Алгебраические уравнения и методы их решения

Виды алгебраических уравнений и способы их решения

Разделы: Математика

Для учащихся, интересующихся математикой, при решении алгебраических уравнений высших степеней эффективным методом быстрого нахождения корней, деление с остатком на двучлен х – a или на ах + b, является схема Горнера.

Рассмотрим схему Горнера.

Обозначим неполное частное при делении Р(х) на х – a через

Так как Р(х) = Q(x)(х–) + b_n, то имеет место равенство

Раскроем в правой части скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что а₀ = b₀ и при 1

b₀ = а₀

b₁=а₁ + b₀

b₂=а₂ + b₁

b_n-1=а_n-1+ b_n-2

b_n= а_n+ b_n-1

Пример 1. Разделить многочлен 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1.

Решение. Используем схему Горнера.

При делении 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1 получим 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Ответ: 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Пример 2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x 5 – 7x 4 + 5х 3 – 2х + 1

Решение. Используя теорему Безу и схему Горнера, получим:

1) Используя схему Горнера, разделить многочлен

4x 3 – x 5 + 132 – 8х 2 на х + 2;

2) Разделить многочлен

2x 2 – 3x 3 – х + х 5 + 1 на х + 1;

3) Найти значение многочлена Р₅(х) = 2х 5 – 4х 4 – х 2 + 1 при х = 7.

1.1. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

Способ отыскания рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема: Если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то они есть частное от деления делителя свободного члена на делитель старшего коэффициента.

Пусть х = р/q – рациональный корень, q, p – взаимнопростые.

Подставив дробь р/q в уравнение, и освободившись от знаменателя, получим

Перепишем (1) двумя способами:

Из равенства (2) следует, что a_nq n делится на р, и т.к. q n и р взаимно просты, то a_n делится на р. Аналогично из равенства (3) следует, что а₀ делится на q. Теорема доказана.

Пример 1. Решить уравнение 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 0.

Решение. Целых корней уравнение не имеет, находим рациональные корни уравнения. Пусть p/q несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р находим среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1, а q среди положительных делителей старшего коэффициента: 1; 2.

Т.е. рациональные корни уравнения надо искать среди чисел ± 1, ± 1/2, обозначим Р₃(х) = 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1, Р₃(1) 0, Р₃(–1) 0,

Р₃(1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 – корень уравнения.

2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3х + 2х– 1 = 0.

Получим: x 2 (2х – 1) – 3x(2х – 1)+ (2х– 1) = 0; (2х– 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

Приравнивая второй множитель к нулю, и решив уравнение, получим

Ответ: ,

Решить уравнения:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3х + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6х 2 + 2х + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2х 2 + 7х – 1 = 0;

1.2. Возвратные уравнения и методы решения

Определение. Уравнение с целыми степенями относительно неизвестного называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от концов левой части, равны между собой, т.е. уравнение вида

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

Возвратное уравнение нечетной степени

аx 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + а = 0

всегда имеет корень х = – 1. Поэтому оно эквивалентно объединению уравнению х + 1 = 0 и . Последнее уравнение является возвратным уравнением четной степени. Таким образом, решение возвратных уравнений любой степени сводится к решению возвратного уравнения четной степени.

Как же его решать? Пусть дано возвратное уравнение четной степени

аx 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + а = 0

Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. Тогда делим уравнение на х n , получим

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

Группируем попарно члены левой части

а(x n + x -n ) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1 ) + e = 0

Делаем замену х + х -1 = у. После подстановки выражений х 2 + х -2 = у 2 – 2;

х 3 + х -3 = у 3 – 3у; х 4 + х -4 = у 4 – 4у + 2 в уравнение получим уравнение относительно у Ау n + By n-1 +Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Для решения этого уравнения нужно решить несколько квадратных уравнений вида х + х -1 = у_k, где к = 1, 2, … n. Таким образом, получим корни исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение х 7 + х 6 – 5х 5 – 13х 4 – 13х 3 – 5х 2 + 2х + 1 = 0.

Решение. х = – 1 является корнем уравнения. Применим схему Горнера.

Наше уравнение примет вид:

(х + 1)(х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1) = 0

2) х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1 = 0 | : x 3 ? 0; х 3 + х 2 – 6х – 7 – 6/х + 1/х 2 + 1/х 3 =0.

Группируя, получим: .

Вводим замену: ; ; .

Получим относительно у уравнение: у 3 – 3у + у 2 – 2 – 6у – 7 = 0;

у 3 + у 2 – 9у– 9 = 0; у 2 (у + 1) – 9(у + 1) = 0; (у + 1)(у 2 – 9); у₁ = -1, у_2,3 = ± 3.

Решая уравнения , , ,

получим корни: , , ,

Ответ: х₁ = -1, ,

Решить уравнения.

1. 2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0;
2. 2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0;
3. 15х 5 + 34х 4 + 15х 3 – 15х 2 – 34х – 15 = 0.

1.3. Метод замены переменной при решении уравнений

Метод замены переменной — самый распространенный метод. Искусство производить замену переменной заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Если дано уравнение

то заменой неизвестной у = f(x) оно сначала сводится к уравнению

а потом после нахождения всех решений уравнения (2) у₁, у₂, …, y_n, … сводится к решению совокупности уравнений f(x) =у_1, f(x) = у₂,…, f(x) = у₂, …

Основными способами реализации метода замены переменной являются:

• использование основного свойства дроби;
• выделение квадрата двучлена;
• переход к системе уравнений;
• раскрытие скобок парами;
• раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения;
• понижение степени уравнения;
• двойная замена.

1.3.1. Понижение степени уравнения

Решить уравнение (х 2 + х + 2)(х 2 + х + 3) = 6 (3)

Решение. Обозначим х 2 + х + 2 = у, тогда полечим у(у+1)=6, решая последнее, получим у₁ = 2, у₂ = -3. Данное уравнение (3) равносильно совокупности уравнений х 2 + х + 2 = 2

Решая первое, получим х₁ = 0, х₂ = -1. Решая второе, получим ,

Ответ: х₁ = 0, х₂ = -1, ,

1.3.2. Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.

Пример. Решить уравнение (х — 1)(х — 7)(x -4)(x + 2) = 40

Решение. – 1- 4 = — 7 + 2, — 5 = — 5, перемножив эти пары скобок, получим уравнение (х 2 — 5х — 14)(х 2 — 5х + 4) = 40

Введем замену: х 2 — 5х – 14 = у, получим уравнение у(у + 18) = 40, у 2 + 18у = 40, у 2 + 18у – 40 = 0. у₁ = -20, у₂ = 2. Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:

1.3.3. Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ех 2 ,

где ab = cd, или ac =bd, или ad = bc. Раскрываем скобки парами и делим обе части на х 2 0.

Пример. (х — 1)(х — 2)(x — 8)(x — 4) = 4х 2

Решение. Произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвертой скобках, равны, т.е. – 8 • (- 1) = (- 2)(- 4). Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение (х 2 — 9х + 8)(х 2 — 6х + 8) = 4х 2 .

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х 2 0, получим: , замена: , исходное уравнение примет вид: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t₁ =1, t₂ = — 4.

Вернемся к исходной переменной:

Первое уравнение решаем, получим х_1,2= 5 ±

Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: х_1,2= 5 ±

1.3.4. Уравнение четвертой вида (ах 2 + b₁х + c)(aх 2 + b₂x + c) = Aх 2

Уравнение (ах 2 + b₁х+ c)(aх 2 + b₂x + c) = Aх 2 , где с 0, А 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х 2 , получим равносильное ему уравнение , которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного и легко решается.

Пример. (х 2 + х+ 2)(х 2 + 2x + 2) = 2х 2

Решение. Легко видно, что х = 0 не является корнем данного уравнения, разделив данное уравнение на х 2 , получим уравнение

замена , получим уравнение (у+1)(у+2) = 2, решив его, имеем корни у₁ = 0; у₂ = — 3, следовательно исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

1.3.5. Уравнение вида: a(cx 2 + p₁x + q) 2 + b(cx 2 + p₂x + q) 2 = Ax 2

Уравнение a(cx 2 + p₁x + q) 2 + b(cx 2 + p₂x + q) 2 = Ax 2 , где a, b, c, q, A таковы, что q 0, A 0, c 0, a 0, b 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х 2 , получим равносильное ему уравнение , которое после замены перепишется в виде квадратного уравнения, которое легко решается.

Пример. Решить уравнение

3(x 2 + 2x — 1) 2 – 2(x 2 + 3x — 1) 2 + 5x 2 = 0

Решение. Легко видеть, что x = 0 не является корнем данного уравнения, поэтому, разделив обе части этого уравнения на x 2 , получим

, заменяя , получим уравнение

1.3.6. Уравнения вида: (x + a) 4 + (x + b) 4 = c

Уравнение этого вида, где а, b, с – данные числа, можно свести к биквадратному уравнению с помощью замены переменной

, т. е.

Пример. Решить уравнение.

(x — 1) 4 + (x + 3) 4 = 82

Решение. Обозначим , т. е. y = x + 1, или x = y – 1. Тогда уравнение примет вид: (y — 2) 4 + (y + 2) 4 = 82, применяя формулу

(a +b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 , получим 2y 4 + 48y 2 + 2 • 16 = 82.

Далее легко решается.

1) (x — 1)(x + 2)(x -3)(x + 4) = 144

2) (x + 3)(x + 1)(x + 5)(x + 7) = — 16

3) (x — 4)(x + 5)(x + 10)(x — 2) = 18x 2

4) (x + 6)(x + 3)(x — 1)(x — 2) – 12x 2 = 0

5) (x 2 – 5x — 4) 2 — 3(x 3 – 5x 2 – 4x) + 2x 2 = 0

6) (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) = 12

7) (x — 4) 4 + x 4 = 82

8) (2x 2 – 3x + 1)(2x 2 + 5x + 1) = 9x 2

1.3.7. Уравнения вида:

,

где a, b, c, A, B, E – постоянные, а 0.

В таких уравнениях сначала проверяют, является ли х = 0 корнем уравнения, затем делят числитель, и знаменатель каждой дроби на х ? 0 и вводят замену

Пример 1. Решить уравнение.

Решение: Проверим х = 0 не корень уравнения. Делим числитель и знаменатель каждой дроби на х 0, получим: , делаем замену , получим , решая это уравнение, получим t₁ = 6, t₂ = — 1. Вернёмся к старой замене:

Реферат: Уравнения и способы их решения

Министерство общего и профессионального образования РФ

Муниципальное образовательное учреждение

на тему: Уравнения и способы их решения

Выполнил: ученик 10 «А» класса

Проверила: учитель математики Исхакова Гульсум Акрамовна

Основная часть . 3

Список использованной литературы . 29

Уравнения. Алгебраически уравнения.

