3 6 22 63 55 364. 1) ^;2) J-.365. 1) i;2) i;3) i;4) i;5) A. 366. 1) i;2) i; 630 105 4 6 2 3 12 6 2 3) 1; 4) 5) 1. 367. 369. 370. 2,5%. 371. P ^ 0,6. 36 49 250 372. Pi « 0,84; Pa = 0.14. 374. 1) i;2) i;3) A; 4) 5) ?;6) -^;7) 0; 4 3 12 4 3 12 8) 1. 375. 1) 2) 3) 1; 4) 1; 5) 1; 6) —. 376. 0,01. 6 5 3 15 30 30 377. 1) 2) i. 378. 1) i; 2) 3) i; 4) i. 379. 1) i; 2) 3) i; 4) 1 380. l)i : 2) 1. 381. 1) 2) 3) 1 : 4) -. 382. 1) 11. 2) L 9 8 8 10 10 5 5 36 4 384. X 0 1 2 385. X 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 Р 4 2 4 Р 16 8 16 4 16 8 16 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Р 24 12 8 6 6 6 8 12 24 386. 390. В таблице приведён результат анализа страницы текста из «Севастопольских рассказов* Л. Н. Толстого. А Б В Г д Е •ИГЛ yiv 3 0,090 0,027 0,056 0,012 0,025 0,087 0,007 0,013 И Й К Л м Н О П 0,057 0,007 0,036 0,045 0,029 0,066 0,137 0,025 260 р С т У Ф X Ц Ч 0,047 0,061 0,054 0,017 0,001 0,014 0,007 0,014 Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 0,012 0,006 0,001 0,008 0,015 0,002 0,010 0,012 391. Онегин, добрый мой приятель, родился на брегах Невы, / Где, может быть, родились вы / Или блистали, мой читатель. 395. 1) X 145— 149 150— 154 155— 159 160— 164 165— 169 170— 174 175— 179 180— 184 м 1 9 14 8 7 6 3 2 397. 1. 3); 2. 3); 3. 3). 399. 200. 400. 240. 401. 60; 100; 120; 240; 220; 140; 80; 40. 402. 9600; 6000; 4800; 4200; 3300; 1500; 600. 403. 1) 8; 2 и 6; 4; 2) 11; 2; 2. 404. 1) 3; 3; 3; 2) 7; 3 и 5; 3. 405. 1) i? = 6; Мо =-2; Me = 1; 2) R = 0,5; Moj = 0,1, М02 = 0,2, М03 = 0,4, М04 = 0,5; Me = 0,35. 406. 1) 3; 2) -0,5; 3) 2i; 4) 5. 407. 1) 2i; 2) 2,5. 409. 7,00 r/CM^; же-7 7 лезо. 410. 12,25 года; 13 лет. 411. 135 см — высота, являющаяся медианой и модой совокупности, а также приближённым средним значением совокупности, из которой удалён «случайный» результат 90 см. 412. X « 12 лет; Мо = 19 лет; Me =11 лет. 413. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 3 1 5 3 7 1 7 3 5 1 3 1 1 64 32 64 16 64 32 64 8 64 32 64 16 64 32 64 414. 2) Размер (X) 42 44 46 48 50 52 54 56 58 Кол-во халатов (М) 1500 3000 9000 18 000 16 500 10 500 9000 4500 1500 3) Мо = 48, Me = 50, X
50, R — 16. 417. Верны высказывания 6 е М, -3 е М. 418. Верны высказывания 1 б А, 8 г А. 419. Верны высказывания 12 е В, 3 6 В. 420. 2) <1; 5>, , <5>, 0; 4) <4; 5; 6>, <4; 5>, <5; 6>, <4; 6>, <4>, <5>, <6>, 0. 421. 2) -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4) -2; -3. 422. 1) Окружность с центром в точке А и радиусом 3; 2) серединный перпендикуляр к отрезку АВ. 423. 1) <-3>; 2) <-1; 1; 2>. 424. 2) А\В = <2; 3>, В\А = = <—1; О>; 4) А\В = <7>, В\А = <—5; —6>. 425. 1) Иррациональные; 2) целые отрицательные числа и число 0. 426. 2) А П В = <с>, А U В = <а; Ь; с; d); 4) АПВ = 0, А и В = <а; 5; с; d; е>. 427. 2) А П В = , AUB = = <-1; 0; 1; 2; 3>; 4) А П В = <5; 6>, А U В = <-6; -5; 5; 6; 7>. 428. [4; 7], [2; 9]. 429. [6; 7], [5; 8]. 430. <-2>, <-2; 6; 7>. 431. А Л В = <1; 3; 9>; НОД (18, 45). 432. С П D = <х: х = 90k, к б N>-, НОК (18, 45). 433. <0; 1; 2>. 434. (-1; 0; 1; 3>. 435. 2) (-оо; 1]; <-1; 0>. 436. 1) Aj; 2) Аа;3) Aj;4) A3; 5) А4; 6) А4; 7) Ар 437. 1) 1^7,2) 45 0, то а>0 и 5>0»; ложно; 4) «Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника, то этот отрезок является средней линией треугольника»; ложно. 504. 2) (-2; 3), (-1; -1), (1; 2). 505. 2) (-19; 13). 506. (2; 9). 507. (-3,5; -3). 508. 2) (X -I- 1)2 + (у- 1)2 = 26. 509. (0; 3 + VS), (0; 3 — -Уб). 510. (4 -н ^7; 0), (4-^^^■,0). 511. 2) (2; 0), (0; 2). 512. 2х-11у=10, 7х — 4у = 12, 5х + 7у = 2. 513. 2) (1; -6). 514. 2) Точка с координатами (-i;4 ; 4) две 262 прямые: д: = 8 и у =-9; 6) две прямые: Ъх-4Ьу-0 и Ъх + 4Ьу = 0. 516. 2) Две точки с координатами Xj « 1,6, уу « 3,6 и дСз
