Алгебраическое и графическое решение линейных уравнений содержащих модули

Алгебраическое и графическое решение линейных уравнений, содержащих модули

Эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

Основной целью работы считаю получение расширенной информации о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Скачать:

Вложение	Размер
issledovatelskaya_rabota.doc	285 КБ

Предварительный просмотр:

Исследовательская работа по математике.

Тема: «Алгебраическое и графическое

решение линейных уравнений, содержащих

Ученицы 7 класса

гимназии № 2 г. Зарайска

Учитель: Трушина Елена Николаевна

2.1 Вспомогательный материал для изучения данной темы……………………………………4

3.Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля…………. 7

4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля……………..11

4.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля……. …………………………18

5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих модули………………………. 20

6. Решение нестандартных задач с модулем………………………………………………………26

8. Список использованной литературы……………………………………………………………29

Цель работы: считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

Знание – самое превосходное из

владений. Все стремятся к нему,

само же оно не приходит.

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль – исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления.

В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

2. Понятия и определения.

Чтобы лучше изучить данную тему, необходимо вспомнить простейшие определения:

а) уравнение – это равенство, содержащее переменные.

б) уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком модуля (абсолютной величины). Например: | x | = 5.

в) решить уравнение – это, значит, найти все его корни, или доказать, что их нет.

г) линейное уравнение с одной переменной – уравнение вида: ax = b, где x – независимая переменная, a и b – некоторые числа.

д) линейная функция – функция вида: y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

е) графиком линейной функции является прямая линия.

ж) область определения линейной функции состоит из всех чисел;

если D(у) состоит не из всех чисел, то её график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

з) раскрытие скобок:

1) если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

2) чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых на противоположные, а потом раскрыть скобки.

2.1. Вспомогательный материал для изучения данной

Для изучения данной темы необходимо познакомиться с графическим решением линейных уравнений и числовыми промежутками.

а) графическое решение уравнений.

Это один из способов решения уравнений.

Его применяют не так часто, так как он занимает в некоторых случаях много времени; результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций.

В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.

В случае, если графики не пересекутся, то уравнение корней не имеет.

Абсцисса точки пересечения графиков линейных функций будет корнем линейного уравнения.

Построим в одной системе координат графики двух функций:

D(у): х – любое число D(у): х – любое число

Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули

Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули.

2.Понятия и определения………………………………………….4

4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………. 6

4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14

4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины…………………………………………………………..15

4.4.Решение нестандартных уравнений, ………….16

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и. т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

2. Понятия и определения

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем — это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:

Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

3. Доказательство теорем

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна — a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или –a

1. Если число a положительно, то — a отрицательно, т. е. — a 0 уравнение имеет 2 различных корня.

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6

Ответ: x1=6, x2=11/3

Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2= ( x – 1)2.

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):

2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1

2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3

Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)

Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|

Пользуясь соотношением (1), получим:

х – 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 – 5х + 9)

-х2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x2 + 5x — 9

x2 — 6x + 15=0 x2 – 4x + 3=0

D=36 – 4 * 15=36 – 60= -24 0

Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 * 1 + 9| |3 – 6|=|32 – 5 * 3 + 9|

5 = 5(И) 3 = |9 – 15 + 9|

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.

Геометрический смысл модуля разности величин — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a | — длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 7. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка — нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].

Пример8. Решим уравнение |x – 1| — |x – 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно, решением данного уравнения будет являться не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

|x – a| + |x – b|=b – a, где b >a Û a a Û x

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Алгебраическое и графическое

решение линейных уравнений, содержащих

2.1 Вспомогательный материал для изучения данной темы……………………………………4

3.Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля…………. 7

4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля……………..11

4.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля……. …………………………18

5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих модули………………………. 20

6. Решение нестандартных задач с модулем………………………………………………………26

8. Список использованной литературы……………………………………………………………29

Цель работы: считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

Знание – самое превосходное из

владений. Все стремятся к нему,

само же оно не приходит.

Слово «модуль» произошло от латинского слова « modulus », что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

В архитектуре модуль – исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.

В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

2. Понятия и определения.