а) Основные определения.

б) Линейное уравненение и способ его решения.

в) Квадратные уравнения и способы его решения.

г) Двучленные уравнения способ их решения.

д) Кубические уравнения и способы его решения.

е) Биквадратное уравнение и способ его решения.

ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.

ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.

з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его

и) Иррациональные уравнения и способы его решения.

к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.

абсолютной величины и способ его решения.

а) Показательные уравнения и способ их решения.

б) Логарифмические уравнения и способ их решения.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.

Математика. выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

уравнения. Алгебраические уравнения

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв [1] ). Для записи тождества наряду со знаком также используется знак .

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:, , . – или теми же буквами, снабженными индексами: , , . или , , . ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: , , , . – или теми же буквами, снабженными индексами: , , . или , , . ).

В общем виде уравнение может быть записано так:

(, , . ).

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения уравнения являются решениями уравнения , то говорят, что уравнение есть следствие уравнения , и пишут

.

и

называют эквивалентными , если каждое из них является следствие другого, и пишут

.

Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если множество решений этих уравнений совпадают.

Уравнение считают эквивалентным двум (или нескольким) уравнениям , , если множество решений уравнения совпадает с объединением множеств решений уравнений , .

Н е к о т о р ы е э к в и в а л е н т н ы е у р а в н е н и я:

Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

эквивалентно двум уравнениям и .

Уравнение эквивалентно уравнению .

Уравнение при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

,

где – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида

++ . ++,

где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена , , , . , называются коэффициентами (или параметрами ) уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.

Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями ) алгебраического уравнения.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида F(х), где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Так вот, главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка(и) пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

, (1)

где a и b – некоторые действительные числа.

Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число , получаем уравнение

, (2)

эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):

.

Алгебраическое уравнение второй степени.

, (3)

где , , – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением . Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным .

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

,

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.

если , то уравнение имеет два различных действительных корня;

если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;

если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:

, ,

Частными видами квадратного уравнения (3) являются:

1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде

.

Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле

. (4)

Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.

2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде

( — целое число).

Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле

. (5)

Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.

Корни приведенного квадратного уравнения

связаны с его коэффициентами Формулами Виета

,

.

В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:

если , , то оба корня отрицательны;

если , , то оба корня положительны;

если , , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если , , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.

Перепишем еще раз квадратное уравнение

(6)

и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если

++, (7)

то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

,

, .

которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).

,

Заметим, что , поэтому

,

.

,

но , из формулы (7) поэтому окончательно

.

Если положить, что +, то

,

Заметим, что , поэтому

,

,

но , поэтому окончательно

.

.

Уравнения n-й степени вида

(8)

называется двучленным уравнением . При и заменой [2] )

,

где — арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению

,

которое и будет далее рассматриваться.

Двучленное уравнение при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и комплексных):

( 0, 1, 2, . ). (9)

Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).

Двучленное уравнение при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел корней, вычисляемых по формуле

( 0, 1, 2, . ). (10)

Двучленное уравнение при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).

Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.

1) ().

Уравнение имеет два действительных корня .

2) ().

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

.

3) ().

Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня .

4) ().

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .

5) ().

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

.

6) ().

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:

, .

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида

, где ,

оказались «крепким орешком». В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

, где ,

разделить на , то коэффициент при станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

. (11)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на и перегруппируем слагаемые:

. (12)

Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

.

Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно без члена с :

.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

. (13)

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

.

Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :

, или

.

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений

или

и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:

Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и — корни уравнения

.

Выпишем эти корни:

Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:

.

Эта формула известная как формула Кардано .

подстановкой приводится к «неполному» виду

, , . (14)

Корни , , «неполного» кубичного уравнения (14) равны

, ,

, ,

.

Пусть «неполное» кубичное уравнение (14) действительно.

а) Если («неприводимый» случай), то и

,

,

.

(b) Если , , то

, ,

, .

(с) Если , , то

, ,

, .

Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.

Алгебраическое уравнение четвертой степени.

,

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением . Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и — корни соответствующего квадратного уравнения).

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

, .

Если , [3] ), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:

.

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

, .

Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари .

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

.

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:

. (15)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

, или

.

Это уравнение называется резольвентным (т.е. «разрешающим»). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение

.

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:

.

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

,

или, после упрощения,

.

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

,

откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений — и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

подстановкой приводится к «неполному» виду

. (16)

Корни , , , «неполного» уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

,

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

,

причем , и — корни кубичного уравнения

.

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени () можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

, ,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Уравнения, которые решаются

Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:

Если несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена , а знаменатель — делителем старшего коэффициента .

Для доказательства достаточно подставить в уравнение и умножить уравнение на . Получим

.

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на , поэтому и делится на , а поскольку и — взаимно простые числа, является делителем . Доказательство для аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа «кандидатов». Например, для уравнения

,

старший коэффициент которого равен 1, «кандидатами» будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только одно из этих чисел: .

Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,

остаток от деления многочлена на двучлен равен , т. е. .

Из теоремы непосредственно следует, что

Если — корень многочлена , то многочлен делится на , т. е. , где — многочлен степени, на 1 меньшей, чем .

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена

множитель . Чтобы найти частное , можно выполнить деление «уголком»:

Но есть и более простой способ. Он станет понятен из примера:

Теперь остается решить квадратное уравнение . Его корни:

.

Метод неопределенных коэффициентов

Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение

.

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов с неизвестными (неопределенными) коэффициентами:

.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

.

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях, получим систему уравнений

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что , тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два варианта: , и . Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них дает искомое разложение: . Этот способ решения называется методом неопределенных коэффициентов .

Если уравнение имеет вид , где и — многочлены, то замена сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: и .

Возвратным алгебраическим уравнением называется уравнение четной степени вида

,

в которых коэффициенты, одинаково отстоят от концов, равны: , и т. д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей степени делением на и последующей заменой .

Рассмотрим, например, уравнение

.

Поделив его на (что законно, так как не является корнем), получаем

.

.

Поэтому величина удовлетворяет квадратному уравнению

,

решив которое можно найти из уравнения .

При решении возвратных уравнений более высоких степеней обычно используют тот факт, что выражение при любом можно представить как многочлен степени от .

Рациональные алгебраические уравнения

Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида

, (17)

где и — многочлены. Далее для определенности будем полагать, что — многочлен m-й степени, а — многочлен n-й степени.

Множество допустимых значений рационального алгебраического уравнения (17)

задается условием , т. е. , , . где , , . — корни многочлена .

Метод решения уравнения (17) заключается в следующем. Решаем уравнение

,

корни которого обозначим через

.

Сравниваем множества корней многочленов и . Если никакой корень многочлена не является корнем многочлена , то все корни многочлена являются корнями уравнения (17). Если какой-нибудь корень многочлена является корнем многочлена, то необходимо сравнить из кратности: если кратность корня многочлена больше кратности корня многочлена , то этот корень является корнем (17) с кратностью, равной разности кратностей корней делимого и делителя; в противном случае корень многочлена не является корнем рационального уравнения (17).

П р и м е р. Найдем действительные корни уравнения

,

где , .

Многочлен имеет два действительных корня (оба простые):

, .

Многочлен имеет один простой корень . Следовательно, уравнение имеет один действительный корень .

Решая то же самое уравнение в множестве комплексных чисел, получим, что уравнение имеет, кроме указанного действительного корня, два комплексно сопряженных корня:

, .

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением . В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать «лишние» корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Приведем некоторые стандартные, наиболее часто применяемые методы решения иррациональных алгебраических уравнений.

1) Одним из самых простых приемов решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения

в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение

множество решений которого представляет собой объединение множеств решений:

и .

Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к рациональному уравнению.

П р и м е р 1. Решить уравнение

, (18)

где , , — некоторые многочлены.

В силу определения операции извлечения корня в множестве действительных чисел допустимые значения неизвестного определяются условиями

, .

Возведя обе части уравнения (18) в квадрат, получим уравнение

.

После повторного возведения в квадрат уравнение превращается в алгебраическое уравнение

. (19)

Так как обе части уравнения (18) возводились в квадрат, может оказаться, что не все корни уравнения (19) будет являться решениями исходного уравнения, необходима проверка корней.

2) Другим примером решения иррациональных уравнений является способ введения новых неизвестных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

П р и м е р 2. Решить иррациональное уравнение

.

Множество допустимых значений этого уравнения:

.

Положив , после подстановки получим уравнение

или эквивалентное ему уравнение

,

которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно . Решая это уравнение, получим

, .

Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений:

, .

Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два рациональных алгебраических уравнения:

, .

Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень .

В заключение заметим, что при решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.

П р и м е р 3. Решить уравнение

. (20)

Множество допустимых значений данного уравнения: . Сделаем следующие преобразования данного уравнения:

.

Далее, записывая уравнение в виде

,

при уравнение решений иметь не будет;

при уравнение может быть записано в виде

.

При данное уравнение решений не имеет, так как при любом , принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражение, стоящее в левой части уравнения, положительно.

При уравнение имеет решение

.

Принимая во внимание, что множество допустимых решений уравнения определяется условием , получаем окончательно:

При решением иррационального уравнения (20) будет

.

При всех остальных значениях уравнение решений не имеет, т. е. множество его решений – пустое множество.

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины, можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя определение модуля. Так, например, решение уравнения

(21)

сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.

1) Если , то уравнение (21) приводится к виду

. (22)

Решения этого уравнения: , . Условию удовлетворяет второй корень квадратного уравнения (22), и число 3 является корнем уравнения (21).

2) Если , уравнение (21) приводится к виду

.

Корнями этого уравнения будут числа и . Первый корень не удовлетворяет условию и поэтому не является решением данного уравнения (21).

Таким образом, решениями уравнения (21) будут числа 3 и .

Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать таким образом, что решениями уравнения будут все значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение

. (23)

Рассмотрим числовую ось Ох и отметим на ней точки 0 и 3 (ноли функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую ось на три промежутка (рис. 1):

, , .

1) При уравнение (23) приводится к виду

.

В промежутке последнее уравнение решений не имеет.

Аналогично, при уравнение (23) приводится к виду

и в промежутке решений не имеет.

2) При уравнение (23) приводится к виду

,

т. е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение является решением уравнения (23).

Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением [4] ).