3,6; 4) две точки с координатами jCj »-0,2, i/j =»-0,3 и дг2
-1,8, У2==-0,3; 6) точка с координатами х«0,7, i/«l,3. Упражнения для повторения курса алгебры VII—IX классов 517. 2) 7-Зх-х^; 4) 2д:3 — Зд:^ + 4дг — 5. 518. 2) д:, = 1, ^2 = -|- хз = —. 519. 2) (5;-5), (-5; 5). 520. 2)2 i; 4)^. 521.2)3-^; 4)6yfl. 3 3 Зу 522. 2) (0,3)»2 -7,5; 6) О 2. 530. Нет. 531. 2) а„ = 3″. 532. 1, 4, 28, 280. 533.2) 0,2 = 47,5, 8,2 = 537; 4)а,8 = 11-, S,g = 108. 534. 1220. 536. 2) 6, = 5. 3 537.2) 64 = 125, 84=156; 4) 65 = 81, 85 = 61. 538.15^. 539. 1679 м/с. 4 540. 1,68 м. 541. 2) Нет. 542. 2) х,,2=±1. Хз,4=±2, Xs=-3. 543. 2) (1; 3), (-1;-3). 544. 2) -1; 4) -1. 545. Первое. 546. Убывает. 547. 2) х 6; 4) X ^/з ± л/б; 6) х 3. 549. 2) х = 61; 4) х = 2; 5) X, =0, Х2 = -3, Хз = 2. 550. 8 ч. 551. 391. 552. 7, -28, 112, -448 или -11-,-46-,-186-,-746^. 553. 61 = 5,65 = 405.554. 8, 13, 18 или 20, 13, 3 3 3 3 1 • 5 ^ 6. 555. 6,40 Ом. 557. 1) 2) 558. 1) 1-V^; 2) а3 + 63. Л 560. 10, 4, -2, 1 или -^, 1, I, М. 561. 6, 18, 54 или 26, 26, 26. 562. 2) 4 4 4 4 4 4) 4.^. 563. 2) 5,8; 4) -J-. 564. 2) х = 7; 4) х = 0,5; 6) х = 2,25. 565. 2) 3 4 11 4) 0,1125. 566. 2) 300; 4) 3600. 567. 2) 5%; 4)16-%. 668. 2) 5а*Ь 3 4)-|а®6^. 569. 2) 35 — 2х — 2х® — х5; 4) 8а® + 46^ + 36а + 36. 570.2) 4,9 4) 2. 571. 2) Ь^-7аЧ^. 572. 2) |^|-lj^| + lj; 4) (6—/3)(6+л/3)(б2 + 3). 573. 2) 1^1 + ij : 4) (1 + 96)2. 574 2) (а + 1) (а — х); 4) (а — х) (5а — 7) 575. 2) 2а®6 (а — 1)2; 4) (а — 6)2 (а + 6)2. 576. 2) 2 (х — 3)2; 4) (х — 1) (х + 2) 577. 2) 6+ 3. 36 ’ 4) 6) 8) (х+1)(х- 2). 579. 2) 4е а2-4 ii’; 6) 8) 578. 2) lm2. 4) 3£f^ 4x x+5 x+2 2 *3 4) . 580. 2) ^ 4) 6 + 0-1.581. 2) 9 а(б2 -o2) 10 ——-; 4) . 582. 3) -; 4) o(a + 2) a + 1 у 2a + l 2o + 3 . 583. 2) -0,25 ^ ; 4) ^ . 586. 2) 4; 4) 8. 587. 2) -2 4) 1^. 584. 2) 3. 585. 2) — ^ 16 X+V2 Vx-1 4) 0; 6) 7. 588. 2) 2; 4) 14. 589. 2) 4) 6V2. 590. 2) 2 • lO ® 263 4) 1,2 • 10-3. 591. 2) 1,25. 592. 2) 3,5. 593. 2) xV: 4) xj/З. 594. 2)-1; 4)1+Vm. 595.100 кг. 596.10%. 597.340 кг. 598.44 р. 599. 3) -6m 1. 641. 2) х -1,5; 4) х > 3. 643. 2) 1; 2; 3; 4. 644. 2) 2; 3 6 4; 4)-1; 0; 1; 2; 3. 645.-4; -3; -2. 646. 2) -1 1. 647. 2) -li 8; 6) х 4л/5; 4) 5л/б 4; 4) л: =-0,4. 653. 2) х 1; 3 4) X 2. 654. 2) X 1. 655. 2) -5 4; 4) х 8. 657. 62,5 и 57,5. 658. 5 км/ч. 659. 4 км/ч. 660. 12,5 км/ч, 2,5 км/ч. 661. 26 см, 2 см. 662. 48 мин. 663. 20 мин. 664. 35 ц, 40 ц. 665. 5 ч, 7 ч. 666. 32 года и 8 лет. 667. 40 м/мин^. 668. 2,5 км. 669. =5 с. 670. 4 км/ч, 16 км/ч. 671. 75 км/ч. 672. 16- м/с, 100 м. 673. 2) Да; (0; -4), (8; 0), г/(-2) = -5; 4) нет; (0; 6), 3 (4; 0), 1/(-2) = 3. 676. 2) (5;-10); 4) 677. 2) 23; 4) 6-. 4 678. 2) Xi=-2, Х2 = -5; 4) Xj = 0, Хг, з = ±1. 680. 2) 682. а = 8, 5 = 3. 683. а = 0,3, Ь = -0,5, с = 0,2. 688. 2) Не является чёт- ной и не является нечётной; 4) нечётная. 689. 2) Да. 690. 2) -1; 4) -1. 691. -2. 692. -0,5. 693. 2) ai = 201, 5,7 = 2737. 694. л = 39. 695. 682. 696. 2) 0,5; 4) —. 697.189. 698. 2) а, = 1, d = 3; 4) а, = 2, d = 3 или 16 а, = 14, d = -3; 6) а, = 2, d = 3 или а, = 8, d = -3. 699. 2) -5. 700. а, = 1, d = -2. 701. 2) Да; 4) да. 702. 2) 12 или -13; 4) 12 .13 12′ 703. 5„=3|-| или Ь ■- -1. 716. (-3; 4). 717. 32. 718. Корней нет. 719. 1 5?. 722. 14^. 723. £±А. 724. [l3-^; X -I- 3 16 3,7 . 726. 960. 727. х = 4. 728. х 2,5. 738. 1. 739. 110. 741. х, = 7, Х2 = 12. 742. (д — 2) (5д — 2). 743. 744. х, = 3, Х2 = -3. 745. 746. 25. 265 747. 0,2. 748. л: 3. 749. (1; 1). 750. р = 2, ? = 3. 751. 63. 752. (2; 1). 753. 754. р = -1, а = -2, fi; -^), -1 4; 7б 5 V6 2 2 3) X 2; 4) -3 6; 4) О —; 6) -2 1. 811. 3, 8, 13 или 18, 8, -2. 812. 4092 или 10 2 813. 3, 6, 12, 18 или 15, 55, 27 9 gjg g l-(n-2)x»^^+(n + l)x»-*^^ 4 4 4 4 (1-х)2 ^ „ (л + 1)(л + 2) , 2 если X 1; S„ = ——————если х=1. 819.— 10″+1-10 9 а » “ ^ — 1 820. 1) х„ = а» “ ixj + Ь—- при а ф 1, х„ = Xj + (л — 1) Ь при а= 1; а -1 266 94 С (n-1)& . аЬ(а»»1-1) 1-а” i о Г 2) 5л=-^—^ + ^——i+i—=— при а:^1, S„= ЛГ1+ — 1-а (1-а)2 1-а * -l)ft л при а = 1. 821. х„ = (п — 1) Х2