Чтобы лучше изучить данную тему, необходимо вспомнить простейшие определения:

а) уравнение – это равенство, содержащее переменные.

в) решить уравнение – это, значит, найти все его корни, или доказать, что их нет.

г) линейное уравнение с одной переменной – уравнение вида: ax = b , где x – независимая переменная, a и b – некоторые числа.

д) линейная функция – функция вида: y = kx + b , где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

е) графиком линейной функции является прямая линия.

ж) область определения линейной функции состоит из всех чисел;

если D (у) состоит не из всех чисел, то её график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

з) раскрытие скобок:

2.1. Вспомогательный материал для изучения данной

а) графическое решение уравнений.

Это один из способов решения уравнений.

В случае, если графики не пересекутся, то уравнение корней не имеет.

Абсцисса точки пересечения графиков линейных функций будет корнем линейного уравнения.

Построим в одной системе координат графики двух функций:

D (у): х – любое число D (у): х – любое число

х = 2.

Построим в одной системе координат графики двух функций:

D (у): х – любое число D (у): х – любое число х

Графики не пересекаются, решений нет.

Ответ: Нет решений.

б) Числовые промежутки.

1) Отметим на координатной прямой точки с координатами -3 и 2. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше -3 и меньше 2.

_{-3 Х 2}

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию -3 x [-3; 2] .

/ / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / /

5) x > 6

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /

6 x (6; + ∞)

7) Запись промежутков:

3. Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

Любое число можно изобразить точкой на числовой прямой.

Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Пример. Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков.

Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна –а, если а меньше нуля.

а, если а > 0

При решении уравнений, содержащих выражения со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля: модулем положительно- го числа и нуля является само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение.

На практике это делается так:

1) находят подмодульные нули, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2) разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3) на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

4) Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляют все решения рассматриваемого уравнения.

Найдем подмодульный нуль или корень выражения, содержащего знак модуля.

2)Найденное значение х разбивает числовую прямую на 2 промежутка: х 6.

Решение данного уравнения рассматриваем в каждом промежутке отдельно.

3) а) х 6, получим под модулем положительное число, тогда, раскрываю модуль, имеем:

х = 15, 15 принадлежит [6;+ ∞ ), значит, 15 – решение.

4) совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляют все решения рассмотренного уравнения.

2х + 3 = 0,

х = 6, 6 принадлежит [– 1,5; + ∞),

значит 6 – решение.

| х + 5 | – | х – 3 | = 8.

1) х + 5 = 0, х – 3 = 0,

8 = 8, верно, значит, любое значение х является корнем уравнения на этом промежутке.

1) х +2 = 0, х + 3 = 0.

3) а) х 2 / ₃, не принадлежит (–∞; – 3), значит – 1 2 / ₃ не является решением.

х = – 5, – 5 не принадлежит [– 2;+ ∞), значит, – 5 не является решением.

х = – 2.

– 2 х

3) а) х | 2 – (2 + х) | = 3,

Так как, х принадлежит (–∞; – 2)

х = – 4 – подмодульный нуль.

– (4 + х) = 3, 4 + х = 3,

– 4 – х = 3, х = – 1 ; – 1 принадлежит [– 4; + ∞)

х = – 7, – 7 принадлежит (– ∞; – 4)

Учитывая условие: х ≥ – 2, получим, – 1 принадлежит [– 2; + ∞), а – 7 не принадлежит [– 2; + ∞).

4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля.

Для построения графиков функций, содержащих выражение под знаком модуля, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случает, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функций,

опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенного в области отрицательных значений y , отобразить симметрично оси ОХ.

Это вытекает из определения модуля числа.

х, если х > 0

– х, если х c троим график функции у = 5х, а часть графика, лежащую ниже оси абсцисс, зеркально отображаем относительно этой оси.

1) х = 2 – подмодульный нуль.

– х + 2, х y =

3) Построим графики линейных функций в своих промежутках:

у = – х + 2 у = х – 2

у 2 1 у – 2 – 1

Строим график у = х – 2, а часть графика, лежащую ниже оси абсцисс отражаем зеркально относительно оси абсцисс.

1) х = 0 – подмодульный нуль.