Простешими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при некоторых постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением, решение которого сводится к решению алгебраического уравнения, является уравнение вида

, (24)

где и — некоторые положительные числа . Показательное уравнение (24) эквивалентно алгебраическому уравнению

.

В простейшем случае, когда , показательное уравнение (24) имеет решение

Множество решений показательного уравнения вида

, (25)

где — некоторый многочлен, находится следующим образом.

Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое относительно неизвестного . После этого решение исходного уравнения (25) сводится к решению простейших показательных уравнений вида (24).

П р и м е р 1. Решить уравнение

.

Записывая уравнение в виде

и вводя новую переменную , получаем кубическое уравнение относительно переменной :

.

Нетрудно убедиться, что данное кубическое уравнение имеет единственный рациональный корень и два иррациональных корня: и .

Таким образом, решение исходного уравнения сведено к решению простейших показательных уравнений:

, , .

Последнее из перечисленных, уравнений решений не имеет. Множество решений первого и второго уравнений:

и .

Н е к о т о р ы е п р о с т е й ш и е п о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я:

1) Уравнение вида

заменой сводится к квадратному уравнению

.

2) Уравнение вида

заменой сводится к квадратному уравнению

.

3) Уравнение вида

заменой сводится к квадратному уравнению

.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

, (26)

где — некоторое положительно число, отличное от единицы, — любое действительное число. Логарифмическое уравнение (26) эквивалентно алгебраическому уравнению

.

В простейшем случае, когда , логарифмическое уравнение (26) имеет решение

.

Множество решений логарифмического уравнения вида , где — некоторый многочлен указанного неизвестного, находится следующим образом.

Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое уравнение относительно . После этого решаются простейшие логарифмические уравнения вида (25).

П р и м е р 1. Решить уравнение

. (27)

Относительно неизвестного данное уравнение – квадратное:

.

Корни этого уравнения: , .

Решая логарифмические уравнения

, ,

получаем решения логарифмического уравнения (27): , .

В некоторых случаях, для того чтобы свести решение логарифмического уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо предварительно сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих в уравнение. Такими преобразованиями могут быть преобразование суммы логарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, переход от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием и т. д.

П р и м е р 2. Решить уравнение

. (28)

Для того чтобы свести решение данного уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо прежде всего привести все логарифмы к одному основанию (здесь, например, к основанию 2). Для этого воспользуемся формулой

,

в силу которой . Подставив в уравнение (28) вместо равную ему величину, получаем уравнение

.

Заменой это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно неизвестного :

.

Корни этого квадратного уравнения: , . Решаем уравнения и :

,

,

П р и м е р 3. Решить уравнение

.

Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм частного этих величин:

,

сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению

.

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что мое сочинение может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного сочинения я не ставил себе цели показать все виды уравнений, а излагал лишь имеющийся у меня материал.

Список использованной литературы

Глав. ред. М. Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.

Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.

Г. Корн и Т. Корн. Справаочник по математике для начуных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970.- 720 с.

Алгебраические уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения

Алгебраическое уравнение — это уравнение вида. где. — многочлен от переменных. , которые называются неизвестными.

Делимость многочлена

Делимость многочлена, целого относительно х, на разность x— а.

Теорема Безу:

Многочлен, целый относительно х:
,
при делении на разность х — а (где а есть произвольное число, положительное или отрицательное) даёт остаток

равный тому значению делимого, которое оно получает при х=а.

Доказательство:

Из процесса деления многочлена, расположенного по убывающим степеням буквы х, видно, что деление такого многочлена на х — а можно продолжать до тех пор, пока высший член остатка R не будет содержать в себе буквы х. Пусть при этом частное будет некоторый многочлен Q. Тогда мы можем написать равенство:
M=(x- a)Q+R.

Равенство это есть тождество, т. е. оно верно при всевозможных значениях буквы х, а потому оно должно быть верно и при х-а. Но при x=а оно даёт
M’ = (α — α) Q’ + R
если буквами М‘ и Q‘ обозначим те значения M и Q, которые эти многочлены принимают при х=а (остаток R, как не содержащий вовсе x, не изменится от подстановки а на место х). Так как a — α=0, то и произведение (а — a) Q‘ равно 0; значит, последнее равенство даёт M‘= R, т. е.

что и требовалось доказать.

Следствие:

Так как x+α=x— (—а), то, применяя доказанную теорему к сумме х+а, найдём:
многочлен

при делении на сумму x+α даёт в остатке число, равное

т. е. число, равное тому значению делимого, которое оно получает при x= —а.

Примеры:
1) Многочлен x⁵—3x²+5x—1 при делении на х—2 даёт остаток, равный
2⁵-3 ∙ 2²+5 ∙ 2—1=29.

2) Многочлен x⁵—3x²+5x—1 при делении на x+2 даёт остаток
(-2)⁵-3 (- 2)²+5 (-2)—1=-55.

Следствие:

Для того чтобы многочлен

делился на разность х—а, необходимо и достаточно, чтобы при х=а он обращался в нуль.

Это необходимо, так как если указанный многочлен делится на x—а, то остаток от деления должен быть нуль, а этот остаток, по доказанному выше, есть то значение делимого, которое оно принимает при x=а. Это и достаточно, так как если многочлен обращается в нуль при x=a, то это значит, что остаток от деления этого многочлена на х—а равен нулю.

Следствие:

Для того чтобы многочлен

делился на сумму х+а, необходимо и достаточно, чтобы при х = —а он обращался в нуль, так как сумма х+а есть разность x—(— а).

Примеры:
1) Многочлен x³-4x²+9 делится на х—3, потому что
З³ — 4∙3²+9=0.
2) Многочлен 2x²+x-45 делится на x+5, так как
2 (-5)²+(-5)—45=0.

Делимость двучлена на . 1) Разность одинаковых степеней двух чисел делится на разность тех же чисел, так как при делении на х—а даёт остаток , т. е. 0.

2) Сумма одинаковых степеней двух чисел не делится на разность этих чисел, так как при делении на х—а даёт остаток , а не 0.

3) Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится, а нечётных не делится на сумму этих чисел, так как при делении разности , на х+а остаток равен , что при m чётном равно нулю, а при tn нечётном составляет — .

4) Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится, а чётных не делится на сумму этих чисел, так как. при делении суммы на x+α остаток равен что при m нечётном равно 0, а при m чётном составляет .

Примеры:
1) x¹+α¹ делится на x+α, но не делится на х—а.
2) x²- α² делится и на х—а, и на x+a.
3) x²+α² не делится ни на х—а, ни на x+a.
4) x³- α³ делится на х—а, но не делится на x+α.
5) x³+α³ делится на x+a, но не делится на х—а.

Частные, получаемые при делении на . Если произведём деление двучлена на двучлен х—а, то в частном получим многочлен:

(остатки при этом делении идут в такой последовательности: 1-й остаток , 2-й остаток , 3-й остаток ,…, m-й остаток ).

Очевидно, что многочлен, получившийся в частном, содержит m членов; сумма показателей в каждом члене при а и х одна и та же, именно: m—1; показатели х идут, уменьшаясь на 1,от m—1 до 0, показатели же а идут, увеличиваясь на 1, от 0 до m—1; коэффициенты у всех членов равны 1; знаки все +; число членов в частном m.

Заметив это, можем прямо писать:
x³- α³=(x-a) (x²+αx+α²);
x⁴- α⁴=(x-α) (x³+αx²+α²x+ α³);
x⁵ — α⁵=(x-a) (x⁴+αx3+α²x²+α³x+α⁴) и т. п.

Чтобы получить частное от деления на x + a при m чётном или при делении на x+a при m нечётном, достаточно в полученном выше частном заменить а на —а. Таким образом:
x³+α³=(x+α) (x²-αx+α²);
x⁴—α⁴=(x+α) (х³-αx²+α²x-α³);
x⁵+a⁵=(x+α) (х⁴ — αx³+α²x² — a³x+a⁴) и т.п.

Общий вид алгебраического уравнения

Мы ранее видели, что уравнение, содержащее неизвестное в знаменателях, может быть приведено к целому виду. Далее мы знаем, что уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, может быть приведено к рациональному виду. Вследствие этого можем сказать, что всякое уравнение, в котором неизвестное связано с данными числами посредством конечного числа шести алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения в степень и извлечения корня), может быть приведено к такому целому и рациональному виду:

где коэффициенты А, В, С, … , K и L суть постоянные вещественные или комплексные числа, а m есть показатель степени уравнения. Некоторые коэффициенты, кроме первого, в частных случаях могут равняться нулю.

Уравнение такого вида называется алгебраическим. Алгебраические уравнения степени выше второй называются уравнениями высших степеней.

Некоторые свойства алгебраического уравнения

Уравнения высших степеней составляют предмет высшей алгебры. Элементарная же рассматривает только некоторые частные виды этих уравнений.

Высшая алгебра устанавливает следующую важную теорему:
Всякое алгебраическое уравнение имеет вещественный или комплексный корень (теорема Гаусса 2), 1799 г.).

Допустив эту истину (доказательство которой в элементарной алгебре было бы затруднительно), нетрудно показать, что:
Алгебраическое уравнение имеет столько корней, вещественных или комплексных, сколько единиц в показателе его степени.

Действительно, согласно теореме Гаусса, уравнение
(1)
имеет вещественный или комплексный корень; пусть этот корень будет а. Тогда многочлен, стоящий в левой части уравнения (1), должен делиться на х—а. Если произвести это деление, то в частном получим многочлен степени m—1, у которого первый коэффициент будет А. Обозначив другие его коэффициенты соответственно буквами B₁, C₁ ,…, K₁ и приняв во внимание, что делимое равно делителю, умноженному на частное, можем представить уравнение (1) так:
(2)
Приравняв нулю многочлен, стоящий во вторых скобках, получим новое уравнение, которое по той же теореме должно иметь некоторый корень β; вследствие этого левая его часть может быть разложена на два множителя: х—β и многочлен степени m—2, у которого первый коэффициент по-прежнему будет А. Поэтому уравнение (1) можно переписать так:
(3)

Продолжая эти рассуждения далее, дойдём, наконец, до того, что многочлен, заключённый в последних скобках, будет второй степени, причём первый его коэффициент останется А. Разложив этот трёхчлен на множители, приведём уравнение (1) к виду:
A(x- а) (х—β) (х— γ) . .. (х—λ)=0, (4)
где всех разностей: x-a, х- β,…, будет m. Очевидно, что уравнение (4) обращается в тождество при каждом из значений: x=α, x=β, x=γ, . x=λ и не удовлетворяется никакими иными значениями x (если A≠0); значит, уравнение (1) имеет m корней: a, β, γ ,…, λ. В частных случаях некоторые корни могут оказаться одинаковыми.