(п — 2) Xj + (Л-2ИЛ-1) 2 822. 1. 823. х„ = ‘ ‘-Р’ а-р 826. 1040 г. 827. -Х2 -ap^i ‘»-2-р»-2 оо. 2аЬ а-Р -. 824. Ь — а ч. 825. 48 мин. 1 ч. 828. 2 (0,67)3 ;(3,09)»з о при: 1) X > 0; 2) х > 0; 3) х 0; у(х) 0; 4) х 0; 2) нет таких промежутков; 3) х > 0, х 0, X 1, к > 1). 768. Если п делится на 3, то остаток от деления на 3 числа а — 7п^ + 1 равен 1, а если число п не делится на 3, то остаток от деления числа а на 3 равен 2 (см. задачу 761). 769. Если равенство 15х^ = 9-1- 7у^ является верным при некоторых целых х и у, то 15х^ — 9 = 7у^, откуда следует, что у делится на 3, т. е. у = Зт, где т — целое число. Тогда 15х^ = 9 -н бЗт^ или 5х^ = 3 и- 21т^, и поэтому х делится на 3, т. е. д: = Зр. Следовательно, 45р^ = 3-1- 21т^ или 15р^ = 1 -ь 7т^, что невозможно (см. задачу 761). 770. Так как число т^ — т = (т — 1) т (т + 1) делится на 6, то остатки от деления на 6 чисел т^ и т равны, и поэтому остатки от деления на 6 чисел т^ + п^ + к^ и т + п + к также равны. 771. Если число т не делится на 5, т. е. т = 5к + г, где к — неотрицательное целое число, г — одно из чисел 1, 2, 3, 4, то т‘‘ = 5р -i- = 5^ -I- 1 (р и g — целые числа). 772. 1) Число т®л^ — л®т^ = т^п^ (т* — п*) = т^п^ (т^ — п^) (т^ + п^) делится на 2 (если тип — нечётные числа, то т^ — п^ — чётное число). 2) Если оба числа т, п не делятся на 3, то число делится на 3 (см. задачу 761). 3) Если оба числа т, п не делятся на 5, то число т 4 _ л’ делится на 5 (см. задачу 771). 773. (л -I-1)“* -ь л’* -1 = п* + 2л® -I- Зл^ -I- 2л = п^ (п + \) + п^ (л 4- 1) -ь 2л (л -I- 1) = п(п + 1) (л^ -ь -I- л -t- 2) = л (л -f- 1) (л (л 4- 1) 4- 2). 774. 1) Если т л 4- 1 левая часть больше или 268 равна (п+1)(п + 2). 2) Равенство записать в виде m(m + l) = = л’‘ + 2л® + 3л^ + 2л= и(л + 1) (л(л + 1) + 2), используя результат задачи 773. Далее воспользоваться задачей 774 (1). 775. л® + 6л^ + 15л + 15 = = л® + 6л^+12л + 8 + 3 (л + 2)+1 = <л + 2)® + 3 (л + 2) + 1. 776. а = п* + + л^ + 1 = <л^ + 1)2 - л2 = (л2 + п + 1) (л2 - л + 1). Если U — простое число, то л2 - л + 1 = 1, откуда л = 1. 777. Записать уравнение в виде (х + у + 1)(х - у - 1) = 12 и воспользоваться тем, что множители х + у + 1 и X - у - 1 — чётные числа (их разность — чётное число, правая часть уравнения — чётное число). Задача сводится к решению следующих систем: |лг+ у+1 = 2, |лг - г/-1 = 6; л: + (/+1 = 6, л: - (/-1 = 2; х+(/+1 = -2, |х+(/+1 = х-(/-1 = -6; |jc-(/-l = = -6, 2. 778. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел записать так: (л2 + Зл) (л^ + Зл + 2). Задача сводится к решению квадратного уравнения t (i + 2) = 5040, где t = + Зл. 779. Если Р (х) = тх^ + пх^ + + рх + q, то P(0) = q, Р (I) = т + п + р + q, Р(-1) =-т + п - р + q, Р (2) = = 8т + 4п + 2р + q — числа, кратные 5. Тогда число Р(1) + Р(-1) = = 2п + 2q делится на 5, и поэтому л делится на 5. Далее на 5 делятся числа Р (2) - 2Р (-1) = 10л1 + 2л + 4р - д, Юлг, лид, откуда следует, что 4р (а значит, и р) делится на 5. Наконец, т делится на 5, так как числа Р(1) = л1 + л + р + д, л, р и q делятся на 5. 780. Если D = - 4ас = 63, то Ь — нечётное число, т. е. b = 2k-l. Тогда (2А - 1)2 - 4ас = 63 или 2 (fe2 -/г _ ас) = 31, что невозможно. 781. 1) Использовать равенства ---i-------------—, k = l, 2, . л. 2) Использовать равенства Л(А + 1) к к + \ -------------= -<----------------i-----\ к=1, 2, . л. 782. 