Алгебраические уравнения и неравенства 10 класс

«Решение неравенств». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели:

1. Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения рациональных неравенств.
2. Содействовать развитию математического мышления учащихся,умению комментировать,тренировать память.
3. Воспитание ответственного отношения к учебному труду,чувства товарищества и взаимопомощи.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал(разноуровневые карточки с практическими заданиями).

Структура урока:

1. Сообщение темы и цели урока (1 мин.)
2. Проверка домашнего задания (5 мин.)
3. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу (10 мин.)
4. Инструктирование по выполнению заданий в группах (3 мин.)
5. Выполнение заданий в группах (15 мин.)
6. Проверка и обсуждение полученных результатов (8 мин.)
7. Постановка домашнего задания (2 мин.)
8. Подведение итогов урока (1 мин.)

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока.

Сегодня на уроке мы будем решать неравенства методом интервалов и методом замены переменных. Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Ньютона:“При изучении наукпримеры не менее поучительны,нежели правила” и слова Ломоносова: “Примеры учат больше,чем теория”.

II. Проверка домашнего задания.

На дом были даны неравенства. Проверьте ваше решение по интерактивной доске.

Отметим на числовой оси корни числителя и знаменателя.

Ответ: Є (-3; 1]

≥

Преобразуем исходное неравенство

– ≥ 0

≥ 0

≥ 0

≥ 0

Применим метод интервалов.

III. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу.

Решим методом интервалов следующее неравенство. (Учитель на доске дает образец решения неравенств).

≥ 0

Рассмотрим функцию

1. Область определения функции f(x)находим из системы неравенств

Область определения: [-4; 3) U (3; 4]

2. Уравнение f (x) ═ 0 имеет корни: -4; 4; 3,5

Ответ: [-4; 3) U [3,5; 4]

Следующее неравенство решим методом замены переменных.

()² + 7 () +12 0

≤ 0

≥ 0

V. Выполнение заданий в группах.

VI. Проверка и обсуждение полученных результатов.

Проверьте по интерактивной доске решение работы.

Учащиеся осуществляют самопроверку и самооценку заданий. Получают разъяснения по возникающим при этом вопросам.

Ответы к рассмотренному варианту.

Воспользуемся методом интервалов, получим :

≤ 0

Замена

Тогда t-1 — ≤ 0

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 1. Повторение 7-9. Числовые и алгебраические выражения. Линейные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

1. обобщение и систематизация знаний по алгебре 7-9;
2. повтор арифметики алгебраических выражений;
3. решение линейных уравнений и неравенств;
4. решение систем линейных уравнений и неравенств.

1. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни.

2. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни

1. Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.

2. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2000.

Открытые электронные ресурсы:

1. Федеральный институт педагогических измерений. http://www.fipi.ru

Все выражения можно разбить на два класса на основании наличия переменных: числовые выражения и выражения с переменными.

Логическая задача на классификацию

Основание для классификации: наличие переменных

Выражения с переменными

Для числовых выражений можно находить значение – результат всех выполненных действий. Для выражений с переменными можно также находить значение при некоторых значениях переменных, предварительно упростив его, например, с помощью свойств, правил, формул сокращенного умножения.

Найдите значение выражения при a=0,01 и b=12:

2)

3)

2);

3)

3b-2a-3b=-2a-2a=-0,02

2.Линейное уравнение с одним неизвестным

Линейное уравнение с одним неизвестным – это уравнение вида ax=b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное

Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет

Основные свойства уравнений

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная

Если a≠0, b – любое число, то .

Если a=0, b≠0, то нет корней.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

1) ,

1),

Решим уравнение 2).

По определению модуля числа имеем 5x+7=±2.

Таким образом, либо 5x+7=2, откуда x=-1, либо 5x+7=-2, откуда x=-1,8. Получаем ответ: -1; -1,8.

Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная

Если a≠0, b – любое число, то .

Если a=0, b≠0, то нет корней.

Если a=0, b=0, то x – любое число.

Линейное уравнение с параметрами

Решите уравнение (5x+7)n=x-m, где m и n – некоторые числа, x – неизвестное

1)Если 5n-1≠0, то есть n≠0,2, то . Используя основное свойство дроби, получаем, что .