Полезно заметить ещё следующие истины, доказываемые в высшей алгебре.

Сумма корней всякого алгебраического уравнения
равна , а произведение корней равно (примером может служить квадратное уравнение).

Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет комплексные корни, то число этих корней — чётное (примером может служить биквадратное уравнение).

Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет n корней вида p+qi, оно имеет ещё n корней вида p—qi (примером может служить биквадратное уравнение, комплексные корни которого всегда сопряжённые), и так как
[х—(p+qi)][x-(р— qi)]=[(x-p)- qi] (x-p)+qi] =
=(х—р)²—q²i²=(x-p)²+q²=x²-2 +(p²+q²),
то левая часть уравнения содержит в этом случае n вещественных множителей вида ax²+bx+c.

Алгебраическое уравнение нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет, по крайней мере, один вещественный корень.

Уравнения с произвольными буквенными коэффициентами степени не выше четвёртой разрешены алгебраически, т. е. для корней этих уравнений найдены общие формулы, составленные из коэффициентов уравнения посредством алгебраических действий.

В этом смысле уравнения с произвольными коэффициентами степени выше четвёртой не могут быть разрешены алгебраически (теорема Абеля); однако, если коэффициенты уравнения какой угодно степени выражены числами, всегда есть возможность вычислить с желаемой степенью приближения все его корни как вещественные, так и мнимые. Способы такого вычисления излагаются в высшей алгебре.

Методы решения целых алгебраических уравнений

Разложение на множители

Часть целых алгебраических уравнений (или аналогичных неравенств) степени n выше 2-й могут быть решены путём разложения многочлена в левой части уравнения (неравенства) на множители с помощью таких известных приёмов, как группировка и вынесение общего множителя за скобки. Иногда для достижения цели приходится прибавлять и одновременно вычитать одно и то же выражение. Отметим, что порой разложение на множители этим способом требует определённого искусства.

Если разложение на множители удалось выполнить, то решение алгебраического уравнения сводится к решению совокупности нескольких уравнений, но более низкой степени. Неравенство после разложения на множители можно решать методом интервалов.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Из 1-го уравнения находим корни , а второе не имеет решений.

Пример:

Найти все положительные корни уравнения

Решение:

Покажем, что второе уравнение в совокупности не имеет положительных решений. Действительно, рассмотрим функцию Её производная при всех действительных x, так как Следовательно, функция всюду монотонно возрастает, при этом y(0) = 5 . Отсюда следует, что при x > 0 её график не пересекает оси абсцисс.

Ответ:

Подбор корня с последующим понижением степени уравнения

При решении алгебраических уравнений и неравенств степени выше второй можно использовать общий принцип последовательного понижения степени уравнения (неравенства).

Пусть требуется решить уравнение n -й степени

где целый рациональный алгебраический многочлен n -й степени. Если удалось подобрать (любым способом) какой-либо корень данного уравнения, то для нахождения остальных корней уравнения следует поделить многочлен на разность X — Х0 (или целенаправленной группировкой слагаемых, выделяя разность , разложить этот многочлен на множители). В результате деления образуется некоторый многочлен , степень которого на единицу меньше первоначальной. Таким образом, задача свелась к решению алгебраического уравнения степени n — 1 :

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что x = 2 является корнем данного уравнения. Найдём другие корни этого уравнения:

Решая уравнение , находим ещё два корня

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Легко заметить, проанализировав структуру уравнения, что числа x = 0 и x = -10 являются решениями данного уравнения. С другой стороны, ясно, что это квадратное уравнение, а поэтому может иметь не более двух корней. Так как два корня уравнения уже подобраны, то других корней нет.

В некоторых случаях, для того чтобы не подбирать корень «вслепую», можно воспользоваться следующим методом.

Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентами

Для решения такого рода уравнений и неравенств используется метод, в основе которого лежит Теорема 9 из предыдущего пункта. Рассмотрим подробнее суть этого метода. Пусть требуется найти рациональные корни уравнения n -й степени

причём все коэффициенты алгебраического многочлена являются целыми числами. Поиск рациона-льных корней можно свести к перебору ограниченного количества вариантов. Для этого необходимо, во-первых, найти все целочислен-ные делители свободного члена (их конечное число, однако если этот коэффициент содержит слишком много делителей, то это затрудняет поиск корней в уравнении). Обозначим, например, эти делители через . Во-вторых, следует найти все натуральные делители старшего коэффициента уравнения . Обозначим эти делители через . В-третьих, надо составить всевозможные дроби вида . Наконец, перебирая по очереди все такие дроби, проверить, является ли в действительности каждая из них корнем данного уравнения. Найдя таким образом первый корень , вы или сразу понижаете степень уравнения делением многочлена на разность , (причём в силу следствия из теоремы Безу обязательно разделится нацело на этот линейный двучлен) и получаете некоторый многочлен степени на единицу меньшей, чем первоначальная. Или, перебирая все дроби, находите все рациональные корни и уже затем понижаете степень уравнения сразу на столько порядков, сколько рациональных корней удалось найти, и ищете оставшиеся иррациональные корни. В любом случае задача сводится к решению уравнения более низкой степени.

Пример:

При каких натуральных n уравнение имеет рациональные корни?

Решение:

Воспользуемся приведённым выше методом. Свободный член имеет два целочисленных делителя: ± 1, а старший коэффициент — два натуральных делителя: 1,2. Поэтому рациональные корни следует искать среди чисел Подставим их поочерёдно в уравнение.

Ответ:

Метод неопределённых коэффициентов

Иногда для решения целых алгебраических уравнений (неравенств) с одной или несколькими неизвестными используют метод неопределённых коэффициентов. Пусть, например, решается уравнение

Суть метода состоит в том, что многочлен в левой части уравнения представляется в виде произведения линейных и(или) квадратичных сомножителей с неизвестными (неопределёнными) коэффициентами Чтобы найти эти коэффициенты, раскрывают скобки в указанном произведении и приводят образовавшийся при этом многочлен к стандарт-ному виду. Так как два многочлена и одной степени тождественно равны тогда и только тогда,

когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то, приравнивая эти коэффициенты, получают систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эту систему решают (или подбирают любое решение). Найденные таким способом коэффи-циенты становятся определёнными и их значения подставляются в исходное разложение. К недостаткам метода можно отнести то, что получаемая система уравнений для нахождения коэффициентов может оказаться громоздкой и трудной даже в подборе решения.

Рассмотрим применение этого метода на примере решения кубического уравнения. Допустим, требуется решить уравнение

Известно, что многочлен третьей степени всегда можно представить в виде произведения многочленов первой и второй степеней. Таким образом, сразу для всех действительных значений переменной x должно выполняться равенство

где числа а,b,c являются в данном случае искомыми неопределён-ными коэффициентами. Найдём их значения. После этого останется подставить их в правую часть (1) и, приравняв её к нулю, решить уравнение для нахождения всех корней уравнения.

Чтобы найти коэффициенты а,b,c, раскроем скобки в правой части тождества (1) и приведём образовавшийся при этом многочлен к стандартному виду

Многочлены третьей степени тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x . Приравнивая коэффициенты при , и свободные члены, получаем систему трёх алгебраических уравнений относительно трёх неизвестных а,b,c :

решая которую (можно даже просто подобрать любое решение этой системы) находим коэффициенты.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся для решения методом неопределённых коэффициентов. Будем искать разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, в виде

Раскрыв скобки, приведём многочлен в правой части к стандартному виду

Приравнивая коэффициенты слева и справа при ,и свободные члены, получаем в итоге систему трёх уравнений с тремя неизвестными коэффициентами а,b,c:

Найдя подбором решение подставим найденные коэффициенты в разложение (2). Таким образом, исходное уравнение приобретает вид Оно имеет три корня

Пример:

При каких значениях а все корни уравнения являются корнями уравнения

Решение:

Чтобы первое из уравнений имело корни, необходимо, чтобы его дискриминант был неотрицателен, т.е.

Далее, второй многочлен в силу теоремы Безу должен делиться нацело на первый многочлен. Иными словами, должно найтись такое b , что при всех действительных x справедливо тождество

Для нахождения неопределённых коэффициентов (в данном случае в их роли выступают а и b ) воспользуемся известным фактом, что два кубических многочлена, стоящие по разные стороны от знака равенства, тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений

Метод умножения на функцию

Иногда, применяя приём умножения обеих частей уравнения (неравенства) на некоторую функцию, удаётся упростить уравнение (неравенство).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что x = — 1 (и вообще никакое отрицательное число) не является корнем данного уравнения. Домножим обе части данного уравнения на выражение (х +1). Получаем уравнение-следствие

множество решений которого состоит из всех решений исходного уравнения и числа x = -1. Это число является посторонним корнем, возникшем как раз в результате умножения уравнения на функцию, имеющую действительный нуль. Применяя известную формулу сокращенного умножения, получаем существенно более простое уравнение Поскольку уравнение не имеет других решений, кроме x = -1, то приходим к ответу.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Рассмотрим некоторые виды целых алгебраических уравнений, решаемые в основном при помощи специально подобранных подстановок.

Понятие алгебраического и трансцендентного уравнения и методов их приближенного решения

Введем понятия алгебраического и трансцендентного уравнения.

Алгебраическое уравнение — уравнение, в котором переменная находится в основании степени с рациональным показателем.

Примерами алгебраических уравнений могут служить уравнения вида: , .

Уравнение, содержащее неизвестную переменную под знаком логарифма, тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций или в показателе степени некоторого числа, называется трансцендентным.

Примерами трансцендентных уравнений могут служить уравнения вида:

Решить предложенное уравнение — значит найти все значения переменной , обращающие его в верное тождество (корни уравнения), или доказать, что корней нет.

Из курса алгебры нам известны методы и приемы решения некоторых видов алгебраических и трансцендентных уравнений: например, квадратных уравнений; уравнений, решаемых методом группировки и вынесения за скобки общего множителя. Но даже решение несложного кубического уравнения вызовет у нас определенные сложности. Если нс удастся решить заданное уравнение привычными способами, существуют методы приближенного решения уравнений, состоящие из двух этапов:

1. отделение корней;

2. уточнение корней до заданной степени точности с помощью одного из следующих методов:

Этап отделения корней необходим для того, чтобы определить, какому промежутку принадлежат корни уравнения. На этом этапе обычно используется графический способ.

Пример:

Определить промежуток, которому принадлежат корни уравнения .