1) Бу- ft(ft + l)(fe + 2) 2U(fe + l) (fe + l)(fe + 2)J дем рассматривать равенство как уравнение вида Ах^ + Вх + С = 0. Так как это уравнение имеет три различных корня (х = а, х = Ь, х = с), то А = В = С = о и равенство является верным при всех значениях х. 2) Левая часть равенства совпадает с правой при х = а, х = Ь, х = с. Два многочлена не выше второй степени тождественно равны, если они принимают равные значения в трёх различных точках. 783. 1) Записать знаменатель в виде V2 + “Уз + 2 + У2 (У2 4- Уз + 2) и использовать равенство h— = V2 -1. 2) Записать данное выражение в виде ^ ■J2 + I ^ V2(2 + л/З) 2-V4-2V3 _______и воспользоваться равенствами 4 — 27з=(л/3-1)2, 4+ 27з = 2+ V4 + 2V3 = (г/3 + 1)2. Далее привести дроби к общему знаменателю. 3) Воспользоваться равенствами х - 2л/ х—l=(Vjc-l-l)2,A: + 2Va:-l=(Vx-l + l)2, yjx^-4x + 4 = 2- X при 1 0. 4) Полагая — 2x + 4 = t, записать уравнение в виде 2-Jt - -jt + Ь =1. 785. 1) Свести уравнение к квадратному относительно t = х^ + Зх. 2) Полагая х - 3 = t, получить уравнение t(f^ + 6t + 21) = 0. 786. 1) Разделить первое уравнение на второе. После преобразований получится квадратное уравнение относительно t = —. У 2) Второе уравнение, записанное в виде 4 (х + у)^ = 9х^у^, распадается на два уравнения: 2 (х + у) = Зху и 2 (х + у) = -Зху. Далее ввести новые неизвестные: и = X + у, V = ху. 787. 1) Система распадается на две системы: |х-у = 0, |х^ + ху-I-у2 = 61, t(x-i-l)(y+l) = 12; jxy-i-X ч-у = 11. Сложив уравнения второй системы, получим квадратное уравнение относительно t = х + у. 2) х + у = и, ху = v. 3) Умножить первое уравнение на —4, а второе на 3 и сложить. Получится квадратное уравнение относительно ху. 4) —^— = и, —^— = о. 5) х + у = и, ху = v. X + 2у X — 2у 6) Возвести оба уравнения в квадрат и сложить. В результате получится уравнение (х^ - 1) (у^ - 1) = 0, откуда у^ = 1, так как х^ ^ I в силу второго уравнения исходной системы. 788. Если система имеет действительное решение, то при возведении в квадрат первого уравнения получаем х^ -I- у^ -I- -ь 2 (ху + уг + гх) = 0, а второе уравнение можно записать в виде ху + уг + ZX = 0. Следовательно, х^ + у^ + г^ = 0, откуда х = у = 2 = 0, что невозможно. 789. 1) Из системы следует, что |y-5|-t-y — 5=1. Это уравнение не имеет решений при у 5 получаем у = 5,5, и тогда |x-l|=i. 2) Вычитая из второго уравнения системы первое, находим у + -^2у- х = л1Ьу- х. Возводя обе части полученного уравнения в квадрат, находим у(у-3 + 2^2у-х) = 0. 3) Полагая у - х = и, запишем систему в виде ■Ju + Зх =1 -I- ц. Возводя в квадрат обе части каждого из ^Ju + 8x =4 -U. уравнений системы и исключая затем х из полученной системы, придём к уравнению + 7и - 8 = 0. 4) Возводя в квадрат обе части каждого из уравнений и складывая полученные уравнения, находим 76-2 (х2 у2) = (л: у)2. _____________Ц) Перемножив почленно уравнения, получим у^ - х2 = ^8(16 + (х -I- у)^), откуда (х - у)2(х-I-у)2 = 8(16-I-(х-I-у)2). (2) Полагая в (1) и (2) (х + у)^ = и, (х-у)2 = р, придём к системе 2и + v = 76, uv = 8(u + 16). 790. 1) D = (4 + 2г)2 - 4 (5 -ь 4r) = 4 (г2 - 1) = 0; 2) х, -ь 270 + Х2 = -(4 + 2r) = 0, D >0. 791. Корни уравнения + рх + ^ = 0 неотрицательны тогда и только тогда, когда выполняются условия р 0. Задача сводится к решению системы неравенств о, а (а+ 3)2 При а = о уравнение имеет один отрицательный ко- а + 2 >0. а“‘ а рень. 792. D = о2 — 4а > о, jc2 ^2 = ад:, = а2; а ^ 0 (если а = 0, то х, = лгг = 0). 793. Ветви параболы у = х^ + ах + + 6а направлены вверх; у 0 при всех х 6 Д, то исходное не- [х2-(г+2)+4>0, [4х2 + (г-3)х + 1>0.’ пользоваться тем, что квадратичная функция р = ах2 + Ьх + с принимает положительные значения при всех х е R тогда и только тогда, когда выполняются неравенства а > 0, D = — 4ас 0, явля- ется верным, так как его левая часть равна i ((а — 6)2 + (6 — с)2 + (с — а)2). 3) Исходное неравенство можно записать в виде ц2 + б2 + с2 > а6 + 6с + ас. 800. 