2) на промежутке х 0 1

3) на промежутке х > 0 функция примет вид:

х 0 1

у – 1 0

1) подмодульный нуль: х = 0.

2) если х 0, то у = х + х = 2х; у = 2х.

х 1

у = | х – 3 | + | 1 – х | – 4

1) подмодульные нули: х = 3; х = 1.

2) х 3, тогда у = х – 3 – (1 – х) – 4 = х – 3 – 1 + х – 4 = 2х – 8, у = 2х – 8.

y 0 2

4.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля.

Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений.

Сформулируем утверждение, позволяющее, строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много);

алгебраическая сумма модулей n -линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, еще одна —

произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней, и последняя – с абсциссой, большей большего из корней.

Вычисляя значения функции в точках 1; 0 и 2, получаем график, состоящий из двух лучей.

2) у = |х – 1| + |х – 2|

Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1;2;0;3, получаем график:

Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1;2;3;0;4, получим график:

График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1;2;0;3.

5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих модули.

| х – 3 | + | 1 – х | = 4.

Построим в одной системе координат графики двух функций:

у = | х – 3 | + | 1 – х | и у = 4

1) у = | х – 3 | + | 1 – х |

а) подмодульные нули: х = 3, х = 1.

в) х 3, у = (х – 3) – (1 – х) = х – 3 – 1 + х = 2х – 4

у = 2х – 4

x 0 1

2) у = 4 – прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;4).

А можно было решить так:

|x — 3| + |1 — x| — 4 = 0

Построим в одной системе координат графики:

Решим это уравнение аналитически.

1) подмодульные нули: х = 3; х = 1.

х = 4, 4 принадлежит [3; +∞).

| х – 5 | + | 5 – х | =0

Построим в одной системе координат графики двух функций:

у = /х – 5/ + /5 – х/ и у = 0

1) у = /х – 5/ + /5 – х/

а) подмодульный нуль: х = 5;

у 0 2

x ≥5, тогда y = ( x — 5) – (5 — x ) = x – 5 – 5 + x = 2 x – 10

y 0 — 2

2) у = 0, график – ось абсцисс.

Графики пересеклись в точке (5;0), значит корень данного уравнения х = 5.

Решим это уравнение аналитически :

| х – 5 | + | 5 – х | = 0.

1)подмодульный нуль: х = 5.

х = 5, 5 не принадлежит (–∞; 5)

х ≥ 5, тогда (х – 5)-(5 –х)=0,

х=5, 5 принадлежит [5; +∞)

3 – | х –1 | + | х+5 | = 0

Построим в одной системе координат графики двух функций:

y = 3 –| х –1 | + | х+5 | и у = 0

1) у = 3 –| х –1 | + | х + 5 |

а) подмодульные нули: х = 1; х = 5

в) х = 3 – (х – 1) + (х + 5) = 3 – х + 1 + х + 5 = 9 ,

Графики пересекаются в точке с абсциссой — 3,5, следовательно х = — 3,5.

Решим это уравнение аналитически :

3 – | х –1 | + | х + 5 | = 0

1) подмодульные нули: х = 1, х = -5 .

3) х 1, тогда 3 – (х – 1) + (х + 5) = 0,

3 – х + 1 + х + 5 = 0,

9 = 0, неверно, решений нет.

Имея корни решенных уравнений, и рассматривая графики построенных функций, можно сделать вывод: корни полученных уравнений – это абсциссы точек пересечения графиков с осью ОХ.

6. Решение нестандартных задач с модулем.

Построив графики следующих функций в прямоугольной системе координат, мы получим некое «произведение искусства»:

х + 5, х принадлежит [0;1].

-х + 4.5, х принадлежит [0;0.5]

х + 4.5, х принадлежит [-0,5;0]

В заключении, я бы хотела бы сказать, что мне было очень интересно работать с данной темой. Я познакомилась с аналитическими и графическими решениями линейных уравнений с модулями, научилась строить графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля, графики простейших функций, содержащих знак модуля. А для этого прочитала и изучила немало дополнительной литературы. Получив эти знания, мне будет совсем нетрудно выбирать рациональный способ решения уравнений.

источники:

http://pandia.ru/text/78/290/1270.php

http://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-po-matematike-1117180.html