Алгебраическое сложение систем уравнений 7 класс

Решение системы линейных уравнений методом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения

1. Умножить обе части одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (или равными) числами.
2. Сложить (или отнять) уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных.
3. Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
4. Решить полученное уравнение с одной переменной.
5. Найти вторую переменную.
6. Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.

Умножаем первое уравнение на 2

Отнимаем от первого уравнения второе:

Находим y из первого уравнения:

В последовательной записи:

$$ <\left\< \begin 3x+y = 5 | \times 2 \\ x+2y = 5 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 6x+2y = 10 \\ x+2y = 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x = 5 \\ x+2y = 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1 \\ y = 5-3x = 2 \end \right.> $$

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:

$ а) <\left\< \begin 5x-4y = 3 | \times 2 \\ 2x-3y = 4 | \times 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 10x-8y = 6 \\ 10x-15y = 20 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = -14 \\ 2x-3y = 4 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = \frac<3y+4> <2>= -1 \\ y=-2 \end \right.> $

$ б) <\left\< \begin 4x-3y = 7 | \times 3 \\ 3x-4y = 0 | \times 4 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 12x-9y = 21 \\ 12x-16y = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 21 \\ x = \frac<4> <3>y \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 4 \\ y = 3 \end \right.> $

$ в) <\left\< \begin 5a-4b = 9 | \times 2 \\ 2a+3b = -1 | \times 5 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 10a-8b = 18 \\ 10a+15b = -5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin -23b = 23 \\ a = \frac<-3b-1> <2>\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -1 \end \right.> $

$ г) <\left\< \begin 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 | \times (-2) \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7a+4b = 5 \\ -6a-4b = -2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 3 \\ b = \frac<1-3a> <2>\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 3 \\ b = -4 \end \right.>$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$$а) <\left\< \begin \frac<4>-y = 7 \\ 3x+ \frac <2>= 9 | \times 2\end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin \frac <4>-y = 7 \\ 6x+y = 18 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 6 \frac<1> <4>x = 25 \\ y = 18-6x\end \right.> \Rightarrow $$

$$\Rightarrow <\left\< \begin x = 25: \frac<25> <4>= 25 \cdot \frac<4> <25>= 4 \\ y = 18-6 \cdot 4 = -6 \end \right.> $$

$ в) <\left\< \begin 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \\ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 15x-3y+14 = 5x+5y \\ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 \end \right.> \Rightarrow $

$ г) <\left\< \begin 5-3(2x+7y) = x+y-52 \\ 4+3(7x+2y) = 23x \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5-6x-21y = x+y-52 \\ 4+21x+6y = 23x \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ 2x-6y = 4 |:2 \end \right.>$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ x-3y = 2 | \times 7 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ 7x-21y = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 43y = 43 \\ x = 3y+2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 5 \\ y = 1 \end \right.>$$

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

Введём новые переменные: $ <\left\< \begin a = \frac<1> \\ b = \frac<1> \end \right.> $

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ <\left\< \begin2a+3b = 1| \times 3 \\ 3a-5b = 11 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 6a+9b = 3 \\ 6a-10b = 22 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 19b = -19 \\ a = \frac<1-3b> <2>\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 2 \\ b = -1 \end \right.> $$

Разработка урока по алгебре на тему «Решение систем уравнений методом алгебраического сложения» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: «Решение систем линейных уравнений методом алгебраического сложения»

Цели урока: познакомить обучающихся с методом решения систем уравнений методом алгебраического сложения;

Развивать память, речь, наблюдательность, подмечать закономерность, обобщать, проводить логическое мышление, суждения по аналогии, умение работать с учебником.

Воспитание дисциплины, аккуратности, настойчивости, ответственного отношения к учёбе, умение контролировать свою деятельность.

Оборудование: ноутбук, проектор, доска.

Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас на уроке будут присутствовать гости. Поприветствуйте их. Садитесь.

Учитель: Любой человек, который начинает какое-то новое дело, обычно задумывается над тем, что он хочет получить в результате, чего достичь. Давайте и мы подумаем, чего мы сегодня должны достичь на уроке?

Ученик: Познакомиться с новым методом решения систем. Научиться решать системы линейных уравнений методом алгебраического сложения.

Слайд 2 . Девизом нашего урока будут слова «Математику нельзя изучать,
наблюдая как это делает сосед». А.Нивен.

Слайд 3. Учитель: Ничего нового не бывает без старого. Давайте ответим на вопросы.

2. Ответить на вопросы

1. Что называют решением системы уравнений? (пару значений (х;у), которая является решением и первого и второго уравнений системы)

2. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя неизвестными? ( 1 решение, бесконечно много решений или не иметь решения)

3. Как называется система, если она не имеет решений? (система несовместна – прямые параллельны)

4. Как называется система, если она имеет бесконечно много решений (неопределенна – прямые совпадают)

5. Какие методы решения систем уравнений вам известны?

6. Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений методом подстановки. — Слайд 5

Решить систему методом подстановки

у-х=30,

1 ученик выполняет на интерактивной доске.

Решим систему способом подстановки, при этом ответим на вопросы:

1. Что нужно сделать? Выразить одну переменную через другую, например, х=80+2у.

2. Подставить полученное выражение в первое уравнение:

3. Решим полученное уравнение: 4у-80-2у=30, 2у=110, у=55.

4. Подставим найденное значение переменной в выражение, полученное в 1 и найдем х. х=80+ 2*55, х=190.