1) Левая часть неравенства содержит л слагаемых, каждое из которых (кроме последнего) больше последнего. 2) Воспользоваться неравенст- , .2 вом 1 + i -\Jxyz, справедливое при любых неотрицатель-3 ных X, у, Z (задача 801, 1), получить неравенства а + 6 + с > 3^аЬс, а6 + 6с + са > 3^а^. 271 неравенствами i + i > ^ b -fab 3) Перемножить неравенства a + b>2j^, Ь+с>2^Ы, c+a>2yfac. b + с — a c + a — b a + b — c 4) Полагая x = -—^у = -—^г = ——^запишем неравенство в виде 8xyz Ь + с, откуда а > Ь, а > с (по условию Ь > О, с > 0), у > О, z > О, xyz О, г/ > О, г > О, то, используя неравенство (х + у) (х + Z) (у + Z) > 8xyz, (2) доказанное в задаче 801, 3), и учитывая, что х + у = с, y + z = a, x + z = b, установим, что из (2) следует неравенство (1). 802. 1) Воспользоваться Ui> 2 ^ Ui> 2 ® ^ аЬ ^ ^ Vbc ^ ® Vac 2) Полагая х = а + Ь, у = Ь + с, z = а + с, записать неравенство в виде (х + у + Z) (ху + XZ + уг) > 9xyz и воспользоваться результатом задачи 801, 2). 803. Возводя обе части исходного неравенства в квадрат, получаем неравенство ^ > V abed, которое является верным, так как для любых положительных чисел х, у справедливо неравенство ^ 804. Воспользоваться неравенствами l+a>2-Va, 1+ b>2^^b, 1+ с>2у[с. 805. Если д: 1. Если О 0. Если дс > 1, то Р(х) = х^ (дс® — 1) + + х(х^ — 1) + 1 > 1. 806. дс® + дс’* + 1 = (*■* + 1)® — х‘‘ = (х* + х^ + 1) X X (д:’* — х^ + 1), х‘* + х^ + 1 = (х^ + 1)® — х^ = (х^ + X + 1)(дс® — дг + 1). 807. 1) а® — 2а® + 5а + 26 = а® + 2а® — 4 (а® + 2а) + 13 (а + 2) = (а + 2) х X (а® — 4а + 13), а® — 5а® + 17а — 13 = а® — а® — (4а® — 4а) + 13 (а — 1) = = (а — 1) (а® — 4а + 13). 2) 2а^ + а® + 4а® + а + 2 = а® (2а® + а + 2) + 2а® + а + + 2 = (2а® + а + 2) (а® + 1), 2а® — а® + а — 2 = 2а® (а — 1) + а® + а — 2 = = (а- 1)(2а® + а + 2). |-2х-2, еслидс 2. График изображён на рисунке 70. 12, если X 3. График изображён на рисунке 71. 272 у \ 5 -2 О Рис. 72 II — 2х, если X 3. 1-6, если X 1. График изображён на рисунке 73. 5) у=-3+ —— при х 1. График изображён на рисунке 74. 6) Функция чёт- при X > 0. График изображён на рисунке 75. . График симметричен относительно ная, у = 2 + 7) г/ = — х-4 Q (х + 1)(х-2)
изображён на рисунке 76. 8) Функция чётная. 273 Рис. 76 Рис. 77 X
= А. с-Ь Ь-а d 2____ 2(Ус -у[д) _ -fc — Уо Левая часть (1) также равна А, так как Ус 4- -1а с — а 275 815. Если d — разность арифметической прогрессии, S — левая часть равенства и d фО, то C_V“2
О————+ ——— Т . » « + —— = ———, 02-ai 03-03 e„-o„_i d так как о* — o*_ j = d при k = 2, 3, n. Правую часть равенства можно n-1 _(n-l)(,fa^-yfa^) _,Ja^ преобразовать так: Ы — “1 816. Пусть d — разность арифметической прогрессии. 1) Тогда из равенства S„ = следует, что d Oj-I- — (п + m -I-1) = 0, (1) так как п ^ т (при п = т задача не имеет смысла). С другой стороны, ■Sm + n = ^«1+ dj(m -I- га) и из (1) следует, что S„, + „ = 0. 2) Из ра- венства _ rai^ 2о,-I- d(rai -1) т следует, что —i———————= — или 2oj-i- d(ra -1) га 2oj <п - т) = d(n - /га). (2) Если п = т, то равенство i о. 2га-1 является верным. Если п ^ т, /04 о J Oi+d(m-l) 2т-1 то из (2) следует, что 2oi = d и тогда —2- = —!-i----i = fdli—±. а„ ai+d(n—l) 2га-1 + 3
+ 1 + + 2 + 3> + 2 “ + 1
2о„ ^ з- (3) ®2А +л 4) ————= О п +к * Полагая в (3) Л = 1, 2, . га и складывая соответствующие равенства, получаем + ^3^» — ^2″ =S2„-S„. 817. 1) S„^* = S„ + i+M + — + + *) = -Sn + 9″S*, где — первый член, q — знаменатель геометрической прогрессии. 2) 5з„ — S„ = 9″S„, 5з„ — 5з„ = q^»S„. 818. S„ (1 — лс) = = 1 X -ь . + X» — (га + 1) + 1 =lnj£lJlli-(ra-i- 1)х» + 1. 819. S. = 6 -ь 66 -I- 1-х -I-. -ь 666. 6 = — (9 -I- 99 -I- . + 999.. .9) = ? (10 -ь -i- . -НО» — га). л цифр ^ л цифр ^ 820. 