Алгебраическое графическое решение уравнений содержащих модуль

Алгебраическое и графическое решение линейных уравнений, содержащих модули

Эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

Основной целью работы считаю получение расширенной информации о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Исследовательская работа по математике.

Тема: «Алгебраическое и графическое

решение линейных уравнений, содержащих

Ученицы 7 класса

гимназии № 2 г. Зарайска

Учитель: Трушина Елена Николаевна

2.1 Вспомогательный материал для изучения данной темы……………………………………4

3.Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля…………. 7

4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля……………..11

4.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля……. …………………………18

5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих модули………………………. 20

6. Решение нестандартных задач с модулем………………………………………………………26

8. Список использованной литературы……………………………………………………………29

Цель работы: считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

Основной целью работы считаю получение расширенной информации о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Знание – самое превосходное из

владений. Все стремятся к нему,

само же оно не приходит.

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль – исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления.

В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

2. Понятия и определения.

Чтобы лучше изучить данную тему, необходимо вспомнить простейшие определения:

а) уравнение – это равенство, содержащее переменные.

б) уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком модуля (абсолютной величины). Например: | x | = 5.

в) решить уравнение – это, значит, найти все его корни, или доказать, что их нет.

г) линейное уравнение с одной переменной – уравнение вида: ax = b, где x – независимая переменная, a и b – некоторые числа.

д) линейная функция – функция вида: y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

е) графиком линейной функции является прямая линия.

ж) область определения линейной функции состоит из всех чисел;

если D(у) состоит не из всех чисел, то её график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

з) раскрытие скобок:

1) если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

2) чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых на противоположные, а потом раскрыть скобки.

2.1. Вспомогательный материал для изучения данной

Для изучения данной темы необходимо познакомиться с графическим решением линейных уравнений и числовыми промежутками.

а) графическое решение уравнений.

Это один из способов решения уравнений.

Его применяют не так часто, так как он занимает в некоторых случаях много времени; результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций.

В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.

В случае, если графики не пересекутся, то уравнение корней не имеет.

Абсцисса точки пересечения графиков линейных функций будет корнем линейного уравнения.

Построим в одной системе координат графики двух функций:

D(у): х – любое число D(у): х – любое число

Презентация к исследовательскому проекту по математике на тему» Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих знак модуля»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих знак модуля Исполнитель: Кочурова Анастасия Учащаяся 7 «А» класса Научный руководитель: Банникова Т.В. учитель высшей категории.

Цель работы: познакомиться с основными приемами решения уравнений и неравенств, построения графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, Задачи: 1. изучить литературу по теме модуль. 2.прорешать уравнения и неравенства, содержащие модуль

Содержание: 1. Введение…………………………………………………………………………………………..3 2. Основные понятия…………………………………………………………………………. 5 3. Теоремы, содержащие модуль…………………………………….…………………. 6 4.1 Способы решения уравнений, содержащих модуль…………………….…..9 4.2 Решение при помощи зависимости между числами «а и b», их модулями и квадратами этих чисел…………………………………………….……..18 4.3 Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………………………………….……22 4.4 Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины…………………………………………………………………………………………..24 5. Заключение……………………………………………………………..…………………….26 6. Список литературы…………………………………………………………………………27

Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

Способы решения уравнений 1 способ – Аналитический способ решения |x-2|=3 Если x-2≥0 Если x-2 2 x-2 0 |x-2|=2-x |x-2|=x-2 Ответ: 2 x-2 x — +

Заключение И в заключении я хотела бы сказать, что для досконального изучения материала исследовательская работа подходит лучше всего. Мне представилась возможность больше поработать с интересной, для меня, темой модуля и выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 7-го класса. Прочитав и изучив другую литературу, я узнала много нового и, как я считаю, важного для меня.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 078 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 16.10.2015
• 3818
• 0

• 16.10.2015
• 1460
• 2

• 16.10.2015
• 469
• 0

• 16.10.2015
• 596
• 0

• 16.10.2015
• 492
• 0

• 16.10.2015
• 691
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 16.10.2015 1186
• PPTX 87.7 кбайт
• 9 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Банникова Татьяна Витальевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 13227
• Всего материалов: 15

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули

Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули.

2.Понятия и определения………………………………………….4

4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………. 6

4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14

4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины…………………………………………………………..15

4.4.Решение нестандартных уравнений, ………….16

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и. т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

2. Понятия и определения

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем — это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:

Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

3. Доказательство теорем

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна — a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или –a

1. Если число a положительно, то — a отрицательно, т. е. — a 0 уравнение имеет 2 различных корня.

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6

Ответ: x1=6, x2=11/3

Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2= ( x – 1)2.

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):

2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1

2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3

Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)

Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|

Пользуясь соотношением (1), получим:

х – 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 – 5х + 9)

-х2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x2 + 5x — 9

x2 — 6x + 15=0 x2 – 4x + 3=0

D=36 – 4 * 15=36 – 60= -24 0

Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 * 1 + 9| |3 – 6|=|32 – 5 * 3 + 9|

5 = 5(И) 3 = |9 – 15 + 9|

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.

Геометрический смысл модуля разности величин — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a | — длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 7. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка — нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].

Пример8. Решим уравнение |x – 1| — |x – 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно, решением данного уравнения будет являться не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

|x – a| + |x – b|=b – a, где b >a Û a a Û x