2)Если 5n-1=0, то есть n=0,2, то уравнение примет вид 0∙x=-m-1,4;

Тогда при m=-1,4 корнем уравнения будет любое число,

при m≠-1,4 уравнение не имеет корней.

Рассмотрим задачу 1.

От пристани А до пристани В катер плывет по реке 15 минут, а обратно 20 минут. Найти скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.

Для ее решения необходимо:

1.Провести ориентировку в тексте задачи.

1.1.Проанализировать условие и выявить данные (известные, дополнительные, скрытые).

1.2.Проанализировать вопрос задачи и выявить искомое.

1.3.Определить связи одноуровневые и межуровневые между данными и искомым.

1.4.Построить графическую схему, например, таблицу.

1.5.Установить в ней место искомого.

2.Спланировать способ решения задачи.

2.1.Подобрать метод, например, алгебраический.

2.3.Подобрать действия для решения составленной математической модели.

3.Исполнить намеченный план решения и найти искомое.

4.Провести самоконтроль решения задачи, проверив, что найденное искомое не противоречит условию задачи.

5.Провести самооценку решения задачи.

6.Провести самокоррекцию выполненного решения задачи, если есть в том необходимость.

1 способ: Провести повторное решение задачи от начала до конца.

2 способ: Провести дополнительную деятельность для того, чтобы ответить на вопрос задачи.

3 способ: Решить задачу другим способом.

удовлетворяет условию

3.Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причем и .

Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными – это пара чисел x и y, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений: способ подстановки и способ сложения.

Решите систему способом подстановки

Для этого необходимо:

1.Выразить одну переменную через другую из какого-либо уравнения.

2.Подставить полученное выражение вместо выраженной переменной в другое уравнение.

3.Решить полученное уравнение относительно одной переменной.

4.Найти значение другой переменной, подставив найденный корень в формулу пункта 1.

5.Записать решение системы.

(1;2) – решение системы

Решите систему способом сложения

Для этого необходимо:

1.Домножить какое-либо уравнение системы или оба уравнения на такие числа, чтобы при почленном сложении уравнений получить уравнение относительно одной переменной.

2.Решить уравнение, полученное после почленного сложения.

3.Подставить найденный корень в какое-либо уравнение исходной системы.

4.Решить составленное уравнение.

5.Записать решение системы.

(3;-1) – решение системы

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если , то система имеет единственное решение.

Если то система не имеет решений.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Система линейных уравнений с параметром

Решите систему уравнений с параметром a:

Решим систему способом подстановки. Выразим y из первого уравнения системы: . Подставим выражение вместо y во второе уравнение системы:
(a-3)x+a((a+1)x-a)=-9 .

Решим полученное уравнение относительно x:
.

1. Если , то есть , то система имеет единственное решение. Найдем это решение: После сокращения получаем: . Найдем соответствующее значение y, подставив вместо x в формулу
. Получим . Итак, если , то – решение системы.

2. Если и , то есть a=-3, то система имеет бесконечно много решений. Найдем в этом случае решения системы. Для этого подставим a=-3 в первое уравнение системы. Получим уравнение -2x-y=-3, из которого выразим y: y=3-2x. Значит, (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы.

3. Если и , то есть a=1, то система не имеет решений.

Ответ: Если , то – решение системы;

если a=-3, то (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы;

если a=1, то система не имеет решений.

4.Решение линейных неравенств с одним неизвестным

Неравенство первой степени с одним неизвестными – это неравенство вида ax b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Решение неравенства с одним неизвестным – это то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Правило решения неравенства первой степени с одним неизвестным

1.Перенести с противоположными знаками члены, содержащие неизвестное, из правой части в левую, а не содержащие неизвестное – из левой части в правую.

2.Привести подобные члены в левой и правой частях неравенства.

3.Если коэффициент при неизвестном отличен от нуля, то разделить на него обе части неравенства.

5.Системы линейных неравенств с одним неизвестным

Решение системы неравенств с одним неизвестным – это значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Решить неравенство 2x-8 3.