1) X* — X* _ 1 = а (X* _ 1 — X* _ з) = аЗ (х* _ 3 — X* _ з) = . = а* — 3 (ЛГ2 — — JCi), т. е. 3^A-^A-i = a*»^(JC2-^i)- (1) Полагая в (1) fe = 2, 3, . га и складывая соответствующие равенства, по- лучаем х„ — Xj = (Х3 — Xi) (1 -I- а + аЗ -I- . -t- а» ■ 3) = ((д _ i) + (,) ‘-1 а -1 276 если а 1. 2) S„ = Xj + а (xj + Хг + . + x„ _ j) + (л — 1) b = Xj + a (S„ — x„) + + (n-l)b. 821. Если z„ = x„-x„_i, to — x„ = x„ — x„ _ i + 1, t. e. 2n+i=2„+l. откуда z„ = Z2 + n-2. (1) Используя (1) и равенство x„ = (x„ — x„ _ j) + (x„ _ j — x„ _ 2) + . + + (X2 — Xi) + Xj, получаем x„ = г„ + г„ _ i + . + 23 + Xj = (л — 1) 23 + (л — 2) + + (л — 3) + . + 2 + 1 + Xj = (л — 1) (X2 — xj) + Xj + условий задачи следует, что | а„ | = 1 при любом л. Кроме того, = 0102 = 1, Og = О2О3 = 1, 07 = О3О4 = -1, Og = О4О5 = -1. Докажем, что fln = “n-i5. л > 20. (1) Используя формулу о* = о* _ 40^ _ 3 (Л е N), получаем а„ = а„_ зО„ _ 4 = = — б“л — 1^п — 7 так как О 2 = 1 (А 6 ЛГ). Полагая в (1) л = 2000 и учитывая, что 2000= 15-133 + 5, получим О2ооо = а5=1-823. Исходное равенство запишем в виде ^л-ои:„_, = Р(х„.1-ах„_2) (1) |/ = х*-ах*_1. Тогда получим Уп = ^Уп-1 (т-1), U (х-I-2) = U (х — 1), откуда следует, что 3 2 —X— _ 3j(jc—X = 2. Искомая величина — = -—^ = i. 834. Если V — объ-т + 2 2(х + 1) W X 2 ём раствора в колбе, х — процент соли, содержащейся в растворе, то —120=£_t-§, откуда х = 27%. 835. Если х — количество кубических y_V_ 100 10 метров древесины, которые должна была заготавливать бригада по плану. t — число рабочих дней по плану fxX = 216, , то 13х-1-(х + 8)(Х-4) = 232, откуда най- ЛЛ 1 дём X. 836. Если V — скорость поезда по расписанию, то — + + V 12 + откуда найдём v. 837. Пусть s — расстояние от А до В, tg и о -I-10 V — время (в часах) прохождения пути АВ соответственно автобусом и катером, 2 (^ + 1) — «^3 = 3 (vg — Vj(x + 1)). Из рисунка 79 следует, что (о,-Ь1>2)^^ + || = |уз- Кроме того, по условиям задачи 3″‘‘(г’Ь’ (2) (3) (4) Задача сводится к решению систем (1), (3), (4) и (2), (3), (4). Рассмотрим первую из этих систем, записав её в виде f2i)3=(x + l)(3o,-t>2). (5) |8оз = (Здс-ь 4)(0j-b 02)’ [(7-4х)оз = 7о1. Разделив почленно уравнение (6) на уравнение (5), получаем 4 (jc -ь 1) (Зо, — l>2) = (Зх + 4) (oj + U2) или 1>1 (9дг -t- 8) = (7х + 8) Vg. (8) 280 l,2v A D Puc. 81 Ангшогично, разделив (5) на (7), преобразуем полученное уравнение к виду (12л:2 — 9л: — 7)Oj = (4×2 — Зл: — 7)02- (9) Наконец, разделив (9) на (8), получим уравнение, которое можно записать так: 24×2 + 14х — 17 = О, откуда х — Аналогично из системы (2), (3), (4) найдём х = 1. 839. Пусть С — место встречи велосипедиста с первым пешеходом (рис. 80), АС = х, АВ = з, D — место, где велосипедист догнал второго пешехода, v — скорость велосипедиста, w — скорость каждого из пешеходов. Тогда ВС = 8 — х, CD = 1,2о, ^=0,5, (1) а искомое время t-—. Из условий задачи следует, что V X _ S — X — — ■ ‘ , V W (2) X ^ ^ о _ 1,2о + X-S Из уравнений (2) и (1) получаем t _ у 0,5 -t W а из уравнений (3) и (1) находим (3) (4) (5) Наконец, из (4) и (5) следует, что ^ ^—, откуда t = 0,3. t + 0,1 0,5-t 840. Пусть С — место, где мотоциклист догнал велосипедиста (рис. 81), v ■aw — скорости мотоциклиста и велосипедиста соответственно, D — место, где оказался бы велосипедист в случае, когда мотоциклист выезжает из А и прибывает в В. Тогда DB = Ь, ВС = а и из условий задачи следует, что = 5., £ = ^
