Алгебраические уравнения с комплексным неизвестным

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Алгебраические уравнения с комплексным неизвестным

. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Урок «решение уравнений в комплексных числах» в 11 классе
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок «решение уравнений в комплексных числах» рекомендован для проведения в классах с углубленным изучением математики в 11 классе.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Решение уравнений в комплексных числах»

(11 класс с углубленным изучением математики, учитель Кабанова И.В., лицей №32 г.Белгорода)

Тип урока : урок закрепления и комплексного применения знаний и способов деятельности.

1) способствовать закреплению умения решать уравнения в комплексных числах

2) содействовать развитию у учащихся умения систематизировать материал, сравнивать различные способы решения уравнений, выбирать оптимальный из них.

В ходе урока используется компьютерная презентация.

1. Организационный момент:

1. Приветствие
2. Постановка задач урока, плана его проведения.

II.Проверка домашнего задания.

У доски три ученика выполняют задания:

1) Решить уравнение: 12х 4 +37х 3 +49х 2 +37х+12=0

уравнение возвратное, разделим почленно на х 2 (х=0 не является корнем уравнения)

12х 2 +37х+49+37/х+12/х 2 =0

12(х 2 +1/х 2 ) +37(х+1/х)+49=0

пусть х+1/х =t, тогда х 2 +1/х 2 =t 2 -2. Имеем:

t 1 =-1, t 2 = -25/12.

х+1/х=-1 или х+1/х=-25/12

2) Решить уравнение:

3)Решить уравнение: (z 2 -z) 4 =16

Пусть z 2 -z=t, тогда имеем:

t 4 -16=0, (t 2 -4)(t 2 +4)=0,

1) z 2 -z=2 2) z 2 -z=-2 3) z 2 -z=-2i

z 2 -z-2=0 z 2 -z+2=0 z 2 -z+2i=0

В это время идет фронтальная работа с классом.

III. Этап актуализации и проверки знаний и умений.

1. Фронтальная работа по вопросам:

1. что называется комплексным числом?
2. что такое мнимая единица?
3. как изображается комплексное число на плоскости?
4. какую форму записи может иметь комплексное число?
5. что такое модуль комплексного числа, как его вычислить?

Демонстрация слайда №2 . Определить условия, задающие данное изображение множества точек на комплексной плоскости:

Проверка знаний основных формул и правил операций над комплексными числами. Учащимся предлагается выполнить на листочках задания по вариантам ( слайд №3 )

Учащиеся меняются вариантами, идет взаимопроверка (ответы демонстрируются через проектор). Обсуждение результатов.

Слайд №4. Учащимся дается задание по рядам: выполнить задания, ответ найти в таблице, выписать соответствующие буквы или их сочетание на листочке.

В это время учитель проверяет выполнение домашнего задания работавших у доски.

1 ряд. а) i 121 = i 120∙ i=i

в) x 2 +7 i x – 12 = 0, D= — 49 + 48 = — 1,

в) z 4 – 16 = 0, (z 2 -4)(z 2 +4) = 0, z 1,2 =±2, z 3,4 =±2 i

1. ряд . а) i 18 (3 – 6 i ) = -(3 – 6 i )= -3 + 6 i

в) x 2 + 10x + 50 = 0, D = 100 – 200 = — 100,

Проверяем выполнение задания по таблице с помощью проектора: должно получиться имя английского математика Абрахам де Муавра. Учащимся демонстрируется его портрет ( слайд №5 ), дается краткая информация об этом ученом.

Листочки с решением сдаются на проверку.

1. Этап применения знаний и способов действий.

Какими основными методами мы пользуемся при решении уравнений с комплексными числами?

Сколько корней имеет уравнение n-й степени с действительными коэффициентами?

Что можно сказать о комплексных корнях уравнения с действительными коэффициентами? (сопряженные)

Учащимся предлагается набор уравнений, к каждому из которых они предлагают способ решения. ( слайд №6 )

1. (z-i) 6 =z 2 +2iz-1
2. z 4 =1
3. 6x 4 +19x 3 +25x 2 +19x+6=0
4. |z|-2z=2i-1
5. (z+1) 4 =(z- i ) 4
6. z 12 -65z 6 +64=0
7. z 3 +z 2 +z+1=0
8. (z 2 +3z+6) +2z(z 2 +3z+6)-3z =0

Работа в группах: по одному представителю у доски решают уравнения №3,4,5.

Пока учащиеся работают, учитель проверяет самостоятельную работу, выполненную на листочках.

Решение уравнения №3:

6x 4 +19x 3 +25x 2 +19x+6=0 ‌‌‌‌:x 2

Решение уравнения №4:

Решение уравнения №5:

(z+1) 4 — (z- i ) 4 = 0

((z+1) 2 – (z- i ) 2 )((z+1) 2 + (z- i ) 2 ) = 0

(z 2 + 2z + 1 – z 2 + 2z i + 1)( z 2 + 2z + 1 + z 2 — 2z i – 1) = 0

(2z + 2z i + 2)( 2z 2 + 2z — 2z i ) = 0

2z 2 + 2z — 2z i = 0

После обсуждения и проверки решений, учитель комментирует итоги самостоятельной работы.

1. Применение знаний и умений при выполнении более сложных заданий.

Демонстрация слайда №7

1. Найти значения а и b, при которых i является корнем уравнения х 4 -(2а +b+1)х 3 +(3а+5b)х 2 — -8х+13=0 . При найденных значениях а и b найти остальные корни уравнения.

1. Составить уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющего корни х 1 =1, х 2 =х 3 =1-i .

Учащиеся обсуждают ход выполнения первого и второго задания . Класс работает самостоятельно, один ученик решает у доски.

VI. Домашнее задание: решить уравнения со слайда №6: № 1,2,6,7,8.

VII. Рефлексия (слайд №8) Выбрать ту четверть, которая соответствует отношению к изучаемой теме.

VIII. Подведение итога урока, оценка работы учащихся