Изучение нового материала

Учитель: А теперь проанализируем, для чего мы выражали одну переменную через другую и подставляли полученный результат в первое уравнение?

Ученик: Чтобы получить уравнение с одной переменной.

Учитель: Правильно, чтобы исключить одну переменную. Но её можно исключить и значительно проще – достаточно сложить оба уравнения системы.

Затем найденное значение переменной подставить в любое уравнение системы и найти значение другой переменной.

Рассмотрим еще один пример.

Рассмотрим систему, где сложение уравнений на первом этапе
не позволяет исключить ни одной переменной.

обратите внимание, коэффициент перед х (1 уравнение) =4,
коэффициент перед х (2 уравнение), =5 , найдем для этих двух чисел наименьшее общее кратное число — это 20 значит,
умножим левую и правую часть 1-го уравнения на 5 , а второго уравнения на 4:

теперь мы можем вычесть второе уравнение из первого,
вычтем левую часть 2-го уравнения из левой части 1-го уравнения,
приравняв результат разности соответствующих правых частей,

подставим полученное значение y = 5 в любое уравнение системы,
например в 1-ое,

Учитель: Теперь я думаю, что вы сможете сформулировать алгоритм метода алгебраического сложения (учащиеся формулируют, учитель корректирует)

Первичное закрепление в устной речи

Работа со слайдом: учащиеся читают алгоритм.

Этап первичной проверки знаний

1. Решить систему методом алгебраического сложения

2. Работа с учебником

Этап проверки усвоения нового материала

Выполнение самостоятельной работы по карточкам с последующей самопроверкой

Способом сложения решите систему линейных уравнений:

Самостоятельная работа (для слабых обучающихся)

Способом сложения решите систему линейных уравнений:

Урок по алгебре в 7-м классе на тему: «Решение систем линейных уравнений способом сложения»

Разделы: Математика

1. Научить решать системы уравнений способом сложения;

2. Отработать алгоритм решения систем уравнений методом подстановки и сложения;

3. Воспитание внимания, точности, логики рассуждения.

Оборудование : учебник Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Алгебра-7 класс, проверочный материал.

Ход урока

I. Организационный момент:

Сегодня на уроке мы должны научиться решать системы уравнений способом сложения.

II. Устный счет:

1. Дано уравнение 4x-3y=-2. Укажите какое-либо решение (пару чисел (x;y)) этого уравнения.
2. Выразите переменную y через x , если 3x-0.5y=1.
3. Решите систему уравнений
4. Является ли пара чисел (-2; -1) решением системы уравнений
5. Четыре медвежонка тяжелее медведицы на 30 кг, а два таких медвежонка легче медведицы на 80 кг. Найдите массу медведицы.

III. Объяснение нового материала.

Составим систему уравнений для задачи с медвежатами. Пусть масса медведицы х кг, а одного медвежонка у кг.

Решим данную систему способом подстановки, при этом ответим на вопросы:

Метод подстановки

1. Правильно ли выразили одно неизвестное через другое в одном из уравнений?
2. Правильно ли вы подставили полученное выражение в другое уравнение?
3. Правильно ли вы решили уравнение с одной неизвестной?
4. Правильно ли вы подставили найденное значение для вычисления значения другой неизвестной?

В результате получаем: х=190, у=55.

А теперь подумаем, как решить эту систему методом сложения?

Умножить одно из уравнений системы или каждое из них на какое-либо число, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.

у=55, а х=80+2*55 , х=190.

Какие можно поставить вопросы к методу сложения?

Метод сложения

1. Каковы коэффициенты при х и y?
2. При какой неизвестной вы делали коэффициенты противоположными?
3. Для какого уравнения требуется дополнительный множитель, и какой именно?
4. Все ли члены выбранного уравнения вы умножили на этот множитель?
5. Правильно ли вы выполнили сложение левых и правых частей уравнений в полученной системе?
6. Правильно ли вы решили уравнение с одной неизвестной?
7. В какое уравнение вы подставили полученное значение неизвестной?
8. Правильно ли вычислено значение другой неизвестной?

Подумайте, а можно ли решить данную систему графически?

Если да, то дома оформить решение графически.

IV. Закрепление изученного материала.

Решите систему уравнений методом сложения.

а)3

Закончите решение системы:

б)

Работа с учебником. Глава VI,§ 16 п 43 стр 203, алгоритм стр205- прочитать.

Выполнить у доски (парами) № 1147 (а;б)

а)Ответ:(2;1)

б) Ответ: (-8;-4).

Самостоятельная работа по учебнику: № 1147 (в;г)

в)

г)

Ответ: в) (60;30), г) (2; -1/4).

V. Домашняя работа:

выполнить графически систему уравнений, если сможете, рассмотреть примеры 1-3 учебника, решить №1148 (а), повторить №1162.

VI. Познакомимся с контрольным листом и домашней недельной проверочной работой.

Лист контроля

1. Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя неизвестными?
2. Что значит решить линейное уравнение с двумя неизвестными?
3. Что называется решением линейного уравнения с двумя неизвестными? Как записывается это решение?
4. Что является графиком линейного уравнения с двумя неизвестными?
5. Что называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными?
6. Что называется решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?
7. Что значит решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными?
8. Какими методами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? Каков алгоритм решения каждым методом?
9. Как решается одно линейное уравнение с двумя неизвестными?
10. Сколько решений имеет линейное уравнение с двумя неизвестными?

Как записывается общее решение линейного уравнения с двумя неизвестными?