откуда получаем = —L_. 841. Если и а v — ско- V W V W а 3 — Ь рости автобуса и автомобиля соответственно, АВ = s, то 42(u-m)=s, (1) [154(ц -и) = 3. (2) 281 Пусть tux — время, которое затрачивают на путь s автобус и автомобиль соответственно. Тогда t = —, х = — и из системы (1), (2) следует, что 1 + 1 = ±. t X 42 1 _1_ 1 X t 154’ 231 откуда находим т = 66, t = мин. В пункт А автобус и автомобиль при- 2 бывают, сделав 2т и 2л + 1 рейсов соответственно (рейс — поездка из одного пункта в другой). Участники движения окажутся одновременно в пункте А, если 2mt=(2n+\)x, где meN, neN, Следовательно, т = — ^ Так как 2 и 7 взаимно простые числа, то число 2п + 1 долж- но делиться на 7. При этом наименьшее л равно 3, и тогда т = 2. Искомое время 2mt = 462 мин. 842. Пусть АВ = Sj, ВС = S2, х — собственная скорость буксира на участке АВ, v — скорость течения реки. По условиям задачи составляем систему уравнений V + X V+ -X 3 £lliL=4, 2х -V *2^ = 3. 3 Обозначим — = 1/1, -^ = 2i, — = i/2> — = ^2- S «2 82 Тогда система (1) — (3) примет вид 1 1 а из (11) следует, что г/i + 2i = i, и поэто-^12 2 му t = 2 ч. 843. Пусть Vi — скорость парохода в стоячей воде, 02 — скорость катера, v — скорость течения реки, s — расстояние от А до В, t — продолжительность рабочего дня. Обозначим ■ = х. S 2 — V S ^’2 + V = 0, то 4 = 6. Предметный указатель • I. I. I. I. I. I. I. I. I • Алгоритм деления многочленов 4 Арифметический корень натуральной степени 43 Вероятность события 120 Выборка 151 График функции 66 Гипербола 78 Генеральная совокупность 151 Деление многочлена нацело 4 — — с остатком 6 Медиана 157 Мода 157 Область определения функции 65 Относительная частота события 132 Полигон частот 146 Последовательность числовая 89 Прогрессия арифметическая 92 — геометрическая 101 Размах 157 Свойства степени с целым показателем 38 — арифметического корня л-й степени 46 — возведения в степень неравенств 57 — функции 78 Среднее значение выборки 158 Степень с отрицательным показателем 38 — с нулевым показателем 38 Таблица распределения значений случайной величины 142 Теорема о сумме п членов арифметической прогрессии 97 — о сумме л членов геометрической прогрессии 107 Уравнение алгебраическое степени л 11 — возвратное 18 — рациональное 19 — иррациональное 84 Формула л-го члена арифметической прогрессии 93 — л-го члена геометрической прогрессии 103 — рекуррентная 93 Функция степенная 69 — возрастаюидая на промежутке 69 — убывающая на промежутке 69 — чётная 73 — нечётная 73 У = — 77 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I. Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений § 1. Деление многочленов. 3 § 2. Решение алгебраических уравнений. 10 § 3. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим. 17 §4. Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными. . . 23 § 5. Различные способы решения систем уравнений. 27 § 6. Решение задач с помощью систем уравнений. 32 Упражнения к главе 1. 35 Глава II. Степень с рациональным показателем § 7. Степень с целым показателем. 38 § 8. Арифметический корень натургшьной степени. 43 § 9. Свойства арифметического корня. 46 § 10. Степень с рациональным показателем . 50 §11. Возведение в степень числового неравенства. 57 Упражнения к главе II. 62 Глава III Степенная функция § 12. Область определения функции. 65 § 13. Возрастание и убывание функции. 69 § 14. Чётность и нечётность функции. 73 k §15. Функция !/=—. 77 X § 16. Неравенства и уравнения, содержащие степень. 82 Упражнения к главе III. 87 Глава IV 11рогре
ГДЗ по Алгебре за 9 класс Алимов, Колягин, Сидоров Учебник ФГОС
Каким образом поможет решебник
«ГДЗ по Алгебре за 9 класс Алимов, Колягин, Сидоров Учебник ФГОС» поможет школьнику понять непростой математический раздел без чрезмерных трудозатрат, а также сэкономит массу времени при подготовке. Домашние задания, которые по предмету задают практически ежедневно, перестанут тревожить молодых людей. Их выполнение под руководством ГДЗ станет гораздо легче. Можно обсудить удобство решебника – он доступен онлайн, что обеспечивает его повсеместную универсальность. Верные ответы великолепно составлены, они прошли всевозможные проверки. Любой номер упражнения окажется подвластен старшеклассникам.