Решение:

Преобразуем данное уравнение к виду: .

Построим графики функций и (рис. 46.1).

— кубическая парабола, строится по таблице значений:

— прямая, строится по двум точкам:

По рисунку видим, что графики функций и пересекаются в единственной точке , координата которой принадлежит отрезку . Следовательно, уравнение имеет ровно один корень на промежутке .

Ответ: .

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Алгебраические уравнения и их геометрическое истолкование

Уравнение с одной буквой (неизвестным)

Один из основных вопросов, которыми занимается алгебра, заключается в решении уравнений нормального вида. Так называются уравнения, у которых в левой части стоит многочлен, расположенный по степеням неизвестной буквы, а в правой части — нуль.

Степень многочлена в левой части носит название степени уравнения.

Мы встречались не раз с уравнениями, которые не имели нормального вида: таковы, например, уравнения , , .

Подобного рода уравнения могут быть приведены к уравнениям нормального вида. Для этого до­ статочно освободиться от дробей, затем перенести на­ лево члены, стоящие в правой части, сделать приведение подобных членов и, наконец, правильно располо­жить члены.

Таким образом, привести заданное уравнение к уравнению нормального вида удается по большей части несложными приемами.

Напротив, нахождение всех корней уравнения представляет собою более трудную задачу, в особенности в том случае, если уравнение высокой степени.

Уравнение первой степени (линейное) имеет вид .

Уравнение второй степени (иначе квадратное) имеет вид .

Уравнение третьей степени (иначе кубическое) имеет вид .

Так можно продолжать и дальше. Ради единообразия неизвестное здесь обозначено буквой ; коэффициенты же , и т. д. — известные числа. В уравнении нормального вида старший коэффициент, конечно, следует считать отличным от нуля.

Уравнение первой степени мы решаем (см. гл. 6) следующим образом: свободный член переносим направо , затем делим уравнение на коэффициент при : .

В случае уравнений второй степени или высших степеней решение уравнения тесно связано с разложением левой части на линейные множители. Так, напри­мер, уравнение можно переписать в виде ; далее сошлемся на теорему: если про­изведение двух множителей равно нулю, то непременно один из множителей равен нулю. Поэтому или или ; значит, или или . Обратно, если или , то или первый множитель равен нулю или второй; но в обоих случаях произведение равно нулю, т. е. уравнение удовлетворяется. Итак, уравнение имеет два корня: и .

В отдельных примерах нам удавалось разлагать трехчлен второй степени на линейные множители; более полно общий прием разложения (по ­средствам «выделения квадрата») будет рассмотрен в главе 12.

Что касается уравнений третьей, четвертой и высших степеней, то, не говоря об отдельных частных случаях, разложить их левую часть на множители весь­ма трудно. С другой стороны, очень просто можно составить уравнение, имеющее наперед заданные корни; при этом степень уравнения в точности будет равняться числу корней.

Например, пусть заданы три числа: , и ; тогда уравнение, имеющее эти числа (и только их) своими корнями, таково: , или .

Производя умножение, получаем окончательно: .

Можно доказать, что число корней уравнения никогда не превышает его степени. Но иногда оно бывает меньше степени уравнения.

Например, уравнение — третьей степени, но имеет только один корень . Это сразу видно, если в левой части вынести за скобку (здесь второй множитель ни при каком значении не обращается в нуль).

Совокупность точек на числовой оси, являющихся корнями уравнения (иначе, удовлетворяющих этому уравнению), дает нам геометрическое представление этого уравнения.

Уравнение с двумя буквами (переменными)

Нам хорошо известно, что решением (корнем) уравнения с одной неизвестной буквой называется вся­кое значение входящей буквы, удовлетворяющее уравнению.

Если уравнение содержит две неизвестные буквы, понятие решения должно быть обобщено и именно следующим образом: решением уравнения с двумя неизвестными буквами называется пара значений двух неизвестных, удовлетворяющая уравнению.

Так, пара чисел есть решение уравнения ; то же можно сказать о паре чисел ; но, например, пара не есть решение.

В случае уравнения с двумя неизвестными найти и перечислить все решения, как правило, невозможно. Уже простейшие примеры, вроде или , показывают, что такое уравнение может иметь бесконечное множество решений.

Поэтому, если в уравнение входят две (или более) неизвестных буквы, их называют обыкновенно не неизвестными, а переменными (переменными величинами).

Алгебраическое уравнение с двумя буквами считается нормальным, если в правой части стоит нуль, а в левой — многочлен, расположенный по обеим бук­вам.

Уравнения с двумя буквами (как и уравнения с од­ной буквой) классифицируются по степеням: степенью уравнения называется степень многочлена, стоящего в его левой части, причем обе буквы считаются главными.

Уравнения первой степени (линейные) имеют вид .

Уравнения второй степени (квадратные) имеют вид .

Отдать себе отчет в том, какова совокупность решений данного уравнения, нам помогает геометрическое представление уравнения: оно делает наглядной ту зависимость, которая существует между значениями букв, удовлетворяющими уравнению. Познакомимся ближе с этим геометрическим представлением.

Так как у нас имеется не одна, а две буквы, до­пустим, и из которых каждая может принимать различные значения, то уже нельзя обойтись числовой прямой, а необходимо прибегнуть к числовой (координатной) плоскости. Проведем на листе клетчатой бумаги горизонтальную ось и вертикальную ось масштабы на осях будем брать одинаковые. Каждая пара значений букв изображается, как нам известно, некоторой определенной точкой плоскости , именно — точкой с абсциссой и ординатой . Поэтому совокупность всех пар значений , удовлетворяющих уравнению, изображается также не­ которой совокупностью (геометрическим местом) точек на плоскости . Эта совокупность и дает геометрическое представление решений нашего уравнения; она называется графиком уравнения. Итак, график урав­нения есть совокупность всех тех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Пример:

Рассмотрим уравнение .
Его графиком является совокупность точек , у ко­торых абсцисса равна ординате легко понять, что все такие точки лежат на биссектрисе первого и треть­ его координатных углов: эта биссектриса и представляет собой график нашего уравнения.

Пример:

Второй пример возьмем более сложный. Пусть нам дано уравнение второй степени: .

Посмотрим, как можно наметить его график.

Ничего не стоит решить уравнение относительно буквы :

Дальше можно составить табличку числовых значений переменной , соответствующих заранее назначенным значениям переменной :

Черт. 39

Каждую полученную точку сейчас же отмечают на черте­ же. Точки располагаются с известной правильностью.

Чертеж 39 показывает, что при возрастании значений от до значения также возрастают от до ; затем при дальнейшем возрастании от до значения убывают от до . При получаем уже отрицательное значение: , придется поставить точку ниже оси .

При получаем ; и еще дальше значения быстро убывают (в алгебраическом смысле).

Можно букве давать и отрицательные значения; например, при будем иметь и т. д.

Полезло убедиться, что точки, получающиеся при подстановке дробных значений , не нарушают общей правильности в расположении точек графика (напри­мер, при получаем ).

Поставим себе еще и такой вопрос: имеет ли наш график какие-нибудь точки на оси , кроме двух, уже найденных? Чтобы получить ответ, достаточно в уравнении положить и решить полученное уравнение относительно . Мы получаем два корня: и . Иных корней нет. Значит, график пересекается с осью только в двух, уже ранее найденных точках.

Хотя мы отметили на чертеже не свыше десятка точек, положение которых нам известно вполне точно, тем не менее правильность их расположения не оставляет сомнений в том, что все остальные, не отмеченные нами, точки графика лежат на некоторой плавной кривой, проходящей через отмеченные точки.

Эта кривая и есть график нашего уравнения. Провести ее от руки не представит труда.

Правда, полученная таким образом кривая даст возможность лишь приближенно судить о положении тех точек графика, координаты которых не были вычислены.

Использованный нами прием получения графика но­сит название построения графика по точкам.

Постараемся дать описание этого приема, не связывая его с каким-либо определенным примером. Пусть дано некоторое уравнение, содержащее буквы и , мы хотим знать, каков его график.

Посмотрим, существуют ли такие точки графика, ко­торые имеют заранее назначенную абсциссу, скажем, . Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно под­ставить в уравнение вместо буквы число и решить полученное уравнение (содержащее теперь уже только одну букву) относительно буквы . Корни этого уравнения дают нам ординаты всех точек графика, имеющих абсциссу , т. е. лежащих на одной и той же вертикальной прямой, отстоящей вправо от оси на расстоянии . Продолжая поступать таким же образом, т. е. давая абсциссе другие, заранее назначенные, значения, например, можно найти все точки графика, расположенные на других вертикальных пря­мых. Обыкновенно поступают именно таким образом; при этом стараются облегчить себе работу тем, что предварительно решают данное уравнение относительно буквы , т. е. приводят его к такому виду, чтобы в левой части была одна буква , а правая за­висела только от , но не от , Тогда нахождение то­чек графика сводится к выполнению числовых подста­новок в правой части уравнения.

Разумеется, можно было бы также решить данное уравнение относительно буквы и затем придавать ряд значений букве .

Примечание:

Иные уравнения — таковы, что не существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы уравнению.
Тогда график отсутствует или представляет собою «пустое место».
Этим свойством обладает, например, уравнение которого левая часть всегда положительна.

В редких случаях график может оказаться состоящим из одной точки или нескольких точек (в конечном числе). Так, уравнение удовлетворяется только одной парой значений , .

Действительно, каждый из квадратов и может быть или положительным числом, или нулем, но никак не отрицательным числом, сумма же равна нулю только в том случае, если и одновременно равны нулю. Следовательно, весь график сводится к одной точке — началу .

Линейное уравнение с двумя переменными

На чертеже 40 изображен график уравнения (1)

Это — прямая линия, проходящая через начало координат и расположенная в первой и третьей четвертях.

Уравнение показывает, что величина у прямо пропорциональна величине . Желая найти все точки графика с целыми координатами, мы даем букве значения, кратные , и получаем точки: , , и т. д.

Черт. 40

Эти точки отмечены на чертеже. Чтобы перейти от од­ной такой точки к следующей (считая вправо), достаточно отсчитать « клеточек вправо и — вверх».

Коэффициент пропорциональности позволяет
таким образом, определить направление нашей прямой.

Если бы вместо уравнения (I) было задано, напри­мер, уравнение
, (2) то мы получили бы точки графика (с целыми координатами): , , и т. д.; отмечая их одну за другой, мы отсчитывали бы « клетки вправо, — вверх», Рассмотрим еще уравнение (3).