Решение неравенства ax 0, то

Если a 0, то x – любое число

Если a=0, b≤0, то решений нет

Линейное неравенство с параметром

Решите неравенство с параметром a:

ax 0, то

Если a 0, то ; если a 0, 2x>6, x>3.

Решим второе неравенство системы:

4x-20 b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причем и .

Алгебраические уравнения и неравенства с параметром
материал по алгебре (10, 11 класс)

В разработке представлены основные методы решения и основные ошибки при решении алгебраических уровнений и неравенств с параметром.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Алгебраические уравнения и неравенства с параметром.

(a 2 – 4 ) ⋅ x = a +2

Если а=0, то 0 ⋅ х = 4 – нет решений

Если а=-2, то 0 ⋅ х = 0 , х –любое число

Ответ: Если а=0, то нет решений; если а=-2, то х –любое число, Если а ≠± 2, то х = .

Ошибки: деление на выражение, содержащее параметр, без подстановка условия ≠ 0.

Решение: 5х – а ах – 3

если а= 5, то 0 2 верно при любом х.

Ошибки: 1) деление неравенства на выражение неизвестно какого знака;

2) заключение о том, что при а=5 нет решения, т.к. знаменатель обращается в 0. В исходном неравенстве нет знаменателя.

Решение: уравнение равносильно системе:

Ограничение х ≠ 2 дает ограничение на параметр : .

Ответ : если а ≠ 2 и а ≠ 1, то х= ; если а=1 и а=2, то решений нет.

Ошибки : после того как решение найдено, забывают, что ограничение х ≠ 2 накладывает ограничение на параметр а ≠ -2

Решение:

При а > 2, х ∈ (- ∞ ; 2) ∪ (а; + ∞ )

При а 2 , х ∈ (2; а)

При а=2, 0 > 0 – ложно

Ответ: п ри а > 2, х ∈ (- ∞ ; 2) ∪ (а; + ∞ )

при а 2 , х ∈ (2; а)

при а=0 решений нет

Ошибки: домножение неравенства на выражение неизвестно какого знака.

Решение: при а 0, решений нет, т.к.

При а > 0, х – 3 = ± а, т.е. х=3 ± а

Ответ: при а 0, решений нет

Ошибки : случаи а=0 и а > 0 нельзя объединять, т.к. в первом случае – одно решение, а во втором- два.

Решение: неравенство равносильно совокупности:

Ошибки : часто ошибочно не рассматривают решение х=а, заменяя неравенство на х-1≥0

Решение: уравнение равносильно системе

Ответ: если а ≥-3, то ; если а

Ошибки: Возведение в квадрат, не ставя условие на подкоренные выражения.

Решение: неравенство равносильно системе

Ответ: при а ≤ 0, х ∈[ -1; + ∞ ); при а > 0, х ∈[ -1; )

Ошибки : деление на а и возведение в квадрат без постановки условия на а, при этом теряется решение при а 0

Задачи для самостоятельного решения:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Уравнения и неравенства с параметрами

На протяжении последнего десятилетия на приемных экзаменах регулярно предлагаются так называемые задачи с параметрами: уранения, неравенства, системы уравнений и неравенств.

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Методика решений уравнений и неравенств с параметрами. Можно использовать на факультативных занятиях и при подготовки к ЕГЭ (часть С).

Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»

9-й класс. Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»Чехолкова Алла ВладимировнаЦель: Выработка навыка решения уравнений и неравенств с параметром различными способами. Разв.

Уравнения и неравенства с параметрами

разработка элективного курса по теме»Решение уравнений и неравенств с параметрами» и презентация по этой же теме.

Уравнения и неравенства с параметрами

Программа элективного курса для учащихся 10-11 классов содержит введение, пояснительную записку, тематическое планирование, содержание программы, список литературы.

Уравнения и неравенства с параметром

Уравнения и неравенства с параметром часто встречаются в вариантах экзаменов самых различных уровней:1) Государственная итоговая аттестация; 2)Единый государственный экзамен;3)вступительные.

Программа элективного курса по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами»

Элективный курс по теме » Решение уравнений и неравенств с параметрами» позволяет познакомится с методами решения уравнений и неравенств содержащих параметр, способствует повышению уровня логиче.