Правильное использование решебника по алгебре за 9 класс от Алимова
Решебник станет полезен лишь в том случае, если он будет применяться правильно. Например, копирование решения из пособия без раздумий над заданиями приведёт к плачевным результатам, лишь ухудшит успеваемость. Чтобы сделать школьное образование наиболее эффективным, следует придерживаться определенного алгоритма:
- первоначально лучше всего попытаться разобраться со всеми заданиями самому, без помощи онлайн-решебника;
- затем стоит проверить выполненную часть домашней работы по самоучителю;
- на завершающем этапе разрешается подсмотреть, как справиться с наиболее сложными вопросами.
Такой подход обеспечит самое лучшее понимание математической дисциплины.
Характеристика процесса обучения по алгебре
Алгебра учит старшеклассников работать с числами. Подобный навык пригодится везде, это не вызывает сомнений. Чтобы девятикласснику хорошо учится по данной дисциплине, не рекомендуется допускать пропусков занятий. Перечислим самые сложные этапы образовательной программы по предмету:
- какие бывают системы и совокупности у линейных неравенств;
- как пересекаются и объединяются различные виды множеств;
- можно ли с помощью графического метода решать системы уравнений;
- в чем заключается метод алгебраического сложения, чем он отличается от способа вводить новые переменные;
- как определить нужное свойство четной или нечетной функции;
- какие бывают прогрессии, отличие арифметической от геометрической.
Чтобы учиться на одни пятерки по данной дисциплине, девятикласснику пригодится сборник верных ответов «ГДЗ по алгебре 9 класс Учебник Алимов», где есть ответы на все задания.
номера задач 1-843
Проверь себя
Глава 1
Глава 2
Глава 3
Глава 4
Глава 5
Глава 6
Глава 7
Некоторые ребята сомневаются в важности и нужности математики, считая, что она совсем не понадобится в дальнейшем. На самом деле, дисциплина с ее логическими заданиями, является неким спортом для мозга и помогает развивать его. Чем больше ребята будут решать сложных заданий, тем быстрее натренируют свой ум, станут более эрудированными и образованными. Поэтому изучение алгебры никак нельзя забрасывать, наоборот, нужно подходить со всей ответственностью и внимательностью. Но иногда у ребят возникает масса трудностей на пути обучения, но не нужно сразу складывать руки. Ведь на помощь всегда придет учебно-методический комплекс.
Из чего состоит решебник по алгебре за 9 класс Алимов
Стоит учитывать, что пособие не рассчитано для постоянного списывания. Это лишь хороший метод перепроверить себя и определить проблемные моменты в изучении той или иной темы. Издание состоит из:
- 7 разделов с упражнениями.
- Вопросов в конце пособия.
- Работ в паре, с таблицами, в группах, творческих и практических.
Несмотря на достаточно большой и разнообразный спектр заданий, авторы решебника постарались и изложили все ответы очень доступно. Ребятам будет легко найти все нужные вопросы, ведь всё расположено в соответствии с оригиналом учебника. ГДЗ очень удобно своей доступностью: обратиться к нему можно круглосуточно с телефона или компьютера, главное иметь доступ к Интернету.
В чем польза верных ответов по алгебре для 9 класса авторы: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров
Издание объяснит все тонкости квадратичных функций, неравенств с несколькими переменными, комбинаторику и теорию вероятности. Решебник станет отличным помощником в:
- понимании самых сложных тем;
- повышении успеваемости;
- экономии времени;
- подготовке к контрольным и самостоятельным работам, а также к экзаменам;
- проверка ошибок, чтобы не допустить их появления в дальнейшем.
Авторы предлагают несколько способов для решения задач. Это позволяет взглянуть на пример по-разному. Использование онлайн-решебника развивает самостоятельность, способности самоорганизации и планирования. В первую очередь, предложенный сборник – это хороший способ самопроверки и анализа. С его помощью ребята смогут разобраться со всеми самыми сложными вопросами, которые высветлены в издании. Стоит учесть, что использование пособия подключает у учеников зрительную память которая неосознанно позволяет запоминать весь нужный материал. А в предстоящем школьном году это очень важно, ведь некоторым придется сдавать экзамены для поступления в колледжи, где нужно также знать математические дисциплины.
http://uchebnik-skachatj-besplatno.com/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%209%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D0%BA%20%D0%90%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B2/index.html
http://gdz.ru/class-9/algebra/alimov-9/