При значениях , кратных , получаем точки: , , и т. д.

Отсчитывать нужно « клеток вправо и — вниз». Прямая, являющаяся графиком этого уравнения, расположена во второй и в четвертой четвертях. Из наших примеров можно сделать следующие об­щие заключения. Графиком уравнения вида (4) является прямая линия, проходящая через начало . Придавая уравнению вид , мы убеждаемся, что коэффициент пропорциональности представляет собою отношение ординаты любой точки графика к ее абсциссе. Если , то прямая проходит в первой и третьей четвертях; если , то во второй и четвертой. При уравнение принимает вид , и графиком тогда является ось .

Чем меньше по абсолютному значению, тем более полого расположена прямая (т. е. тем меньше острый угол, образованный ею с горизонтальной осью); напротив, чем больше по абсолютному значению, тем более круто расположена прямая (тем упомянутый острый угол ближе к прямому).

Коэффициент в уравнении (4) называется наклоном прямой, являющейся графиком этого уравнения.

Обратим внимание на то, чем график уравнения отличается от графика уравнения . При каждом данном значении абсциссы соответствующая ордината увеличена на единиц (, или ); значит, получается снова прямая линия, но «сдвинутая» на единиц в направлении оси : она уже не проходит через начало , а пересекает ось в точке .

Таким образом, направление прямой то же, что и направление прямой : оно зависит от коэффициента при в уравнении прямой, решенном относительно (называемого и в этом случае наклоном прямой).

Другими словами, прямые и параллельны.

На черт. 41 изображен график уравнения . Это — прямая, параллельная прямой , но образующая на оси отрезок, равный .

Черт. 41

Пусть буква обозначает какое угодно число. Постараемся уяснить себе, каков график уравнения .

Нам нужно установить, какова совокупность точек на плоскости , координаты которых удовлетворяют уравнению. Уравнение не удовлетворяется, если значение абсциссы не равно ; если же оно равно , то, како­ во бы ни было значение ординаты , уравнение удовлетворяется. Это значит, что уравнению удовлетворяют координаты любой точки на прямой, параллельной оси и отстоящей от этой оси вправо на расстоя­нии .

Итак, уравнение вида имеет графиком прямую, параллельную оси . Точно так же уравнение вида имеет графиком прямую, параллельную оси .

Из предыдущего следует весьма важное заключение: всякое уравнение, линейное относительно буквы и именно, уравнение вида (где , и — постоянные числа, причем и не равны нулю одновременно), имеет своим графиком прямую линию .

Действительно, если буква на самом деле входит в уравнение (это значит, что не равно нулю), то не представляет труда решить уравнение относительно . Мы получим: и далее, деля все уравнение на , полагая затем
приходим к уравнению вида
, которое, как нам уже известно, изображается прямой линией.

Если же буква отсутствует в уравнении (т. е., если ), то тогда уравнение можно решить относительно буквы (раз , то, по предположе­нию, ), и мы получим: или (где для краткости положено ). Графиком такого уравнения является совокупность точек, имеющих абсциссу ; это также прямая, но уже параллельная оси .

Рассматривать случай, когда не представляет интереса. В этом случае, если , заданное уравнение не удовлетворяется ни при каких значениях и и, значит, гра­фик этого уравнения представляет собою «пустое место»; если же , то напротив, уравнение удовлетворяется при всех значениях и тогда его «график» — вся плоскость.

Раз известно, что линейное уравнение изображается прямой линией, то для того, чтобы начертить эту линию на координатной плоскости (на листе клетчатой бумаги), нет необходимости в боль­ших вычислениях.

В самом деле, прямая определяется двумя точками: значит, достаточно сделать две числовые подстановки.

Проще всего установить точки пересечения прямой с осями и . Пусть, например, дано уравнение . Полагая , получим уравнение от­носительно : , из которого следует, что . Таким образом, найде­на точка графика , лежащая на оси . Пола­гая , получим таким же образом: , откуда следует, что . Итак, найдена точка графика , лежащая на оси . Затем остается провести прямую через точки и .

Указанный прием неудобен только в том случае, если точки и находятся очень близко одна от другой, т. е. близки к началу ; он непригоден вовсе, если график проходит через начала . В этих случаях следует делать какие-нибудь другие под­становки.

Например, чтобы построить график прямой , заметим прежде всего, что она проходит через начало ; чтобы получить еще одну точку, положим и получим ; итак, прямая проходит через точку .

Нелинейные уравнения с двумя переменными

Мы видели, что если заданное уравнение — линейное (т. е. первой степени) относительно букв и , то его график — прямая линия.

Дальнейшие примеры покажут, что если заданное уравнение — не линейное (т. е. степени второй или выше) относительно букв и , то его графиком являются кривые линии.

Степень уравнения относительно букв и назы­вается порядком соответствующей кривой.

Мы рассмотрим здесь только несколько наиболее простых и важных примеров кривых, преимущественно второго порядка.

Пример:

С этим уравнением мы уже встречались. Оно говорит о том, что пе­ременные величины и обратно пропорциональны.

Можно ли решить уравнение относительно ? От­вет — утвердительный, если только имеет значение, не равное нулю. Но легко понять, что при ника­кое значение не может удовлетворить уравнению: это значит геометрически, что на оси нет ни одной точки графика.

Итак, пусть теперь . Решим уравнение отно­сительно у: .

Это равенство свидетельствует, что есть «величи­на, обратная величине ». Посмотрим, как изменится величина, обратная , при изменении самого .

Ограничиваясь пока положительными значениями величины , станем составлять табличку и одновременно отмечать точки на чертеже. Ясно, что с увеличением величина убывает, приближаясь к нулю. Но значения она не принимает.

Попробуем взять и дробные значения :

Получающиеся на чертеже точки имеют правильное расположение: через них можно с уверенностью про­ вести плавную кривую. Менее ясно пока, как вести кривую влево, в промежутке от до . Продолжим табличку:

и станем отмечать новые точки. Теперь становится яс­но, что с убыванием положительных значений вели­чина возрастает и притом не ограничено. Имен­но, примет какое угодно большое значение, если только значение будет достаточно малым. Кривая (при движении справа налево) поднимается вверх, примыкая к оси , хотя, как мы видели, с этой осью общих точек не имеет (см. черт. 42).

Черт. 42

Вся полученная кривая расположена в первой четверти. Если бы мы пожелали давать букве отрица­тельные значения, то, составляя соответствующую таблицу и при этом производя деление по известным правилам, получили бы в третьей чет­верти другую «ветвь» кривой.

Обе «ветви». рассматриваемые совместно, обра­зуют кривую, называемую «гиперболой».

Гипербола — кривая второго порядка.

Пример:

Подставляя положительные значения , получаем таблицу:

Отметив соответствующие точки на чертеже, мы видим, что при увеличении абсциссы ордината очень быстро возрастает, причем сам график (если попробо­вать его провести) все больше выпрямляется. Напротив, ближе к началу он довольно сильно искривлен. Под­ставляя еще значения , , , мы получим:

В первой клеточке сделаем подстановки даже через одну десятую:

Последняя табличка позволяет заключить, что. под­ ходя к началу . график тесно примыкает к оси , касается ее.

Обращаясь к отрицательным значениям , мы видим, что при возведении в квадрат отрицательного числа знак минус будет уничтожаться. Отсюда ясно, что кри­вая продолжается из первой четверти во вторую симметрично относительно вертикальной оси.

Черт. 43

Полученная кривая носит название параболы(см. черт. 43).

Парабола — кривая также второго порядка.

Пример:

При подстановке больших значений , как показы­вает следующая таблица, кубы возрастают гораздо быстрее, чем квадраты:

Напротив, при подстановке значений, близких к нулю, кубы убывают быстрее, чем квадраты:

Поэтому кривая с возрастанием подни­мается вверх гораздо круче, чем парабола ; и при убывании до нуля гораздо теснее примыкает к оси .

На параболу эта кривая не похожа еще и в том отношении, что у нее отсутствует вертикальная ось симметрии; но имеется центр симметрии в начале . Это зависит от того, что при возведении в куб отрицательного числа его абсолютное значение возво­дится в куб, но знак остается отрицательный.

Общий вид кривой (кубической параболы) показан на черт. 44.

Черт. 44

Это — кривая третьего порядка.

Алгебраические уравнения и алгоритм их решения

Общая теория уравнений

Тождества:

Введем понятие тождественного равенства функ­ций на числовом множестве X.

Пусть функции у = f(х) и у = F(х) имеют области определения А и В соответственно, и X является подмножеством как A, так и В (но не обязательно совпадает с пересечением А и В). Тогда функции у = f(х) и у = F(х) определены на X.

Функции у=f(х) и у=F(х) называются тождественно равны­ми на числовом множестве X, если для любого числа х из X выпол­няется равенство f(х)=F(х). В этом случае говорят, что равенст­во f(х)=F(х) является тождеством на множестве X.

Разумеется, равенство f(х)=F(х) может быть тождеством на некотором множестве X, но не быть тождеством на каком-нибудь другом множестве Y . Рассмотрим, например, функции у=х и у =|x|. На множестве X положительных чисел эти функции тождественно равны: если х — положительное число, то |х|=х. На множестве же Y всех действительных чисел эти функции не явля­ются тождественно равными: при отрицательных значениях х ра­венство

не имеет места, так как при этих значениях |x|= — х.

Совершенно так же определяется понятие тождественного равенства для функций нескольких переменных. Например, функции переменных х и у тождественно рав­ны на множестве всех значений этих переменных: для любых значе­ний х и у выполняется равенство

Функции же z=х+у и z =|х+у | тождественно равны лишь на множестве пар чисел х, у , для которых или, что то же самое,

Область допустимых значений

Тождественные преобразова­ния многочленов и алгебраических дробей изучались в начальной алгебре, и мы не будем подробно останавливаться на этом вопросе. Разберем лишь вопрос об области допустимых значений функцио­нального равенства. Пусть дано равенство вида

Может случиться, что функции у=f(x) и у=F(x) определены не для всех значений х . Областью допустимых значений аргумента х для равенства (1) мы будем называть множество всех значений х, при которых определены и левая и правая части этого равенства.

Например, для тождества

областью допустимых значений является совокупность всех действительных чисел, из которой исключены числа 2 и 4 (при х=2 не определена функция , а при х=4 — функция ).

Следует иметь в виду, что такие преобразования, как приведение подобных членов, могут привести к изменению области допус­тимых значений. Например, тождество (2) справедливо для всех значений х , кроме х=2 и х=4. Если же мы приведем подобные члены, то получим тождество

справедливое для всех без исключения значений х.

Уравнения

Обычно когда даны две функции у=f(х) и у=F(х), то неизвестно, каково множество, на котором эти функ­ции тождественно равны. Поэтому возникает следующая задача: найти все значения х, для которых выпол­няется равенство

При такой постановке задачи (*) называют уравнением с неизвестным х , а все х , при которых функции у=f(х) и у=F(х) принимают одинаковые значения, — корнями или решениями этого уравнения.

Итак, уравнение f(x) =F(х) выражает задачу об отыскании таких значений переменного х, при которых функции f(x) и F(x) имеют оди­наковые значения. Решить уравнение — это значит найти все такие значения х, т. е. все корни (решения) уравнения.

Областью допустимых значений для уравнения (1) называют множество всех х у при которых определены обе функции у=f(х) и у=F(х). Например, для уравнения

область допустимых значений определяется условиями:

Область допустимых значений может заранее ограничиваться некоторыми условиями. Например, могут иметь смысл лишь поло­жительные или лишь целые корни. В этом случае надо рассмат­ривать уравнение лишь для положительных (или целых) значе­ний х.

Тогда мы считаем, что функции f(x) и F(х) заданы на некотором множестве X, и рассматриваем уравнение лишь на этом множестве.

Пусть даны два уравнения

Обозначим множество корней уравнения (1) через M, а множество корней уравнения (2) через N. Если (то есть, если всякий ко­рень уравнения (1) является корнем уравнения (2)), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). Например, уравнение является следствием уравнения 2х—6= 0. В самом деле, корнем уравнения 2х — 6=0 является х=3, а при этом значении многочлен обращается в нуль.

Если множества М и N корней уравнений (1) и (2) совпадают, то эти уравнения называются равносильными. Иными словами, уравнения

равносильны, если всякий корень уравнения (2) является корнем уравнения (3) и, обратно, всякий корень уравнения (3) является корнем уравнения (2).

В частности, уравнения равносильны, если множества М и N — пусты, то есть если каждое из уравнений не имеет решений.

Если уравнения (2) и (3) равносильны, то каждое из них явля­ется следствием другого.

Следует отметить, что понятие равносильности уравнений существенно зависит от того, какие значения корней считаются до­пустимыми. Рассмотрим, например, уравнения:

Корнями первого уравнения является число х=3, а второго — числа Так как эти множества различны, то уравнения (4) и (5) не являются равносильными. Но если рассматривать лишь рациональные значения корней уравнения, то уравнения (4) и (5) оказываются равносильными — ибо они имеют по единственному рациональному корню х = 3. Как правило, мы будем в дальнейшем рассматривать равносильность относительно множества всех действительных чисел. Иными словами, уравнения будут считаться равносильными, если они имеют одни и те же действительные корни.

Совокупности уравнений

Пусть задано несколько уравнений

и требуется найти все значения х, которые удовлетворяют хотя бы одному из этих уравнений. Тогда говорят, что задана совокупность уравнений, а такие значения х называют решениями или корнями этой совокупности. Следует различать совокупность уравнений и систему уравнений — для системы уравнений требуется искать значения неизвестных, которые удовлетворяют всем урав­нениям, а для совокупности — хотя бы одному из уравнений.

Чтобы отличать совокупность уравнений от системы уравнений, мы будем обозначать совокупность квадратными скобками, а систему — фигурными скобками.

имеет одно решение , а совокупность тех же уравнений

имеет три решения

Обозначим множество решений уравнения через а мно­жество решений совокупности уравнений (1) через N. Тогда Например, множество решений совокупности

состоит из чисел 2, 3 (решений уравнения 1, —1 (решений уравнения ) и —7 (решения уравнения Число х=3 является решением, хотя при этом значении не определена функция

Две совокупности уравнений

называются равносильными, если они имеют одно и то же множество корней.

Например, совокупности уравнений

равносильны — их корнями являются числа 2, —2 и —3.

Преобразования уравнений

При решении уравнений мы переходим от одного уравнения к другому, пока не придем к уравне­нию вида х = а или совокупности уравнений такого вида. Возьмем, например, уравнение

Прибавляя к обеим частям этого уравнения (—Зх+3) и приводя подобные члены, получаем уравнение

А теперь умножим обе части уравнения (2) на и получим, что

В процессе решения этого уравнения мы прибавляли к обеим частям уравнения некоторое алгебраическое выражение (а именно, —Зх+3), умножали обе части уравнения на одно и то же число (а именно, на). Кроме того, мы выполняли тождественные преоб­разования. Заметим, что уравнения (1), (2) и (3) имели одно и толь­ко одно решение х = 2. Таким образом, все проведенные преобра­зования приводили к уравнениям, равносильным первоначальному уравнению (1), имевшим с ним одно и то же решение.

Однако не всегда одинаковые преобразования обеих частей уравнения приводят к уравнению, равносильному первоначальному. Рассмотрим уравнение:

Его решением является х = 3. Если же мы умножим обе части уравнения на х — 2, то получим уравнение:

Это уравнение, кроме решения х=3, имеет еще решение х= 2— оно имеет лишний корень по сравнению с (4).

С другой стороны, если мы возьмем уравнение (5), имеющее решения х=2, х=3, и «сократим» его на х — 2 (то есть разделим обе части уравнения на х — 2), то получим уравнение 2х+1= =х+4 с единственным решением х=3. Значит, здесь мы в про­цессе решения потеряли корень х=2.

Не является «безобидным» и прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраического выражения. Например, уравнение

имеет решение х =2. Но если прибавить к обеим частям этого уравнения выражение , то получим уравнение

для которого х =2 не является решением — обе части этого уравнения не имеют смысла при х=2. Таким образом, произошла по­теря решения.

Эти примеры наглядно показывают, что при преобразовании уравнений необходима осторожносгь — неправильно преобразуя уравнение, мы можем как приобрести лишние решения, так и поте­рять решения данного уравнения. При этом надо иметь в виду, что приобретение лишних решений не столь опасно, как потеря сущест­вующих. Ведь после того, как уравнение решено, можно подставить все найденные решения в заданное уравнение и отобрать те из реше­ний, которые ему удовлетворяют. А потерянные решения восстано­вить уже нельзя.

Из изложенного видно, что, прежде чем решать конкретные ви­ды уравнений, надо познакомиться с общей теорией уравнений, выяснить, какие преобразования приводят к равносильным уравне­ниям, какие дают посторонние решения, а при каких решения мо­гут быть потеряны. Только после этого мы сможем решать урав­нения «с открытыми глазами».

Теоремы о равносильности уравнений

Сформулируем сна­чала условия, при которых одно уравнение является следствием другого уравнения. Потом из этих условий будут получены условия равносильности уравнений.

Теорема:

Если к обеим частям уравнения

прибавить функцию имеющую смысл при всех допустимых значениях неизвестного х, то получится новое уравнение

являющееся следствием данного.

Доказательство:

В самом деле, пусть а—корень уравнения (1). Тогда f(а)=F(а). Но является некоторым числом, так как по условию функция определена для всех допустимых значений х и, в частности, при х=а. Прибавим к обеим частям числового равенства f(a)=F(а) число . Получим равенство

которое показывает, что число а является корнем уравнения (2). Таким обра­зом, всякий корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), то есть уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Условие, что функция определена при всех допустимых значениях х, существенно. Если не определено при х=а, где а — решение уравния (1), то уравнение (2) не является следствием уравнения (1) и уравнения (1) и (2) неравносильны: х = а является решением для (1), но не является ре­шением для уравнения (2). Примером могут служить уравнения (6) и (7) из п. 5.

Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения не может привести к приобретению посторонних корней, если это прибавление не сопровождается приведением подобных членов или иными преобразованиями, меняющими область определения уравнения (например, сокращением дробей). Рассмотрим, например, уравнение

Если прибавить к обеим частям — и привести подобные члены, то получим уравнение Зх +1= 9 — х, имеющее решение х = 2. Это решение не принадлежит области определения исходного уравнения и потому не удовлетворяет ему.

Перейдем к вопросу об умножении обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

Теорема:

Если обе части уравнения

умножить на функцию , имеющую смысл при всех допустимых значениях х, то получится новое уравнение

являющееся следствием уравнения (3).

Доказательство.

Пусть а — корень уравнения (3). Тогда справедливо равенство f(а)=F(а). Умножим обе части этого равенства на число . Мы получим числовое равенство Оно показывает, что а является корнем и уравнения (4). Таким образом, всякий корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то есть (4) — следст­вие (3).

Из доказанных теорем следует, например, что уравнение

является следствием уравнения

Действительно, уравнение (5) получается из уравнения (6) прибавлением к обеим частям функции Зх+2 и умножением полученного уравнения на х + 2.

Многочлены определены при всех значениях х. Поэтому прибавление к обеим частям уравнения многочлена, равно как и умножение обеих частей

уравнения на многочлен, приводит к уравнению, являющемуся следствием исходного.

Оговорка о том, что должно иметь смысл при всех допустимых зна­чениях х, существенна для справедливости теоремы 2. Рассмотрим, напри­мер, уравнение

и умножим обе части этого уравнения на Мы получим уравнение Оно уже не является следствием исходного: уравнение (7) имеет корни 2 и 3, а уравнение — лишь корень 3. При­чиной потери корня явилось то, что функция не определена при х = 2, а это значение как раз является корнем заданного уравнения.

Докажем теперь теоремы о равносильности уравнений. Чтобы доказать равносильность двух уравнений, надо показать, что пер­ вое из них является следствием второго, а второе — следствием первого.

Теорема:

Если функция определена при всех допустимых значениях неизвестного х, то уравнения

Доказательство:

Мы уже видели, что при условии теоремы уравнение (9) является следствием уравнения (8). Но уравнение (8) в свою очередь получается из уравнения (9) прибавлением к обеим частям функции — и приведением подобных членов.

Так как функция определена при всех допустимых значениях х, то уравнение (8) является следствием уравнения (9). Тем самым доказано, что уравнения (8) и (9) равносильны.

Из доказанной теоремы вытекает правило перенесения слагае­мых из одной части уравнения в другую: если некоторое слагаемое данного уравнения перенести из одной части в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

В самом деле, в силу теоремы 3 уравнения

равносильны: уравнение (11) получается путем прибавления функции — к обеим частям уравнения (10) и приведения подобных членов.

Кратко правило перенесения слагаемых формулируют так: всякое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Из доказанной теоремы вытекает, что всякое уравнение f(х) =F(х) можно заменить равносильным ему уравнением вида Ф(х) = 0. Для этого достаточно перенести F(х) в левую часть уравнения, заменив знак на противоположный, и положить f(х)— F(х) =Ф (х).

Теорема:

Если функция определена для всех допустимых значений х и ни при одном допустимом значении х не обращается в нуль, то уравнения

Доказательство:

Мы уже видели (теорема 2), что уравнение (13) является следствием уравнения (12). Докажем, что уравнение (12) в свою очередь является следствием уравнения (13). Уравнение (12) получается из уравнения (13) умножением обеих частей на функцию Так как по условию функция определена для всех допустимых значений х и не обращается при этих значениях в нуль, то функция также опре­делена при всех допустимых значениях х. Поэтому уравнение (12) является следствием уравнения (13), а значит, эти уравнения равносильны.

Из доказанной теоремы вытекает, например, что уравнения

равносильны в области действительных чисел. В самом деле, урав­нение (15) получается из уравнения (14) умножением на функцию , а эта функция всюду определена и не обращается в нуль при действительных значениях х.

не являются равносильными — второе получается из первого умножением на функцию , а эта функция обращается в нуль при х = ± 1. Поэтому второе уравнение, кроме корня удовлетворяющего и первому уравнению, имеет еще и корни

Уравнения (12) и (13) могут быть неравносильными и в том случае, когда множитель теряет смысл при некоторых допустимых значениях неизвестного. Например, уравнения

неравносильны: множитель теряет смысл при х = 2, а x = 2 как раз является корнем уравнения

Если в ходе решения уравнения приходилось умножать обе части этого уравнения на выражение , содержащее неизвестное, то надо проверить две вещи: а) Не обращается ли в нуль при допустимых значениях не­ известного? б) Не теряет ли смысл при некоторых допустимых значениях неизвестного?

В первом случае среди найденных корней могут оказаться посторонние корни, и надо проверить все найденные корни, удов­летворяют ли они первоначально заданному уравнению. Во вто­ром же случае возможна потеря корней, и мы должны подставить в заданное уравнение значения неизвестного, при которых теряет смысл — среди этих значений могут оказаться потерянные в ходе решения корни уравнения.

Из теоремы 4 непосредственно вытекает справедливость утверждения: если обе части уравнения умножить на произвольное отлич­ное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Это утверждение кратко формулируют так: обе части уравнения можно умножать на произвольное отличное от нуля число.

Уравнения с одним неизвестным

Алгебраические уравнения с одним неизвестным:

Рациональным алгебраическим уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

где R(х) — алгебраическая дробь относительно х. К такому виду можно в силу теорем 3 и 5, привести любое уравнение — алгебраические дроби. Например, уравнение

является рациональным алгебраическим. В дальнейшем мы будем называть такие уравнения просто алгебраическими.

Применяя теоремы о равносильности уравнений, можно заменить каждое уравнение вида (1) равносильным ему уравнением вида:

где f(x)— многочлен от х. Для этого надо записать дробь R(x) в ви­де отношения двух многочленов. Мы получим уравнение:

где f(х) и — многочлены от х. Но дробь может равняться нулю лишь в случае, когда равен нулю ее числитель. Поэтому решение уравнения (1) сводится к решению уравнения f(x)=0, где f(х) — многочлен от х. При этом нужно иметь в виду, что решениями уравнения (1) являются лишь те корни уравнения (2), при которых дробь R(x) имеет смысл (то есть отлично от нуля).

Пример:

Перенесем в левую часть уравнения и приведем получившуюся сумму к общему знаменателю. Получим уравнение:

Приравнивая нулю числитель этой дроби, получаем уравнение х—2=0, корнем которого является число х=2. Однако при x=2 дробь не определена. Поэтому заданное уравне­ние корней не имеет.

Метод разложения на множители

Рассмотрим некоторые методы решения алгебраических уравнений, а также отдельные виды таких уравнений.

Выше было сказано, что при решении уравнения его заменяют другими уравнениями или совокупностями уравнений, равносильными заданному, но более простыми

Рассмотрим следующий пример. Пусть надо решить уравнение:

Мы знаем, что произведение может равняться нулю тогда и только тогда, когда хоть один из его сомножителей равен нулю. Поэтому, чтобы решить уравнение (1), надо найти все значения, при кототых хоть один из сомножителей равен нулю. А это все равно, что решить совокупность уравнений

Решая ее, находим для х значения и 6. Они и дают корни уравнения (1).

Метод, примененный для решения уравнения (1), в общем виде формулируется так.

Теорема:

Если функции определены на некотором множестве М, то на этом множестве уравнение

равносильно совокупности уравнений

Доказательство:

Пусть а — одно из решений совокупности (3). Это означает, что а является корнем одного из уравнений этой совокуп­ности, например, уравнения а все остальные функции опреде­лены при х = а. Но тогда

так как один из сомножителей равен нулю. Следовательно, любое решение совокупности (3) является корнем уравнения (2).

Наоборот, пусть а — корень уравнения (2). Тогда f (а)=0, то есть Но произведение равно нулю лишь в случае, когда хоть один из сомножителей равен нулю. Поэтому хотя бы одно из чисел равно нулю. Это означает, что а является корнем хотя бы одного из уравнений то есть одним из решений совокупно­сти уравнений (3).

Пример:

Левая часть этого уравнения разлагается на множители следующим образом:

Отсюда следует, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений:

Решая уравнения этой совокупности, получаем корни урав­нения (4):

не равносильны, так как при х = 0 функция не определена. На множестве же они равносильны.

В некоторых случаях разложение на множители связано с искусственными преобразованиями. Рассмотрим, например, уравне­ние:

Нетрудно заметить, что

Поэтому уравнение (б) можно записать в виде:

Таким образом, все свелось к решению совокупности двух квадратных уравнений:

Решая их, находим корни уравнения (6):

Метод введения нового неизвестного

Наряду с методом разложения на множители часто применяется другой метод — введе­ние нового неизвестного.

Рассмотрим следующий пример:

Если раскрыть скобки, то получится уравнение четвертой степени, решить которое довольно сложно. Мы поступим иначе. Обозначим через r. Тогда

Поэтому уравнение (1) после введения нового неизвестного z принимает вид

Решая это квадратное уравнение, получаем, что его корни равны:

Но Поэтому х удовлетворяет или уравнению или уравнению то есть совокупности уравнений:

Решая ее, получаем:

Метод, примененный для решения уравнения (1), в общем виде заключается в следующем.

Пусть дано уравнение F(х)=0 и пусть функцию F(х) можно представить в виде так что уравнение F (х)=0 записывается в виде

Введем новое неизвестное z, положив Тогда вместо уравнения (1) получаем уравнение относительно Дока­жем следующую теорему.

Теорема:

Если а — один из корней уравнения f(z) = 0, а b — один из корней уравнения то b является одним из корней уравнения F(х)=0, где . Обратно, если b — корень уравнения F(х)=0, то — один из корней уравнения f(z)= 0 .

Доказательство. Пусть b — корень уравнения где а — корень уравнения f (z)=0; f(а) =0. Тогда и потому

Таким образом, b удовлетворяет уравнению F (х) = 0.

Обратно, пусть b — корень уравнения F(х)=0 и Тогда

Следовательно, а — корень уравнения f(z)=0. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что решение уравнения вида сводится к следующему: сначала находят корни уравнения f(z) =0; после этого надо решить все уравнения Совокупность корней этих уравнений и дает решение уравнения (2).

Биквадратные уравнения

Метод замены неизвестного при­ меняется для решения уравнений вида

Такие уравнения называют биквадратными. Чтобы решить уравнение (1), положим Тогда получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа:

Поэтому корни уравнения (1) получаются путем решения уравнений Значит, мы получаем четыре корня для уравнения (1)

Четыре корня возникают при различных комбинациях знаков:

При решении биквадратных уравнений (как и при решении квадратных уравнений) иногда приходится извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Это приводит к так называемым комплексным числам, которые будут изучены в главе V.

Пример. Решить уравнение

Полагая получаем квадратное уравнение:

Его корнями являются числа Значит, корни урав­нения (8) имеют вид:

Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней

Многочлен n-й степени

называется возвратным, если его коэффициенты, одинаково уда­ ленные от начала и от конца, равны между собой. Иными словами, коэффициенты возвратного многочлена n-й степени удовлетворяют условию

Алгебраическое уравнение вида f(х)=0, где f(х) — возврат­ный многочлен, называют возвратным уравнением. Примерами та­ких уравнений являются:

Рассмотрим решение возвратных уравнений третьей и четвер­той степеней. Возвратное уравнение третьей степени имеет вид:

Группируя члены, разложим выражение в левой части уравнения на множители:

Отсюда видно, что одним из корней уравнения (1) является х=—1 . Два других корня получаются путем решения квадратного уравнения

Пример:

Разлагая левую часть уравнения на множители, получаем:

Корни квадратного уравнения равны Поэтому корнями заданного уравнения являются числа

Приведем пример задачи, сводящейся к разобранному типу уравнений.

Задача:

Из квадратного листа жести со стороной а см вы­резают по углам четыре квадратика со стороной х см и делают из получившейся фигуры коробку. При каком значении х объем коробки равен ?

Решение:

Основанием коробки является квадрат со сторо­ной а-2x, а ее высота равна х. Значит, объем коробки равен По условию имеем уравнение:

Положим . Мы получим для z уравнение

Разлагая на множители, получаем

Поэтому корни нашего уравнения равны

Из условия задачи следует, что Поэтому не удовлетворяет условию. Итак, либо , либо

Теперь рассмотрим возвратное уравнение 4-й степени:

Так как то х=0 не является корнем этого уравнения. Поэтому если разделить обе части уравнения (2) на то получим равносильное уравнение:

Введем новое неизвестное z, положив . Так как

Следовательно, уравнение (3) превращается в квадратное уравнение отно­сительно z

Решив это уравнение, найдем его корни Чтобы найти х, остается решить совокупность уравнений:

Она сводится к совокупности квадратных уравнений:

Пример. Решить уравнение

Перепишем это уравнение в виде

и введем новое неизвестное . Получим уравнение:

Решая его, находим: . Чтобы найти корни уравнения (4), надо решить уравнения:

Из них получаем:

Наряду с уравнениями вида (1) и (2) рассматривают так называемые кососимметричные уравнения, или, иначе, возвратные уравнения второго рода. При n=4 они имеют вид:

Это уравнение сводится к

После этого вводят новое неизвестное по формуле . Так как то уравнение (6) сводится к квадратному уравнению Дальнейшее решение ведется так же, как и для обычных возвратных уравнений.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института